701.историческое краеведение накопление и развитие краеведческих знаний в рос...
533.управление в технических системах основы цифровых систем управления
1. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА»
М.С. ГАСПАРОВ, А.А. ИГОНИН, А.Н. КРЮЧКОВ
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ:
ОСНОВЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
САМАРА
Издательство СГАУ
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
Содержание
Список сокращений..................................................................... 5
1.
.................................................................................... 6
Общие сведения о дискретных системах автоматического
управления
1.1. .................................................... 6Основные определения и понятия
1.2. ................................................ 10Преимущества дискретных систем
1.3. ................................... 11Примеры импульсных и цифровых систем
1.3.1. Автопилот..........................................................................................11
1.3.2. Цифровая система управления прокатным станом........................13
1.3.3. ................................13Цифровой контроллер турбины и генератора
1.4. .............. 14Общее представление о микропроцессорных системах
1.5. ........................................... 16Примеры микропроцессорных систем
1.5.1. ................................................................16Персональный компьютер
1.5.2. ..................................17Программируемый логический контроллер.
2. .................................................... 19Преобразование сигналов
2.1.
............................................................... 19
Необходимость аналого-цифрового и цифроаналогового
преобразования в САУ с ЭВМ
2.2. ................................................. 20Цифровые сигналы и кодирование
2.2.1. ..............21Представление числа в форме с фиксированной точкой.
2.2.2.
............................................................................................21
Представление чисел с фиксированной точкой, представление
чисел со знаком.
2.2.3. ......................24Представление числа в форме с плавающей точкой
2.3. ......................................... 27Преобразование данных и квантование
3. .......................................................... 31Разностные уравнения
3.1. .................... 31Понятие разностного уравнения, конечная разность
3.2. ................................... 32Решение линейных разностных уравнений
3.2.1. Метод рекуррентных вычислений...................................................33
3.2.2. Классический метод решения разностных уравнений...................35
4. ..................................................... 44Теория Z-преобразования
4.1. ..................................................... 44Определение Z-преобразования
4.2. ............................................................. 46Теоремы Z-преобразования
4.2.1. ...................................................................................46Суммирование
4.2.2. .................................................................46Умножение на константу
4.2.3. Сдвиг на целое число тактов............................................................47
4.2.4. Начальное значение ..........................................................................48
4.2.5. ............................................................................49Конечное значение
4.3. ....................................................... 50Вычисление Z-преобразований
4.4. ...................................... 51Соответствие между S- и Z-плоскостями
4.5. ......................................... 54Ограничения метода Z-преобразования
5. ....................................... 57Устойчивость дискретных систем
5.1. .................................................. 58Устойчивость дискретных систем
6. ............................................. 63Метод переменных состояния
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
6.1. ................................................... 63Модели в переменных состояния
6.2. ...................................... 63Моделирование в переменных состояния
6.3. ........................................................ 70Решение уравнений состояния
7. .................................... 71Расчет цифрового ПИД-регулятора
8. .............................................................................. 74Практикум
8.1. ............ 74АЦП и ЦАП. Оценка погрешности, подбор АЦП и ЦАП
8.2. ..................................................................... 75Разностные уравнения
8.3. ............................................................. 75Z-преобразование, техника
8.4. ........... 76Оценка устойчивости ДС с помощью Z-преобразования
Библиографический список...................................................... 78
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
1. Общие сведения о дискретных системах
автоматического управления
1.1. Основные определения и понятия
В последнее время дискретные системы автоматического управления
(САУ) переживают бурное развитие. Оно осуществляется в основном за счет
применения в САУ микропроцессорной техники, но также известны дискрет-
ные САУ без применения микропроцессоров. Популярность дискретных сис-
тем во всех отраслях промышленности объясняется как развитием цифровых
(в том числе микропроцессорных) вычислительных машин, так и преимуще-
ствами работы с цифровыми сигналами.
Слова “дискретный”, “импульсный” и “цифровой” в настоящее время в
литературе используются довольно свободно, тем не менее существуют оп-
ределенные терминологические рамки, ограничивающие применение того
или иного слова.
Термин “дискретные САР” применяется для обозначения всех САР,
для описания процессов, в которых рассматривают состояния системы в фик-
сированные промежутки времени, и в данном случае неважны принцип
функционирования САР и способ представления сигналов, будь то физиче-
ская величина или конечное множество разрядов числа в вычислительной
машине. У некоторых авторов для обозначения дискретных систем также
применяется термин “системы с дискретным временем”.
Термин “импульсные САР” предполагает систему, в которой значения
рабочих сигналов задаются значениями физических величин (например,
электрического напряжения) в рассматриваемые моменты времени.
Наконец, термин “цифровые САР” предполагает систему, в которой
значения рабочих сигналов представлены числами конечной разрядности,
например двоичными числами. Это могут быть не только микропроцессор-
ные системы, но и в настоящее время активно применяемые системы с ис-
пользованием программируемых логических интегральных схем (ПЛИС), где
основным вычислительным устройством является не универсальный вычис-
литель (микропроцессор), а специализированный, созданный программистом
внутри ПЛИС. Такие системы, хотя и недостаточно гибки, отличаются более
высоким быстродействием и менее подвержены сбоям, чем микропроцессор-
ные. В любом случае значения сигналов представлены в таких системах в
виде двоичных чисел конечной разрядности. В микропроцессорных системах
управление осуществляется посредством выполнения микропроцессором
определенной программы, в случае с ПЛИС управление осуществляется в
соответствии с внутренней схемотехнической организацией программируе-
мой логической схемы.
На рис. 1 показана типичная импульсная система управления с обрат-
ной связью. Квантователь представляет собой устройство, преобразующее
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. непрерывный сигнал, поступающий к нему на вход, в дискретный, снимае-
мый с его выхода. В определенные равноотстоящие моменты времени вели-
чина дискретного выходного сигнала равна величине входного непрерывного
сигнала, а всё остальное время значение сигнала на выходе квантователя рав-
но нулю, таким образом, на выходе квантователя получается сигнал, который
можно определить, как дискретный (говоря более точно - “дискретный по
времени”) [2].
Рис. 1. Импульсная система управления с обратной связью
Рис. 2 иллюстрирует принцип работы квантователя. Непрерывный
входной сигнал квантуется по времени, при этом выходной сигнал
квантователя представляет собой последовательность импульсов. Предпола-
гается, что в рассматриваемом случае частота квантования постоянна, а ам-
плитуда импульса в момент замыкания определяется соответствующим зна-
чением входного сигнала e .
)(te
)(t
Рис. 2. Непрерывный входной (а) и дискретный выходной (б) сигналы кван-
тователя
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. Существуют и другие способы квантования сигналов, например, кван-
тование с циклически изменяющимся периодом, многократное, со случайным
периодом, с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). На практике наиболее
распространенными являются квантование с постоянным периодом (как в
рассмотренном случае) и многократное квантование. Различные способы
квантования и их особенности будут рассмотрены ниже.
Расположенный между квантователем и управляемым процессом
фильтр выполняет функцию сглаживания, так как большинство управляемых
процессов рассчитано на прием аналоговых сигналов.
В цифровой системе управления сигналы в одной или нескольких точ-
ках представляются цифровыми кодами, с которыми оперирует цифровое
устройство, например цифровая электронная вычислительная машина (ЭВМ).
Структура типичной цифровой системы управления показана на рис. 3. На-
личие в некоторых точках системы сигналов в виде цифрового кода, напри-
мер двоичного, обусловливает использование цифроаналогового (ЦАП) и
аналого-цифрового (АЦП) преобразователей. Несмотря на то, что между
принципом работы импульсной и цифровой систем имеются существенные
различия, математические описания этих систем достаточно близки и могут
быть исследованы одинаковыми аналитическими методами.
Рис. 3. Типичная цифровая система управления.
Квантование по времени в системах управления применялось, по
крайней мере, 70 лет назад. В этих ранних разработках импульсная модуля-
ция использовалась для улучшения эксплуатационных характеристик систем
управления. Например, в гальванометре с падающей дужкой, описанном
Ольденбургом и Сарториусом, с помощью квантования достигается высокая
чувствительность системы к маломощному входному сигналу.
Как показано на рис. 4, к катушке гальванометра прикладывается ма-
лый сигнал. На стрелку гальванометра периодически опускается падающая
дужка, заставляя вал нагрузки поворачиваться на угол, пропорциональный
входному сигналу. Таким образом, поворот вала нагрузки определяется не
вращающим моментом гальванометра, а перемещением падающей дужки.
8
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Рис. 4. Гальванометр с падающей дужкой: 1 – падающая дужка; 2 – гальва-
нометр; 3 – кулачок
Другим известным примером применения квантования по времени в
системах управления является система стабилизации температуры в духовом
шкафу [4]. Система схематически показана на рис. 5. Когда контактный
стержень погружен в ртуть, ток проходит по обмотке реле, при этом контак-
ты реле разомкнуты, что вызывает прерывание тока в обмотке нагревателя.
Так как стержень погружается в ртуть периодически, ток в обмотке нагрева-
теля представляет собой последовательность импульсов. Более того, по-
скольку время погружения зависит от уровня ртути, который, в свою очередь,
определяется температурой в духовом шкафу, то длительность импульсов
тока в нагревателе будет изменяться в соответствии с температурой, но ам-
плитуда импульсов будет постоянна. Типичная форма сигналов в такой сис-
теме показана на рис. 6. Длительность импульсов тока в нагревателе пропор-
циональна амплитуде при)(th nTt = . В отличие от процедуры квантова-
ния на рис. 2, в которой амплитуда импульсов определяется амплитудой
входного сигнала, при модуляции, показанной на рис. 6, амплитуда импуль-
сов остается постоянной, а информационным параметром является длитель-
ность импульсов. Такая модуляция получила название широтно-импульсной
(ШИМ). На практике используются различные методы модуляции сигналов
[4] или, точнее, представления сигналов в дискретной форме.
9
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. Рис. 5. Дискретная система стабилизации температуры в духовом шкафу:
1 – ртутный термометр; 2 – контактный стрежень; 3 – колесо, вращаемое
электродвигателем; 4 – обмотка реле; 5 – размыкающие контакты реле; 6 –
духовой шкаф; 7 – нагреватель
Рис. 6. Входной (а) и выходной (б) сигналы широтно – импульсного модуля-
тора: h – температура духового шкафа; – ток нагревателя)(t )(*
thd
1.2. Преимущества дискретных систем
Для полного понимания достоинств и преимуществ дискретных сис-
тем мы должны уяснить, почему используются дискретные сигналы. Други-
ми словами, какие преимущества и характеристики дискретных систем опре-
10
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
деляют повышенный к ним интерес в современной технике управления? От-
вечая на эти вопросы, первым делом необходимо отметить, что многие физи-
ческие системы дискретны, т.е. их поведение может быть описано дискрет-
ными или цифровыми моделями. Например, в радарных системах передавае-
мые и принимаемые сигналы являются импульсными. Существуют много-
численные явления, социальные, экономические и биологические системы,
динамика которых описывается дискретными моделями.
Во многих современных системах управления используются дискрет-
ные элементы и цифровые процессоры. Некоторые из преимуществ импульс-
ных и цифровых систем заключаются в следующем: повышенная чувстви-
тельность, большая надежность, отсутствие дрейфа, более высокая устойчи-
вость к шумам и возмущениям, меньшие габаритные размеры и масса, мень-
шая стоимость, удобства в программировании.
Система с падающей дужкой, описанная выше, является примером по-
вышения чувствительности в дискретной системе. В этом случае малые сиг-
налы усиливаются благодаря операции квантования.
Одним из существенных преимуществ цифровых регуляторов является
их большая гибкость по сравнению с аналоговыми регуляторами. Программа
цифрового регулятора может быть изменена в соответствии с требованиями
проектировщиков или приспособлена к характеристикам объекта без каких-
либо изменений в аппаратном обеспечении. Эти и другие преимущества дис-
кретных систем склоняют проектировщиков к их выбору.
1.3. Примеры импульсных и цифровых систем
Рассмотрим типичные примеры импульсных и цифровых систем
управления, обратив внимание на их основные элементы, хотя этот обзор и
не будет исчерпывающим.
1.3.1. Автопилот
На рис. 7 показана упрощенная структурная схема аналогового авто-
пилота для одного управляемого параметра (угол тангажа, рыскания или кре-
на) летательного аппарата. Это типичная аналоговая, или непрерывная, сис-
тема, в которой сигналы могут быть представлены как функции от непрерыв-
ного времени t. Целью управления является слежение устройства, регули-
рующего угол ориентации аппарата, за командным сигналом. Для улучшения
устойчивости системы введена обратная связь по скорости. Аналоговый ре-
гулятор в системе можно заменить цифровым, но при этом дополнительно
требуются аналого-цифровой и цифроаналоговой преобразователи. Заметим,
что поскольку кроме цифрового управляющего устройства (цифровой кон-
троллер) все остальные элементы системы остались аналоговыми, использо-
вание этих преобразователей в ней обязательно.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Рис. 7. Упрощенная схема аналогового автопилота для одного управляемого
параметра
Рис. 8. Упрощенная схема цифрового автопилота для одного управляемого
параметра
Рис. 9. Упрощенная схема аналогового автопилота с многократным кван-
тованием
На рис. 8 показана схема цифрового автопилота, в котором сигналы,
несущие информацию о положении и скорости летательного аппарата, по-
ступают от цифровых устройств; на схеме они представлены в виде кванто-
вателей и фиксаторов. Квантователь преобразует аналоговый сигнал в им-
пульсный в каждый тактовый момент времени, а фиксатор удерживает его
уровень неизменно до следующего тактового момента. На рис. 9 проиллюст-
рирована ситуация, при которой два квантователя обладают различными пе-
риодами квантования (T и ). Вообще говоря, если скорость изменения
сигнала в одном контуре системы намного меньше, чем в другом, то период
квантования в “медленном” контуре может быть больше. Показанная
1 2T
12
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. на рис. 9 система двумя квантованиями с различными периодами квантова-
ния называется системой с многократным квантованием.
Одним из преимуществ систем с квантованием является возможность
использования дорогостоящего оборудования в режиме разделения времени.
1.3.2. Цифровая система управления прокатным станом
Многие производственные процессы контролируются и управляются с
помощью ЭВМ. Практически все современные прокатные станы на сего-
дняшний день управляются таким образом. На рис. 10 показаны основные
элементы аналогичной системы, а на рис. 11 изображена ее часть, предназна-
ченная для управления толщиной прокатываемой стальной полосой.
Рис. 10. Цифровая система управления прокатным станом
Рис. 11. Система управления толщиной стальной полосы
1.3.3. Цифровой контроллер турбины и генератора
На рис. 12 показана структурная схема и основные элементы компью-
терной системы управления скоростью и напряжением блока турбина-
генератор с подсистемой получения цифровых данных. Цифроаналоговые
преобразователи образуют интерфейс между ЭВМ и регуляторами. Подсис-
тема получения цифровых данных обеспечивает измерение и ввод в ЭВМ
таких параметров, как угловая скорость генератора, выходное напряжение,
ток возбуждения и ток якоря, активная и реактивная мощности. Некоторые из
этих параметров могут быть измерены цифровыми преобразователями и че-
рез цифровой мультиплексор введены в ЭВМ (рис. 13). Сигналы, измеренные
аналоговыми преобразователями, поступают на аналоговый мультиплексор,
13
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. где на обработку каждого сигнала затрачивается определенное время. Уст-
ройства, включенные после мультиплексора, используются в режиме разде-
ления времени. Такая подсистема получения данных показана на рис. 14. Вы-
ход аналогового мультиплексора соединен с входом квантователя. Фиксатор
сохраняет значение сигнала на выходе до окончания преобразования этого
сигнала аналого-цифровым преобразователем в цифровой код.
Рис. 12. Цифровое управление блоком турбина – генератор: ЭГП – элек-
трогидравлический преобразователь
Рис. 13. Подсистема получения цифровых данных
Рис. 14. Подсистема получения данных с аналоговыми преобразователями
1.4. Общее представление о микропроцессорных
системах
Микропроцессорная система – совокупность микропроцессора (мик-
ропроцессоров), запоминающих устройств и устройств ввода-вывода, соеди-
ненных общей шиной (системной магистралью), предназначенной для обме-
на данными. Структурная схема микропроцессорной системы показана на
рис. 15.
14
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. Рис. 15. Структурная схема микропроцессорной системы
Микропроцессор можно определить двумя разными способами: как
программируемое устройство, производящее некоторые действия над ин-
формацией, закодированной в виде групп двоичных разрядов согласно ко-
мандам, представленным кодами в виде групп двоичных разрядов – чисел в
двоичном представлении, и как электронное устройство, выполняющее дей-
ствия, описанные в виде программы, хранимой в запоминающем устройстве
в виде целых чисел в двоичной системе счисления, над информацией в виде
целых чисел в двоичной системе счисления, хранимой в запоминающем уст-
ройстве либо взятой с устройств ввода, или впоследствии отправляемой на
устройства вывода.
Современные микропроцессоры – это в основном однокорпусные ма-
логабаритные устройства, выполненные в виде микросхем. Ранее микропро-
цессоры собирались на основе нескольких микросхем, которые назывались
микропроцессорным комплектом.
Запоминающее устройство (ЗУ) – устройство временного или посто-
янного хранения информации, подключающееся непосредственно к систем-
ной магистрали микропроцессорной системы. Для временного хранения ин-
формации используется оперативное запоминающее устройство (ОЗУ), для
постоянного хранения информации используется постоянное запоминающее
устройство (ПЗУ). Память в микропроцессорных системах используется для
хранения программ и данных, представляемых в виде групп двоичных разря-
дов. ЗУ представляет собой множество нумерованных ячеек, в каждой из ко-
торых хранится фиксированное число двоичных разрядов (битов). Номер
каждой ячейки постоянен и называется адресом ячейки. Обращение к ячейке
памяти для чтения или записи данных осуществляется именно по адресу.
Число двоичных разрядов, хранимых в ячейке, обычно кратно 8, чаще всего
это 8 (байт) или 16 (слово). Множество всех адресов ячеек памяти образует
адресное пространство микропроцессорной системы.
15
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16
Устройства ввода-вывода (УВВ) – устройства, подключающиеся не-
посредственно к системной магистрали микропроцессорной системы и пред-
назначенные для связи микропроцессорной системы с внешней средой или
вспомогательными устройствами. Обращение к устройству ввода-вывода
осуществляется также посредством адреса. По определенным адресам адрес-
ного пространства находятся ячейки памяти, связанные с устройствами вво-
да-вывода. Такие ячейки памяти называются регистрами внешних устройств.
Как видно из рис. 15, микропроцессор, запоминающее устройство и
устройства ввода-вывода соединены так называемой системной магистра-
лью (системной шиной). По ней передаются группы двоичных разрядов (би-
тов) данных, также отдельной группой двоичных разрядов передается номер
(адрес) ячейки памяти, к которому относятся передаваемые данные. Для пе-
редачи каждого двоичного разряда группы в системной магистрали выделена
отдельная линия (фактически электрический проводник), количество линий
для передачи данных в системной магистрали может определять разрядность
микропроцессора.
Внутри микропроцессора находятся несколько служебных ячеек памя-
ти, в которых хранятся группы двоичных разрядов, над которыми непосред-
ственно процессор производит заданные операции. Количество разрядов та-
ких ячеек памяти внутри процессора также определяет разрядность микро-
процессора.
В настоящее время широко распространены восьми-, шестнадцати- и
тридцатидвухразрядные микропроцессоры. В последнее время началось про-
изводство 64-разрядных микропроцессоров.
В качестве примеров микропроцессорных систем приведем персо-
нальный компьютер и программируемый логический контроллер, который
является достаточно распространенной основой для построения цифровых
регуляторов. Рассмотрим их устройство с точки зрения структурной схемы
микропроцессорной системы.
1.5. Примеры микропроцессорных систем
1.5.1. Персональный компьютер
В современных компьютерах используются процессоры Pentium-D,
или Celeron, которые выпускает компания Intel, либо Turion, или Sempron
компании AMD. Разрядность этих процессоров (как внутренних регистров,
так и шин данных) составляет 32, в последнее время появились процессоры
Athlon, Turion и Pentium с разрядностью 64. У всех 32-разрядных из вышепе-
речисленных процессоров разрядность шины адреса составляет также 32, в
то же время адресация ячеек памяти у них побайтная. Таким образом, коли-
чество адресуемых с помощью 32-битной адресной шины ячеек ограничено
числом 232
, т. е. объем адресного пространства в байтах будет составлять
232
=4294967296 байт, или 4 Гбайта (гигабайта).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
Запоминающие устройства в персональном компьютере представлены
в виде микросхем памяти, часто располагаемых на отдельных модулях. Под-
робнее см. [1]. Объем памяти в большинстве современных персональных
компьютеров составляет от 128 до 2048 Мбайт. К обычному процессору Ath-
lon или Pentium-IV с разрядностью 32 можно подключить по известным при-
чинам не более 4 Гбайт памяти. В ПЗУ персональных компьютеров хранится
так называемый BIOS (basic input-output system) – базовая система ввода-
вывода, содержащая в себе основные процедуры работы с устройствами вво-
да-вывода, программу старта компьютера, его самотестирования и загрузки
программного обеспечения с накопителей информации.
Устройства ввода-вывода персонального компьютера – это в первую
очередь клавиатура и монитор с формирователем изображения (видеокат-
рой), и то и другое имеет свои адреса в адресном пространстве, а что касаемо
отображения информации, то в адресном пространстве есть массив специ-
альных ячеек памяти – видеопамять, в которой хранится информация, непо-
средственно отображаемая на мониторе. Также к устройствам ввода-вывода
можно отнести дисковые накопители как на гибких, так и на жестких дисках
и CD. Объем жесткого диска никак не отображается на адресное пространст-
во компьютера и поэтому называть жесткий диск “памятью” ошибочно. Об-
ращение к дисковым накопителям осуществляется так же, как ко внешним
устройствам. Также к устройствам ввода-вывода можно отнести принтеры,
сканеры, камеры, модемы и, конечно же, универсальные интерфейсы. Под-
робнее о них можно узнать из курсов информатики и электроавтоматики.
Системная шина представлена в компьютерах в нескольких видах. Для
её организации в современных компьютерах применяется специальная
управляющая микросхема, на которой строится чипсет – современный прото-
тип микропроцессорного комплекта (от англ. сhipset – набор микросхем). Во-
первых, по определению, к системной шине должны подключаться запоми-
нающие устройства, значит, выводы системной шины присутствуют в разъе-
мах для установки модулей памяти. Во-вторых, системная шина существует в
нескольких видах для подключения таких устройств, как память, видеокарты,
модемы, сетевые адаптеры и т. д. Для современных персональных компьюте-
ров характерен стандартный набор устройств ввода-вывода: в него входят
устройства ручного ввода и визуального отображения информации (клавиа-
тура, мышь и монитор), устройства хранения информации (накопители на
гибких и жестких магнитных дисках), устройства связи (модемы, сетевые
адаптеры Ethernet, беспроводная связь), программируемые многофункцио-
нальные интерфейсы.
1.5.2. Программируемый логический контроллер.
В программируемых логических контроллерах используются самые
различные процессоры: от простых восьмиразрядных до мощных 32-
разрядных, поддерживающих многозадачный режим. Для решения производ-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
ственных задач с помощью стандартных средств ПЛК не требуется, чтобы
все ПЛК были совместимы между собой на уровне машинного кода процес-
сора, поэтому нельзя выделить преобладающий тип процессора, который
используется в ПЛК.
Объем ЗУ в ПЛК также варьируется в широких пределах, в зависимо-
сти от его производительности и вида задач, решаемых с его помощью - от
несколько килобайт у маломощных ПЛК до десятков мегабайт у мощных.
Также ПЛК особенны тем, что зачастую объем постоянного запоминающего
устройства (ПЗУ) составляет большую долю общего объема его ЗУ. Это объ-
ясняется высокими требованиями к ограничению габаритов устройства и со-
хранности программного обеспечения, а также низкими требованиями к за-
меняемости программного обеспечения. Не существует единого стандарта на
модули расширения памяти для ПЛК.
Устройства ввода-вывода в ПЛК особенны тем, что они должны слу-
жить сопряжением как между объектом управления и ПЛК, так и между ПЛК
и пользователем (формирователем управляющего воздействия). Фактически
они предназначены в первую очередь для обмена сигналами контроллера с
преобразовательным и исполнительным устройствами объекта управления,
во вторую очередь – для программирования устройства, в третью – для под-
ключения устройства к АСУТП, и только затем для обеспечения человеко-
машинного интерфейса (дисплея, клавиатуры и т. п.). Такая расстановка при-
оритетов обоснована тем, что человеко-машинный интерфейс может быть
подключаемым или вообще отсутствовать, ПЛК может очень сложно пере-
программироваться или работать только самостоятельно без интеграции в
АСУТП, но в любом случае ПЛК должен соединяться с объектом управле-
ния. В ПЛК можно выделить следующие устройства ввода-вывода:
• дискретные и аналоговые входы и выходы для соединения с
преобразовательными и исполнительными устройствами объек-
та управления, специальные устройства для подключения к объ-
екту управления (счетчики, частотомеры, блоки управления
двигателями и т. д.)
• универсальные интерфейсы передачи данных, предназначены
для связи ПЛК с другими вычислительными устройствами
АСУТП, интеллектуальными устройствами ввода-вывода, или
для подключения программаторов ПЛК, или панелей человеко-
машинного интерфейса.
• интерфейсы подключения запоминающих устройств. Применя-
ются в основном на мощных ПЛК для расширения объема памя-
ти и для подключения внешних накопителей данных.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 19
2. Преобразование сигналов
2.1. Необходимость аналого-цифрового
и цифроаналогового преобразования в САУ с ЭВМ
Специалисты по системам управления применяют ЭВМ в двух основ-
ных случаях. В первом случае ЭВМ используется для моделирования и рас-
чета динамики систем. Большинство реальных систем описываются уравне-
ниями высокого порядка и содержат нелинейные элементы, что затрудняет
использование аналитических методов. Поэтому часто инженеры по управ-
лению проводят анализ и синтез сложных систем управления на ЭВМ. К мо-
делированию на ЭВМ обращаются также для проверки результатов, полу-
ченных аналитическими методами.
Во втором случае ЭВМ используются в системах управления в качест-
ве контроллеров или процессоров. Так как управляемые процессы в основ-
ном имеют аналоговый характер, то в большинстве цифровых систем управ-
ления присутствуют как аналоговые, так и цифровые сигналы. Следователь-
но, необходимо такое преобразование сигналов, которое обеспечивало бы
взаимодействие цифровых и аналоговых элементов. Например, выходные
сигналы аналоговых устройств должны быть подвергнуты аналого-
цифровому преобразованию перед дальнейшей их обработкой в цифровом
контроллере. Аналого-цифровое преобразование может быть описано как
операция кодирования. Подобным образом цифровой код контроллера или
ЭВМ может быть послан на аналоговые устройства только после цифроана-
логового преобразования. В гл. 1 было показано, что для операции разделе-
ния времени требуется специальное оборудование: мультиплексор, квантова-
тель, фиксатор и др. Поскольку эти компоненты чрезвычайно важны для об-
работки сигналов, кратко рассмотрим их назначение. Рассмотрение АЦП,
ЦАП, мультиплексоров, квантователей и фиксаторов в пособии определяется
возможностью использования их для обработки сигналов в дискретных и
цифровых системах и ставит целью создание их моделей и математического
описания для анализа и проектирования.
Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) осуществляет операцию
декодирования над цифровыми входными данными. На выходе ЦАП полу-
чают аналоговый сигнал, обычно в виде тока или напряжения. ЦАП необхо-
дим как интерфейсное средство между цифровым каналом или ЭВМ и анало-
говым устройством. ЦАП называют также декодером.
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует аналоговый
сигнал в цифровой код. АЦП является необходимым интерфейсным устрой-
ством аналоговой подсистемы, выходные сигналы которой предполагается
обрабатывать в ЭВМ.
Устройство выборки и хранения (УВХ) широко применяется в дис-
кретных и цифровых системах. Оно осуществляет выборку аналогового сиг-
нала и затем сохраняет его уровень постоянным до следующей выборки. В
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. дальнейшем мы будем рассматривать это устройство как составную часть
АЦП.
Мультиплексор. Когда сигналы от нескольких устройств должны быть
обработаны одним и тем же процессором или информационным каналом, то
для представления этих сигналов в виде некоторой заданной последователь-
ности используется мультиплексор. Эта последовательность сигналов затем
обрабатывается процессором в режиме разделения времени. Например, если
сигналы нескольких цифровых устройств должны быть обработаны цен-
тральным процессором, то эти устройства обычно связываются с процессо-
ром через мультиплексор и общий канал параллельных линий.
2.2. Цифровые сигналы и кодирование
Как указывалось выше, цифровые сигналы в ЭВМ и цифровых систе-
мах управления обычно передаются в виде слов или кодов. В слове информа-
ция обычно представляется в форме дискретных битов (логический импульс
"0" или "1"), образующих последовательный или параллельный код. Числен-
ное значение слова и есть значение переменной, которое это слово представ-
ляет.
Все современные ЭВМ построены на основе двоичной системы счис-
ления. Цифровой сигнал в ЭВМ может быть представлен как последователь-
ность нулей и единиц. Каждый разряд двоичного числа (0 или 1) называется
битом. Бит является носителем небольшого количества информации, поэтому
обычно 8 бит объединяют и называют байтом. Несколько байтов могут быть
объединены в слово. Слова могут быть практически любой длины от 4 до 128
бит и более. Различие между битом и байтом схоже с различием между бук-
вой алфавита и словом. Можно сказать, что буква является наименьшей еди-
ницей информации, но обычно не несет смысла до тех пор, пока не объеди-
няется с другими буквами в форме слова. Рис. 16 иллюстрирует связь между
словом, байтом и битом. В этом случае длина слова равняется 2 байтам или
16 битам.
Рис. 16. Связь между словом, байтом и битом
Точность ЭВМ определяется длиной слов, которые ЭВМ может запо-
минать и с которыми может оперировать. Например, ЭВМ с длиной слова 8
20
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. бит может запоминать числа только с восемью разрядами. Так как регистры и
аккумулятор такой ЭВМ также оперируют с 8-разрядным словом, то увели-
чение точности обработки возможно только при использовании слов двойной
длины и соответствующих алгоритмов обработки.
Цифровые сигналы в ЭВМ могут быть представлены в формах с фик-
сированной точкой1
и с плавающей точкой.
2.2.1. Представление числа в форме с фиксированной точкой.
Если для представления числа мы используем все 16 бит слова, пока-
занного на рис. 17, где каждый бит может принимать значение 0 или 1, то мы
имеем дело с представлением числа в форме с фиксированной точкой. Вооб-
ще говоря, n-разрядное двоичное слово, представляющее целое число N в
форме с фиксированной точкой, может быть записано как
21
0
0
1
1
2
2 222 aa ++
1,1,0,
, (1)
1
1 ...2 aaN n
n ++= −
−
−где коэффициенты = niai K
0
0
1
1
2
2 222 aa ++
0a 1a
2a
равны 0 или 1. Двоичная форма числа
определяется значением коэффициентов соотношения (1) слева направо, со
старшим битом (СБ) слева и младшим битом (МБ) справа.
В качестве простого примера рассмотрим трехразрядное двоичное
слово
. (2)aN =
Присваивая различные комбинации 0 и 1 коэффициентам , и
, можно получить восемь различных значений слова N или восемь чисел.
Соотношение между двоичной и десятичной формами представления целых
чисел для слова длиной 3 бита показано в таблице 1.
2.2.2. Представление чисел с фиксированной точкой,
представление чисел со знаком.
Для представления дробных чисел можно также использовать форму с
фиксированной точкой. Используя фиктивную “двоичную точку” в слове,
можно часть слова отвести для представления целой части числа, а другую
часть – для дробной части числа. Напримep, в 8-разрядном слове на рис. 17
1
В разных стандартах записи десятичных дробей отделение целой части числа от дроб-
ной обозначается либо точкой, либо запятой. В России стандартным разделителем является запя-
тая. Вычислительная техника, преимущественно западного образца, использует в качестве раз-
делителя точку, что также допускается. Термины “числа с плавающей (или фиксированной)
запятой” и “числа с плавающей (или фиксированной) точкой” эквивалентны.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. первые пять разрядов представляют целую часть числа, а последние три –
дробную. Заметим, что “двоичная точка” не требует для представления от-
дельного разряда и является фиктивной.
Таблица 1
Двоичный код целого числаДесятичное Двоичное
число Число
22
СБ(“четве-
ки”)
“двойки”
МБ
(“единицы”)
0 000 0 0 0
1 001 0 0 1
2 010 0 1 0
3 011 0 1 1
4 100 1 0 0
5 101 1 0 1
6 110 1 1 0
7 111 1 1 1
Рис. 17. Представление 8-разрядного дробного числа в форме с фиксиро-
ванной точкой
В соответствии с рисунком число N может быть записано как
(3)
22
22
1
1
0
0
3
4
4
−
−++
+=
aa
aaN
.22
22
3
3
2
2
1
1
2
2
3
−
−
−
− ++
+++
aa
aa
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 2
Следовательно, двоичное число 01011.101(2) эквивалентно десятичному
23
.625
2021 2101234
+×+× −−
n
na −
−
−
++ 2...2 2
2
ni
.11
8
1
2
1
12821
2121202120
3
=++++=×+
+×++×+×+×+×=
−
N
(4)
Вообще, n-разрядная дробь может быть представлена как
, (5)aaN −
−
− += 2 1
1
ai − − −гдe коэффициенты = K,2,1,
1−a na−
принимают значение 0 или 1. Пер-
вый коэффициент представляет собой старший бит в коде числа, –
младший.
Простая иллюстрация такoгo представления показана в таблице 2.
Если первый бит 3-разрядного слова используется как бит знака, то
наибольшее целое число, которое может быть представлено этим словом,
eсть 22
−1=3, а наименьшее есть −(22
−1)=−3. Любое n-разрядное слово с битом
знака может представлять любое число в интервале между 2n−1
−1 и
−(2n−1
−1), включая нуль. Числа, которые можно представить 3-разрядным
словом с битом знака, приведены в таблице 3. Заметим, что в этом случае
нуль представляется дважды: +0 и −0. Однако трехразрядное слово определя-
ет восемь различных состояний, как и в случае, показанном в
таблице 1.
Таблица 2
Двоичный код дробиПравильная Двоичная
дробь Дробь СБ (“поло-
вины”)
“четверти” МБ (“вось-
мые”)
0 0,000 0 0 0
1/8 0,001 0 0 1
1/4 0,010 0 1 0
3/8 0,011 0 1 1
1/2 0,100 1 0 0
5/8 0,101 1 0 1
3/4 0,110 1 1 0
7/8 0,111 1 1 1
2
Индекс в скобках справа от числа обозначает модуль системы счисления: для десятич-
ной – 10, для двоичной – 2, для шестнадцатеричной – 16.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Таблица 3
24
Двоичный код целого числаДесятичное Двоичное
целое число Число Бит знака СБ (“двой-
ки”)
МБ (“еди-
ницы”)
−3 111 1 1 1
−2 110 1 1 0
−1 101 1 0 1
−0 100 1 0 0
+0 000 0 0 0
+1 001 0 0 1
+2 010 0 1 0
+3 011 0 1 1
Подобным образом бит знака может быть использован для представ-
ления дробного числа или дроби. Числа, которые могут быть представлены n-
разрядным словом с битом знака и m разрядами для дробной части (m бит
после “двоичной точки”), лежат в интервале между (2n−1
−1)2−m
и −(2n−1
−1)2−m
.
Представление чисел в форме с фиксированной точкой имеет серьез-
ные недостатки, вызванные ограниченным диапазоном представляемых чи-
сел и жестким расположением “двоичной точки”. Обычно, когда перемно-
жаются два больших числа, результат не укладывается в длину слова; в этом
случае происходит переполнение, вызывающее потерю точности вычисле-
ний.
2.2.3. Представление числа в форме с плавающей точкой
Более удобным в практическом применении, охватывающим к тому же
больший диапазон чисел, является представление чисел в форме с плаваю-
щей точкой. Этот метод известен также как правило, согласно которому пер-
вая часть слова используется для записи числа, называемого мантиссой, а
вторая для записи порядка. Например, в десятичной системе число 5 может
быть записано как , , и т.д. В ЭВМ двоичное пред-
ставление чисел в форме с плавающей точкой обычно определяется как
1
1050 −
⋅
2
1005.0 ⋅
E
MN 2⋅=
1
105.0 ⋅
, (6)
где M – мантисса, E – порядок числа N. Кроме того, обычно М мас-
штабируется таким образом, чтобы соответствующее десятичное значение
лежало в пределах 0.5 < М < 1.
На рис. 18 показано представление 8-разрядного числа в форме с пла-
вающей точкой: пять разрядов отведено под мантиссу и три под порядок. Так
как и мантисса, и порядок могут быть положительными и отрицательными,
первые разряды мантиссы и порядка отведены под биты знака. (Можно ис-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. пользовать первые два разряда целого слова для битов знака мантиссы и по-
рядка соответственно). В микропроцессорах, рассчитанных на малую длину
слова, для представления числа в форме с плавающей точкой могут исполь-
зоваться два последовательных слова (рис. 19).
Рис. 18. Пример представления 8 - разрядного числа в форме с плавающей
точкой
Рис. 19. Представление числа в форме с плавающей точкой двумя машин-
ными словами
Так как мантисса нормализуется и является дробью между 1/2 и 1,
первый разряд после бита знака всегда должен содержать 1, а “двоичная точ-
ка” вceгдa должна следовать за битом знака.
Порядок Е указывает, на сколько разрядов “двоичная точка” должна
быть смещена вправо (для Е>0) или влево (для Е<0). В качестве примера на
рис. 20 показано представление десятичного числа 6.5 в форме с плавающей
точкой. В этом случае мантисса содержит четыре разряда для дроби 0.1101, а
порядок записывается в двух разрядах целым числом 11, которое соответст-
вует десятичному числу 3. Таким образом, число представляется как
25
2
1
21101.0
11
)2(
)2(
⎢
⎣
⎡
=⋅=N 5.62
16
1
4
1 3
=⎥
⎦
⎤
++ .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. Если передвинуть “двоичную точку” вправо на три разряда, где 3 - де-
сятичный порядок, то получим двоичное число 110.1(2) в форме с фиксиро-
ванной точкой, которое соответствует десятичному числу 6.5.
Для n-разрядного слова, содержащего m разрядов для мантиссы, l раз-
рядов для порядка и два разряда для знака, наибольшее представляемое чис-
ло Nmax показано на рис. 21а. В этом случае все незнаковые разряды заполне-
ны единицами и Nmax выражается как
26
)12(1 1
2)21( −+− −
−
l
m
. (7)max =N
Рис. 20. Представление десятичного числа 6.5 восьмиразрядным словом
Рис. 21. Представление максимального и минимального чисел в форме с пла-
вающей точкой
Для 8-разрядного слова, показанного на рис. 20, с m = 5 и l = 3 наи-
большее представляемое число
. (8)2)21( )12(4
max
2
=− −−
N 5.72)16/11( 3
=−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. Для того же 8-разрядного слова с четырьмя битами, отведенными под
мантиссу и столькими же для порядка, получим
27
1122)8/11( 7
=−
)12(
min
1
25.0 −− −
⋅=
l
. (9)2)21( )12(3
max
3
=− −−
N
На рис. 21б показан состав наименьшего положительного числа Nmin,
которое может быть представлено n-разрядным словом с m разрядами для
мантиссы и l для порядка. В этом случае первый разряд после бита знака
мантиссы содержит единицу, а все остальные биты мантиссы равны нулю.
Разряды порядка заполнены единицами. Следовательно, Nmin запишем как
. (10)N
2.3. Преобразование данных и квантование
Обычно цифровые системы управления содержат как аналоговые, так
и цифровые элементы, поэтому необходимо преобразовывать аналоговые
сигналы в цифровые (АЦП) и цифровые в аналоговые (ЦАП).
При изучении аналого-цифрового и цифроаналогового преобразований
(АЦПе и ЦАПе) важно правильно понимать вес каждого разряда машинного
слова. На практике схемы AЦП и ЦAП базируются на двоичном представле-
нии чисел с использованием двоичного кода дробного числа. Как показано в
таблице 2, старший бит 3-разрядного двоичного слова имеет вес 1/2 от мак-
симального значения числа (МЗЧ), второй бит имеет вес 1/4 МЗЧ и младший
бит 1/8 МЗЧ. Для n-разрядного двоичного кода дробного числа старший бит
имеет вес 1/2 МЗЧ, а младший 2−n
МЗЧ.
Независимо от того, используется ли код целого числа или дробного,
n-разрядное слово определяет 2−n
различных состояний, с разрешением 1/2−n
.
Например, на рис. 22 разрешение 3-разрядного двоичного кода дробного
числа есть 2−3
= 1/8. Вес младшего бита в этом случае 1/8, а максимальное
значение числа равно 1. Разрешение может быть улучшено при увеличении
разрядности слова. Например, 4-разрядное двоичное машинное слово при
МЗЧ = 1 имеет вес младшего бита 2-4
, или 1/16, разрешение, соответственно,
увеличивается до 1/16. В этом случае график, показанный на рис. 22, будет
иметь 16 уровней. Заметим, что цифровой код не соответствует своему ана-
логовому сигналу, и наоборот. Это же правило справедливо при представле-
нии целых чисел. Необходимо помнить, что при увеличении разрядов в ма-
шинном слове с целью увеличения разрешения максимальное значение ана-
логового или цифрового сигнала должно быть сохранено тем же.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. Рис. 22. Представление дробного десятичного числа двоичным кодом
Если количество разрядов в машинном слове конечное, что имеет ме-
сто на практике, то АЦПе может обеспечить только конечное разрешение.
Одной из главных операций при аналого-цифровом преобразовании является
процедура квантования. Так как цифровой выход может иметь конечное чис-
ло состояний, то аналоговое число должно быть квантовано (округлено) до
ближайшего возможного значения. На рис. 22 показано соотношение между
аналоговым входным сигналом и двоичным кодом целого числа (3-разрядное
слово для положительных и отрицательных чисел)
Как следует из рис. 22, точное преобразование аналогового сигнала
имеет место только при его значениях 0.5q, 1.5q, 2.5q, ..., 6.5q. Соотношение
между аналоговым сигналом и цифровым кодом D пpи трехразрядном анало-
го-цифровом преобразовании показано в таблице 4.
Следует отметить, что аналого-цифровое преобразование, показанное
на рис. 22, не обеспечивает взаимно однозначного соответствия. Параметр q,
значение которого равно младшему биту (МБ) слова, называется шагом кван-
тования.
Как показано в таблице 4, для трехразрядного слова МБ равен
МЗЧ
8
1
. Разница между аналоговым сигналом и цифровым выходом преоб-
разователя называется ошибкой квантования. Ошибка квантования зависит
от числа уровней квантования или разрешения квантователя. На рис. 22 вид-
но, что в рабочем диапазоне ошибка квантования равна нулю, когда величина
28
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. аналогового сигнала кратна q. До достижения насыщения максимальная
ошибка квантования составляет q/2.
Важно, что рабочий диапазон квантователя (см. рис. 23) соответствует
двоичному числу 111(2), или МЗЧ
8
7
⋅ , а не МЗЧ. Это обстоятельство не будет
сказываться на точности преобразования, пока аналоговый сигнал не превы-
сит
2
МЗЧ
q
+
8
7
⋅ ; при этом условии максимальная ошибка квантования равна
−q/2. Например, если максимальное напряжение входного аналогового сиг-
нала 10 В, то МЗЧ = 10 В, а q = 1/8 МЗЧ = 1.25 В.
Следовательно, максимальное значение аналогового сигнала, которое
может быть преобразовано с ошибкой, не превышающей −0,625 В, равно
29
375.9
2
МЗЧ
8
7
=+⋅
q
В.
Таблица 4
Двоичный цифровой сигнал D
Двоичное числоАналоговый
сигнал А Значение числаСБ(“чет-
верки”)
МБ (“еди-
ницы”)
“двойки”
qA 5.0< 0 0 0 0
qAq 5.15.0 <≤ qМЗЧ =0 0 1 8/1 ⋅
qAq 5.25.1 <≤ qМЗЧ 24/1 =⋅0 1 0
qAq 5.35.2 <≤ qМЗЧ 38/3 =⋅0 1 1
qAq 5.45.3 <≤ qМЗЧ 42/1 =⋅1 0 0
qAq 5.55.4 <≤ qМЗЧ 58/5 =1 0 1 ⋅
qAq 5.65.5 <≤ qМЗЧ 64/3 =⋅1 1 0
+∞<≤ Aq5.6 qМЗЧ 78/7 =⋅1 1 1
Хотя натуральный двоичный код наиболее широко применяется на
практике, что определяется его простотой и легкостью реализации в цифро-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. Рис. 23. Характеристика “вход-выход” трехразрядного
аналого-цифрового квантователя
вых устройствах, разработан и применяется ряд других кодов. Это двоично-
десятичный код, код Грея, код с избытком 3, код "один из десяти" и прочие.
30
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 3. Разностные уравнения
3.1. Понятие разностного уравнения, конечная разность
Основным инструментом для математического описания непрерывных
процессов во всевозможных физических, технических, экономических,
управляющих и т. д. системах является аппарат дифференциальных уравне-
ний (ДУ), в частности широко применяются линейные однородные и линейные
неоднородные уравнения (ЛОДУ и ЛНДУ). Если с помощью дифференциаль-
ных уравнений описывать процессы в дискретных системах, то получатся
большие и сложно разрешимые нелинейные ДУ, практическая ценность кото-
рых была бы минимальной, и информация, заключенная в них, была бы в
значительной степени избыточной.
Для описания дискретных систем создан аппарат разностных уравне-
ний (РУ). Разностные уравнения описывают динамику процессов в дискрет-
ных системах точно так же, как дифференциальные уравнения описывают
динамику процессов в непрерывных системах. Если основой дифференци-
альных уравнений является производная функции, взятая для бесконечно
малого участка, то основой разностного уравнения является конечная раз-
ность – разность значений между соседними отсчетами функции, опреде-
ленной на множестве целых чисел (так называемая решетчатая функция).
Конечная разность, так же как и производная, может быть разного порядка.
Конечная разность первого порядка вычисляется следующим образом:
( ) ( ) ( )1−Δ kf kfkf= − .
( ) ( )kf=kg ΔЕсли обозначить , то конечная разность этой функции
будет иметь вид
31
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 −− kf+k212
−−Δ−ΔΔΔ fkf=kfkf=kf=kg ,
что будет представлять собой конечную разность второго порядка. Для ко-
нечных разностей третьего и четверного порядка можно, пользуясь анало-
гичным принципом, написать следующие выражения:
( ) ( ) ( )
( ) );3(2
12
−−−
−Δ
kfk
=kf
( ) ( ) 313
23
−−=
−ΔΔ
f+kfkf
kf=kf
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. ( ) ( ) ( )
).4()3
1334
−+−
−
kfk
=k
νν
ν−+k kifC )()1
порядокй-0
порядокй-1
порядокй-2
порядокй-3
порядокй-4
порядокй-51
( ) ( ) ( ) (42614 −−−−
Δ−ΔΔ
fkf+kfkf
fkf=kf
Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка вы-
глядит так:
∑=ν
−=Δ
k
if
0
2
()(
Коэффициенты, стоящие перед значениями отсчетов функции для ка-
ждого порядка вычисляются согласно так называемого треугольника Паска-
ля:
1
11
121
1331
14641
5101051
Принцип формирования треугольника прост: в каждой строке каждая цифра
складывается из двух других, стоящих левее и правее строкой ниже: если
одной из цифр нет, то вместо нее подставляется ноль. Далее, в выражении
перед каждой цифрой, стоящей у отсчета с четным смещением относительно
k, ставится знак “+”, перед каждой цифрой, стоящей у отсчета с нечетным
смещением относительно k ставится знак “−”. Таким образом, можно распи-
сать коэффициенты для всех составляющих конечной разности любого по-
рядка.
3.2. Решение линейных разностных уравнений
Метод решения линейных однородных и линейных неоднородных
разностных уравнений во многом напоминает метод решения ЛОДУ и
ЛНДУ. Результатом решения разностных уравнений является так называемая
решетчатая функция – функция с целочисленным аргументом и с вещест-
венным значением. Она описывает процесс, протекающий в системе в дис-
кретном времени, т. е. на множестве отсчетов. Так же, как и в дифференци-
альных уравнениях, в разностных уравнениях существует общее и частное
32
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
решения. Общим решением называется выражение для вычисления отсчетов
решетчатой функции, в котором не заданы коэффициенты, зависящие от на-
чальных условий. Частным решением называется выражение для вычисления
отсчетов решетчатой функции, в котором учтены конкретные начальные ус-
ловия – подставлены коэффициенты.
Начальные условия в разностных уравнениях используются несколько
иначе, чем в ДУ. Решетчатая функция, являющаяся решением разностного
уравнения, обычно определена на множестве отсчетов, начинающемся с ну-
левого отсчета, то есть только для неотрицательного аргумента. Разность
первого порядка в нулевой точке захватывает также аргумент со значением,
равным −1, а для численного решения разностных уравнений посредством
рекуррентных вычислений (будет описано ниже) обычно задаются значения
для точек с аргументами −1, −2… −n. Такие начальные условия необходимы
для рекуррентного расчета значений частного решения разностного уравне-
ния в точках с k=1…n. Эти точки в общем случае и следует использовать как
начальные условия для нахождения частного решения.
3.2.1. Метод рекуррентных вычислений
С помощью этого метода можно просто получить численное решение
разностного уравнения в виде множества значений решетчатой функции,
фактически являющейся его решением. Метод реализуется приведенными
ниже двумя действиями.
Во-первых, разностное уравнение переписывается так, что в левой
части оказывается искомая функция, взятая от текущего значения аргумента.
В правой – всё остальное: предыдущие отсчеты функции, части функции,
зависящие от начальных условий, и т. д., но не искомая функция, взятая от
текущего значения аргумента
Во-вторых, описанная уравнением решетчатая функция табулируется,
при этом должны соблюдаться следующие правила: табулирование делается
с шагом 1, последовательно в порядке возрастания аргумента и для значений
аргумента, начинающихся с заданных в начальных условиях.
Преимуществами данного метода являются его простота, краткость и
быстрота реализации с помощью вычислительных устройств. К недостаткам
можно отнести неизвестность в результате такого решения аналитического
выражения решетчатой функции и, как следствие этого, невозможность най-
ти значение функции для любого значения целочисленного аргумента без
вычисления всех отсчетов с меньшим аргументом.
Данный метод решения разностных уравнений широко применяется
при численных расчетах и в устройствах обработки сигналов. Более того,
синтез цифровых фильтров по заданным частотным характеристикам осно-
ван на получении аналогичных выражений для вычисления отсчетов искомо-
го в реальном времени. В данном пособии метод рекуррентных вычислений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. мы будем применять для решения задач с разностными уравнениями для
проверки правильности полученного аналитически частного решения.
Приведем пример использования метода рекуррентных вычислений.
Пример 3.1. Решить методом рекуррентных вычислений разностное
уравнение
34
)1()(9.0)( += −kyky
)(ky )(kx
;0)1(;1)0( =
kx ,
при этом – искомая функция, а – функция Хевисайда (единичная
ступень, см. рис. 24) в дискретном её представлении, заданная в виде входно-
го воздействия на систему, описанную приведенным разностным уравнени-
ем, и обозначенная также начальными условиями: x x= − да-
лее )( 0 =>∀kkx 1.
Рис. 24. Дискретная функция Хевисайда
Вынесем искомую функцию в левую часть разностного уравнения, по-
лучаем
9.0
)1()( − −
)( =
kykx
)(ky
ky . (11)
Теперь можно, последовательно подставляя k=0, 1, 2, … и т. д., полу-
чить таблицу значений решетчатой функции (табл. 5), являющейся
частным решением данного уравнения (рис. 25)
Таблица 5
k x(k) y(k)
−1 0 0
0 1 1.11
1 1 −0.12
2 1 1.25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 3 1 −0.28
4 1 1.42
5 1 −0.46
6 1 1.63
7 1 −0.7
8 1 1.88
9 1 −0.98
10 1 2.2
11 1 −1.34
Рис. 25. Графическое представление частного решения
разностного уравнения (26).
3.2.2. Классический метод решения разностных уравнений
Решение линейных РУ классическим методом во многом напоминает
решение линейных дифференциальных уравнений. В данном случае можно
получить как частное, так и общее решение разностного уравнения, которое
можно записать в аналитическом виде и использовать для вычисления отсче-
тов решетчатой функции.
Линейное разностное уравнение можно представить в общем виде сле-
дующим образом:
35
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
