שאלון 804 הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

1
‫ההסתברות‬ ‫נושא‬ ‫סיכום‬ ‫מצגת‬
©‫כל‬ ‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
- '‫ב‬ ‫מועד‬ ‫לקראת‬11.7.13
‫שאלון‬
804

‫בהסתברות‬ ‫הלימודים‬ ‫תוכנית‬
– ''‫לשאלונים‬ ‫א‬ ‫י‬ ‫כתה‬ ‫של‬ ‫הלימודים‬ ‫בתוכנית‬ ‫נמצא‬ ‫הנושא‬804
-‫ו‬806
:‫קלאסית‬ ‫הסתברות‬
‫,אקראיות‬
‫סופי‬ ‫הסתברות‬ ‫,מרחב‬
‫ההסתברות‬ ‫,חוקי‬
‫תלויים‬ ‫,מאורעות‬
‫מותנית‬ ‫,הסתברות‬
‫בייס‬ ‫,נוסחת‬
‫ועצים‬ ‫)טבלאות‬ ‫שלבי‬ ‫ותלת‬ ‫דו-שלבי‬ ‫.)מרחב‬
‫ברנולי‬ ‫)נוסחת‬ ‫בינומית‬ ‫.)התפלגות‬
‫הבינומית‬ ‫ההתפלגות‬ ‫לצורכי‬ ‫רק‬ ‫קומבינטוריקה‬ ‫ללמד‬ ‫יש‬ :‫.הערה‬

3
‫כדי להבהיר את המושגים נשלב בהם דוגמא‬
‫דוגמה‬‫: מטילים קובית משחק סימטרית  פעם אחת‬
‫מאורע פשוט  ) יסודי ( – תוצאה אפשרית של ניסוי בודד‬
A-‫  התקבלה הספרה‬2:     }2 {= A    , B-‫  התקבלה הספרה‬5:     }5 {= B
A ‫ -ו‬B ‫.מאורעות פשוטים‬
   ‫מרחב מדגם – אוסף כל התוצאות של ניסוי בודד  , יסומן בדרך כלל  באות‬U
:‫בדוגמה‬      }6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=
‫ מאורע  - אוסף מאורעות פשוטים‬
D    - ‫            התקבלה ספרה זוגית‬ 6 , 4 , 2 { = D
E    - -‫התקבלה ספרה המתחלקת ב‬3           } 6 , 3 { = E
-‫ מאורע וודאי – מאורע המכיל את את כל איברי מרחב המדגם ) לקבל ספרה קטנה מ‬8(
‫מאורע בלתי אפשרי- מאורע ריק – מאורע שאין בו אף איבר ממרחב המדגם‬
-‫ ) לקבל ספרה גדולה מ‬10 -‫ ( יסומן ב‬Ф
u
‫כדי להבהיר את המושגים נשלב בהם דוגמא‬
( ‫מאורע פשוט  ) יסודי‬‫ – תוצאה אפשרית של ניסוי בודד‬
A ‫ -ו‬B ‫.מאורעות פשוטים‬
‫מרחב מדגם‬   ‫ – אוסף כל התוצאות של ניסוי בודד  , יסומן בדרך כלל  באות‬U
:‫בדוגמה‬      }6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=
‫ מאורע‬‫  - אוסף מאורעות פשוטים‬
‫מאורע וודאי‬-‫ – מאורע המכיל את את כל איברי מרחב המדגם ) לקבל ספרה קטנה מ‬8(
-‫מאורע בלתי אפשרי‬‫ מאורע ריק – מאורע שאין בו אף איבר ממרחב המדגם‬
-‫ ) לקבל ספרה גדולה מ‬10 -‫ ( יסומן ב‬Ф   ©‫כל‬ ‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

4
:‫מרחב מדגם‬      }6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=
‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫מאורע‬A-‫ו‬B :‫  - מסומן:                 )יקרא‬A  ‫ חיתוך‬B (
-‫הוא המאורע הכולל את האיברים הנמצאים גם ב‬A-‫ וגם ב‬B
   :‫בדוגמה שלנו‬}6 {  =
‫זרים‬ ‫מאורעות‬  ‫ : מאורעות‬A-‫ ו‬B :‫ שאין להם אף איבר משותף – כלומר מתקיים‬Ф  =
:‫בדוגמה שלנו‬Ф=
u
⊃
B     A
⊃
E     D
⊃
B     A
⊃
E     A
63 2
4
E
D
‫מטח‬

5
:‫מרחב מדגם‬      }6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=
‫של‬ ‫האיחוד‬ ‫מאורע‬A-‫ו‬B :‫  -             )יקרא‬A ‫ איחוד‬B  (
-‫הוא המאורע הכולל את האיברים הנמצאים ב‬A-‫ א ו ב‬B

                    :‫בדוגמה‬} 4,6 , 3, 2 {=
)6-‫ נמצא גם ב‬D -‫ וגם  ב‬E (‫ – אך נרשם רק פעם אחת‬
u
⊃
E     D
⊃
B     A
63 2
4
E
D
‫מטח‬

6
‫דוגמה‬‫ : מטילים קובית משחק סימטרית  פעם אחת‬
:‫מרחב מדגם‬      }6, 5 , 4 , 3 , 2 , 1 {=
A  -‫  התקבלה הספרה‬2:     }2 {= A    , B-‫  התקבלה הספרה‬5:     }5 {= B
- ‫משלים‬ ‫מאורע‬ – ‫      - המאורע המכיל את כל איברי מרחב המדגם אך אינם שייכים ל‬A
       :‫: בדוגמא שלנו‬}6, 5 , 4 , 3, 1 { ‫=                       ) ללא‬2 (
    :                                    }5 , 3 , 1 {=                  (‫) בעצם האי-זוגיים‬
u
A
D
A
‫לכל מאורע‬A :‫ מתקיים‬
⊃
AA = u
⊃
A Ф=A
‫מטח‬

7
  ‫הסתברות של מאורע‬A ) ‫  מסומנת ע''י‬A ) P
‫ משמעותה: הסכוי לכך שמאורע‬A‫ יתרחש‬
‫אם הסיכוי לכל מאורע פשוט ממרחב המדגם‬‫שווה‬ ‫ אז מרחב המדגם יקרא‬
‫אחיד‬ ‫מרחב‬
(‫                  )אם לכל התוצאות האפשריות בניסוי בודד סיכוי שווה‬
  ‫יהיה‬N       -‫ – מספר האברים ב‬  : ‫ אז ההסתברות של תוצאת ניסוי בודד תהיה‬

uN
1
‫במרחב אחיד‬
‫מטח‬

8
   ‫ בכד‬5‫   :  כדורים בצבעים שונים‬}‫א‬,‫כ‬‫צ‬ ,,‫ס‬‫ש‬ , =
      5-‫ תוצאות אפשריות ,לכל צבע  סיכוי השווה ל‬
   ‫ בכד‬10, ‫  כדורים‬3-‫  לבנים ו‬7‫:  שחורים‬
(‫    מוציאים כדור –מה ההסתברות שהוא לבן?                     = )לבן‬P
: ‫   )לכל כדור  סיכוי  זהה‬10/ 1 ‫ , יש‬3(.. ‫ כדורים  לבנים‬
u
5
1
10
3
   ‫ קובייה סימטרית- לכל פאה אותו סיכוי‬
    6 -‫  תוצאות אפשריות ,לכל ספרה סיכוי השווה ל‬
      } 2 {= A  ,   }5 {= B ⇐        =  ( B ) P = ( A ) P
   ‫   סביבון לכל פאה אותו סיכוי‬‫ נ , ג , ה , פ‬=
    4 -‫  תוצאות אפשריות ,לכל אות  סיכוי השווה ל‬
6
1
6
1
u
4
1
:‫דוגמאות‬
‫מטח‬

9
  ‫ הסתברות המאורע הוודאי  היא‬1
  -   (‫  הסתברות המאורע הבלתי אפשרי   ) מאורע ריק‬0
D   - ‫            התקבלה ספרה זוגית‬ 6 , 4 , 2 { = D  ⇐          ½ = ( D ) P
E    - -‫התקבלה ספרה המתחלקת ב‬3     } 6 , 3 { = E   ⇐       ⅓ = ( E ) P
}  6 , 4 ,3 ,  2 { = E U D          ⇐                              =  (E U D ) P  -‫חישוב ישיר‬
}    6 { = E ∩ D         ⇐                                    = (E ∩ D ) P
:‫ ואכן מתקיים‬
                                           (E ∩ D )P P( E )- P( D )+   = (E U D )  P

3
2
6
4
=
6
1
-2
1
3
1
3
2
+=
6
1
‫מאורעות‬ ‫איחוד‬ ‫של‬ ‫הסתברות‬
  : ‫הכלל‬)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
‫מטח‬

10
         ‫אם המאורעות זרים  כלומר‬Ф =  B ∩ A‫   - אין להם איברים משותפים‬
   : ‫אז מתקיים‬
P( B )                                     P( A )+   = (B U A) P
E    - -‫התקבלה ספרה המתחלקת ב‬3     } 6 , 3 { = E   ⇐       ⅓ =  ( E ) P
    }2 {= A                              ⇐                                        =  ( A ) P
}  6 ,3 ,  2 { = E U A     ⇐             ½               =  (E U A ) P  -‫חישוב ישיר‬
      : ‫ומתקיים הכלל‬A -‫ ו‬E‫  זרים‬
P( E ) =                                                                 P( A )+   = (E U A )  P
6
1
6
1
+ 2
1
3
1
=
‫מטח‬

11
‫המשלים‬ ‫המאורע‬ ‫הסתברות‬
⊃AA = u
⊃
A Ф=A
A A  ‫ו-         משלימים אם מתקיים‬
⊃
AAP( ) = P(     ) + P(A)=1     ⇒     P(     )=1-P(A)        A A
A- ‫  : לקלוע לסל   :  נתון‬⅓ = ( A ) P ⇐      - ‫  לפספס‬  ⅔ P(     )=A A
A- : ‫  להצליח במבחן באנגלית   :  נתון‬0.8 = ( A ) P ⇐      - ‫  להכשל‬ 0.2 P(     )=A A
   ‫בכד‬8,  ‫ כדורים‬2-‫ לבנים ו‬6 : ‫ שחורים . מוציאים כדור אחד‬
A- ‫  :   להוציא לבן‬⇐:  ¼ = ( A ) P ⇐      - ‫   להוציא שחור‬ ¾ P(     )=A A
‫מטח‬

12
‫ממדי‬ ‫דו‬ – ‫אחיד‬ ‫מרחב‬

13
‫היותר‬ ‫לכל‬ , ‫לפחות‬ : ‫מושגים‬
      :‫למשל‬X‫  – מספר מוצרים פגומים‬
‫לפחות‬n     ‫  מוצרים פגומים‬  n   ‫   מוצרים פגומים או יותר‬     n ≥  X
‫לכל היותר‬n    ‫  מוצרים פגמים‬  n   ‫   מוצרים פגומים או פחות‬     n ≤  X
‫לפחות‬         ‫– אותו מספר או יותר‬‫היותר‬ ‫לכל‬‫  - אותו מספר או פחות‬
  ‫למשל:  זורקים קובייה‬3  ‫ פעמים‬
  ‫א. מה ההסתברות  שהספרה‬6‫ תתקבל לפחות פעמיים‬
   ‫ לקבל אותה פעמיים או יותר‬
‫במקרה שלנו‬  ‫ : לקבל אותה בדיוק‬2  ‫ או בדיוק‬3 ‫ ) כי זרקנו רק‬3(‫ פעמים את הקובייה‬
‫ב. מה ההסתברות לקבל את את הספרה‬6 ‫ לכל היותר פעם אחת‬
 ‫ לקבל אותה פעם אחת או פחות‬
‫במקרה שלנו‬ ‫ : לקבל ספרה‬6 ‫ בדיוק פעם אחת ובדיוק‬0( ‫ פעמים ) אף פעם‬

14
    : ‫זורקים קוביה שעל פיאותיה רשומים המספרים‬1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
: ‫ומסובבים סביבון שעל ארבע   פאותיו רשומים המספרים‬1 , 2 , 3 , 4.
      :‫חשב‬‫  א. תארו את מרחב המדגם‬
.‫                 ב. מה ההסתברות שהקוביה והסביבון יראו אותו מספר‬
? ‫                 ג. מה ההסתברות שהסביבון יראה מספר גדול יותר מהמספר שתראה הקוביה‬
‫שאלה‬1
   '‫רמזים ל-א‬⇐   ©‫כל‬ ‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

15
6)6,1()6,2()6,3()6,4(
5)5,1()5,2()5,3()5,4(
4)4,1()4,2()4,3()4,4(
3)3,1()3,2()3,3()3,4(
2)2,1()2,2()2,3()2,4(
1)1,1()1,2()1,3()1,4(
1234 ‫סביבון‬
‫קוביה‬
‫האפשריות‬ ‫התוצאות‬
  ‫ב.  מה ההסתברות שהקוביה והסביבון‬
.‫     יראו אותו מספר‬
‫ג.   מה ההסתברות שהסביבון יראה‬
‫     מספר גדול יותר מהמספר שתראה‬
? ‫     הקוביה‬

‫שאלה‬1‫דיון‬ ‫והמשך‬ ‫רמזים‬ –
‫תשובות‬   ©‫כל‬ ‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

16
‫על הקוביה‬6‫ ספרות- הקוביה סימטרית לכן לכל ספרה סיכוי שווה‬
‫על הסביבון‬4‫ ספרות – הסביבון סימטרי לכן לכל ספרה סיכוי שווה‬
  ‫לכן בזריקת הקוביה וסיבוב הסביבון מתקבלים‬24 ‫ זוגות של מספרים כאשר‬
  - ‫לכל זוג סיכוי שווה , השווה ל‬24 / 1
6)6,1()6,2()6,3()6,4(
5)5,1()5,2()5,3()5,4(
4)4,1()4,2()4,3()4,4(
3)3,1()3,2()3,3()3,4(
2)2,1()2,2()2,3()2,4(
1)1,1()1,2()1,3()1,4(
1234 ‫סביבון‬
‫קוביה‬
  ‫א.  מה ההסתברות שהקוביה והסביבון‬
.‫     יראו אותו מספר‬
‫ב.   מה ההסתברות שהסביבון יראה‬
‫     מספר גדול יותר מהמספר שתראה‬
? ‫     הקוביה‬

‫תשובה‬.‫א‬ :1/6.‫ב‬1/4
6
1
24
4
=
)1,2()1,3()1,4(
)2,3()2,4(
)3,4(
6 ‫ זוגות המקיימים‬
‫את התכונה‬
4
1
24
6
=
‫שאלה‬1‫רמזים‬ –
‫מטח‬

17
‫מטח‬ ‫גורן‬ ‫בני‬05‫עמ‬ –472‫תר‬ -3
:‫זורקים קובייה פעמיים .  חשב את ההסתברויות הבאות‬
‫א. שסכום התוצאות יהיה‬9 ‫                                   ב. שסכום התוצאות יהיה לפחות‬9
‫ג. שסכום התוצאות יהיה לכל היותר‬8 ‫                    ד. שסכום התוצאות יהיה‬4
‫ה. שסכום התוצאות יהיה לכל היותר‬4 ‫                    ו. שתוצאת הזריקה השנייה תהיה‬5
  ‫דיון – טבלת האפשרויות‬

18
‫תרגיל‬2‫רמזים‬ -
: ‫תשובה‬36 / 5
‫מזריקת‬2  ‫ קוביות מתקבלים ס''ה‬36   :‫ זוגות – שלכל אחד מהם הסתברות זהה‬36 /1
‫שסכומם‬ ‫הזוגות‬ .‫א‬9 )  : 6 , 3 ) , (  3 , 6 ) ,  (  4 , 5 ) , (  5 , 4    (⇐
9
1
36
4
=
‫לפחות‬ ‫שסכומם‬ ‫הזוגות‬ .‫ב‬9‫כלומר‬ )9( ‫יותר‬ ‫או‬ :
‫    בדיוק‬9 )  :   6 , 3 ) , (  3 , 6 ) ,  (  4 , 5 ) , (  5 , 4    (⇐   4‫ אפשרויות‬
‫    בדיוק‬10 )  : 6 , 4 ) , (  4 , 6 ) ,  (  5 , 5                 (  ⇐   3 ‫ אפשרויות‬
‫    בדיוק‬11 )  : 6 , 5 ) , (  5 , 6                                 (  ⇐   2 ‫ אפשרויות‬
‫    בדיוק‬12 )  : 6 , 6                                                 (  ⇐   1 ‫ אפשרויות‬
‫ס''ה‬10 ‫ אפשרויות‬
‫לכן ההסתברות לסכום לפחות‬9 : ‫ הוא‬18
5
36
10
=

19
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ :
:‫  הגדרה‬ A   -‫  ו‬B  ‫ יקראו מאורעות בלתי תלויים  אם ההסתברות של‬
‫                     מאורע‬B ‫ אינה מושפעת  מהתרחשות מאורע‬A
  ‫-הטלת מטבע וקובייה בו זמנית‬
‫    התוצאה שתתקבל על הקובייה לא מושפעת ) תלויה ( מהתוצאה שתראה המטבע‬
  ‫הטלת קובייה כמה פעמים‬
‫   הספרה שתתקבל למשל בהטלה השלישית ,לא מושפעת מהתוצאות שהתקבלו לפני כן‬
  ‫קליעה לסל של שני חברים בו זמנית‬
  ‫ קליעה חוזרת לסל של שחקן‬‫האחרונה‬ ‫בזריקה‬ ‫תלויה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬,
  ‫    כי אם הוא קלע,בטחונו העצמי עלה וסיכויו יגדל ,אם הוא פיספס , איבד את הבטחון‬
‫     וסיכויו לקלוע פוחתים – ולכן המאורעות יכולים להיות תלויים‬
‫מטח‬

20
) - ‫מאורעות‬ ‫חיתוך‬ ‫של‬ ‫הסתברות‬B ∩ A ) P
‫בין‬2:‫ מאורעות יתכנו המצבים הבאים‬
‫א‬‫זרים‬ .   :   ‫   , כלומר‬Ф   = B ∩ A     ⇐      0 =  (B ∩ A )P
.‫ב‬‫תלויים‬ ‫בלתי‬ :
‫  משפט:   אם‬A -‫ ו‬B :‫ מאורעות בלתי תלויים אז‬
⋅ P ( B )                         (A ) P  =  (B ∩ A )P
.‫ג‬‫תלויים‬ :
‫  משפט:   אם‬A -‫ ו‬B :‫ מאורעות תלויים אז‬
⋅ P ( A/B )         (B ) P ⋅ P ( B/A ) =(A ) P=  (B ∩ A )P
      (    ''‫) במאורעות תלויים נעזר ב''עץ‬
‫נטפל‬
‫בהמשך‬
‫מטח‬

21
    ‫בכד‬7 -‫ כדורים לבנים ו‬3.‫ כדורים שחורים‬
.‫מוציאים מהכד כדור מסתכלים על צבעו ומחזירים אותו לכד , מוציאים שוב כדור‬
‫    א. מה ההסתברות להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור‬
.‫    ב. מה ההסתברות שלאחר שתי ההוצאות יהיו בידינו כדור אחד מכל צבע‬
: ‫נגדיר‬A     ‫ – לקבל כדור לבן בהוצאה הראשונה‬            = ( A ) P
           B – ‫     לקבל כדור שחור בהוצאה השניה‬            = ( B ) P
‫מאורע‬B  ‫ לא מושפע ממאורע‬A. ‫ כי מצב הכד חזר לקדמותו‬
‫לכן המאורעות בלתי תלויים‬
   : ‫להוציא כדור ראשון לבן וכדור שני שחור הוא המאורע‬B ∩ A‫ , המאורעות בלתי תלויים‬
⋅ P ( B ) =                                                           ⋅  (A ) P  =  (B ∩ A )P

10
7
10
3
10
7
10
3
⋅ =
100
21 = 0.21
‫ב. להוציא כדור אחד לבן ואחד שחור‬‫ ראשון לבן ושני שחור  או ראשון שחור ושני לבן‬
10
7
10
3
⋅ 10
3
10
7
⋅ = 420
100
21
2 .=⋅+
‫בעיה‬1‫החזרה‬ ‫עם‬ -‫הכד‬ ‫בעית‬ –
‫מטח‬

22
  ‫במחסן עץ הותקנו‬2 ‫ גלאי שריפות‬
: ‫ההסתברות שהראשון יפעל במקרה של  שריפה הוא‬0.9
    : ‫ההסתברות שהשני יפעל במקרה של  שריפה הוא‬0.7
‫חשב‬
‫א. מה ההסתברות שבמקרה של שריפה כל הגלאים יפעל ו‬
‫ב. מה ההסתברות שבדיוק גלאי אחד יפעל‬
‫ג. מה ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל‬
:‫נגדיר‬
‫מאורע‬A ‫  - גלאי‬ I  ‫יפעל בשעת שריפה‬  0.9 = ( A ) P   ‫ , לא יפעל‬ 0.1=
‫מאורע‬B  ‫  - גלאי‬I I  ‫  יפעל בשעת שריפה‬  0.7 = ( B ) P   ‫ , לא יפעל‬ 0.3=

A  (    ) P
B  (    ) P
‫פעילות כל גלאי לא תלויה )לא מושפעת ( מהגלאי השני ולכן הם‬‫בלתי תלויים‬
...‫המשך‬
‫בעיה‬2‫הגלאים‬ ‫בעיית‬ -
‫מטח‬

23
:‫נגדיר‬

A  (    ) P
B  (    ) P
‫א. מה ההסתברות שבמקרה של שריפה כל הגלאים יפעל ו‬
⋅ P ( B ) = 0.9  ⋅ 0.7= 0.63                     (A ) P  =  (B ∩ A )P
‫בלתי תלויים‬
‫ב. מה ההסתברות שבדיוק גלאי אחד יפעל‬
‫יש לעבור על המצבים‬‫: הראשון יפעל והשני לא יפעל  , הראשון לא יפעל והשני יפעל‬
( ‫=) בדיוק אחד יפעל‬P A (B ∩    )P (      ∩ A   )P B +
0.9 ⋅ 0.3            +      0.1 ⋅  0.7    = 0.34
...‫המשך‬
‫בעיה‬2‫המשך‬ ‫הגלאים‬ ‫בעיית‬ -
‫מטח‬

24
:‫נגדיר‬

A  (    ) P
B  (    ) P
‫לפחות גלאי אחד יפעל‬‫    יפעלו גלאי אחד או יותר‬
  ‫ במקרה שלנו‬ ‫ יפעל בדיוק גלאי אחד או יפעלו בדיוק שני גלאים‬
( ‫=) בדיוק שניים יפעלו‬P ( ‫   +) בדיוק אחד יפעל‬P ( ‫  =) לפחןת אחד יפעל‬P
'‫סעיף ב‬ '‫סעיף א‬
0.97     =    0.63             +           0.34
  ‫ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל   היא‬0.97
...‫המשך‬
‫בעיה‬2‫המשך‬ - ‫הגלאים‬ ‫בעיית‬ -
‫מטח‬

25
:‫נגדיר‬

A  (    ) P
B  (    ) P
   ‫לפחות גלאי אחד יפעל‬‫    יפעלו גלאי אחד או יותר‬
  (‫אך הוא גם המאורע המשלים  של :  ) אף גלאי לא יפעל‬
    :  ‫מתקיים‬1 (  ‫ = )אף גלאי לא יפעל‬P ( ‫  + ) לפחות גלאי אחד יפעל‬P
1 ( ‫ =) בדיוק שניים יפעלו‬P ( ‫   +) בדיוק אחד יפעל‬P  +( 0 (‫ יפעלו‬P
0.97    =        0.3 ⋅ 0.1        -     1 =
‫ההסתברות שלפחות גלאי אחד יפעל‬
...‫המשך‬
‫אף אחד לא יפעל‬
(  ‫מתקיים  :   = )אף גלאי לא יפעל‬P -  1 ( ‫  = ) לפחות גלאי אחד יפעל‬P
    -                                                 1=   BA (    ∩    )P
‫בעיה‬2‫הגלאים‬ ‫בעיית‬ -'‫ג‬ ‫סעיף‬ ‫לחישוב‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬

26
‫בעיה‬2‫הבעיה‬ ‫על‬ ‫להסתכל‬ ‫נוספת‬ ‫-דרך‬
‫לעבור על כל המצבים האפשריים‬
:‫נבנה טבלה‬
, ‫מכיוון שהמאורעות בלתי תלויים‬
‫בתוך כל שורה נכפול‬
‫ובין השורות נחבר‬
'‫גלאי א‬ '‫גלאי ב‬
++
+
+
-
-
- -
+  ←   0.9
-  ←   0.1
+  ←   0.7
-  ←   0.3
‫שני הגלאים לא פעלו‬  : 0.3  ⋅  0.1
0.9 ⋅ 0.3   +    0.1 ⋅  0.7  = 0.34 = ( + - ) P +   (  - + ) P= ( ‫ ) בדיוק אחד יפעל‬P
‫את השאלות עם לפחות ולכל היותר  מומלץ לפתור בשיטה זו‬
.‫כי עוברים בה על כל המצבים האפשריים‬

27
© ‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫שאלה‬3‫שאלון‬ -804'‫א‬ ‫מועד‬ – ‫תש''ע‬ ‫קיץ‬ –
'‫דיון – סעיף א‬⇐
.‫במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן בהסתברות וסטטיסטיקה‬
.‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה‬
.‫נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‬
. ‫כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו  על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה‬
‫הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא‬60%
‫והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה  הוא‬80%.
.‫וההסתברות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו‬
)  .‫א‬1? ‫(  מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן‬
)     2? ‫(  מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד‬
)     3? ‫(  מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו‬
. ‫ב.  נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו‬
? ‫     מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות‬

28
‫שאלה‬3'‫א‬ ‫סעיף‬ – ‫דיון‬ -
'‫ניתוח הנתונים  – סעיף א‬⇐
.‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה‬
.‫נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‬
‫הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא‬60%
‫והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה  הוא‬80%.

29
‫שאלה‬3'‫א‬ ‫סעיף‬ – ‫רמזים‬ -
'‫דיון – סעיף ב‬⇐
.‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה.נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‬
  ‫הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא‬60% ‫ והסיכוי שהסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה  הוא‬80%.
Ι Ι Ι ΙΙ Ι
-++
+++
++
+
+
+
++
- -
-
-
-
--
-
‫הסתב‬ ‫הסתב‬ '‫סטט‬ ‫נניח ששתי השאלות הראשונות הן בהסתברות והשלישית בסטטיסטיקה‬
‫בטבלה משמאל מופיעים כל המצבים האפשריים של התשובות‬
- ‫נסמן‬P1  '‫ –הסתב' לציון עובר לשאלה בהסתב‬⇐)(6.0)(4.01 11 +=⇐−=− pp
– ‫נסמן‬P2  '‫ –הסתב' לציון עובר לשאלה בסטט‬⇐)(8.0)(2.01 22 +=⇐−=− pp
( ‫=) עובר בשלושת התרגילים‬P 288.0
125
36
8.06.06.0 ==⋅⋅
( ‫=) עובר בשניים ונכשל ב-אחד התרגילים‬P
∗
∗
∗
456.0
125
57
8.06.04.08.04.06.02.06.06.0 ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
∗
‫                           =) לעבור לפחות‬2 (  ‫ שאלות‬P  ( ‫   =) ציון עובר‬P

744.0
125
93
125
57
125
36
==+
‫)בדיוק‬2 ‫ + בדיוק‬3(

30
‫שאלה‬3'‫ב‬ ‫סעיף‬ – ‫דיון‬ -
  '‫רמזים – סעיף ב‬⇐
.‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה. נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‬
0.288
0.456
0.744
Ι Ι Ι ΙΙ Ι
-++
+++
++
+
+
+
++
- -
-
-
-
--
-
‫הסתב‬ ‫הסתב‬ '‫סטט‬

31
‫שאלה‬3'‫ב‬ ‫סעיף‬ – ‫רמזים‬ -
.‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה. נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‬
0.288
0.456
0.744
Ι Ι Ι ΙΙ Ι
-++
+++
++
+
+
+
++
- -
-
-
-
--
-
‫הסתב‬ ‫הסתב‬ '‫סטט‬
0.6
0.6
0.6 0.8
(  ‫= ) עבר את הבחינה    / עובר בשני התרגילים בהסתברות‬P
(  ‫                                       = )עובר בשני התרגילים בהסתברות‬P
∗
∗
∗ 36.02.06.06.08.06.06.0 =⋅⋅+⋅⋅
(  ‫)עובר בשני התרגילים בהסתברות‬P
(‫= ) עבר את הבחינה‬P
= 48387.0
31
15
744.0
36.0
==

32
‫בעיה‬4
20%.‫ מהנעצים המיוצרים על ידי מכונה מסוימת הם פגומים‬
‫בוחרים באקראי‬3.‫  נעצים‬
‫א. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים פגומים‬
‫ב.  מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים תקינים‬
‫ג.  מה ההסתברות שבדיוק נעץ אחד תקין‬
‫ד.  מה ההסתברות שלכל היותר נעץ אחד תקין‬
‫תשובה‬: .‫ א‬0.008 .‫   ב‬0.512 .‫  ג‬0.096   .‫  ד‬0.104
‫מטח‬

33
‫בעיה‬4‫רמזים‬ –
20%.‫ מהנעצים המיוצרים על ידי מכונה מסוימת הם פגומים‬
‫בוחרים באקראי‬3.‫  נעצים‬
‫א. מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים פגומים‬
‫ב.  מה ההסתברות שכל שלושת הנעצים תקינים‬
‫תקין‬ ‫אחד‬ ‫נעץ‬ ‫שבדיוק‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
‫ד.  מה ההסתברות שלכל היותר נעץ אחד תקין‬
‫תשובה‬: .‫ א‬0.008 .‫   ב‬0.512 .‫  ג‬0.096   .‫  ד‬0.104
,  ‫מכיוון שמיצרים אלפי נעצים‬
– ‫הוצאת נעץ אחד לא  משפיע על ההוצאה הבאה‬
‫ולכן ההסתברות להוציא נעץ פגום בהוצאה ראשונה ,שנייה , שלישית .... - נשארת‬0.2
‫כך נטפל בכל פעם שהאוכלוסיה תהיה גדולה‬
:‫הוצאה‬Ι Ι Ι ΙΙ Ι
-++
+++
++
+
+
+
++
- -
-
-
-
--
---
-
+   :  ‫נסמן כתקין – הסתברות‬0.8
-   :  ‫נסמן כפגום – הסתברות‬0 .2
:‫כל המצבים מתוארים משמאל‬
0.008 = 0.2 ⋅ 0.2 ⋅ 0.2 =( -‫כל ה‬3‫ ) פגומים‬P
!‫לב‬ ‫שימו‬
: ‫כשעוברים על כל האפשרויות‬
‫בתוך שורה – כפל‬
‫בין השורות - חיבור‬
‫מטח‬

34
‫בעיה‬5
‫נתונים‬3‫הספרה‬ ‫רשומה‬ ‫אחד‬ ‫פתק‬ ‫על‬ :‫פתקים‬ ‫שני‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫ובכל‬ ,‫כובעים‬2‫הפתק‬ ‫ועל‬
‫הספרה‬ ‫רשומה‬ ‫השני‬6.
.‫אחד‬ ‫פתק‬ ‫באקראי‬ ‫שולפים‬ ‫הכובעים‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫מכל‬
– ‫ב‬ .‫א‬ ‫יתחלק‬ ‫שיתקבלו‬ ‫המספרים‬ ‫שסכום‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬6‫שארית‬ ‫ללא‬
– ‫ב‬ .‫ב‬5‫שארית‬ ‫ללא‬
‫רמזים‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

35
‫בעיה‬5‫רמזים‬ –
‫נתונים‬3‫הספרה‬ ‫רשומה‬ ‫אחד‬ ‫פתק‬ ‫על‬ :‫פתקים‬ ‫שני‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫ובכל‬ ,‫כובעים‬2‫הפתק‬ ‫ועל‬
‫הספרה‬ ‫רשומה‬ ‫השני‬6.
.‫אחד‬ ‫פתק‬ ‫באקראי‬ ‫שולפים‬ ‫הכובעים‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫מכל‬
– ‫ב‬ .‫א‬ ‫יתחלק‬ ‫שיתקבלו‬ ‫המספרים‬ ‫שסכום‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬6‫שארית‬ ‫ללא‬
– ‫ב‬ .‫ב‬5‫שארית‬ ‫ללא‬
.‫א‬ : ‫תשובה‬4/1.‫ב‬8/3
'‫מס‬ ‫כובע‬Ι Ι Ι ΙΙ Ι
622
222
22
2
2
2
22
6 6
6
6
6
66
666
6
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=⋅⋅+⋅⋅ .‫א‬
.‫ב‬
©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

36
‫מטח‬
‫ברנולי‬ ‫נוסחת‬ – ‫בינומית‬ ‫התפלגות‬

37
‫חדשים‬ ‫מושגים‬
‫הגדרה‬:!n: ‫קוראים‬ )n( ‫עצרת‬
‫לו‬ ‫שווים‬ ‫הקטנים‬ ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מכפלת‬ ‫שהוא‬ ‫מספר‬
12321 ⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅= .......)()(! nnnn
:‫דוגמאות‬3=!3•2•1=6
5=!5•4•3•2•1=120
6=!6•5=!6•120=720
!)(! 1−⋅= nnn :‫לקשר‬ ‫לב‬ ‫שימו‬
10 =! :‫נגדיר‬ ‫וכן‬
‫מטח‬

38
!)(!
!
knk
n
k
n
−⋅
=





)( krnCr ==
: ‫במחשבון‬
:‫ש‬ ‫כך‬
15
2
30
42
456
42
6
262
6
2
6
==
⋅
⋅⋅
=
⋅
=
−⋅
=





!!
!
!!
!
!)(!
!
=





2
6
2=15nCr 6
:‫במחשבון‬






k
n
:‫הביטוי‬‫לסדר‬ ‫האפשרויות‬ ‫מספר‬ :‫היתר‬ ‫בין‬ ‫מייצג‬
K– ‫ב‬ ‫זהים‬ ‫עצמים‬n‫מקומות‬
:‫מתקיים‬ ‫לב‬ ‫שימו‬1
0
=





=





n
nn
‫מטח‬

39
‫דוגמה‬1
‫סימטרית‬ ‫קובייה‬ ‫זורקים‬3.‫פעמים‬
‫הסיפרה‬ ‫תתקבל‬ ‫הפעמים‬ ‫שלושת‬ ‫שבכל‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬5
‫מטח‬

40
‫מדויקת‬ ‫רישום‬ ‫צורת‬ -‫פתרון‬ :‫דוגמה‬
‫סימטרית‬ ‫קובייה‬ ‫מטילים‬3.‫פעמים‬
‫הסיפרה‬ ‫תתקבל‬ ‫הפעמים‬ ‫שלושת‬ ‫שבכל‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬5
‫הספרה‬ ‫תתקבל‬ ‫הפעמים‬ ‫שלושת‬ ‫שבכל‬ – ‫המבוקש‬ ‫המאורע‬5
: ‫נגדיר‬A‫סיפרה‬ ‫לקבל‬ ‫המאורע‬ -5‫הראשונה‬ ‫בהטלה‬
B- ‫סיפרה‬ ‫לקבל‬ ‫המאורע‬5‫השנייה‬ ‫בהטלה‬
C- ‫סיפרה‬ ‫לקבל‬ ‫המאורע‬5‫השלישית‬ ‫בהטלה‬
6
1
=)(AP
6
1
=)(CP
6
1
=)(BP
216
1
6
1
6
1
6
1
6
1
3
=





=⋅⋅=⋅⋅= )()()()( CPBPAPCBAP 
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬
‫מטח‬

41
‫דוגמה‬1'‫ב‬ ‫סעיף‬ –
: '‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫הגדרנו‬
:A- ‫סיפרה‬ ‫לקבל‬ ‫המאורע‬5‫הראשונה‬ ‫בהטלה‬
6
1
=)(AP
6
1
=)(CP
6
1
=)(BP
‫הספרה‬ ‫את‬ ‫הראשונה‬ ‫בהטלה‬ ‫לקבל‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬5
- ‫מ‬ ‫שונה‬ ‫ספרה‬ ‫ההטלות‬ ‫ובשאר‬5
‫מטח‬

42
‫דוגמה‬1‫פתרון‬ - '‫ב‬ ‫סעיף‬ –
6
1
=)(AP
6
1
=)(CP
6
1
=)(BP
‫הספרה‬ ‫את‬ ‫הראשונה‬ ‫בהטלה‬ ‫לקבל‬ ‫ההסתברות‬ .‫ב‬5
- ‫מ‬ ‫שונה‬ ‫ספרה‬ ‫ההטלות‬ ‫ובשאר‬5
216
25
6
5
6
1
6
5
6
5
6
1
21
=





⋅





=⋅⋅=⋅⋅= )()()()( CPBPAPCBAP 
‫מטח‬

43
‫דוגמה‬1'‫ג‬ ‫סעיף‬ –
6
1
=)(AP
6
1
=)(CP
6
1
=)(BP
‫הספרה‬ ‫את‬ ‫בדיוק‬ ‫אחת‬ ‫פעם‬ ‫ההטלות‬ ‫בשלושת‬ ‫לקבל‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬5
‫מטח‬

44
‫דוגמה‬1‫פתרון‬ - '‫ג‬ ‫סעיף‬ –
6
1
=)(AP
6
1
=)(CP
6
1
=)(BP
‫הספרה‬ ‫את‬ ‫בדיוק‬ ‫אחת‬ ‫פעם‬ ‫ההטלות‬ ‫בשלושת‬ ‫לקבל‬ ‫ההסתברות‬ .‫ג‬5
‫הספרה‬ ‫התקבלה‬ ‫הטלה‬ ‫באיזו‬ ‫לנו‬ ‫נאמר‬ ‫לא‬5: ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫לעבור‬ ‫עלינו‬ ‫ולכן‬
+ - -
- + -
- - +
:‫הטלה‬III II I
216
75
216
25
3
6
5
6
1
3
216
25
6
5
6
1
6
1
6
5
6
5
216
25
6
5
6
1
6
5
6
1
6
5
216
25
6
5
6
1
6
5
6
5
6
1
21
21
21
21
=⋅=





⋅





⋅=
=





⋅





=⋅⋅=⋅⋅=
=





⋅





=⋅⋅=⋅⋅=
=





⋅





=⋅⋅=⋅⋅=
)(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
P
CPBPAPCBAP
CPBPAPCBAP
CPBPAPCBAP



‫הספרה‬5‫אחת‬ ‫פעם‬ ‫בדיוק‬
‫מטח‬

45
:‫הבאה‬ ‫השאלה‬ ‫את‬ ‫נשאלים‬ ‫היינו‬ ‫אילו‬ ‫קורה‬ ‫היה‬ ‫מה‬ ‫אך‬
-‫שב‬ ‫ההסתברות‬ ‫ד.מה‬10‫הספרה‬ ‫תתקבל‬ ‫קובייה‬ ‫הטלות‬5? ‫פעמיים‬ ‫בדיוק‬
+ + - - - - - - - - : ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫לעבור‬ ‫יש‬
+ - + - - - - - - -
⇓
?‫יש‬ ‫כאלה‬ ‫אפשרויות‬ ‫כמה‬
: ‫אפשרות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הסתברות‬
82
6
5
6
1
6
5
6
5
6
5
6
5
6
1
6
1






⋅





=⋅⋅⋅⋅⋅ ......
‫פעמיים‬5
8‫פעמים‬
82
6
5
6
1






⋅





⋅=)(P -‫ב‬ ‫לקבל‬10‫קובייה‬ ‫הטלות‬
‫הספרה‬ ‫את‬5‫פעמיים‬ ‫בדיוק‬ ?
-‫ב‬ + ‫שני‬ ‫לסדר‬ ‫האפשרויות‬ ‫מספר‬
10-‫ה‬ ‫בשאר‬ ) ‫מקומות‬8( - ‫יהיו‬
‫ברנולי‬ ‫נוסחת‬ ‫לנו‬ ‫ניתנת‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

46
‫בינומית‬ ‫התפלגות‬
‫של‬ ‫סדרה‬ ‫נתונה‬n, ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫ניסויים‬
– ‫ל‬ ‫ושווה‬ ‫קבועה‬ ‫ניסוי‬ ‫בכל‬ ‫להצלחה‬ ‫ההסתברות‬ ‫כאשר‬P
– ‫ל‬ ‫ההסתברות‬K– ‫ב‬ ‫הצלחות‬n:‫הנוסחה‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫ניתנת‬ ‫הניסויים‬
knk
n pp
k
n
kpP −
−⋅⋅





==





)()( 1K‫הצלחות‬
‫מתוך‬n‫ניסויים‬
‫בו‬ ‫שיש‬ ‫ולבדוק‬ ‫הבודד‬ ‫הניסוי‬ ‫את‬ ‫היטב‬ ‫להגדיר‬ ‫יש‬2‫בלבד‬ ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬
‫כשלון‬ ‫ואיזו‬ ‫הצלחה‬ ‫להיות‬ ‫מוגדרת‬ ‫הבודד‬ ‫הניסוי‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫איזו‬ ‫ברורה‬ ‫בצורה‬ ‫להגדיר‬ ‫צריך‬
‫תלויה‬ ‫בלתי‬ ‫היא‬ ‫הניסויים‬ ‫סדרת‬ ‫האם‬ ‫.לבדוק‬
‫את‬ ‫לזהות‬n- ‫את‬ ‫ו‬ ‫הניסויים‬ '‫מס‬K– ‫ההצלחות‬ '‫מס‬
‫את‬ ‫בנוסחה‬ ‫להציב‬n , k‫-ו‬p.
:‫ברנולי‬ ‫נוסחת‬-‫ל‬ ‫האפשרויות‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫סופר‬K‫הצלחות‬
‫מטח‬

47
‫מדוגמה‬ '‫ד‬ ‫לסעיף‬ ‫נחזור‬1:
-‫שב‬ ‫ההסתברות‬ ‫ד.מה‬10‫הספרה‬ ‫תתקבל‬ ‫קובייה‬ ‫הטלות‬5? ‫פעמיים‬ ‫בדיוק‬
‫הבודד‬ ‫הניסוי‬‫אחת‬ ‫פעם‬ ‫קובייה‬ ‫הטלת‬ :
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬‫הספרה‬ ‫את‬ ‫לקבל‬5
‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬:6/1=p ⇐ (1-p) = 5 / 6
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫שהניסויים‬ ‫בדיקה‬‫שהייתה‬ ‫מהזריקה‬ ‫מושפעת‬ ‫לא‬ ‫קובייה‬ ‫הטלת‬ ‫תוצאת‬ :
‫זיהוי‬n‫הניסויים‬ '‫מס‬ -:10=n
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -:2=k
:‫ברנולי‬ ‫בנוסחת‬ ‫הצבה‬
knk
pp
k
n
P −
−⋅⋅





=





)(1
K‫הצלחות‬
29070
6
5
6
1
45
6
1
1
6
1
2
10
82
2102
.=





⋅





⋅=











−⋅





⋅





=





−
P
P
2‫הצלחות‬
‫מתוך‬10‫ניסויים‬
2‫הצלחות‬
‫מתוך‬10‫ניסויים‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

48
‫דוגמה‬2
‫קופסא‬ ‫בתוך‬4.‫מזהב‬ ‫אחד‬ ‫ומטבע‬ ‫מכסף‬ ‫מטבעות‬
‫החזרה‬ ‫עם‬ ‫באקראי‬ ‫מהקופסה‬ ‫מוציאים‬ .‫א‬6.‫מטבעות‬
-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫חשב‬5.‫מזהב‬ ‫היא‬ ‫אחת‬ ‫ומטבע‬ ‫מכסף‬ ‫הן‬ ‫מטבעות‬
‫הבודד‬ ‫הניסוי‬________________________________________ :
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬________________________________
‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬= _____ :p ⇐ _____ (1-p= (
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫שהניסויים‬ ‫בדיקה‬_____________________________________:
‫זיהוי‬n‫הניסויים‬ '‫מס‬ -= _____ :n
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -= ____ :k
:‫נשלים‬
‫מטח‬

49
‫דוגמה‬2‫הנתונים‬ ‫הצגת‬ -
‫הבודד‬ ‫הניסוי‬:‫מהקופסה‬ ‫מטבע‬ ‫הוצאת‬
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬‫מכסף‬ ‫מטבע‬ ‫להוציא‬
‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬:5/4=p ⇐ 5 / 1 (1-p= (
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫שהניסויים‬ ‫בדיקה‬‫לקופסה‬ ‫המטבע‬ ‫את‬ ‫מחזירים‬ ‫הוצאה‬ ‫כל‬ ‫:אחרי‬
:‫נשלים‬
‫בודד‬ ‫בניסוי‬ ‫הצלחה‬ ‫להגדיר‬ ‫היה‬ ‫אפשר‬ ‫האם‬
? ‫למעלה‬ ‫משתנים‬ ‫היו‬ ‫ערכים‬ ‫אילו‬ , ? ‫אחרת‬
‫השינויים‬ ‫את‬ ‫כחול‬ ‫בצבע‬ ‫רשום‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

50
‫דוגמה‬2‫הנתונים‬ ‫הצגת‬ -
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬‫מכסף‬ ‫מטבע‬ ‫להוציא‬‫זהב‬ ‫מטבע‬ ‫להוציא‬
‫הבוד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬:5/4=p ⇐ 5 / 1 (1-p) = 5 / 1= p ⇐ 5 / 4 (1-p= (
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -:5=k 1 = k
:‫נשלים‬
‫בודד‬ ‫בניסוי‬ ‫הצלחה‬ ‫להגדיר‬ ‫היה‬ ‫אפשר‬ ‫האם‬
? ‫למעלה‬ ‫משתנים‬ ‫היו‬ ‫ערכים‬ ‫אילו‬ , ? ‫אחרת‬
‫השינויים‬ ‫את‬ ‫כחול‬ ‫בצבע‬ ‫רשום‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

51
‫דוגמה‬2- '‫א‬ ‫סעיף‬ -
:‫ברנולי‬ ‫בנוסחת‬ ‫הצבה‬knk
pp
k
n
P −
−⋅⋅





=





)(1
K‫הצלחות‬
‫מטח‬

52
‫דוגמה‬2‫פתרון‬ - '‫א‬ ‫סעיף‬ -
:‫ברנולי‬ ‫בנוסחת‬ ‫הצבה‬
39320
5
1
5
4
6
5
4
1
5
4
5
6
5
15
15
6
.
)(
=





⋅





⋅=











−⋅





⋅





==





P
PP
5‫הצלחות‬
5‫הצלחות‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

53
‫דוגמה‬2'‫ב‬ ‫סעיף‬ -
‫החזרה‬ ‫עם‬ ‫באקראי‬ ‫מהקופסה‬ ‫מוציאים‬ .‫ב‬6.‫מטבעות‬
‫מזהב‬ ‫היו‬ ‫מהקופסה‬ ‫שהוצאו‬ ‫המטבעות‬ ‫שכל‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫חשב‬
? ‫לשנות‬ ‫נצטרך‬ ‫מה‬ , ‫בודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫ההגדרה‬ ‫את‬ ‫נשאיר‬ ‫אם‬
:‫ההסתברות‬ ‫חישוב‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

54
‫דוגמה‬2‫פתרון‬ -'‫ב‬ ‫סעיף‬ -
‫החזרה‬ ‫עם‬ ‫באקראי‬ ‫מהקופסה‬ ‫מוציאים‬ .‫ב‬6.‫מטבעות‬
‫מזהב‬ ‫היו‬ ‫מהקופסה‬ ‫שהוצאו‬ ‫המטבעות‬ ‫שכל‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ ‫חשב‬( 0( ‫מכסף‬ ‫מטבעות‬
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -:5=k 0 = k
? ‫לשנות‬ ‫נצטרך‬ ‫מה‬ , ‫בודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫ההגדרה‬ ‫את‬ ‫נשאיר‬ ‫אם‬
000064.0
15625
1
5
1
11
5
4
1
5
4
0
6
)0(
660
6 ==





⋅⋅=





−⋅





⋅





=P
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

55
‫דוגמה‬3
. ‫באנגלית‬ ‫לבחינה‬ ‫ניגש‬ ‫תלמיד‬
‫בבחינה‬8‫שאלה‬ ‫לכל‬ – '' ‫''אמריקאיות‬ ' ‫שאלות‬3.‫נכונה‬ ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫אפשריות,שרק‬ ‫תשובות‬
‫התשובות‬ ‫את‬ ‫מנחש‬ ‫והוא‬ ‫באנגלית‬ ‫מושג‬ ‫אין‬ ‫בבחינה,לתלמיד‬ ‫זהה‬ ‫משקל‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬
‫בדיוק‬ ‫שיפתור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬5.‫נכון‬ ‫שאלות‬
‫הבודד‬ ‫הניסוי‬________________________________________ :
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬________________________________
‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬= _____ :p ⇐ _____ (1-p= (
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫שהניסויים‬ ‫בדיקה‬_____________________________________:
‫זיהוי‬n‫הניסויים‬ '‫מס‬ -= _____ :n
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -= ____ :k
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

56
‫דוגמה‬3‫פתרון‬ -'‫א‬ ‫סעיף‬ -
. ‫באנגלית‬ ‫לבחינה‬ ‫ניגש‬ ‫תלמיד‬
‫בבחינה‬8‫שאלה‬ ‫לכל‬ – '' ‫''אמריקאיות‬ ' ‫שאלות‬3‫נכונה‬ ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫אפשריות,שרק‬ ‫תשובות‬
‫התשובות‬ ‫את‬ ‫מנחש‬ ‫והוא‬ ‫באנגלית‬ ‫מושג‬ ‫אין‬ ‫בבחינה,לתלמיד‬ ‫זהה‬ ‫משקל‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬
‫בדיוק‬ ‫שיפתור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬5.‫נכון‬ ‫שאלות‬
‫הבודד‬ ‫הניסוי‬:‫בודדת‬ ‫שאלה‬ ‫לפתור‬
:‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫ההצלחה‬ ‫הגדרת‬‫השאלה‬ ‫את‬ ‫נכון‬ ‫לפתור‬
‫הבודד‬ ‫בניסוי‬ ‫להצלחה‬ ‫הסתברות‬:3/1=p ⇐ 3/ 2 (1-p= (
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫שהניסויים‬ ‫בדיקה‬:‫השאלות‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫,אין‬ ‫מנחש‬ ‫הוא‬
‫זיהוי‬k‫ההצלחות‬ '‫מס‬ -5=k
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
06830
6561
448
3
2
3
1
5
8
5
35
8 .)( ==





⋅





⋅





=P
'‫ב‬ ‫סעיף‬ ,‫המשך‬ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

57
‫דוגמה‬3'‫ב‬ ‫סעיף‬ -
.‫התשובות‬ ‫את‬ ‫מנחש‬ ‫והוא‬ ‫באנגלית‬ ‫מושג‬ ‫אין‬ ‫בבחינה,לתלמיד‬ ‫זהה‬ ‫משקל‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬
(8=n , 3 / 1 = p)
‫הוא‬ ‫הבחינה‬ ‫של‬ ‫עובר‬ ‫ציון‬ .‫ב‬60.
? ‫הבחינה‬ ‫את‬ ‫יעבור‬ ‫הנ''ל‬ ‫שהתלמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

58
‫דוגמה‬3‫פתרון‬ - '‫ב‬ ‫סעיף‬ -
(8=n , 3 / 1 = p)
‫הוא‬ ‫הבחינה‬ ‫של‬ ‫עובר‬ ‫ציון‬ .‫ב‬60.
? ‫הבחינה‬ ‫את‬ ‫יעבור‬ ‫הנ''ל‬ ‫שהתלמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫לפחות‬ ‫לפתור‬ ‫עליו‬ ‫הבחינה‬ ‫את‬ ‫לעבור‬ ‫כדי‬5‫שאלות‬
‫בדיוק‬ ‫כשפותר‬ )5% ‫ציונו‬ , ‫נכון‬ ‫שאלות‬62.5(
‫המצבים‬ ‫על‬ ‫לעבור‬ ‫יש‬8=K , 7 = K , 6 = K , 5 = K
)()()()( 8765 8888 ppppP +++=
'‫א‬ ‫בסעיף‬ ‫חישבנו‬
6561
448
6561
112
6561
16
6561
1
0870
6561
577
.=
++ + =
'‫ג‬ ‫סעיף‬⇐ ©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬
‫מטח‬

59
‫דוגמה‬3'‫ג‬ ‫סעיף‬ -
(8=n , 3 / 1 = p)
‫לפחות‬ ‫יפתור‬ ‫הנ''ל‬ ‫שהתלמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬2‫נכון‬ ‫שאלות‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫מטח‬

60
‫דוגמה‬3‫פתרון‬ – '‫ג‬ ‫סעיף‬ -
(8=n , 3 / 1 = p)
‫לפחות‬ ‫יפתור‬ ‫הנ''ל‬ ‫שהתלמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬2‫נכון‬ ‫שאלות‬
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
1876543210 888888888 =++++++++ )()()()()()()()()( ppppppppp
:‫לזכור‬ ‫כדאי‬
‫לפחות‬2‫נכון‬ ‫שאלות‬
‫במשלים‬ ‫ניעזר‬
80490
6561
5281
6561
1024
6561
256
1
3
2
3
1
1
8
3
2
3
1
0
8
1
1012
7180
888
.
)()()(
==−−=






⋅











−





⋅











−=
−−=≥ ppkP
‫מטח‬

61
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫תרגיל‬1
, ‫נורות‬ ‫ליצור‬ ‫במפעל‬10%.‫פגומות‬ ‫מהנורות‬
‫של‬ ‫שבמדגם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬10‫נורות‬7‫תקינות‬ ‫יהיו‬
‫של‬ ‫שבמדגם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬5‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נורות‬2‫פגומות‬ ‫תהיינה‬
‫מטח‬

62
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫תרגיל‬1‫רמזים‬ –
, ‫נורות‬ ‫ליצור‬ ‫במפעל‬10%.‫פגומות‬ ‫מהנורות‬
‫של‬ ‫שבמדגם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬10‫נורות‬7‫תקינות‬ ‫יהיו‬
‫של‬ ‫שבמדגם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬5‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נורות‬2‫פגומות‬ ‫תהיינה‬
.‫א‬0.9=P
.‫ב‬0.1=P
9914401090101090590
2102
23145
5555
......
)()()()(
=⋅⋅+⋅⋅+=
++=≤ pppkP
‫מטח‬
05739.01.09.0
7
10
)7( 37
10 =⋅⋅





=P

63
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫תרגיל‬2
‫בכד‬20: ‫כדורים‬12-‫ו‬ ‫שחורים‬8‫לבנים‬
‫מהכד‬ ‫מוציאים‬6(‫כדור‬ ‫כל‬ ‫ומחזירים‬ ) ‫כדורים‬
-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬3-‫ו‬ ‫שחורים‬3.‫לבנים‬
‫שחורים‬ ‫שניים‬ ‫שלפחות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
.‫צבע‬ ‫באותו‬ ‫יהיו‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
‫מטח‬

64
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫בכד‬20: ‫כדורים‬12-‫ו‬ ‫שחורים‬8‫לבנים‬
‫מהכד‬ ‫מוציאים‬6( ‫לכד‬ ‫אותו‬ ‫ומחזירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ – ‫החזרה‬ ‫עם‬ ) ‫כדורים‬
-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬3-‫ו‬ ‫שחורים‬3.‫לבנים‬
‫שחורים‬ ‫שניים‬ ‫שלפחות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
.‫צבע‬ ‫באותו‬ ‫יהיו‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
.‫א‬0.6=P‫-שחור‬
.‫ב‬
050750406006 66
66 ...)()( =+=+= ppP
.‫ג‬
12 6
p 0.6
20 10
 
= = = ÷
 
‫מטח‬
95904.0)1()0(1)2( 666 =−−=≥ PPkP
27648.04.06.0
3
6
)3( 33
6 =⋅⋅





=P

65
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫תרגיל‬3
-‫ב‬ ‫ביניהם‬ ‫מתחרים‬ ‫טניס‬ ‫שחקני‬ ‫שני‬4.‫משחקים‬
‫היא‬ ‫בודד‬ ‫במשחק‬ ‫ינצח‬ '‫א‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬3/2:‫,חשב‬
‫בתחרות‬ ‫ינצח‬ '‫א‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
‫בתחרות‬ ‫ינצח‬ '‫ב‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
‫בתיקו‬ ‫תסתיים‬ ‫שהתחרות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
‫מטח‬

66
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
-‫ב‬ ‫ביניהם‬ ‫מתחרים‬ ‫טניס‬ ‫שחקני‬ ‫שני‬4.‫משחקים‬
‫היא‬ ‫בודד‬ ‫במשחק‬ ‫ינצח‬ '‫א‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬3/2:‫,חשב‬
‫בתחרות‬ ‫ינצח‬ '‫א‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
‫בתחרות‬ ‫ינצח‬ '‫ב‬ ‫ששחקן‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
‫בתיקו‬ ‫תסתיים‬ ‫שהתחרות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
.‫א‬3/2=P
27
16
432 444 =+=> )()()( ppkP
.‫ב‬3/1=P
9
1
432 444 =+=> )()()( ppkP
: '‫ב‬ ‫דרך‬ .‫ג‬27/8- ( ‫)א‬ - (‫)ב‬ =1
.‫ג‬3/2=P
27
8
99
46
3
1
3
2
2
4
)2(
22
4 =
⋅
⋅
=





⋅





⋅





=p
‫מטח‬

67
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫תרגיל‬4
‫בממוצע‬6‫מתוך‬10.‫בו‬ ‫מצליחים‬ ‫נהיגה‬ ‫למבחן‬ ‫הניגשים‬ ‫אנשים‬
‫מגיש‬ ‫לנהיגה‬ ‫מורה‬5:‫נהיגה‬ ‫למבחן‬ ‫מתלמידיו‬
?‫יצליחו‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
‫שרק‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬2?‫יצליחו‬
‫שלפחות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬3?‫יצליחו‬
‫מטח‬

68
knk
n pp
k
n
kp −
−⋅⋅





= )()( 1
‫בממוצע‬6‫מתוך‬10.‫בו‬ ‫מצליחים‬ ‫נהיגה‬ ‫למבחן‬ ‫הניגשים‬ ‫אנשים‬
‫מגיש‬ ‫לנהיגה‬ ‫מורה‬5:‫נהיגה‬ ‫למבחן‬ ‫מתלמידיו‬
?‫יצליחו‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
‫שרק‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬2?‫יצליחו‬
‫שלפחות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬3?‫יצליחו‬
.‫א‬0.6=P077760605 5
5 ..)( ==P
.‫ב‬2304060
2
5
2 32
5 ...)( =⋅⋅





=P
68256.0)5()4()3()3( 5555 =++=≥ pppkP .‫ג‬
‫מטח‬

69
‫מותנית‬ ‫הסתברות‬
‫מטח‬

70
‫מאורעות‬ ‫שני‬ ‫נתונים‬A-‫ו‬B ( 0 ≠ (A)P
‫של‬ ‫המותנית‬ ‫הסתברות‬B‫בתנאי‬A) ‫ע''י‬ ‫מסומנת‬ –A/ B)P
‫מאורע‬ ‫שיקרה‬ ‫ההסתברות‬B‫שמאורע‬ ‫ידוע‬ ‫כאשר‬ ,A( ‫)התקיים‬ ‫קרה‬
‫על‬ ‫נעבור‬2‫הנושא‬ ‫של‬ ‫השאלות‬ ‫רוב‬ ‫את‬ ‫מייצגות‬ ‫שהן‬ – ‫דוגמאות‬
‫דוגמה‬1‫שלבי‬ ‫דו‬ ‫מאורע‬ – ‫הכד‬ ‫בעיית‬ –
‫דוגמה‬2‫לפי‬ ‫אוכלוסיה‬ ‫התחלקות‬ –2‫תכונות‬
‫הכד‬ ‫בעיית‬
‫המושגים‬ ‫יתבהרו‬ – ‫הדוגמאות‬ ‫דרך‬
‫מטח‬

71
‫תלויים‬ ‫ובלתי‬ ‫תלוים‬ ‫מאורעות‬ ‫בין‬ ‫ההבדל‬ ‫את‬ ‫המדגישה‬ ‫חשובה‬ ‫דוגמה‬
- ‫ב‬ ‫נבחין‬3‫מצבים‬
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3.‫שחורים‬ ‫כדורים‬
1.‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬ , ‫לכד‬ ‫אותו‬ ‫ומחזירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬ .
2,‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫ומשאירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬ .
.‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬
3.‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫משאירים‬ , ‫לבן‬ ‫הוא‬ ‫,אם‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
.‫נוסף‬ ‫כדור‬ ‫מוציאים‬ .‫לכד‬ ‫אותו‬ ‫מחזירים‬ ‫שחור‬ ‫הוא‬ ‫ואם‬
‫מצב‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫המשך...נעבור‬
‫הכד‬ ‫בעיית‬
‫מטח‬

72
.‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬ , ‫לכד‬ ‫אותו‬ ‫ומחזירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
‫שחור‬ ‫שני‬ ‫וכדור‬ ‫לבן‬ ‫ראשון‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
‫צבע‬ ‫מכל‬ ‫כדור‬ ‫הוצאנו‬ ‫ההוצאות‬ ‫שבשתי‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
: ‫נגדיר‬A‫הראשונה‬ ‫בהוצאה‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬ – = ( A ) P
B– ‫השניה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬ = ( B ) P
10
7
10
3
‫מצב‬1
‫מטח‬

73
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3‫פתרון‬ - .‫שחורים‬ ‫כדורים‬
.‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬ , ‫לכד‬ ‫אותו‬ ‫ומחזירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
‫צבע‬ ‫מכל‬ ‫כדור‬ ‫הוצאנו‬ ‫ההוצאות‬ ‫שבשתי‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
: ‫נגדיר‬A‫הראשונה‬ ‫בהוצאה‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬ – = ( A ) P
B– ‫השניה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬ = ( B ) P
‫מאורע‬B‫ממאורע‬ ‫מושפע‬ ‫לא‬A. ‫לקדמותו‬ ‫חזר‬ ‫הכד‬ ‫מצב‬ ‫כי‬
‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫המאורעות‬ ‫לכן‬
: ‫המאורע‬ ‫הוא‬ ‫שחור‬ ‫שני‬ ‫וכדור‬ ‫לבן‬ ‫ראשון‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬B ∩ A‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫המאורעות‬ ,
⋅ P ( B ) = ⋅ (A ) P = (B ∩ A )P
10
7
10
3
10
7
10
3
⋅ =
100
21 = 0.21
‫שחור‬ ‫ואחד‬ ‫לבן‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬ .‫ב‬‫לבן‬ ‫ושני‬ ‫שחור‬ ‫ראשון‬ ‫או‬ ‫שחור‬ ‫ושני‬ ‫לבן‬ ‫ראשון‬
10
7
10
3
⋅ 10
3
10
7
⋅ = 420
100
21
2 .=⋅+
‫מצב‬1
‫מטח‬

74
‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫ומשאירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
,‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬
.‫צבע‬ ‫מכל‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫בידינו‬ ‫יהיו‬ ‫ההוצאות‬ ‫שתי‬ ‫שלאחר‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ב‬
: ‫נגדיר‬A‫הראשונה‬ ‫בהוצאה‬ ‫לבן‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬ –
B– ‫השניה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬
‫מצב‬2
? '‫א‬ ‫ממצב‬ '‫ב‬ ‫מצב‬ ‫שונה‬ ‫במה‬
‫מטח‬

75
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3‫הסבר‬ - .‫שחורים‬ ‫כדורים‬
‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫ומשאירים‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
B– ‫השניה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬
‫משתנה‬ ‫בכד‬ ‫הכדורים‬ ‫,מצב‬ ‫בחוץ‬ ‫נשאר‬ ‫הראשונה‬ ‫מההוצאה‬ ‫שהכדור‬ ‫מכיון‬
.‫השניה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שיקרה‬ ‫מה‬ ‫על‬ ‫ומשפיע‬
‫לכן‬A-‫ו‬B. ‫תלויים‬ ‫מאורעות‬
''‫''עץ‬ ‫דיאגרמת‬ ‫בעזרת‬ ‫התהליך‬ ‫את‬ ‫נציג‬
‫מצב‬2
‫מטח‬

76
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3‫כדורים‬
.‫שחורים‬
‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫ומשאירים‬
‫ראשונה‬ ‫הוצאה‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫לבן‬
‫שחור‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬
‫שניה‬ ‫הוצאה‬
‫נותרו‬
‫נותרו‬
‫העץ‬ ‫המשך..מילוי‬
''‫ה''עץ‬ ‫את‬ ‫נשלים‬
‫מצב‬2
‫מטח‬

77
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
‫לבן‬ ‫שחור‬
9
7
9
2 ‫שניה‬ ‫הוצאה‬
‫נותרו‬6-‫ו‬ ‫לבנים‬3‫שחורים‬
‫שחור‬ ‫שני‬ ‫לבן‬ ‫ראשון‬ .‫א‬
‫שחור‬ ‫ואחד‬ ‫לבן‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫להוציא‬ .‫ב‬
‫רמזים‬
‫מצב‬2
‫מטח‬

78
⋅ P ( B/A ) =(A ) P= (B ∩ A )P
10
7
9
3
⋅ =
90
21 =
30
7 ‫האדום‬ ‫המסלול‬
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3.‫פתרון‬ - ‫שחורים‬ ‫כדורים‬
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
9
7
9
‫שחור‬ ‫שני‬ ‫לבן‬ ‫ראשון‬ .‫א‬
10
7
9
3
= 90
21
2⋅ = 15
7
⋅10
3
9
7
⋅ + ⋅
‫אדום‬ ‫מסלול‬‫ירוק‬ ‫מסלול‬ ‫לשאול‬ ‫שאפשר‬ ‫נוספות‬ ‫שאלות‬ ..‫המשך‬
‫מצב‬2
‫מטח‬

79
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
9
7
9
‫שחור‬ ‫השני‬ ‫שהכדור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ג‬
? ‫לבן‬ ‫השני‬ ‫שהכדור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ד‬
'‫ד‬ ‫ו‬ '‫ל-ג‬ ‫פתרון‬ ..‫המשך‬⇐
‫מצב‬2
‫מטח‬

80
‫הכחולים‬ ‫המסלולים‬ ‫שני‬:‫שני‬ ‫ושחור‬ ‫ראשון‬ ‫שחור‬ ‫או‬ ‫שני‬ ‫ושחור‬ ‫ראשון‬ ‫לבן‬
,‫כדור‬ ‫שוב‬ ‫מוציאים‬ , ‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫ומשאירים‬
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
9
7
9
10
3
9
2
⋅ +
10
7
9
3
⋅ =
90
27 =
10
3
( ‫המשלים‬ : ‫רמז‬ ) ? ‫לבן‬ ‫השני‬ ‫שהכדור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ד‬
‫מצב‬2
‫מטח‬

81
‫בכד‬7-‫ו‬ ‫לבנים‬ ‫כדורים‬3‫שחורים‬ ‫כדורים‬.
3‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫משאירים‬ , ‫לבן‬ ‫הוא‬ ‫,אם‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
B– ‫השנייה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שחור‬ ‫כדור‬ ‫לקבל‬
‫הראשונה‬ ‫בהוצאה‬ ‫שקרה‬ ‫במה‬ ‫תלויה‬ ‫השנייה‬ ‫בפעם‬ ‫כדור‬ ‫הוצאת‬
‫לכן‬A-‫ו‬B. ‫תלויים‬ ‫מאורעות‬
''‫''עץ‬ ‫דיאגרמת‬ ‫בעזרת‬ ‫התהליך‬ ‫את‬ ‫נציג‬
‫מצב‬3
‫מטח‬

82
‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫משאירים‬ , ‫לבן‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
‫לבן‬
‫שחור‬
‫לבן‬
‫שחור‬ ‫לבן‬ ‫שחור‬
‫שניה‬ ‫הוצאה‬
‫נותרו‬
‫נותרו‬
..‫המשך‬
''‫ה''עץ‬ ‫את‬ ‫נשלים‬
‫מצב‬3
‫מטח‬

83
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
10
7
10
‫רמזים‬
‫מצב‬3
‫מטח‬

84
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
10
7
10
⋅ P ( B/A ) =(A ) P= (B ∩ A )P
10
7
9
3
⋅ =
90
21 =
30
7
10
7
9
3
= 300
133
⋅10
3
10
7
⋅ + ⋅
‫אדום‬ ‫מסלול‬‫ירוק‬ ‫מסלול‬ ‫לשאול‬ ‫שאפשר‬ ‫נוספות‬ ‫שאלות‬ ..‫המשך‬
‫מצב‬3
‫מטח‬

85
3.‫בחוץ‬ ‫אותו‬ ‫משאירים‬ , ‫לבן‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫צבעו‬ ‫על‬ ‫מסתכלים‬ ‫כדור‬ ‫מהכד‬ ‫מוציאים‬
‫לבן‬
‫שחור‬
10
7
10
3
‫לבן‬
‫שחור‬
9
6
9
3
10
7
10
:‫נוספות‬ ‫שאלות‬
? ‫לבן‬ ‫השני‬ ‫שהכדור‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ד‬
.‫ג‬ :‫תשובות‬300/97.‫ו‬0.91
‫שחורים‬ ‫הכדורים‬ ‫ששני‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ה‬
‫לבן‬ ‫אחד‬ ‫כדור‬ ‫שלפחות‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫ו‬
‫מטח‬

!!!‫חשוב‬ – ‫תרגיל‬
©‫כל‬‫למטח‬ ‫שמורות‬ ‫הזכויות‬‫רמזים‬
‫בכד‬4, ‫לבנים‬ ‫כדורים‬5– ‫ו‬ ‫אדומים‬ ‫כדורים‬7‫שחורים‬ ‫כדורים‬
‫באקראי‬ ‫מוציאים‬3. ‫החזרה‬ ‫ללא‬ ‫זה‬ ‫אחר‬ ‫בזה‬ ‫כדורים‬
.?‫צבע‬ ‫אותו‬ ‫בעלי‬ ‫הם‬ ‫שהוצאו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
?? ‫לבנים‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ ‫צבע‬ ‫מאותו‬ ‫הם‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ .‫ב‬

‫רמזים‬ - ‫תרגיל‬
‫בכד‬4, ‫לבנים‬ ‫כדורים‬5– ‫ו‬ ‫אדומים‬ ‫כדורים‬7‫שחורים‬ ‫כדורים‬
‫באקראי‬ ‫מוציאים‬3. ‫החזרה‬ ‫ללא‬ ‫זה‬ ‫אחר‬ ‫בזה‬ ‫כדורים‬
.?‫צבע‬ ‫אותו‬ ‫בעלי‬ ‫הם‬ ‫שהוצאו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ .‫א‬
?? ‫לבנים‬ ‫שכולם‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ ‫צבע‬ ‫מאותו‬ ‫הם‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ .‫ב‬
: ‫לבנים‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬
141516
24
14
2
15
3
16
4
⋅⋅
=⋅⋅
: ‫אדומים‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬
141516
60
14
3
15
4
16
5
⋅⋅
=⋅⋅
: ‫צבע‬ ‫מאותו‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬
: ‫שחורים‬ ‫יהיו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ההסתברות‬141516
210
14
5
15
6
16
7
⋅⋅
=⋅⋅
80
7
141516
294
141516
210
141516
60
141516
24
=
⋅⋅
=
⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅
(‫לבנים‬ ‫/כולם‬ ‫צבע‬ ‫מאותו‬ ‫הכדורים‬ ‫ששלושת‬ ‫ידוע‬ )=P
49
4
294
24
141516
294
141516
24
==
⋅⋅
⋅⋅=

88
‫דוגמה‬2
‫הרצאות‬ ‫באולם‬200: ‫אנשים‬120-‫ו‬ ‫גברים‬80.‫נשים‬
‫הגברים‬ ‫מבין‬60‫הנשים‬ ‫,ובין‬ ‫מעשנים‬30.‫מעשנות‬
: ‫נגדיר‬A‫גבר‬ ‫לבחור‬ –) = _____ :‫השלם‬ ‫אשה‬ ‫לבחור‬ -A ) P
B– ‫לבחור‬‫מעשן‬‫אשה‬ ‫או‬ ‫)גבר‬ )⇐‫:השלם‬ _____ = (B ) P
‫לבחור‬ -‫מעשן‬ ‫לא‬(‫אשה‬ ‫או‬ ‫)גבר‬
: ‫הסתברותי‬ ‫בכתיב‬ ‫הנתונים‬ ‫את‬ ‫לרשום‬ ‫ננסה‬
‫הגברים‬ ‫מבין‬60‫מעשנים‬
‫הנשים‬ ‫מבין‬30‫מעשנות‬
A
B
‫מטח‬

שאלון 804 הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

שאלון 804 הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (8)

שאלון 804 הסתברות -למרתון - מועד ב - תשעג