1. Beberapa Bukti Teorema Pythagoras
Sumardyono*)
Siapa yang belum pernah mendeng ar “Teorema Pythagoras”? Sejak di Seko lah Dasar kita telah
diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan wawasan dan
pengetahuan bagi para guru, berikut ini penulis menyuguhkan beberapa dari ratusan cara pembuktian Teorema
Pythagoras yang telah penulis susun.
b a
a a
b
1 Bukti dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah b b
dikenal berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti
a
di Mesopotamia, Mesir, juga di Cina. Tetapi, catatan ba a b
tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari Gambar (1) Gambar (2)
Pythagoras. Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji dengan diagram di atas. Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
dengan demikian a2 + b2 = c2
.
b a
2 Bukti lain menggunakan diagram Pythagoras a c
b
c
Bukti yang penulis susun sendiri berikut ini lebih sederhana tetapi
menggunakan sedikit manipulasi aljabar. Keempat segitiga siku-siku yang cc
b
kongruen disusun membentuk gambar di samping ini. Nah, dengan menghitung a
luas bangun bujursangkar yang terjadi melalui 2 cara akan kita peroleh:
a b
( a+ b)2 = c2 + 4. 1 /2 ab
a 2 + 2 ab+ b =
2 c2 + 2 ab
a 2 + b =
2 c2 (sumardyono, 2003)
3 Bukti dari Bhaskara D C
Bukti berikut ini, pertama kali terdapat pada karya Bhaskara R
(matematikawan India, sekitar abad X). Bangun ABCD di samping berupa S
bujursangkar dengan sisi c. Di dalamnya dibuat empat buah segitiga siku- Q
P
siku dengan panjang sisi a dan b . b a
Dengan konstruksi bangun tersebut maka:
Luas PQRS + 4 × luas ABQ = luas ABCD A B c
( b– a)2 + 4 × 1 /2 . ab= c2
b2 – 2 ab+ a 2 + 2 ab= c2
a2 + b2 = c2

2. 4 Bukti dari J.A. Garfield
b
Luas daerah trapesium di samping dapat dihitung dengan dua cara hingga kita
Luas trapesium = (alas + atas)/2. tinggi = ( + )/2. ( + ).
= 2. 1 2 ab / 2
Sehingga, a b a b / +12 c b
2 + 2 + = 2 + 2
+ 2 c
b
5 Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun
B
b
atau 2
= … (1) 2
D
c
a a
ABC ~ CBD sehingga = 1 a c.c2
a
+ 2
= +1 C A
a2
b c. c1 c
a b2 cc
2 + = 2
o
berlawanan arah dengan
A’
y
a
2
B rotasi
1 b x (3)
--------------------------------------- +
a2 /2 2 = (1) + [ (2) + (3) ] (2)
1 /2 + cy B’ C = C’
= 1 c x y
1 / pusat rotasi
= c2
a2 b c2

3. 2 a2
bc
ac
setiap sisi dengan .
c
Lalu bentuk dua segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan sisi
c2 a b2
Bukti yang sejenis ini terdapat pula dalam beberapa buku dan publikasi, seperti oleh Birkhoff.
Perhatikan bahwa kelima gambar di samping memuat daerah gelap dengan luas yang sama
dibagi menjadi
dua daerah b
b c
Perhatikan proses dari diagram di samping
luas daerah gambar awal a b2 / ab a
c
luas daerah gambar akhir c2
/ ab a
bangun hitam
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah b
a c
sehingga dengan mengurangi masing-masing oleh
atau mengambil kedua bangun segitiga siku-siku c a
a2 b c2 b
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara menggeser, memotong, dan memutar.

4. 11 Bukti dari Euclides
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclides. Perhatikan gambar di bawah ini.
DBQE = NLBD ….. kedua bangun kogruen P
= MLBC …… alas sama-sama BL dengan tinggi tetap BD
= SRBC …… alas sama-sama BC dengan tinggi tetap BR
E
= a2 U A
ADEP = KNDA …… kedua bangun kogruen
Q
= KMCA …... alas sama-sama AK dengan
D
tinggi tetap AD
= UTCA …… alas sama-sama AC dengan K
tinggi tetap AU T
C B
= b2
c 2 N
= DBQE + ADEP
= a2 + b2
M L S R
12 Bukti dari Leonardo da Vinci F
G
Diberikan segitiga siku-siku ABC. Buatlah segitiga JHI kongruen dengan ABC. E
Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC dan EDGF adalah kongruen. (mengapa?). B
Bukti Teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
luas(ADGC) + luas(EDGF) = luas(ABHI) + luas(JHBC) D
A C
luas(ADEFGC) = luas(ABCJHI)
Tetapi kedua bangun memuat 2 segitiga yang kongruen dengan segitiga
O
ABC, sehingga:
luas(ADEFGC) - 2. luas(ABC) = luas(ABCJHI) - 2.luas(ABC) I J
luas(ABED) + luas(BCGF) = luas(ACJI)
H
a2 + b2 = c2 .
13 Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan c
a
segitiga ABC, seperti pada gambar kiri, lalu tambahkan sebuah
b- a. Maka akan kita peroleh bahwa: b
bujursangkar dengan sisi
P O N
luas(KMNPQR) = luas(KSQR) + luas(SMNP) 1
= a2 + b2 5 3
R Q 3
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk 45
bangun kanan. Bangun yang terjadi adalah bujursangkar dengan 12 4
2
sisi c, sehingga luasnya c2 . (sumardyono, 2003)
KL M
S

5. 14 Bukti dari Liu Hui
Bukti berikut bersifat geometris.
Tetapi Anda dengan mudah dapat membuktikannya secara
aljabar.
15 Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan merupakan generalisasi Teorema
Pythagoras. Diberikan sebarang segitiga ABC. Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian hingga
BA’C = AB’C = BAC. (untuk gambar kiri BAC tumpul dan untuk gambar kanan BAC
lancip). Dengan demikian mudah dibuktikan bahwa ABC, CBA’ , dan ACB’ saling sebangun.
Lalu karena kesebangun itu, mudah ditunjukkan bahwa: C
BC/AB = A’B/BC , dari segitiga ABC dan CBA’
AC/AB = AB’/AC , dari segitiga ABC dan ACB’ C
2 B A
Sehingga akan kita peroleh: BC + AC 2 = AB (A’B + AB’). A’ B’
Nah, apabila sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras terpenuhi .
B A
B’ A
16 Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan merupakan suatu generalisasi.
Buat sebarang segitiga ABC. Lalu buat sebarang jajargenjang CADE (di sisi CA) dan sebarang
jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian perpanjang DE dan FG hingga bertemu, katakan di H.
Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan sama panjang dengan HC.
Maka, H
luas(CADE) = luas(CAUH) = luas(SLAR) , juga EG
luas(CBFG) = luas(CBVH) = luas(SMBR)
C
-------------------------------------------------------------------- +
U V
luas(CADE) + luas(CBFG) = luas(ABML)
Nah, bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut siku- D F
R
siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar, AB
maka kita akan mendapatkan bukti Teorema Pythagoras.
LSM
==============
Demikian beberapa bukti Teorema Pythagoras. Selain sebagai problem bukti tersebut
solving,
di atas dapat untuk melatih pemahaman siswa terhadap konsep-konsep matematika yang

6. diperlukan untuk pembuktian tersebut. Beberapa bukti di atas ada yang tidak diperjelas
dengan kata-kata atau persamaan aljabar, hal ini dimaksudkan sebagai kesempatan latihan
bagi pembaca. Selain itu, pembaca dapat melihat ada bukti-bukti yang dekat hubungannya.
*) Sumardyono, S.Pd.
Staf Unit Rancang Bangun
PPPG Matematika Yogyakarta