1. In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di
triangolo, ovvero, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) pari al numero in
oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo
rettangolo isoscele o un triangolo equilatero, come nella figura sotto.
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Formula di Gauss
L'n-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss
Osservando che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi pari all'indice della
riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la
formula corrisponde a quella della somma dei primi termini della progressione aritmetica di
ragione 1.
È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'n-esimo
triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati e , che è formato da
punti, il doppio di quelli del triangolo.
L'n-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un
insieme di elementi.
Elenco di numeri triangolari
I primi numeri triangolari sono:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300,
325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990,
1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830,
1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

2. e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.
Relazioni con altri numeri figurati
La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:
;
esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari
(eventualmente ripetuti, come in ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel
1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
la somma dei primi numeri triangolari è pari all'n-esimo numero tetraedrico;
l'n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per ; ogni altro
numero triangolare è un numero esagonale;
la differenza tra l'n-esimo numero m-gonale e l'n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale
all'(n-1)-esimo numero triangolare.
Altre proprietà
(somma di numeri triangolari);
(prodotto di numeri triangolari);
tutti i numeri perfetti sono triangolari;
i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro
somma vale pertanto 2;
il quadrato dell'n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi cubi:
.
Test per i numeri triangolari
Per stabilire se il numero è triangolare si può calcolare l'espressione:
Se, è intero, allora è l'm-esimo numero triangolare, altrimenti non è triangolare.