Early algebra, progetto ArAl: Incontro 3 al corso di formazione MEMO

1. Incontro laboratoriale 3
Esplorazione di ambienti che favoriscono
il passaggio alla generalizzazione
Giancarlo Navarra
GREM, Università di Modena e Reggio Emilia
Modena - 9 dicembre 2014

2. Concetti in gioco
• Verbalizzare
• Argomentare
• Linguaggio naturale / matematico
• Tradurre
• Rappresentazione di un numero
• Forma canonica e non canonica di un numero
• Processo / prodotto
• Parafrasi
• Connotazione / denotazione
• Uguale
• Rappresentare / risolvere
MEMO - 9 novembre 2013, 2

3. Ambiente 1
MEMO - 9 novembre 2013, 3
Griglie di numeri
Unità 4 della Collana ArAl

4. La griglia 10×10
MEMO - 9 novembre 2013, 4

5. La griglia 10×10: le ‘regole’
MEMO - 9 novembre 2013, 5

6. La griglia 10×10 incompleta e i percorsi
MEMO - 9 novembre 2013, 6
Esempi di percorsi:
Da 21 a 55
• 21+10+10+10+1+1+1+1
• 21+10×3+1×4
• 21+30+4
• 21+34
• 21+1+1+1+1+10+10+10
• 21+1×4+10×3
• 21+4+30
• 21+11+11+11+1
• 21+11×3+1
• 21+33+1
• 21+1+11+11+11
• …

7. La griglia 10×10: le isole
MEMO - 9 novembre 2013, 7
63+9×2-11-10
63+9×2-11×1-10×1
63+18-11-10

8. Concetti in gioco
• Rappresentazione di un numero
• Forma canonica e non canonica di un
numero
• Parafrasi
• Connotazione / denotazione
• Processo / prodotto
• Trasparente / opaco
MEMO - 9 novembre 2013, 8

9. La griglia 10×10, l’isola di Peter Pan
MEMO - 9 novembre 2013, 9

10. Esplorazione di griglie di dimensioni differenti
MEMO - 9 novembre 2013, 10

11. Verso la griglia n×n
MEMO - 9 novembre 2013, 11
v 5×5 6×6 8×8 10×10 n×n









12. Verso la griglia n×n
MEMO - 9 novembre 2013, 12
v 5×5 6×6 8×8 10×10 n×n
 +1 +1 +1 +1 +1
 -1 -1 -1 -1 -1
 +5 +6 +8 +10 +n
 -5 -6 -8 -10 -n





13. Verso la griglia n×n
MEMO - 9 novembre 2013, 13
v 5×5 6×6 8×8 10×10 n×n
 +1 +1 +1 +1 +1
 -1 -1 -1 -1 -1
 +5 +6 +8 +10 +n
 -5 -6 -8 -10 -n
 +4 +5 +7 +9 ?
 -4 -5 -7 -9 ?
 +6 +7 +9 +11 ?
 -6 -7 -9 -11 ?

14. Verso la griglia n×n
MEMO - 9 novembre 2013, 14
v 5×5 6×6 8×8 10×10 n×n
 +1 +1 +1 +1 +1
 -1 -1 -1 -1 -1
 +5 +6 +8 +10 +n
 -5 -6 -8 -10 -n
 +(5-1) +(6-1) +(8-1) +(10-1) +(n-1)
 -(5-1) -(6-1) -(8-1) -(10-1) -(n-1)
 +(5+1) +(6+1) +(8+1) +(10+1) +(n+1)
 -(5+1) -(6+1) -(8+1) -(10+1) -(n+1)
-n+1
-n-1
Rappresentazione
canonica e non canonica
di un numero

15. La griglia 10×10, completare frammenti
MEMO - 9 novembre 2013, 15
24+125
13
23
33 34 35
14 15
a+1
24+11
a+11

16. La griglia 10×10, riordinare caselle sparse
MEMO - 9 novembre 2013, 16

17. La griglia 10×10, riordinare caselle sparse
MEMO - 9 novembre 2013, 17
a-20
a
a-9×2
a+10
a+2
a-9

18. Procedendo nella generalizzazione
MEMO - 9 novembre 2013, 18
10×10 n×n
a
a-9
a+1
a-11
a+9
a
a+10-1
a+n-1
a-(10+1)
a-(n+1)
a-(10-1)
a-(n-1)
a+1

19. Ambiente 2
MEMO - 9 novembre 2013, 19
Piramidi di numeri
Unità 4 della Collana ArAl

20. Le minipiramidi: scoprire la regola
MEMO - 9 novembre 2013, 20
Il numero nel mattone in alto è la somma
dei due numeri nei mattoni della base
Per trovare il numero nel mattone in alto devo
sommare i due numeri nei mattoni della base
Definizione procedurale
Definizione relazionale
3+4

21. Le piramidi: i numeri nascosti
MEMO - 9 novembre 2013, 21
d=25-13
Il numero sotto la macchia è la differenza
fra il numero in alto e il numero a sinistra

22. Esplorare le piramidi
MEMO - 9 novembre 2013, 22
Il numero centrale è la semidifferenza fra il
numero in alto e la somma dei numeri laterali
13+c×2+15=36
  2:1513(36 c
2
)1513(36 
c

23. Le piramidi a quattro piani
MEMO - 9 novembre 2013, 23

24. MEMO - 9 novembre 2013, 24
Le piramidi a quattro piani

25. MEMO - 9 novembre 2013, 25
Le piramidi a quattro piani

26. La piramide si alza
MEMO - 9 novembre 2013, 26

27. MEMO - 9 novembre 2013, 27
Il numero in alto man mano che la piramide si alza

28. MEMO - 9 novembre 2013, 28
Il numero in alto man mano che la piramide si alza

29. MEMO - 9 novembre 2013, 29
Piramidi, numeri pari e dispari, problemi

30. Piano del corso: incontri e intervalli fra gli incontri
Modena - 17 settembre 2014 30
• Implementazione in classe delle
attività esplorate nel laboratorio
dell’incontro precedente (
materiali: trascrizioni, protocolli
commentati, episodi, immagini,
riflessioni, …);
• Supporti: Unità, blog (Kit teorico);
• Condivisione di idee e informazioni:
gruppo ArAl in Facebook;
• I materiali vanno inseriti nel portfolio
(pagina Progetto Memo nel blog);
• E-tutoring via mail.

31. Date
Incontro Malara Navarra Giorno Data
M 0 mar 17.09
M 1 mer 15.10
M 2 mar 11.11
M 3 mar 09.12
M 4 mar 20.01
M 5 mer 25.02
M 6 mar 17.03
M concl mer 29.04
Modena - 15 ottobre2014 31