Реклама теореми Піфагора

1. Реклама теореми Піфагора

2. «Геометрія володіє двома
скарбами: один з них – теорема
Піфагора, а другий – поділ
відрізка в середньому і
крайньому відношенні… Перший
можна порівняти з мірою
золота, а другий більш нагадує
коштовний камінь»
Й. Кеплер

3. CТАРОДАВНЯ ГРЕЦІЯ

4. (580 - 500 р. до н.е.)
Чотири рази поспіль
був олімпійським
чемпіоном.

5. Мілет
Фалес Мілетський (625 до н.е. - 548 до н.е.)

6. Єгипет

7. Піраміда Хефрена
32+42=52

9. Однострунник Піфагора

10. Й. Кеплер “Музика кришталевих сфер”

11. Італія. Місто Кротон

12. Піфагор був філософом і
математиком.
Працював над властивостями
цілих чисел.
Інформатор цілого покоління,
Філософії навчав своїх учнів,
Арифметику вивчав,
Геометрія без нього, як без
рук,
Організував «піфагорійський
союз» та школу для дітей,
Релігії у ній навчав.

13. Відомо більше 370 доведень!
Різні назви
теореми Піфагора
“Ослиний міст”
“Теорема нареченої”
“Піфагорові штани”
“Вітряний млин”
“Гекатомба”
Теорема Піфагора

14. Історично виникнення та
доведення теореми
Піфагора пов’язані з
обчисленням площ. Тому
класичне формулювання
цієї теореми таке:
Площа квадрата,
побудованого на
гіпотенузі прямокутного
трикутника, дорівнює
сумі площ квадратів,
побудованих на його
катетах.
Історичне
доведення
теореми
Піфагора:

15. Історичні доведення теореми
Піфагора :
с2= +(а-b)2
c=2ab+a2-2ab+b2
с2=a2+b2
a-b
b
a
b
a
b
a
a b
( а + в)2 = 4ав + ( а - в)2 = 4 +с2
Тому а2 +2ав +в2 =2ав + с2, а2 + в2 = с2.
2
ав

16. Сучасні доведення теореми
Піфагора :
∆ ABC ∆ ACH, тому
АС/АВ = АН/АС,
АС2 =АВАН
∆ ABC ∆ СВH, тому
ВС/АВ = ВН/ВС,
ВС2 =АВВН
Звідси АС2 + ВС2 =
=АВ  (АН +ВН) =
=АВАВ = АВ2
АС2 + ВС2 = = АВ2
С
Н
В
А

17. B
A
C
N
M
ВC2 = BN*BM=(AB-AN) (AB+AM);
AN=AM=AC то ВC2=(AB-AC)
(AB+AC)= AВ2_ АС2 ;
Звідки AВ2 = АС2 + ВC2 .
В
С
А
са
b
acb 
babac 2222

ba  0ab
222
bac 
с2=a2+b2

18. Найпростіший спосіб доведення
теореми виходить в
найпростішому випадку
рівнобедреного
прямокутного трикутника.
Насправді, досить просто
подивитися на мозаїку
рівнобедрених прямокутних
трикутників, щоб
переконатися в
справедливості теореми.
Наприклад, для трикутника
ABC : квадрат, побудований
на гіпотенузі АС, містить 4
початкові трикутники, а
квадрати, побудовані на
катетах, - по два.
Теорема доведена.
B C
А
Найпростіший спосіб доведення :

20. Застосування теореми Піфагора

22. Давньоіндійська задача
Над озером тихим
Висотою з півфута підіймалась лотоса
квітка,
Яка росла одиноко.
Та вітер скаженим поривом відніс її
вбік.
І не стало видно квітки над водою.
Знайшов же її тільки рибалка
ранньою весною
В двох футах від місця, де вона росла.
Отже, пропоную я вам запитання:
Яка в цьому місці на озері води
глибина?

23. Задача «Дві вежі»:
Дві вежі, висотою 30 і 40 футів,
розташовані одна від одної на
відстані 50 футів. Між ними
знаходиться фонтан,
до якого одночасно з верхівок
веж з однаковою швидкістю
вилетіли два голуби. Визначте,
яка відстань від фонтана
до кожної з двох веж, якщо голуби
долетіли до нього одночасно?

24. Задача «Стрибок мавпочки»:
На дереві сиділо дві мавпочки:
одна на самій верхівці дерева,
інша – на висоті 10 ліктів від землі.
Другій мавпочці захотілося напитися води
з джерела, що знаходилось на відстані
40 ліктів від дерева.
Вона злізла з дерева і пострибала до води.
У той самий час перша зістрибнула з дерева
І потрапила до цього ж джерела.
Обидві мавпочки подолали однакову відстань.
Визначте, з якої висоти зістрибнула

25. На вершину єгипетської піраміди
найкоротшим шляхом
повзе мурашка із швидкістю 2 м/хв.
Скільки часу необхідно мурашці,
щоб дістатися до вершини піраміди,
якщо довжина її основи 232 м,
а кут між бічним ребром і стороною 58○?

26. На березі річки тополя росла
І вітру порив її стовбур
зламав.
Тополя упала і стовбур її
Кут прямий з течією ріки
утворив.
Пам’ятай, в тому місці ріка
Чотири фути була шириною.
Верхівка схилилась до краю,
Залишивши три фути всього
над водою.
Прошу, тепер швидше скажи
мені ти:
Тополя якої була висоти?
Задача індійського математика Бхаскара

27. Сучасні Практичні
Задачі

28. Довжина драбини
Знайти довжину
драбини,
прикладеної до
будинку, якщо один
її кінець находиться
на відстані 4м від
будинку, а другий
на зіткненні стіни і
даху. Висота
будинку дорівнює
8м

29. Відстань між вершинами
ялинок :
За 40м одна від однієї
ростуть дві ялинки.
Ви заміряли їх
висоти: виявилося,
що одна із них має
висоту 31м, а інша,
молода – 6м. Чи
можете ви
обчислити, якою є
відстань між їхніми
верхівками?

30. Задача про літак :
З аеродрому вилетіли
одночасно два літаки:
один- на захід, інший -
на південь. Через дві
години відстань між
ними була 3600 км.
Знайдіть суму
швидкостей літаків,
якщо швидкість одного з
них становила 75%
швидкості іншого.

31. Задача
Скільки метрів кабелю потрібно, щоб
підключити електричну енергію від
стовпа до приміщення гімназії?

32. Математична модель задачі
АВ=12,4(м) – висота
стовпа;
СД=4,6 (м) – висота
на якій підключена
електрична енергія до
приміщення;
АД=СД=26 (м) –
відстань між
приміщенням і
стовпом.
С
Д
В
А
Н

33. Розв'язання :
З прямокутного трикутника ВНС :
ВС = ВН + НС ;
ВН = АВ – АН = 12,4 - 4,6= 7,8 (м);
ВС = 7,8 + 26 = 736,84 27,15(м);
2 2 2
2 2
Враховуючи провисання проводу :
ВС 18 (м).

35. Збереглась легенда, що розповідає, як довівши
свою знамениту теорему, Піфагор приніс богам у
жертву бика, а за іншими джерелами, навіть 100
биків.

36. Теоремою Піфагора та його
школою захоплюється
людство протягом всієї
історії, їм присвячені вірші,
пісні, малюнки, картини.
Так, художник
Ф.А. Бронніков
(1827 – 1902)
намалював картину
«Гімн
піфагорівців
сонцю, що
сходить»

37. У Греції була
випущена
поштова марка з
нагоди
перейменування
острова
Самос в острів
Піфагорейон.
На марці надпис:
«Теорема Піфагора.
Эллас. 350 драхм»
Ця красива марка
майже єдина серед
багатьох тисяч
існуючих,
на яких зображено
математичний факт.

38. Математика універсальна мова Всесвіту !

39. Дякуюємо
за увагу!