1. ªíöºã
1. ªíöãèéí òîäîðõîéëîëò , ºíöãèéí îðîé áà òàëóóä ºíöãèéí
äîòîîä áà ãàäààä õýñýã
2. ªíöãèéí äîòîîä áà ãàäààä õýñýã
3. Õºðø , õàìàð , áîñîî ºíöã¿¿ä
4. ªíöãèéí õýìæýý
5. ªíöºã áàéãóóëàõ
6. Õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõ øóëóóíààð îãòëîõîä ¿¿ñýõ
ºíöã¿¿ä
7. Øóëóóíû ïàðàëëåëèéí øèíæ
8. Õàðèëöàí ïàðàëëåëü áà ïåðïåíäèêóëÿð òàëòàé
ºíöã¿¿ä

2. ªíöºã : Õàâòãàé äýýðõ åðºíõèé ýõëýëòýé 2 öàöðàãèéí íýãäëèéã ºíöºã ãýíý.
Öàöðàãóóäûã ºíöãèéí òàëóóä ãýíý. Åðºíõèé ýõëýëèéã ºíöãèéí îðîé ãýíý.
A
Ñ ºíöãèéí îðîé , ÑÀ áà Ñ ºíöãèéí òàëóóä
ºíöãèéí
äîòîîä ªíöãèéã òýìäýãëýõ : ÀÑ , ÂÑÀ , Ñ
ìóæ
C
B
Òàëóóä áîëîí îðîé , òàëóóä äýýð îðøèõ öýã¿¿ä çýðãèéã ºíöãèéí ýëåìåíò¿¿ä ãýíý.
Äàðààõ ºíöã¿¿äèéí îðîé áà òàëóóäûã íýðëýíý ¿¿?
L
B W
f
k E
k H F
m
M
D n
n C Y Q
G

3. ªíöãèéí äîòîîä áà ãàäààä ºíöºã
Ãàäààä À õýð÷èì äýýðõ äóðûí N öýãèéã ÀΠºíöãèéí äîòîîä
K ìóæ
Äîòîîä öýã ãýíý.
N ìóæ
O Äîòîîä öýã¿¿äèéí îëîíëîãèéã ºíöãèéí äîòîîä ìóæ
B
ãýíý.Áóñàä á¿õ öýã¿¿äèéí îëîíëîãèéã óã ºíöãèéí
ãàäààä ìóæ ãýíý.
Äàñãàë : 1. MAB ºíöºã çóðæ ãàäààä ìóæèéí D öýã , äîòîîä ìóæèéí E öýã òóñ
òóñ òýìäýãëý.
2. DSB , AWT , OPF , QXZ , RHC ºíöã¿¿äèéã çóðæ îðîé áà
òàëóóäûã íýðëý.
3. à. Äàðààõ çóðàã äýýðõ ºíöã¿¿äèéã íýðëý.
A
E á. ABC ºíöãèéí õóâüä Å , D , K , L
D öýãèéí áàéðëàëûã òîäîðõîéë.
C
B
K

4. A Æèøýý íü: AOB áà ÂÎÑ ;
a AOC áà ÑÎD ; AOB áà BOD ;
b B BOC áà COD íü õîñ õîñîîðîî õºðø
O
ºíöã¿¿ä þì. Õàðèí AOB áà COD
C íü õºðø áèø ºíöã¿¿ä þì.
c
D d

5. Åðºíõèé áèø õî¸ð òàë íü Åðºíõèé îðîéòîé òàëóóä íü íºãºº
ýñðýã ÷èãëýñýí õºðø õî¸ð ºíöãèéí òàëóóäòàé õàðèëöàí
ýñðýã ÷èãëýñýí õî¸ð ºíöãèéã áîñîî
ºíöãèéã õàìàð ºíöã¿¿ä ãýíý ºíöã¿¿ä ãýíý.
D D
A A F
O G
C C
B B
ºíöºã DOA áà ºíöºã AOB íü áà , áà , áà
õàìàð , ºíöºã DOC áà ºíöºã ºíöã¿¿ä íü áîñîî ºíöã¿¿ä þì
COB íü õàìàð ºíöã¿¿ä áîëíî

6. Äàñãàë : 1. Äàðààõ çóðãèéã äýâòýðòýý çóð.
À
B
F
C E
D
2. Çóðñàí çóðàã äýýðýýñýý õºðø ºíöã¿¿äèéã íýðëý.
3. Çóðãèéã àæèãëàí äàðààõ ºíöãèéí íèéëáýð áà
ÿëãàâðûã îë.
CAE + BAC = FAE + CAE =
CAE + CAB = BAF – EAF =

7. Äààëãàâàð
Îãòëîëöñîí ãóðâàí øóëóóí çóðæ , õàìàð , áîñîî
ºöã¿¿äèéí íýðëý.
Õàìàð áà áîñîî ºíöã¿¿äèéã òðàíñïîðòèð àøèãëàí
õýìæèæ èðýõ

8.  ªíöãèéí õýìæýý
 ªíöãèéã õýìæèõ íýãæ
 ªíöãèéí õýëáýð¿¿ä

9. ªíöãèéí õýìæýý
Òàëóóä íü ýñðýã ÷èãëýñýí ºíöãèéã
äýëãýìýë ºíöºã ãýíý.
À Î Â
ÎÀ áà Πøóëóóíóóä íü ýñðýã ÷èãëýñýí õàãàñ
øóëóóíóóä þì.

10. Íýã ºíöãèéí îðîé áà òàëóóäûã íºãºº ºíöãèéí îðîé áà òàëóóäòàé
äàâõöóóëàí òàâüæ áîëæ áàéâàë òýäãýýðèéã òýíö¿¿ ºíöã¿¿ä
ãýíý.
Íýãæ áîëãîí ñîíãîæ àâñàí ºíöºã , ºãºãäñºí ºíöºãò õýäýí óäàà áàãòàõûã
çààñàí ñºðºã áèø òîîã ºãºãäñºí ºíöãèéí õýìæýý ãýíý.
Ìàòåìàòèêò äýëãýìýë ºíöãèéã 180 õóâààñíû 1 õýñýã áóþó 1/180 – òýé
òýíöýõ ºíöãèéã 10 ãýæ òýìäýãëýæ íýðëýýä ºíöãèéã õýìæèõ íýãæ áîëãîí
àâ÷ýý. Äýëãýìýë ºíöºã íü 1800 õýìæýýòýé áàéíà

11. Çàðèìäàà ìàø áàãà ºíöãèéã õýìæèõ õýðýãòýé áîëäîã.
¯¿íä ìèíóò , ñåêóíä ãýõ ìýò æèæèã íýãæèéã àøèãëàíà.
1
180 Çàðèì ¿åä ìàø áàãà ºíöãèéã õýìæèõ õýðýãòýé
áîëäîã.¯¿íä ìèíóò ,ñåêóíä ã.ì
/
1
1 ãðàäóñ íü 60 ìèíóò , 1 ìèíóò íü 60 ñåêóíòòýé òýíö¿¿
òýìäýãëýõ íü 10 - ãðàäóñ ,1/ - ìèíóò , 1// ñåêóíò
-

12. Õºðø õî¸ð
ºíöãèéí íéèëáýð íü òýäãýýðèéí åðºíõèé áèø õî¸ð òàëààð
¿¿ñýõ ºíöãèéí õýìæýýòýé òýíö¿¿
ÀÎÂ –èéí äîòîð äóðûí Ê öýã òýìäýãëýæ ÎÊ öàöðàã
òàòâàë ÀÎÊ + ÊÎÂ = ÀÎÂ áîëíî.
À
Ê
Â
Î

13. Àêñèîì 11 . ªíöºã áàéãóóëàõ àêñèîì : ªãñºí À öàöðãàèéí çààñàí òàëä
0
ºãñºí õýìæýýòýé 180 -ààñ áàãà ÀΠºíöºã çºâõºí ãàíöûã áàéãóóëæ
áîëíî.
0
Òåîðåì 4. Õàìàð ºíöã¿¿äèéí íèéëáýð 180
áàéíà
0
QRF íü äýëãýìýë ºíöºã ó÷èð 180 -òàé
S
òýíö¿¿ áàéíà. Èéìýýñ QRS + SRF = 180
0
Q R F
B
A
O
C
Òåîðåì 5 .Áîñîî D
ºíöã¿¿ä òýíö¿¿
Îãòëîëöñîí õî¸ð øóëóóíûã àæèãëàæ áîñîî ºíöã¿¿ä òýíö¿¿ áîëîõûã áàòàë.
¯¿íä õàìàð ºíöã¿¿äèéí íèéëáýð 180 ãýäãèéã àíõààðàõ

14. Õè÷ýýë ¹3

15. Õóðö
180 Òýãø
ãàðäóñààñ
áàãà ºíöãèéã Ìîõîî
-ãýæ ãóðàâ àíãèëíà.

16. F
90-ýýñ áàãà ºíöãèéã õóðö
ºíöºã ãýíý E
Î
A
90 òýé ºíöãèéã òýãø ºíöºã
ãýíý B
C
A
180-ààñ áàãà 90 ýýñ èõ ºíöãèéã
ìîõîî ºíöºã ãýíý.
B

17. 360 ºíöãèéã äóãóé
( á¿òýí ) ºíöºã ãýíý.
Äàäëàãà àæèë
à. Öààñàí äýýð ãîðòèãîîð òîéðîã çóðæ ,äóãóé õàé÷ëàí àâ.
Ò¿¿íèéã ÿìàð íýã äèàìåòðýýð íóãàëàí øóãàì ãàðãà.
á. ªìíº ãàðãàñàí äèàìåòðò ïåðïåíäèêóëÿð äèàìåòð íóãàë
â. Ýäãýýð äèàìåòð¿¿ä äóãóéã äºðâºí òýíö¿¿ õýñýãò
õóâààõûã íóãàëæ ¿ç¿¿ë.
ã. Ýíý äóãóé öààñûã õýðõýí íóãàëæ 75 0 ,60 0 , 45 0 , 30 0 , 150
-ûí õýìæýýòýé ºíöºã ãàðãàõ âý?

18. Æèøýý : Äàðààõ çóðãààñ òýãø , õóðö , ìîõîî
ºíöã¿¿äèéã íýðëý
D Ñ
Å
À Â
Î
Äàðààõ ºíöã¿¿äýýñ òýãø , õóðö , ìîõîî ºíöã¿¿äèéã ÿëãàí áè÷
45 , 64 , 120 , 59 , 91 , 139 , 90 , 91 , 179 , 85 , 121
,

19. ªíöãèéã òýíö¿¿ õî¸ð ºíöºãò õóâààæ
, îðîéã íü äàéðàí ãàðñàí øóëóóíûã óã
ºíöãèéí áèññåêòðèñ ãýíý.
O
Çóðàã äýýð ºíöºã AOB –èéí
N Q áèññåêòðèñ NQ öàöðàãèéã
ä¿ðñýëñýí áàéíà. ªíöºã AOB
íü AOC áà BOC ãýñýí òýíö¿¿
õî¸ð ºíöºãò õóâààãäæýý.
P

20. Áàéãóóëàõ áîäëîãî
ªíöãèéí áèññåêòðèñ
áàéãóóëàõ
ßìàð íýã ºíöºã ºãñºí áàéã. 2. À áîëîí  öýãò òºâòýé
ºìíºõòýé èæèë ðàäèóñòàé
1. Î òºâòýé äóðûí òîéðîã
òîéðãóóä òàòâàë òýä Ñ öýãò
òàòàõàä ºíöãèéí òàëóóäûã À îãòëîëöîíî . ÎÑ öàöðàã íü ÀΠ– ûí
áà Â öýãò îãòîëíî. áèññåêòðèñ áîëíî

21. Õè÷ýýë ¹ 4
Õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð
îãòëîõîä ¿¿ñýõ ºíöã¿¿ä

22. a
b 1
5 3 2
c7 6
4
8
ñ øóëóóíûã îãòëîã÷ øóëóóí ãýíý. Ýäãýýð ºíöã¿¿ä äîòðîîñ
a , b øóëóóíû õîîðîíä îðøèõ 3 , 4 , 5 , 6 äóãààðòàé
ºíöã¿¿äèéã äîòîîä ºíöã¿¿ä a , b øóëóóíû ãàäíà îðøèõ 1 , 2
, 7 , 8 äóãààðòàé ºíöã¿¿äèéã ãàäààä ºíöã¿¿ä ãýíý.

23. Ýäãýýð ºíöã¿¿äèéã õî¸ð õî¸ðîîð íü õîñëóóëæ “õàðãàëçñàí ºíöºã” ,
“äîòîîä ñîëáèñîí ºíöºã” , “äîòîîä ºðººë ºíöºã” , “ãàäààä ñîëáèñîí ºíöºã” ,
“ãàäààä ºðººë ºíöºã” ,ãýæ íýðëýäýã áàéíà.

24. Õàðãàëçñàí Äîòîîä Äîòîîä ºðººë
ºíöºã ñîëáèñîí ºíöºã ºíöºã
1 2 1 áà 5 4 áà 5
3 3 áà 5
2 áà 6
56 5 4 5
6
4 áà 6
3 áà 7 3 3 áà 6 4
34 4 áà 8 6
7 6
8

25. Äàñãàë, æèøýý
à b
56
1.Çóðàã äýýðõ 7 b c
8 2 1c 1 2
ºíöã¿¿äèéã íýðëý 3 4 5 7
4 3 a 6 8
ªãºãäºí çóðàã äýýðõ ºíöã¿¿äýýñ òîõèðîõ à
ºíöãèéã îëæ öýãèéã îðîíä íºõºæ áè÷: ñ
à. 4 áà …..íü õàðãàëçñàí ºíöºã b 2
á. … áà 7 íü áîñîî ºíöºã 1 3
4
â. 1 áà ….íü äîòîîä ñîëáèñîí ºíöºã 5
ã. 6 áà ….íü äîòîîä ºðººë ºíöºã 7 6
ä. 8 áà ….íü õàìàð ºíöºã 8
å. 3 áà …íü ãàäààä ñîëáèñîí ºíöºã

26. Äàñãàë ¹ 3
ªãºãäñºí íºõöºëèéã àøèãëàí òîîãîîð çóðàã äýýð òýìäýãëý.
1áà 6 – õàðãàëçñàí ºíöºã
3 áà 7 – ãàäààä ºðººë ºíöºã
1 áà 8 – ãàäààä ºðººë ºíöºã
3 áà 2 – áîñîî ºíöºã
2 áà 8 – õàðãàëçñàí ºíöºã
2 áà 5 – äîòîîä ñîëáèñîí ºíöºã
4 áà 8 – ãàäààä ñîëáèñîí ºíöºã
1 áà 7 – õàðãàëçñàí ºíöºã
3 áà 5 – äîòîîä ºðººë ºíöºã
2 áà 6 – äîòîîä ºíöºã

27. Áîäëîãî 4
1. Ïàðàëëåëü õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð
îãòëîõîä ¿¿ñýõ äîòîîä ºíöã¿¿äèéí íýã 58 áîë áóñàä
ºíöã¿¿äèéã îë .
2. Ïàðàëëåëü õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð
îãòëîõîä ¿¿ññýí äîòîîä ñîëáèñîí ºíöã¿¿äèéí íèéëáýð
à. 68 ; á. 126 â. 94 ,0 ã. 258 áîë áóñàä
ºíöã¿¿äèéã îë.

28. Áîäëîãî 4.
Ïàðàëåëü õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð Äîòîîä ºðººë
îãòëîõîä ¿¿ññýí ºðººë ºíöã¿¿äèéí íýã íü íºãººãººñºº ºíöã¿¿äèéí
à. 24 –ààð èõ ; á. 32 -ààð èõ ; â. 3 äàõèí íèéëáýð 180 –
áàãà ; ã. 2 äàõèí áàãà áîë ýäãýýð áîëîí áóñàä òàé òýíö¿¿
ºíöã¿¿äèéã îë. ãýäãèéã
àøèãëàõ
Äààëãàâàð
Õî¸ð øóëóóíûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð îãòëîõîä ¿¿ñýõ
ºíöã¿¿ä òýäãýýðèéí íýð òîìú¸îã ;äàâòàõ , äîòîîä ñîëáèñîí
áà ºðººë ºíöã¿¿ä , òýäãýýðèéí ÷àíàðûã õýðýãëýæ ñóðàõ ,
ïàðàëëåëü øóëóóíóóäûã ãóðàâ äàõü øóëóóíààð îãòëîõîä
¿¿ñýõ ºíöã¿¿äèéí ÷àíàðûã áîäëîãî áîäîõîä õýðõýí
õýðýãëýñýí òóõàéãàà äàâòàí ¿çýõ

30. ªìíº ¿çñýí õè÷ýýëýý äàâòàí ÿðèëöúÿ
1
Äàðààõ çóðàã äýýðýýñ äîòîîä ºðººë 3
2
ºíöã¿¿ä áîëîí äîòîîä ñîëáèñîí ºíöã¿¿ä , 5 6
4
õàðãàëçñàí ºíöã¿¿äèéã íýðëýíý ¿¿! 8 7
a áà b øóëóóíóóä ïàðàëëåëü ãýæ
ìýäýãäýæ áàéâàë äàðààõ
c ºíöã¿¿äèéã îë:
a à.1 – íü 56 áîë áóñàä ºíöãèéã îë
á. 4 áà 6 –èéí íèéëáýð 100 áîë áóñàä
b ºíöã¿¿äèéã îë.
â. 5 áà 7 –èéí íèéëáýð 210 áîë áóñàä
ºíöãèéã îë.
ßìàð ÷àíàð õýðýãëýí áîäîæ áîëîõ òàëààð
ÿðèëöàí öýýæýýð áîäîöãîî¸!

31. A
ABC ºíöãèéí BA , BC òàëóóä MNP ºíöãèéí M
NM , NP òàëóóäòàé õàðãàëçàí ïàðàëëåëü
áºãººä ÀÌÑ = 48 áîë B D C
à. MNP , CDN ºíöã¿¿äèéí õýìæýýã îë
á. ABC , CDN ºíöã¿¿äèéí íèéëáýðèéã
N P
 1) BA II NP ó÷ðààñ MDC = MNP (õàðãàëçñàí ºíöºã)
2) BC II NP ó÷ðààñ MDC = MNP (õàðãàëçñàí ºíöºã)
3) Эндээс ABC = MNP áóþó MNP = 48
4) BC II NP ãýäãýýñ CDN + MNP = 180 (äîòîîä ºðººë ºíöºã)
CDN = 180 – 48 = 132 áà MNP = ABC ó÷èð ABC + CDN = 180
áàéíà.

32. Æèøýý. Äàðààõ çóðàã äýýðõ ºíöã¿¿ä íü
õàðèëöàí ïàðàëëåëü òàëóóäòàé ºíöã¿¿ä áîëíî.
A E G N
F M O
L H
N V L M
B P Q
O
K
Òåîðåì 8 . Õýðýâ íýã ºíöãèéí
òàëóóä íºãºº ºíöãèéí òàëóóäòàé Äýýðõ çóðàã äýýð
õàðãàëçàí ïàðàëëåëü áîë òýäãýýð AOB = ELF ; GMH = NYK áà
ºíöã¿¿ä òýíö¿¿ , ýñâýë íèéëáýð íü NML + OPQ = 180 áàéíà.
180 áàéíà.

33. Òåîðåì 8 . Õýðýâ íýã ºíöãèéí òàëóóä íºãºº ºíöãèéí òàëóóäòàé
õàðãàëçàí õàðèëöàí ïåðïåíäèêóëÿð áîë òýäãýýð ºíöã¿¿ä òýíö¿¿ ,
ýñâýë íèéëáýð íü 180 áàéíà.
Äàñãàë , æèøýý
AC II BF , AB II0DE ; n II n2 áà m II m2 ; ACB OC II DE ; BOC =
1 1 0 0
CAB = 3x-100 ; = 60 ; ABC = 500 áîë
0 70 ; ADE = 50
BDE = 6x+10 áîë ÑÀ DCA áà ABE ºíöã¿¿äèéí ãýæ ºãºãäñºí áîë
ºíöãèéí õýìrýýã îë. õýìæýýã îë. AOB ºíöãèéí
õýìæýýã îë.
F n1 B
C D C
n2
D A x0 700
6x+10
0
E C 0
m1 A D
60
O 50
0
0
3x-10 0
50
E m2 E
A B G B

34. Áèå äààí áîäîõ áîäëîãî
Ïåðïåíäèêóëÿð òàëòàé 2 ºíöãèéí íýã íü íºãººãººñ
à. 12 -ààð èõ ; á. 44 -ààð áàãà ; â. 2 äàõèí èõ
áîë ýäãýýð ºíöãèéã îë.
Ïàðàëëåëü òàëòàé 2 ºíöãèéí íýã íü íºãººãººñºº à. 40- ààð
èõ á. 4:5 õàðüöààòàé â. 54 –ààð áàãà ã. 5
äàõèí èõ áîë ºíöºã òóñ á¿ðèéã îë

35. Äààëãàâàð
ABC ºíöãèéí äîòîð äóðûí D öýã àâ. D öýãèéã äàéðóóëàí óã ºíöãèéí
òàëóóäòàé ïàðàëëåëü DM áà DN øóëóóíóóäûã òàòààä ¿¿ññýí
òýíö¿¿ ºíöã¿¿äèéã íýðëý.
ABCD áà ADEF õî¸óëàà ABCD êâàäðàò , AE íü CAB
êâàäðàò áà BH íü DBF –èéí áíöãèéí áèññåêòðèñ áîë BEA -ã
áèññåêòðèñ áîë DBN –ã îë. îë
C D
C D E
H
E
B A
F B
A