Đề thi HSG Toán 9 Thanh Hóa năm 2010 - 2011. Đăng ký tài liệu 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 liên hệ cô Trang: 0948.228.325 (Zalo).

1. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi
HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Số báo danh
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Lớp: 9 THCS
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24/03/2011
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).
Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình: 2
2 2 1 0.
x mx m
    Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm
1 2
,
x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x


  
khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn
1 1 1
.
a b c
  Chứng minh rằng 2 2 2
A a b c
  
là số hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ , ,
x y z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
  
  
là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:
2 2
10
.
1 1 9
x x
x x
   
 
   
 
   
2) Giải hệ phương trình:
2
2
3
2 3
1 1
1 4
1
4.
x x
y y
x x
x
y y y
  
   
  
  

    


Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB,
sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính .
BPE
Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB
 ). P là điểm di động
trên đoạn thẳng AB ( ,
P A B
 và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường
tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P
 ).
1) Chứng minh rằng ANP BNP
 và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1) Cho 1 2 45
, ,....,
a a a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 1 2 45
.... 130.
a a a
    Đặt
1 , ( 1,2,...,44).
j j j
d a a j

   Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j
d xuất hiện ít
nhất 10 lần.
2) Cho ba số dương , ,
a b c thoả mãn: 2 2 2 2 2 2
2011.
a b b c c a
     
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2011
.
2 2
a b c
b c c a a b
  
  
............................................................. HẾT ........................................................

2. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi
HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Gồm có 3 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 9 THCS
Ngày thi: 24 - 3 - 2011
Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm
Câu I
6 đ
1)
2,5đ
Ta có 2
' ( 1) 0,
m m
     nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5
Theo định lí viet, ta có 1 2 1 2
2 , 2 1
x x m x x m
    , suy ra 2
4 1
4 2
m
P
m



1,0
2
2
(2 1)
1 1. 1,
4 2
m
MaxP
m

   

khi
1
.
2
m 
1,0
2a)
1,5đ
Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0
ab bc ca
   0,5
Suy ra 2
( )
A a b c a b c
      là số hữu tỉ 1,0
2b)
1,0đ Đặt
1 1 1
, ,
a b c
x y y z x z
  
  
suy ra
1 1 1
.
a b c
 
0,5
Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
  
  
là số hữu tỉ.
0,5
Câu II
6 đ
1)
2,5đ
Đk: 1.
x   Phương trình tương đương với
2
2 2 2 2
2 2 2
10 2 2 10
2 0.
1 1 1 9 1 1 9
x x x x x
x x x x x
 
 
      
 
 
    
   
1,0
Đặt
2
2
2
,
1
x
t
x


ta được phương trình 2 10 5
0
9 3
t t t
     hoặc
2
3
t


0,5
Với
5
,
3
t  ta được
2
2
2 5
1 3
x
x


(vô nghiệm)
0,5
Với
2
,
3
t   ta được
2
2
2 2
1 3
x
x
 

suy ra
1
.
2
x  
0,5
2)
2,5đ
Đk: 0.
y  Hệ tương đương với
2
2
3
3
1 1
4
1 1
4.
x x
y y
x
x x
y y y

   



 
    
 
  

0,5

3. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi
HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
Đặt
1
,
u x
y
x
v
y

 



 


ta được hệ
2 2
3 2
2 4 4 4 0 2
1.
2 4 4 2
u u v u u u
v
u uv u u v
 
      

 
 
  

    
  
 
1,0
Với
2
1,
u
v





ta được
1
2
1
1.
1
x
x
y
x y
y

 
 



 


 


(thoả mãn điều kiện)
1,0
Câu
III
2đ
Kẻ EF AC
 tại F, DG BC
 tại G.
Theo giả thiết ( ) ( )
ADPE BPC
S S

( ) ( ).
ACE BCD
S S
 
0,5
Mà AC BC EF DG
   và A C

Suy ra .
AEF CDG AE CG
    
0,5
Do đó ( )
AEC CDB c g c DBC ECA
       0,5
0
60
BPE PBC PCB PCD PCB
      0,5
Câu
IV
4,0đ
1)
3,0đ
Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
chung của (O) với (C), (D) tại A, B
tương ứng.
Suy ra .
ANP QAP QBP BNP
  
1,0
0,5
0,5
Ta có
ANB ANP BNP QAP QBP
   
0
180 AQB
  , suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.
Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.
0,5
Ta có 2 2
OCN OAN OBN ODN
   ,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm
trên một đường tròn.
0,5
2)
1,0đ
Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua
các điểm N, O, D, C. Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố
định.
1,0
A
O
N
C D
B
P
Q
E
H

4. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề thi
HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Câu V
2đ
1)
2,0
đ
1 2 44 2 1 3 2 45 44 45 1
... ( ) ( ) ... ( ) 130 1 129.
d d d a a a a a a a a
               (1) 0,5
Nếu mỗi hiệu ( 1,2,....,44)
j
d j  xuất hiện không quá 10 lần thì
1 2 44
... 9(1 2 3 4) 8.5 130
d d d
         mâu thuẫn với (1).
Vậy phải có ít nhất một hiêụ ( 1,...,44)
j
d j  xuất hiện không ít hơn 10 lần
1,5
2)
2,0đ
Ta có 2 2 2
2( ) ( )
a b a b
   .
Suy ra
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a c a
    
     
0,5
Đặt 2 2 2 2 2 2
, , ,
x b c y c a z a b
     
suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y x y z
VT
x y z
     
  
2 2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
y z z x x y
x y z
x y z
 
     
  
     
 
     
     
 
1,0
2 2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 3 2 3 2 3
2 2 2
2 2
y z z x x y
x x y y z z
x y z
 
     
  
        
 
     
     
 
     
1
2( ) 3 2( ) 3 2( 3
2 2
y z x z x y x y z
        
 
 
Suy ra
1 1 2011
( )
2 2
2 2
VT x y z
   
0,5