Risoluzione di un circuito con memoria al primo ordine: come trovare la costante di tempo. Elettrotecnica per l'Ingegneria, Automazione, Meccanica. Andrea Alessi

1. RISOLUZIONE DI UNRISOLUZIONE DI UN
CIRCUITO CON MEMORIACIRCUITO CON MEMORIA
AL PRIMO ORDINE:AL PRIMO ORDINE:
TROVARE LA COSTANTETROVARE LA COSTANTE
DI TEMPODI TEMPO
ELETTROTECNICAELETTROTECNICA
SPIEGAZIONE CON ESERCIZI GUIDATISPIEGAZIONE CON ESERCIZI GUIDATI
ANDREA ALESSIANDREA ALESSI

2. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

3. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
PRINCIPALI STEP PER LA RISOLUZIONE DEL CIRCUITO
 ELIMINARE I GENERATORI DI CORRENTE/TENSIONE
INDIPENDENTI
 SOSTITUIRE IL COMPONENTE CON MEMORIA CON IL SUO
EQUIVALENTE GENERATORE INDIPENDENTE (IN QUESTO CASO UN
GENERATORE DI CORRENTE)
 IL VERSO DELLA CORRENTE O TENSIONE E’ ARBITRARIO
 DARE UN NOME ED UN VERSO ARBITRARIO AD OGNI CORRENTE DI
RAMO
 SCRIVERE LE LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI AGLI N-1
NODI DEL CIRCUITO (E’ PREFERIBILE SCEGLIERE SE E’ POSSIBILE
UN NODO CHE NON CONTENGA LA CORRENTE NELL’INDUTTORE)

4. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

5. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

6. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

7. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI:LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI:
 METTIAMO LE CORRENTI IN FUNZIONI DELLE ALTRE TRAMITE SEMPLICIMETTIAMO LE CORRENTI IN FUNZIONI DELLE ALTRE TRAMITE SEMPLICI
REGOLE DELLA MATEMATICAREGOLE DELLA MATEMATICA
 SCEGLIAMO UNA MANIERA FURBA CHE PUO’ ESSERE QUESTASCEGLIAMO UNA MANIERA FURBA CHE PUO’ ESSERE QUESTA
 ED INFINE LE SCRIVIAMO COSI’:ED INFINE LE SCRIVIAMO COSI’:
 E’ CONVENIENTE PER FACILITA’ DI LETTURA SOSTITUIRLE NEL CIRCUITOE’ CONVENIENTE PER FACILITA’ DI LETTURA SOSTITUIRLE NEL CIRCUITO
 N.B. NON E’ L’UNICA SOSTIUZIONE POSSIBILEN.B. NON E’ L’UNICA SOSTIUZIONE POSSIBILE

8. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

9. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 GIUNTI A QUESTO PUNTO DOBBIAMO IDENTIFICARE LE NOSTREGIUNTI A QUESTO PUNTO DOBBIAMO IDENTIFICARE LE NOSTRE
CORRENTI INCOGNITE CHE SONO: I e ICORRENTI INCOGNITE CHE SONO: I e I22 E LE METTIAMO INE LE METTIAMO IN
FUNZIONE DI IFUNZIONE DI ILL
 PER TROVARLE SARA’ SUFFICIENTE SCRIVERE LE LEGGI DIPER TROVARLE SARA’ SUFFICIENTE SCRIVERE LE LEGGI DI
KIRCHHOFF DELLE TENSIONI DI MAGLIA CON I RAMI CHEKIRCHHOFF DELLE TENSIONI DI MAGLIA CON I RAMI CHE
CONTENGONO LE CORRENTI INCOGNITE, UNA MAGLIA E’ UNACONTENGONO LE CORRENTI INCOGNITE, UNA MAGLIA E’ UNA
QUALSIASI SEQUENZA CHIUSA DI NODI QUINDI POSSONO ESSEREQUALSIASI SEQUENZA CHIUSA DI NODI QUINDI POSSONO ESSERE
PRESE AD ARBITRIO PURCHE’ SIANO LINEARMENTEPRESE AD ARBITRIO PURCHE’ SIANO LINEARMENTE
INDIPENDENTI TRA DI LOROINDIPENDENTI TRA DI LORO
 QUINDI POSSONO ESSERE SCELTE ANCHE QUESTE IN MANIERAQUINDI POSSONO ESSERE SCELTE ANCHE QUESTE IN MANIERA
FURBA PER EVITARCI CALCOLI INUTILIFURBA PER EVITARCI CALCOLI INUTILI
 SE PER ESEMPIO VOLESSIMO SCEGLIERE COME RAMO DI MAGLIASE PER ESEMPIO VOLESSIMO SCEGLIERE COME RAMO DI MAGLIA
QUELLO CONTENENTE IL GENERATORE PILOTATO DOVREMMOQUELLO CONTENENTE IL GENERATORE PILOTATO DOVREMMO
PRENDERE UN’ALTRA MAGLIA PER TROVARE ANCHE LA SUAPRENDERE UN’ALTRA MAGLIA PER TROVARE ANCHE LA SUA
TENSIONE, IL CHE VORREBBE DIRE 3 EQUAZIONI E 3 INCOGNITETENSIONE, IL CHE VORREBBE DIRE 3 EQUAZIONI E 3 INCOGNITE
MA NON CI CONVIENE AI FINI DELL’ESERCIZIOMA NON CI CONVIENE AI FINI DELL’ESERCIZIO
 CI LIMITIAMO AD UN SISTEMA DI 2 EQUAZIONI IN 2 INCOGNITECI LIMITIAMO AD UN SISTEMA DI 2 EQUAZIONI IN 2 INCOGNITE

10. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 DOBBIAMO ESEGUIRE DELLE SCELTE PER IL VERSO DI CORRENTI EDOBBIAMO ESEGUIRE DELLE SCELTE PER IL VERSO DI CORRENTI E
TENSIONI, PER QUANTO RIGUARDA QUESTO ESERCIZIO ABBIAMOTENSIONI, PER QUANTO RIGUARDA QUESTO ESERCIZIO ABBIAMO
FATTO LA SCELTA DEI GENERATORI, MA SI PUO’ USARE ANCHEFATTO LA SCELTA DEI GENERATORI, MA SI PUO’ USARE ANCHE
QUELLA DEGLI UTILIZZATORI PURCHE’ DOPO SIA TUTTOQUELLA DEGLI UTILIZZATORI PURCHE’ DOPO SIA TUTTO
COERENTECOERENTE
 SCELTA DEI GENERATORI: CORRENTI E TENSIONI SONO POSITIVESCELTA DEI GENERATORI: CORRENTI E TENSIONI SONO POSITIVE
TRA DI LORO SE HANNO VERSO CONCORDE TRA DI LOROTRA DI LORO SE HANNO VERSO CONCORDE TRA DI LORO
 SCELTA DEGLI UTILIZZATORI: CORRENTI E TENSIONI SONO TRASCELTA DEGLI UTILIZZATORI: CORRENTI E TENSIONI SONO TRA
DI LORO POSITIVE SE HANNO SEGNO DISCORDE TRA DI LORODI LORO POSITIVE SE HANNO SEGNO DISCORDE TRA DI LORO
 ED INFINE GUARDIAMO LA MAGLIA PIU’ SEMPLICE PER LA VED INFINE GUARDIAMO LA MAGLIA PIU’ SEMPLICE PER LA VLL
(TENSIONE DEL GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE(TENSIONE DEL GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE
EQUIVALENTE DELL’INDUTTORE)EQUIVALENTE DELL’INDUTTORE)

11. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE

12. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 SCRIVIAMO LE LEGGI PER LA VSCRIVIAMO LE LEGGI PER LA VLL::
 CHE EQUIVALE A SCRIVERE:CHE EQUIVALE A SCRIVERE:
 NOTIAMO CHE L’UNICA CORRENTE CHE CI INTERESSA E’ LA INOTIAMO CHE L’UNICA CORRENTE CHE CI INTERESSA E’ LA I
 ORA SCRIVAIMO LE ALTRE LEGGI:ORA SCRIVAIMO LE ALTRE LEGGI:
 SEMPLIFICHIAMO E METTIAMO TUTTO IN FUNZIONE DI ISEMPLIFICHIAMO E METTIAMO TUTTO IN FUNZIONE DI ILL::

13. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 PER TROVARE LA NOSTRA CORRENTE CHE CI INTERESSA, ILPER TROVARE LA NOSTRA CORRENTE CHE CI INTERESSA, IL
METODO PIU’ SEMPLICE E’ IL SISTEMA MATRICIALE, VISTO CHEMETODO PIU’ SEMPLICE E’ IL SISTEMA MATRICIALE, VISTO CHE
UN SISTEMA LINEARE, QUINDI UTILIZZEREMO IL METODO DIUN SISTEMA LINEARE, QUINDI UTILIZZEREMO IL METODO DI
CRAMER CHE CI CONSENTE DI TROVARE LE NOSTRE INCONGNITECRAMER CHE CI CONSENTE DI TROVARE LE NOSTRE INCONGNITE
IN MODO SEMPLICE ED INDIPENDENTEIN MODO SEMPLICE ED INDIPENDENTE
 SCRIVIAMO LA MATRICE DELLE NOSTRE INCOGNITE (E’ UNA 2x2):SCRIVIAMO LA MATRICE DELLE NOSTRE INCOGNITE (E’ UNA 2x2):
 NE CALCOLIAMO IL DETERMINANTE:NE CALCOLIAMO IL DETERMINANTE:

14. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 ORA PER TROVARE LA I IN FUNZIONE DELLA IORA PER TROVARE LA I IN FUNZIONE DELLA ILL DOBBIAMODOBBIAMO
SEMPLICE SOSTIRUIRE I TERMINI IN I CON I TERMINI IN ISEMPLICE SOSTIRUIRE I TERMINI IN I CON I TERMINI IN ILL,,
FARNE IL DETERMINANTE E POI DIVIDERE PER IL DETERMINANTEFARNE IL DETERMINANTE E POI DIVIDERE PER IL DETERMINANTE
TROVATO PRECEDENTEMENTETROVATO PRECEDENTEMENTE
 SOSTITUIAMO IL RISULTATO NELLA VSOSTITUIAMO IL RISULTATO NELLA VLL
 SCRIVIAMO ORA IL TUTTO IN FORMA DIFFERENZIALE:SCRIVIAMO ORA IL TUTTO IN FORMA DIFFERENZIALE:
 RICORDANDOCI CHE “L” E’ L’INDUTTANZA MISURATA IN HENRYRICORDANDOCI CHE “L” E’ L’INDUTTANZA MISURATA IN HENRY
(H)(H)

15. ESERCIZIO CON INDUTTOREESERCIZIO CON INDUTTORE
 ORA DOBBIAMO DIVIDERE ENTRAMBI I MEMBRI PER L’IDUTTANZAORA DOBBIAMO DIVIDERE ENTRAMBI I MEMBRI PER L’IDUTTANZA
CHE RICORDIAMO E’ 12.7 mH CIOE’ VALE A DIRE 12.7*10CHE RICORDIAMO E’ 12.7 mH CIOE’ VALE A DIRE 12.7*10-3-3
HH
DIMESIONALMENTE H=DIMESIONALMENTE H=ΩΩ * s (* s (ΩΩ RESISTENZA , s TEMPO INRESISTENZA , s TEMPO IN
SECONDI) E IL COEFFICIENTE DELLA ISECONDI) E IL COEFFICIENTE DELLA ILL E’ UNA RESISTENZAE’ UNA RESISTENZA
QUINDI DIVIDENDO IL TUTTO, IL COEFFICIENTE SARA’QUINDI DIVIDENDO IL TUTTO, IL COEFFICIENTE SARA’
DIMENSIONALMENTE sDIMENSIONALMENTE s-1-1
E LO CHIAMEREMOE LO CHIAMEREMO λλ ::
 NOTIAMO CHE IL COEFFICIENTE HA SEGNO NEGATIVO QUINDI ILNOTIAMO CHE IL COEFFICIENTE HA SEGNO NEGATIVO QUINDI IL
SISTEMA E’ STABILESISTEMA E’ STABILE
 PER CALCOLARE LA NOSTRA COSTANTE DI TEMPO (PER CALCOLARE LA NOSTRA COSTANTE DI TEMPO (ττ) E’) E’
SUFFICIENTE CALCOLARNE IL RECIPROCO DELL’OPPOSTO DISUFFICIENTE CALCOLARNE IL RECIPROCO DELL’OPPOSTO DI λλ ::

16. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE

17. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE
 COME PRIMA, AZZERIAMO I GENERATORI INDIPENDENTICOME PRIMA, AZZERIAMO I GENERATORI INDIPENDENTI
 SOSTITUIAMO IL CONDENSATORE CON UN GENERATORESOSTITUIAMO IL CONDENSATORE CON UN GENERATORE
INDIPENDENTE DI TENSIONEINDIPENDENTE DI TENSIONE
 ASSEGNAMO NOMI E VERSI ALLE CORRENTIASSEGNAMO NOMI E VERSI ALLE CORRENTI
 SCEGLIAMO LA CONVENZIONE PER LE TENSIONI (PER QUESTOSCEGLIAMO LA CONVENZIONE PER LE TENSIONI (PER QUESTO
UTILIZZIAMO SEMPRE LA SCELTA DEI GENERATORI)UTILIZZIAMO SEMPRE LA SCELTA DEI GENERATORI)
 ASSEGNAMO COME RIFERIMENTO UN NODO CONTENENTE LAASSEGNAMO COME RIFERIMENTO UN NODO CONTENENTE LA
CORRENTE CIRCOLANTE NEL CONDENSATORE (PER SEMPLICITA’CORRENTE CIRCOLANTE NEL CONDENSATORE (PER SEMPLICITA’
DI CALCOLO CHE POI VEDREMO)DI CALCOLO CHE POI VEDREMO)
 LE RESISSTENZE DA 3 E 2LE RESISSTENZE DA 3 E 2 ΩΩ SONO STATE CONVERTITE IN UNA DASONO STATE CONVERTITE IN UNA DA
5, POI E’ STATA CONVERTITA LA MISURA DA 2 S (Siemens) a 0.55, POI E’ STATA CONVERTITA LA MISURA DA 2 S (Siemens) a 0.5 ΩΩ

18. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE

19. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE
 LE LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI CORRISPONDONO A :LE LEGGI DI KIRCHHOFF DELLE CORRENTI CORRISPONDONO A :
 CHE POI TRASFORMATE MATEMATICAMENTE DIVENTANO:CHE POI TRASFORMATE MATEMATICAMENTE DIVENTANO:
 A NOI ORA INTERESSANO LE CORRENTI CHE FANNO PARTE DELLAA NOI ORA INTERESSANO LE CORRENTI CHE FANNO PARTE DELLA
IICC QUINI IQUINI I11 E IE I55, COME NELL’ESERCIZIO PRECEDENTE SCRIVIAMO LE, COME NELL’ESERCIZIO PRECEDENTE SCRIVIAMO LE
EQUAZIONI DELLE TENSIONI 3x3EQUAZIONI DELLE TENSIONI 3x3

20. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE

21. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE
 ORA SCRIVIAMO LE EQUAZIONI:ORA SCRIVIAMO LE EQUAZIONI:
 ATTENZIONE ORA TUTTO DEVE ESSERE SCRITTO IN FUNZIONE DIATTENZIONE ORA TUTTO DEVE ESSERE SCRITTO IN FUNZIONE DI
VVCC::
 LA MATRICE DELLE INCOGNITE RISULTALA MATRICE DELLE INCOGNITE RISULTA

22. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE
 ORA VERRANO RIPORTATI SOLO I RISULTATI, PER ILORA VERRANO RIPORTATI SOLO I RISULTATI, PER IL
DETERMINANTE DI UNA MATRICE 3x3 GUARDARE LA REGOLA DIDETERMINANTE DI UNA MATRICE 3x3 GUARDARE LA REGOLA DI
SARRUSSARRUS
 DETERMINANTE MATRICE DELLE INCOGNITE : -148,5DETERMINANTE MATRICE DELLE INCOGNITE : -148,5
 IL PROCEDIMENTO E’ PER DETERMINARE LE DUE INCOGNITE E’IL PROCEDIMENTO E’ PER DETERMINARE LE DUE INCOGNITE E’
IDENTICO A QUELLO DELL’ESERCIZIO PRECEDENTE, PERIDENTICO A QUELLO DELL’ESERCIZIO PRECEDENTE, PER
MAGGIORI INFORMAZIONI GUARDARE LA REGOLA DI CRAMERMAGGIORI INFORMAZIONI GUARDARE LA REGOLA DI CRAMER
 ORA SOSTITUIAMO I DUE RISULTATI NELLA PRECEDENTEORA SOSTITUIAMO I DUE RISULTATI NELLA PRECEDENTE
EQUAZIONE DI IEQUAZIONE DI ICC::

23. ESERCIZIO CON CONDENSATOREESERCIZIO CON CONDENSATORE
 ORA SCRIVENDO IL TUTTO IN FORMA DIFFERENZIALE:ORA SCRIVENDO IL TUTTO IN FORMA DIFFERENZIALE:
 DOVE “C” E’ LA CAPACITA’ DEL CONDENSATORE ESPRESSA IN FARAD (F),DOVE “C” E’ LA CAPACITA’ DEL CONDENSATORE ESPRESSA IN FARAD (F),
CHE RICORDIAMO ESSERE 127CHE RICORDIAMO ESSERE 127 µµF VALE A DIRE 127*10F VALE A DIRE 127*10-6-6
FF
 ADESSO COME NELL’INDUTTORE DIVIDIAMO ENTRAMBI I MEMBRI PER LAADESSO COME NELL’INDUTTORE DIVIDIAMO ENTRAMBI I MEMBRI PER LA
CAPACITA’ E OTTENIAMO:CAPACITA’ E OTTENIAMO:
 SENZA ENTRARE NEL MERITO DELLE UNITA’ DI MISURA, IL NOSTROSENZA ENTRARE NEL MERITO DELLE UNITA’ DI MISURA, IL NOSTRO λλ COMECOME
PER PRIMA E’ IL COEFFICIENTE DI VPER PRIMA E’ IL COEFFICIENTE DI VC,C, I CALCOLI ORA SONO ESATTAMENTEI CALCOLI ORA SONO ESATTAMENTE
COME NELL’INDUTTORECOME NELL’INDUTTORE
 ANCHE IN QUESTO CASO E’ NEGATIVO QUINDI IL SISTEMA E’ STABILE (E’ANCHE IN QUESTO CASO E’ NEGATIVO QUINDI IL SISTEMA E’ STABILE (E’
ANCHE PRIVO DI GENERATORI PILOTATI), CALOCLIAMO POI LA NOSTRAANCHE PRIVO DI GENERATORI PILOTATI), CALOCLIAMO POI LA NOSTRA
COSTANTE DI TEMPOCOSTANTE DI TEMPO ττ ::

24. FINEFINE
SE C’E’ BISOGNO DI DELUCIDAZIONISE C’E’ BISOGNO DI DELUCIDAZIONI
CONTATTATEMI A QUESTO INDIRIZZO:CONTATTATEMI A QUESTO INDIRIZZO:
alessi.andrea@yahoo.italessi.andrea@yahoo.it