DirectX 11을 이용한 3D 게임 프로그래밍 입문 2장 행렬대수

1. 구본탁

2. 1. 정의
• m x n 행렬(matrix) M은 m개의 행과 n개의 열로 이루어진 실수들의 정사각
배열이다.
• 행(row)들의 개수와 열(column)들의 개수를 곱한 것을 행렬의 차원이라
부른다
• 행렬을 구성하는 수들을 원소(element) 또는 성분(entry)이라 부른다.

3. 1. 정의
• 행렬 A는 4x4 행렬, B는 3x2행렬, u는 1x3행렬, v는 4x1행렬이다.
• 행렬 A의 4행(네번째 행) 2열(두번째 열)의 성분은 A42 = -5이다.
• 행렬 u와 v는 각각 행이나 열이 하나라는 점에서 특별한 행렬이다.
• 이런 정류의 행렬을 흔히 행벡터(row Vector)나 열벡터(column Vector)라고
부른다.
이는 이들이 벡터를 행렬형태로 나타내는데 쓰이기 때문이다.

4. 1. 정의
• 행렬을 벡터로 간주하는 경우.

5. 1. 정의
• 행렬의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈 등의 정의
1. 두 행렬은 오직 대응되는 성분들이 상등일 때에만 상등이다. 따라서, 두행렬의 상등을
비교하려면 두 행렬의 행 수와 열 수가 동일해야 한다.
2. 두 행렬을 더할 때에는 대응되는 성분들을 더한다. 따라서 행 수와 열 수가 같은 행렬끼리만
덧셈이 가능하다.
3. 행렬에 하나의 스칼라를 곱할 때에는 행렬의 모든 성분에 그 스칼라를 곱한다.
4. 행렬의 뺄셈은 스칼라 곱셈과 행렬 덧셈으로 정의한다.
즉, A – B = A + (-1 x B) = A + (-B) 이다.

6. 1. 정의
• 행렬의 상등, 덧셈, 스칼라 곱셈, 뺄셈 등의 정의

7. 2. 행렬 곱셈
• 행렬 곱셈의 정의
a. 만일 행렬 A가 m x n 의 행렬이고 B가 n x p 의 행렬이면 둘의 곱 AB는 하나의 m x p
행렬이 된다.
b. A의 행벡터의 차원과 B의 열벡터의 차원이 일치해야만 AB가 성립한다.
(간단히 생각하면 A의 가로 길이와 B의 세로길이가 일치해야 한다고 생각하면 됨.)
위 예시에서는 A의 행벡터 차원은 2지만 B의 열벡터의 차원은 3이기 때문에 AB는
성립하지 않는다.

8. 2. 행렬 곱셈
• 행렬 곱셈의 정의
곱 AB는 정의되지만 BA는 정의되지 않음을 주의해야 한다 B의 열
수가 A의 행 수와 같지 않기 때문.
따라서 일반적으로 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않는다.

9. 2. 행렬 곱셈
• 벡터의 행렬과 곱셈
결과적으로 1 x n이 어떠한 행벡터 u와
어떠한 n x m 의 행렬 A에 대해 곱 uA는
A의 행벅터들의 일차 결합에 u의
스칼라 계수들이 적용된 것이다.

10. 2. 행렬 곱셈
• 결합법칙
행렬 곱셈은 덧셈에 대한 배분법칙을 만족한다.
즉 A(B+C) = AB+AC이며
(A+B)C = AC+BC 이다.
더욱 중요한 것은, 행렬 곱셈이 아래와 같은 결합법칙을 만족한다는
것이다.
덕분에 행렬들을 곱하는 순서를 적절히 선택할 수 있다.
(AB)C = A(BC)

11. 3. 행렬의 전치
행렬의 전치, 즉 전치행렬은 주어진 행렬의 행들과 열들을 맞바꾼 것을
말함.
따라서 m x n 의 행렬의 전치행렬을 n x m 행렬이다.
행렬 M의 전치행렬을 MT라고 표기한다.
1. (A+B)T = AT+BT
2. (cA)T = cAT
3. (AB)T = BTAT
4. (AT)T = A
5. (A-1)T = (AT)-1

12. 4. 단위행렬
• 단위행렬은 주대각 성분(좌상에서 우하로의 주된 대각선에 있는성분)들만 1이고
나머지는 모두 0인 정방행렬이다.
• 단위행렬은 곱셈의 항등원 역할을 한다.
즉, 만일 A가 m x n 행렬이고 B가 n x p 행렬, 그리고 I가 n x n 단위행렬 이라면,
AI = A, IB = B 를 만족한다.
• 다른 말로 하면, 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 그 행렬은 변하지 않는다.
• 단위행렬을 1의 행렬 버전이라고 생각하면 된다.
• 행렬 M이 정방행렬이라면 단위행렬은 다음과 같은 곱셈 교환법칙을 만족한다.
MI = IM = M

13. 5. 행렬식
• 행렬식은 정방행렬을 받아서 실수 값을 산출하는 특별한 함수이다.
정방행렬 A의 행렬식을 흔히 detA로 표기한다.(혹은 |A| 로 표기하기도 함.)
• 소행렬
n x n 행렬 A가 주어졌을 때, 그 소행렬 Āij는 A의 i번째 행과 j번째 열을
삭제한 결과로 생긴 (n – 1) x (n – 1) 행렬이다.

14. 5. 행렬식
• 행렬식의 정의
• 한 행렬의 행렬식은 재귀적으로 정의된다.
예를 들어, 4 x 4 행렬의 행렬식은 3 x 3 행렬의 행렬식을 항으로 하여 정의되고
3 x 3 행렬의 행렬식은 2 x 2 행렬의 행렬식으로 정의된다.
• A가 n x n 행렬이라고 정의 할 때, n>1 에 대해 A의 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

15. 5. 행렬식(기하학적 의미)
• 2차 정사각행렬
| 4 2 |
| 1 5 | = 18
• 3차 정사각행렬

16. 5. 행렬식(행렬식 구해보기)
• 2차 정사각행렬

17. 5. 행렬식(행렬식 구해보기)
• 3차 정사각행렬 (대각선법칙)

18. 5. 행렬식(행렬식 구해보기)
• 3차 정사각행렬 (여인수전개)

19. 5. 행렬식(예제)

20. 6. 딸림행렬
이 여인수 행렬 CA의 전치행렬을 A의
딸림행렬(수반행렬)이라고 부르며 다음과
같이 표기한다.

21. 7. 행렬의 역
• 행렬 대수는 나눗셈 연산을 정의하지 않지만, 곱셈에 관한 역(Inverse), 즉
역행렬에 대한 정의는 존재한다.
1. 오직 정방행렬만 역행렬을 가진다.
2. n x n의 행렬 M은 역시 n x n 행렬이며, M-1 로 표기한다.
3. 모든 정방행렬에 역행렬이 존재하지는 않는다. 역행렬이 있는 행렬을 가리켜
가역행렬이라 부르며, 역행렬이 없는 행렬을 가리켜 특이행렬이라 부른다.
4. 역행렬이 존재하는 경우 그 역행렬은 고유하다.
5. 행렬에 그 역행렬을 곱하면 단위행렬이 나온다. 즉 MM-1 = M-1M =I 이다.

22. 7. 행렬의 역
• 다음은 딸림행렬과 행렬식을 이용해 역행렬을 구하는 공식이다.

23. 감사합니다