Lượng giác.pdf

*Bách khoa không dành cho những kẻ lười biếng – quyết tâm và kỷ luật với bản thân*
Lớp Đánh giá tư duy- Thầy Văn Hoa
TÀI LIỆU GIẢNG DẠY
LỚP ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
------------------------H----U----S----T------------------------
TRUNG TÂM LUYỆN THI QUỐC GIA HSA EDUCATION
BIÊN SOẠN: TSA- THẦY HOA
TÀI LIỆU: CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC
I. TỔNG HỢP KIẾN THỨC
1. Các hàm cơ bản và công thức của hàm cơ bản
- Hàm sin
• Tập xác định ℝ.
• Tập giá trị: [−1; 1] ,có nghĩa là −1 ≤ sin𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ ℝ.
• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2𝜋, có nghĩa sin(𝑥 + 𝑘2𝜋) = sin𝑥 với 𝑘 ∈ ℤ.
=> chu kỳ hàm sin ( )
f x là T khi sin ( ) sin( ( ) )
f x f x T
= +
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋;
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋) và nghịch biến trên mỗi
khoảng (
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋;
3𝜋
2
+ 𝑘2𝜋),𝑘 ∈ ℤ.
• 𝑦 = sin𝑥là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).
O x
y
-
3π
2
-
π
2
3π
2
π
2
-1
1
3π
2π
π
-3π -π
-2π
f x
( ) = sin x
( )

Các giá trị nghiệm đặc biệt.
✓ sin𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, (𝑘 ∈ ℤ)
✓ sin𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋, (𝑘 ∈ ℤ)
✓ sin𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −
𝜋
2
+ 𝑘2𝜋, (𝑘 ∈ ℤ)
- Hàm cos
• Tập xác định ℝ.
• Tập giá trị: [−1; 1] ,có nghĩa là −1 ≤ cos𝑥 ≤ 1, ∀𝑥 ∈ ℝ.
• Hàm số tuần hoàn với chu kì 2𝜋, có nghĩa cos(𝑥 + 𝑘2𝜋) = cos𝑥 với 𝑘 ∈ ℤ.
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−𝜋 + 𝑘2𝜋; 𝑘2𝜋) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(𝑘2𝜋; 𝜋 + 𝑘2𝜋),𝑘 ∈ ℤ.
• 𝑦 = cos𝑥 là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).
1
-1
O
y
x
-
3π
2
-
π
2
3π
2
π
2
3π
2π
π
-π
-2π
-3π
f x
( ) = cos x
( )

✓ cos𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, (𝑘 ∈ ℤ)
✓ cos𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋, (𝑘 ∈ ℤ).
✓ cos𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋, (𝑘 ∈ ℤ).
- Hàm tan
• Tập xác định: ℝ {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ}
• Tâp giá trị là R.
• Hàm số tuần hoàn với chu kì 𝜋, có nghĩa tan(𝑥 + 𝑘𝜋) = tan𝑥, (𝑘 ∈ ℤ).
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−
𝜋
2
+ 𝑘𝜋;
𝜋
2
+ 𝑘𝜋) , (𝑘 ∈ ℤ).
• 𝑦 = tan𝑥 là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi
đường thẳng 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ làm đường tiệm cận. (Hình 3)
✓ tan𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
✓ tan𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
✓ tan𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
- Hàm cotg
• Tập xác định: ℝ{𝑘𝜋|𝑘 ∈ ℤ}.
• Tập giá trị: ℝ.
-
3π
2 -
π
2
3π
2
π
2
2π
-π π
-2π
O
y
x
f x
( ) = tan x
( )

• Hàm số tuần hoàn với chu kì 𝜋, có nghĩa cot(𝑥 + 𝑘𝜋) = cot𝑥, (𝑘 ∈ ℤ).
• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ ℤ.
• 𝑦 = cot𝑥 là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi
đường thẳng 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤlàm đường tiệm cận (Hình 4).
✓ cot𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
✓ cot𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
✓ cot𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ.
2. Các công thức ứng dụng vào bài toán biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác
Công thức cơ bản Cung đối nhau
2 2
sin cos 1
x x
+ = ( )
sin sin
x x
− = −
2
2
1
tan 1
cos
x
x
+ = ( )
cos cos
x x
− =
2
2
1
cot 1
sin
x
x
+ = ( )
tan tan
x x
− = −
Công thức cộng Cung bù nhau
( )
sin sin cos cos sin
x y x y x y
 =  ( )
sin sin
x x

= −
3π
2
π
2
-
π
2
-
3π
2
2π
π
-π
-2π
f(x)=cotan(x)
O
y
x

( )
cos cos cos sin sin
x y x y x y
 = ( )
cos cos
x x 
= − −
( )
tan tan
tan
1 tan tan
x y
x y
x y

 = ( )
tan tan
x x 
= −
Công thức đặc biệt
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
+ = + = −
   
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
 
   
− = − = − +
   
   
Góc nhân đôi Góc chia đôi
sin2 2sin cos
x x x
= ( )
2 1
sin 1 cos2
2
x x
= −
2 2 2 2
cos2 2cos 1 1 2sin cos sin
x x x x x
= − = − = − ( )
2 1
cos 1 cos2
2
x x
= +
Góc nhân ba Góc chia ba
3
sin3 3sin 4sin
x x x
= − ( )
3 1
sin 3sin sin3
4
x x x
= −
3
cos3 4cos 3cos
x x x
= − ( )
3 1
cos 3cos cos3
4
x x x
= +
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
x x
x
x
−
=
−
Biến đổi tích thành tổng Biến đổi tổng thành tích
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
= − + +
 
  cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =
( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
= − − +
 
  cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− = −
( ) ( )
1
sin cos sin sin
2
x y x y x y
= − + +
 
  sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
+ −
+ =

sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
+ −
− =
II. DẠNG BÀI TẬP
1. Các dạng toán của hàm số lượng giác
Dạng 1: Tập xác định của hàm số lượng giác.
A. Với hàm số ( )
f x cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. ( )
( )
( )
1
2
f x
f x
f x
= , điều kiện: * ( )
1
f x có nghĩa
* ( )
2
f x có nghĩa và ( )
2 0
f x  .
2. ( ) ( ) ( )
2
1 ,
m
f x f x m
=  , điều kiện: ( )
1
f x có nghĩa và ( )
1 0
f x  .
3. ( )
( )
( )
( )
1
2
2
,
m
f x
f x m
f x
=  , điều kiện: ( ) ( )
1 2
,
f x f x có nghĩa và ( )
2 0
f x  .
B. Hàm số sin ; cos
y x y x
= = xác định trên , như vậy
( ) ( )
sin ; cos
y u x y u x
= =
   
    xác định khi và chỉ khi ( )
u x xác định.
* ( )
tan
y u x
=  
  có nghĩa khi và chỉ khi ( )
u x xác định và ( ) ;
2
u x k k


 +  .
* ( )
cot
y u x
=  
  có nghĩa khi và chỉ khi ( )
u x xác định và ( ) ;
u x k k

 +  .
Chú ý
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số sin
y x
= và cos
y x
= xác định trên .
2. Hàm số tan
y x
= xác định trên
2
k k


 
+ 
 
 
.
3. Hàm số cot
y x
= xác định trên  
k k
  .
C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng
giác.
Với f
S D
 (là tập xác định của hàm số ( )
f x ) thì

( ) ( )
, max
S
f x m x S f x m
      . ( ) ( )
, min
S
f x m x S f x m
      .
( ) ( )
0 0
, min
S
x S f x m f x m
      ( ) ( )
0 0
, max
S
x S f x m f x m
      .
TSA 01: Xác định giá trị của m để hàm số 2 3cos
y m x
= − sau xác định trên ?
A. 1
m  B. 1
m  C.
3
2
m  D.
3
2
m 
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 02: Tổng các giá trị m nguyên dương thỏa mãn bé hơn 10 để hàm số
1
sin
2
sin
2
2
−
+
−
=
m
x
x
y xác định trên là ………..
Tư duy:

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 03: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) x
m
x
m
y cos
1
sin
5 +
−
−
= xác
định trên .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 2: Tính tuần hoàn của hàm lượng giác
Định nghĩa: Hàm số ( )
=
y f x xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có
số 0

T sao cho với mọi 
x D ta có
 
x T D và ( ) ( )
+ =
f x T f x .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm
số tuần hoàn với chu kì T .
sin(ax )
y b
= + có chu kỳ 0
2
=
T
a
os(ax )
y c b
= + có chu kỳ 0
2
=
T
a
tan(ax )
y b
= + có chu kỳ 0

=
T
a
cot(ax )
y b
= + có chu kỳ 0

=
T
a
1
( )
y f x
= có chu kỳ 1
T ; 2
( )
y f x
= có chu kỳ 2
T
Thì hàm số 1 2
( ) ( )
= 
y f x f x có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Hàm số 1
( )
y f x c
= + có chu kỳ là 1
T với c là hằng số
TSA 04: Trong các hàm số tan
=
y x ; sin 2
=
y x ; sin
=
y x ; cot
=
y x, có bao nhiêu hàm số thỏa
mãn tính chất ( ) ( )

+ =
f x k f x ,  
x , 
k .
A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 .
Tư duy:

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 05: Tìm chu kì T của hàm số tan3 cot .
y x x
= +
A. 4
T 
= . B. T 
= . C. 3
T 
= . D.
3
T

=
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 06: Tìm chu kì T của hàm số 2
tan3 cos 2 .
y x x
= −
A. T 
= . B.
3
T

= . C.
2
T

= . D. 2
T 
=
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 3 : Tính chẵn, lẽ của hàm số lượng giác
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó
 Nếu D là tập đối xứng (tức x D x D
  −  ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

 Nếu D không phải tập đối xứng(tức là x D
  mà x D
−  ) thì ta kết luận hàm số
không chẵn không lẻ.
Bước 2: Xác định ( )
f x
− :
 Nếu ( ) ( ),
f x f x x D
− =   thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
 Nếu ( ) ( ),
f x f x x D
− = −   thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
 Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không
lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số sin
y x
= là hàm số lẻ trên D = .
2, Hàm số cos
y x
= là hàm số chẵn trên D = .
3, Hàm số tan
y x
= là hàm số lẻ trên |
2
D k k


 
= + 
 
 
.
4, Hàm số cot
y x
= là hàm số lẻ trên  
|
D k k

=  .
TSA 07: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?
A. cos
3
y x
 
= +
 
 

B. sin
y x
=
C. 1 sin
y x
= − D. cos
y x
=
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
TSA 08: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. sin 2016 cos2017
y x x
= + . B. 2016cos 2017sin
y x x
= + .
C. cot 2015 2016sin
y x x
= − . D. tan 2016 cot 2017
y x x
= + .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 09: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
A. sin cos2
y x x
= . B. 3
sin .cos
2
y x x

 
= −
 
 
.
C. 2
tan
tan 1
x
y
x
=
+
. D. 3
cos sin
y x x
=

Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 4 : Tính đơn điệu của hàm số lượng giác.
- Hàm số sin :
y x
=
* Đồng biến trên các khoảng 2 2
2 2
; , .
k k k
 
 
− +  +  
 
 
* Nghịch biến trên các khoảng 2 2
2 2
; , .
k k k
 
 
+  +  
 
 
- Hàm số cos :
y x
=
* Đồng biến trên các khoảng ( )
2 2
; , .
k k k
− +   
* Nghịch biến trên các khoảng ( )
2 2
; , .
k k k
 +  
- Hàm số tan
y x
= đồng biến trên các khoảng
2 2
; , .
k k k
 
 
− +  +  
 
 
- Hàm số cot
y x
= nghịch biến trên các khoảng ( )
; , .
k k k
  +  

TSA 10: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số cot
y x
= đồng biến trên khoảng ( )
0;  .
B. Hàm số sin
y x
= nghịch biến trên khoảng ( )
; 2
  .
C. Hàm số cos
y x
= nghịch biến trên khoảng ;
2 2
 
 
−
 
 
.
D. Hàm số sin
y x
= đồng biến trên khoảng
3 5
;
2 2
 
 
 
 
.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
TSA 11: Xét sự biến thiên của hàm số tan2
=
y x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận
sau, kết luận nào đúng?
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
4
 


 
 
và
4 2
; .
 
 
 
 
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
4
 


 
 
và nghịch biến trên khoảng
4 2
; .
 
 
 
 
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng 0
2
; .
 

 
 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
4
 


 
 
và đồng biến trên khoảng
4 2
; .
 
 
 
 

Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 12: Xét sự biến thiên của hàm số 1 sin
= −
y x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết
luận sau, kết luận nào sai?
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0
2
; .
 

−
 
 
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 0
2
; .
 

 
 
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2
; .
 


 
 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
2 2
.
 
 

 
 
Tư duy:

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 5: Tập giá trị, Min max của hàm số lượng giác.
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số ( )
y f x
= xác định trên miền D R
 .
1. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( )
y f x
= trên D nếu
( )
( )
0 0
f x M, x D
x D,f x M
   
  =

2. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
y f x
= trên D nếu
( )
( )
0 0
f x m, x D
x D,f x m
   
  =

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
1. Tính bị chặn của hàm số lượng giác .
2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sin và cos .

Lưu ý
1.Bất đẳng thức AM – GM.
a. Với hai số:
Cho hai số thực ,
a b là hai số dương, ta có
2
a b
ab
+
 dấu bằng xảy ra khi a b
= .
b. Với n số:
Cho hai số thực 1 2 3
; ; ;...; n
x x x x là các số dương *
n N
 , ta có
1 2 3
1 2 3
...
. . ...
n n
n
x x x x
x x x x
n
+ + + +
 dấu bằng xảy ra khi 1 2 3 ... n
x x x x
= = = = .
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.
( )( ) ( )
2
2 2 2 2
a b c d ac bd
+ +  + . Dấu bằng xảy ra khi
a b
c d
=
b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số
Với hai bộ số ( )
1 2
; ;...; n
a a a và ( )
1 2
; ;...; n
b b b ta có
( )( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
n n n n
a a a b b b a b a b a b
+ + + + + +  + + +
c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có ( )( )
2 2 2 2
4
a b c d abcd
+ + 
TSA 13: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )
2018
3 5sin
y x
= − là M , m . Khi đó giá trị
M m
+ là
A. ( )
2018 4036
2 1 2
+ . B. 2018
2 . C. 4036
2 . D. 6054
2 .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
TSA 14: Gọi ,
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos2
y x x
= + . Khi
đó M m
+ bằng
A.
7
8
− . B.
8
7
− . C.
7
8
. D.
8
7
.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

TSA 15: Hàm số
sin 2cos
sin cos 3
x x
y
x x
−
=
+ +
có bao nhiêu giá trị nguyên?
A. 5. B. 1. C. 6. D. 2.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 16: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4
sin cos
y x x
= −
A. 1; 1
M m
= = − . B. 0; 1
M m
= = − .
C. 2; 0
M m
= = . D. 1; 0
M m
= = .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
TSA 17: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cos2 cos .
y x x
= +
Khi đó M m
+ bằng bao nhiêu?
A.
7
8
M m
+ = . B.
8
7
M m
+ = . C.
9
8
M m
+ = . D.
9
7
M m
+ =
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

TSA 18: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số
cos sin 1
cos 2
x a x
y
x
+ +
=
+
có giá trị lớn
nhất 1
y = .
A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 19: Số giờ có ánh sáng mặt trời của Thủ đô Hà Nội năm 2018 được cho bởi công thức
( )
3sin 60 13
180
y x

 
= + +
 
 
với 1 365
x
  là số ngày trong năm. Ngày nào sau đây của năm 2018
thì số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất.
A. 30/ 01. B. 29/ 01. C. 31/ 01. D. 30/ 03.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 20: Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu ( )
m
h của mực
nước trong kênh tính theo thời gian ( )
h
t được cho bởi công thức 3cos 12
6 3
t
h
 
 
= + +
 
 
.
Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A. ( )
22 h
t = . B. ( )
15 h
t = . C. ( )
14 h
t = . D. ( )
10 h
t = .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
2. Phương trình lương giác cơ bản
I. Phương trình sin , 1
x m m
= 
Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
2
sin sin sin ,
2
x k
x m x k
x k
 

  
= +

=  =  
 = − +

Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:
arcsin 2
sin ,
arcsin 2
x m k
x m k
x m k

 
= +

=  
 = − +

Các trường hợp đặc biệt:
-sin 1 2 ,
2
x x k k


= −  = − + 
-sin 0 ,
x x k k

=  = 
-sin 1 2 ,
2
x x k k


=  = + 
II. Phương trình cos , 1
x m m
= 
Nếu m biểu diễn được dưới dạng cosin của những góc đặc biệt thì:
2
cos cos cos ,
2
x k
x m x k
x k
 

 
= +

=  =  
 = − +

Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cosin của những góc đặc biệt thì:
arc 2
cos ,
arc 2
x cosm k
x m k
x cosm k


= +

=  
 = +


Các trường hợp đặc biệt:
-cos 1 2 ,
x x k k
 
= −  = + 
-cos 0 ,
2
x x k k


=  = + 
-cos 1 2 ,
x x k k

=  = 
III. Phương trình: tan .
x m
= Điều kiện: ,
2
x k k


 + 
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
tan tan tan tan ,
x m x x k k
  
=  =  = + 
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
tan arctan ,
x m x m k k

=  = + 
IV. Phương trình: cot .
x m
= Điều kiện: ,
x k k

 
Nếu m biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
cot cot cot cot ,
x m x x k k
  
=  =  = + 
Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tang của những góc đặc biệt thì:
cot arccot ,
x m x m k k

=  = + 
Dạng 1: Sử dụng công thức biến đổi đưa về phương trình cơ bản.
TSA 21: Tìm số nghiệm của phương trình ( )
sin cos2 0
x = trên  
0;2 .

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 22: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos cos2 cos3 0
x x x
+ + = trên đường tròn lượng
giác ta được số điểm cuối là
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 23: Phương trình ( ) ( )
2 2
3 2 .sin 4 2 0
x x x x

− + − + = có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 13 B. 5 C. 17 D. 15
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 24: Tìm m để phương trình tan cot 2
x x m
+ = có nghiệm.
A. 1
m  . B. 0 1
m
  . C. 0 1
m
  . D. 1
m  .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
3. Phương trình đối với hàm sin và cos
Nhận dạng: .sin cos
a x b x c
+ =
.cos sin
a x b x c
+ =
Điều kiện có nghiệm: 2 2 2
a b c
+ 
Cách làm:
2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos
a b c
a x b x c x x
a b a b a b
+ =  + =
+ + +
Đặt
2 2
cos
a
a b

=
+
;
2 2
sin
b
a b

=
+
Khi đó: ( )
2 2 2 2
sin .cos cos .sin sin
c c
x x x
a b a b
  
+ =  + =
+ +
Cần chú ý các công thức: sin cos 2 sin 2cos
4 4
x x x x
 
   
+ = + = −
   
   
sin cos 2 sin 2cos
4 4
x x x x
 
   
− = − = − +
   
   

TSA 25: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2
cos sin2 2 sin
x x x
− = + trên khoảng
( )
0;2 .

A.
3
.
4
T

= B.
7
.
8
T

= C.
21
.
8
T

= D.
11
.
4
T

=
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 26: Gọi 0
x là nghiệm âm lớn nhất của sin9 3cos7 sin7 3cos9
x x x x
+ = + . Mệnh đề nào
sau đây là đúng?
A. 0 ; .
2 3
x
 
 
 − − 

 
B. 0 ;0 .
12
x

 
 −
 
 
C. 0 ; .
6 56
x
 
 
 − −
 
 
D. 0 ; .
3 6
x
 
 
 − − 

 
Tư duy:

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 27: Tổng tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình
4sin 4 cos 2 5 0
x m x m có nghiệm là:
A. 5 B. 6 C. 10 D. 3
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 28: Số các giá trị nguyên m để phương trình
4 4.sinx.cosx 2.cos2 3 9
− + − = −
m m x m có nghiệm là
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 29: Giá trị lớn nhất của biểu thức
sinx 2cos 3
2sin cos 4
x
P
x x
− −
=
+ −
là?

A.
2
11
B.
2
11
C. 3 D. 2
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
sin 1
cos 2
m x
y
x
+
=
+
nhỏ hơn 3.
A. 5 B. 4 C. 3 D. 7
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
4. Phương trình đẳng cấp và phương trình tích
Dạng 1: Phương trình đẳng cấp
Nhận dạng:
2 2
.sin sin cos .cos
a x b x x c x d
+ + = (1)
2 2
.cos sin cos .sin
a x b x x c x d
+ + =
B – Phương pháp làm
Cách 1:
+ Nếu 2
cos 0 sin 1
x x
=  = thì 0
a d
− = (1), nếu (1) đúng thì cos 0
x = là nghiệm của (1),
ngược lại cos 0
x  .
+ Xét cos 0 tan
x x
  . Chia hai vế của phương trình (1) cho 2
cos x , ta được:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2
sin sin cos cos 1
(1)
cos cos cos cos
tan tan 0
x x x x
a b c d
x x x x
a d x b x c d
 + + =
 − + + − =
Cách 2:

Thay ( )
2 1
sin 1 cos2
2
x x
= − , ( )
2 1
cos 1 cos2
2
x x
= + ,
1
sin cos sin2
2
x x x
= ta được phương
trình bậc nhất với sin2x và cos2x.
TSA 31: Phương trình 2 2
4sin 2 3sin 2 cos2 cos 2 0
x x x x
− − = có bao nhiêu nghiệm trong khoảng
( )
0; ?
A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 32: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2 2
3sin sin 2 4cos 0
x m x x
+ − = có nghiệm.
A. m . B. m . C. 4
m  . D. 4
m = .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 2: Phương trình đối xứng
Nhận dạng: ( )
sin cos sin cos
a x x b x x c
 + = .
Cách làm:
Đặt
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
= +  = . Điều kiện 2
t  .
2
1
sin cos sin cos
2
t
t x x x x
−
= −  = . Điều kiện 2
t  .
TSA 33: Nếu ( )( )
1 sin 1 cos 2
+ + =
x x thì cos
4

 
−
 
 
x bằng bao nhiêu?
A.
2
.
2
B.
2
.
2
− C. 1.
− D. 1.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………

.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 34: Tổng các nghiệm của phương trình sin cos sin cos 1
x x x x
+ + = trên khoảng ( )
0;2 là:
A. 4. B. 3. C. . D. 2.
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
5. Phương trình tích và dạng tổng hợp
Dạng 1. Phương trình tích
Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường thặp ( PT cơ
bản, PT thuần nhất đối với 1 hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất đối với
sin , cos
x x thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích
là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh gần đây
Một số điểm chú ý
- Các biểu thức sin x
1 2 ; cos x
2 ; tanx
1 ; cotx
1 ; sin cos
x x
3 3
; cos sin
x x
4 4
;
cos sin
x x
3 3 ; tan cot
x x ; sin x
2
4
thường có nhân tử chung là: sin cos
x x
1 2 ; cos x
2 ; tanx
1 ; cotx
1 ; cos sin
x x
3 3
; cos sin
x x
4 4
;
cos sin
x x
3 3 ; tan cot
x x ; sin x
2
4
thường có nhân tử chung là: sin cos
x x.
3
; sin x
2
; tan x
2
thường có nhân tử chung là cosx
1 hoặc
cosx
1
- Các biểu thức cos x
3
; cos x
2
; cot x
2
thường có nhân tử chung là sinx
1 hoặc
sinx
1
TSA 35: Tập tất cả các nghiệm của phương trình 2
sin 2 2sin 6sin 2cos 4 0
x x x x
+ − − + = là
A. 2
3
x k


=  + , k  . B. 2
2
x k


= − + , k  .
C. 2
2
x k


= + , k  . D.
2
x k


= + , k  .
Tư duy:

……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 36: Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn  
0;13 của phương trình
3 2
2cos cos cos2 0
x x x
+ + = . Tính tổng các phần tử của S .
A.
380
3

B.
420
3

C. 120 D.
400
3

Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………

…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
TSA 37: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin5 cos7 cos4 sin8
x x x x
= trên ( )
0;2 bằng
A.
19
3

. B.
9
2

. C. 5 . D. 7 .
Tư duy:
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
.……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………
Dạng 2: Các dạng lượng giác tổng hợp

Lượng giác.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Lượng giác.pdf

Similar to Lượng giác.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Lượng giác.pdf