Examen Matemáticas Nivel Medio Prueba 2 TZ2 Mayo 2015

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Candidate session number
m15/5/MATME/SP2/eng/TZ2/XX
Mathematics
Standard level
Paper 2
© International Baccalaureate Organization 2015
12 pages
2215–7306
Wednesday 13 May 2015 (afternoon)
Instructions to candidates
 Write your session number in the boxes above.
 Do not open this examination paper until instructed to do so.
 A graphic display calculator is required for this paper.
 Section A: answer all questions in the boxes provided.
 Section B: answer all questions in the answer booklet provided. Fill in your session number
on the front of the answer booklet, and attach it to this examination paper and your
cover sheet using the tag provided.
 Unless otherwise stated in the question, all numerical answers should be given exactly or
correct to three significant figures.
 A clean copy of the Mathematics SL formula booklet is required for this paper.
 The maximum mark for this examination paper is [90 marks].
1 hour 30 minutes
12EP01
Clases de Matemáticas y Física para Bachillerato Internacional
WhatsApp +51976438482 www.teoteves.com

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Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be
supported by working and/or explanations. In particular, solutions found from a graphic display
calculator should be supported by suitable working, for example if graphs are used to find a solution,
you should sketch these as part of your answer. Where an answer is incorrect, some marks may be
given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show
all working.
Section A
Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary.
1. [Maximum mark: 6]
The following diagram shows triangle ABC.
diagram not to scale
35
A
B
C
10
80
BC cm
=10 , ˆ
ABC 80
= 
and ˆ
BAC 35
= 
.
(a) Find AC. [3]
(b) Find the area of triangle ABC. [3]
(This question continues on the following page)
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(Question 1 continued)
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Let 6 3 6
= + +
u i j k and 2 2
= + +
v i j k .
(a) Find
(i) 
u v ;
(ii) u ;
(iii) v . [5]
(b) Find the angle between u and v. [2]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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The following table shows the sales, y millions of dollars, of a company, x years after
it opened.
Time after opening (x years) 2 4 6 8 10
Sales (y millions of dollars) 12 20 30 36 52
The relationship between the variables is modelled by the regression line with
equation y ax b
= + .
(a) (i) Find the value of a and of b.
(ii) Write down the value of r. [4]
(b) Hence estimate the sales in millions of dollars after seven years. [2]
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The third term in the expansion of ( )
x k
+ 8
is 63 6
x . Find the possible values of k.
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Let f x x
( ) = +
+
e 1
2 , for − ≤ ≤
4 1
x .
(a) On the following grid, sketch the graph of f . [3]
x
–1 1
–2
–4
2
4
1
3
–1
0
y
–3
6
8
5
7
10
9
2 3 4
(b) The graph of f is translated by the vector
3
1
−





 to obtain the graph of a function g.
Find an expression for g x
( ) . [3]
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Ramiro walks to work each morning. During the first minute he walks 80 metres. In each
subsequent minute he walks 90% of the distance walked during the previous minute.
The distance between his house and work is 660 metres. Ramiro leaves his house at 08:00
and has to be at work by 08:15.
Explain why he will not be at work on time.
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T
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N
T
E
R
N
A
C
I
O
N
A
L
W
H
A
T
S
A
P
P
+
5
1
9
7
6
4
3
8
4
8
2
W
W
W
.
T
E
O
T
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V
E
S
.
C
O
M
– 9 –
Turn over
Let f x kx kx
( ) = +
2
and g x x
( ) .
= − 0 8. The graphs of f and g intersect at two distinct points.
Find the possible values of k.
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L
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A
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N
T
E
R
N
A
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I
O
N
A
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P
P
+
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7
6
4
3
8
4
8
2
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W
W
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– 10 –
Do not write solutions on this page.
Section B
Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page.
Let f x
x
( ) =
+
9
2
and g x x
( ) = 3 2
, for x ≥ 0 . Parts of the graphs of f and g are shown in
the following diagram.
y
x
0
P
g
f
The graphs of f and g intersect at the point P( , )
p q .
(a) Find the value of p and of q. [3]
(b) Write down ′
f p
( ) . [2]
Let L be the normal to the graph of f at P.
(c) (i) Find the equation of L, giving your answer in the form y ax b
= + .
(ii) Write down the y-intercept of L. [5]
(d) Let R be the region enclosed by the y-axis, the graph of g and the line L.
Find the area of R. [3]
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T
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N
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P
P
+
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2
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– 11 –
Turn over
A machine manufactures a large number of nails. The length, L mm, of a nail is normally
distributed, where L  N 50 2
, σ
( ).
(a) Find P( )
50 50 2
− < < +
σ σ
L . [3]
(b) The probability that the length of a nail is less than 53.92mm is 0.975.
Show that σ = 2 00
. (correct to three significant figures). [2]
All nails with length at least t mm are classified as large nails.
(c) A nail is chosen at random. The probability that it is a large nail is 0.75.
Find the value of t. [3]
(d) (i) A nail is chosen at random from the large nails. Find the probability that the
length of this nail is less than 50.1mm.
(ii) Ten nails are chosen at random from the large nails. Find the probability that
at least two nails have a length that is less than 50.1mm. [8]
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P
P
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W
W
W
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– 12 –
The following diagram shows a square ABCD, and a sector OAB of a circle centre O,
radius r. Part of the square is shaded and labelled R.
D
C
A
B
O R
θ
r
ˆ
AOB θ
= , where 0.5 θ
≤ < π.
(a) Show that the area of the square ABCD is 2 1
2
r ( cos )
− θ . [4]
(b) When θ α
= , the area of the square ABCD is equal to the area of the sector OAB .
(i) Write down the area of the sector when θ α
= .
(ii) Hence find α . [4]
(c) When θ β
= , the area of R is more than twice the area of the sector.
Find all possible values of β . [8]
12EP12

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