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- 3. 100 mm J1 J2 J3 デンソーウェーブ社製 アカデミックロボットVE026A 最大自由度：6 前長：378 mm 重量：216 g 可搬重量：150 g モデル w w平面上でのみ動作させる 自由度3
- 4. End-Effector End-effector’s force θ1 θ2 θ3 lg1 lg2 lg3 End-effector m2g τg1 τg2 τg3 m1g m3g - リンクの自重により 作用するトルク = 重力影響下においてエンドエフェクタの出力に 対して実際に必要な各関節の出力トルク エンドエフェクタの出力により 必要な関節トルク ①ロボットの運動学から関節トルクを求める
- 7. 各関節についてのトルク余裕[N・m] 各関節のトルク余裕を要素としたノルム値[N・m] ノルム値[N・m]が取りうる最大値 トルク余裕度[%] ※𝑁τ𝑝値が高いほど良好なものである 𝑵 𝑷 = 100 ②関節トルクの余裕度を求める
- 10. Strings Weight Pulley Arm RArm L w w w 想定動作：2台のロボットとテグス(糸)を用いて おもり(102 g)を w軸正方向のみに100 mm動作させる 拘束条件：テグスは常に水平を保って動作(エンドエフェクタ出力一定) 様々な配置の中からトルク余裕度が高くなる配置を考える ArmL ArmR
- 13. Weight ArmL B=0 deg. Zw Xw Yw J2 J2 ArmR B=0 deg. ZrL XrL ZrR XrR Arm L R 第2関節 正 負 外力の 働く方向 &1 N 1 N 1 N 固有 世界 𝜃2
- 15. B=90 deg. B=0 deg. B=270 deg. 8配置の中でトルク余裕度の高い範囲が多く おもりとロボットが干渉しない B=90 deg. が適している エンドエフェクタが常に設置面方向 を向いた姿勢で設置面Bのみを回転させる ArmR B=0 deg.B=90 deg.B=180 deg.B=270 deg. Weight B=90 deg. Weight
- 18. Determined line w= - 50 mm w= 50 mm Determined line w= 50 mm おもりが w軸正方向のみに持ち上がり おもりに対して各ロボットが行う仕事が同値となるよう軌道を決定する ArmRArmL
- 19. トルク余裕度図の利用により 2台のロボットの協調動作における 配置および軌道を決定することができた ArmL B=315 deg. ArmR B=90 deg. w w w 𝐽2 𝐽2 The direction which end-effector moves 50 mm 50 50
- 20. ArmL B=315 deg. ArmR B=90 deg. w w w 100 mm 𝐽2 𝐽2
- 21. 75 80 85 90 95 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 TorquemarginNtp[%] Operating time t [s] Experimental value Static theoretical value 75 80 85 90 95 100 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 TorquemarginNtp[%] Operating time t [s] Experimental value Static theoretical value ArmL ArmR ArmLは右肩上がり，ArmRは右肩下がり という傾向は類似していることから 理論値は実験値を予測する指標となっている ロボットの配置を考えることは有効であり トルク余裕度図を使用することで ロボットの配置決定を行うことが可能である
- 26. ご清聴ありがとうございました
- 27. 付録
- 28. エンドエフェクタの出力により必要な関節トルク z x τs3 Fex τs2 τs1 Fez End-Effector End-effector’s force ①ロボットの運動学から関節トルクを求める 仮想仕事の原理 （手先がした仕事 𝑻∆ =モータがした仕事 𝑻∆𝒒） から以下の式が導かれる ※∆ = ∆𝒒
- 29. 重力影響下においてエンドエフェクタの出力に 対して実際に必要な各関節の出力トルク ①ロボットの運動学から関節トルクを求める 𝜏 𝑠3 = 𝜏3 − [𝑚3 𝑔𝑙 𝑔3 sin 𝜃1 𝜃2 𝜃3 ] = z x θ1 θ2 θ3 lg1 lg2 lg3 End Effector m2g τg1 τg2 τg3 m1g m3g - リンクの自重により 作用するトルク エンドエフェクタの出力により 必要な関節トルク
- 30. ①ロボットの運動学から基礎式を求める ロボットアームの運動方程式+エンドエフェクタ出力 𝜏 = 𝑀 𝜃 𝜃 𝐶 𝜃， 𝜃 𝑔 𝜃 𝐽𝑟 𝑇 𝐹 （1） 𝜏: サーボモータトルク 𝑀 𝜃 : 慣性項 𝐶 𝜃， 𝜃 :非線形項 𝑔 𝜃 :重力項 𝐽𝑟 𝑇 𝐹:エンドエフェクタ出力によるモータトルク 手先速度ベクトル𝑣と関節速度ベクトル 𝜃の関係 𝑣 = 𝐽𝑣 𝜃 微分 𝑣 = 𝐽𝑣 𝜃 𝑎 𝑟 𝜃, 𝜃 (2) ※ 𝑎 𝑟 𝜃, 𝜃 = 𝐽𝑣 𝜃 （手先加速度の一部）
- 31. ①ロボットの運動学から基礎式を求める ※ 𝑎 𝑟 𝜃, 𝜃 = 𝐽𝑣 𝜃 𝑎 𝑟（手先加速度の一部）を関節駆動力で 出力可能な部分とそうでない部分に分ける 𝑎 𝑟 = 𝐽𝑣 𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 𝐼 − 𝐽𝑣 𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 = 𝐽𝑣 𝑀−1 𝑀𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 𝐼 − 𝐽𝑣 𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 （3） 𝑣 = 𝐽𝑣 𝑀−1 𝜏：可操作性の基礎式 𝑣 = 𝐽𝑣 𝜃 𝑎 𝑟 𝜃, 𝜃 (2) (1)～(3)より 𝑣 = 𝑣 − 𝐼 − 𝐽𝑣 𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 𝜏 = 𝜏 − 𝐶 𝜃， 𝜃 − 𝑔 𝜃 − 𝐽𝑟 𝑇 𝐹 𝑀𝐽𝑣 + 𝑎 𝑟 ※
- 32. ②操作力楕円体および可操作度の算出 𝑣 = 𝐽𝑣 𝑀−1 𝜏：可操作性の基礎式 静的に動作 操作力楕円体(MFE) 手先力に関する楕円体 可操作性楕円体(DME) 手先速度に関する楕円体 𝜏 ≤ 𝜏𝑖𝑚𝑎𝑥を満足する関節駆動力 𝜏を用いて 実現できる手先加速度 𝑣のすべての集合 楕円体 𝜏𝑖𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑖𝑚𝑎𝑥 − 𝑔𝑖 𝜃 𝐽𝑟 𝑇 𝐹 𝑀 = diag 1 𝜏1𝑚𝑎𝑥 ， 1 𝜏2𝑚𝑎𝑥 ， 1 𝜏3𝑚𝑎𝑥 × 𝑀 最大値 重力 エンド出力 慣性項 ※
- 33. ②操作力楕円体および可操作度の算出 𝑣 = 𝐽𝑣 𝑀−1 𝜏：可操作性の基礎式 特異値分解 𝐽𝑣 𝑀−1 = 𝑈 𝑑 𝛴 𝑑 𝑉𝑑 𝑇 ※ ・𝑈 𝑑, 𝑉𝑑:𝑚 × 𝑚, 𝑛 × 𝑛の直交行列 ・𝛴 𝑑 = σ 𝑑1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ σ 𝑑𝑚 (σ 𝑑𝑖 ≥ 0) 操作力楕円体(MFE) 主軸：𝒖 𝒅 /σ 𝑑1, 𝒖 𝒅 /σ 𝑑2, ⋯ 𝒖 𝒅𝒎/σ 𝑑𝑚 可操作性楕円体(DME) 主軸：σ 𝑑1 𝒖 𝒅 , σ 𝑑2 𝒖 𝒅 , ⋯ σ 𝑑𝑚 𝒖 𝒅𝒎
- 34. ②操作力楕円体および可操作度の算出 体積 スカラ指標：可操作度𝜔 𝑑 可操作度の定義 𝜔 𝑑 = 𝑑𝑒𝑡 (𝐽𝑣) 𝑑𝑒𝑡( 𝑀) ※冗長性をもたないマニピュレータ 可操作性楕円体(DME) 手先速度に関する楕円体 𝜏𝑖𝑚𝑎𝑥 = 𝜏𝑖𝑚𝑎𝑥 − 𝑔𝑖 𝜃 𝐽𝑟 𝑇 𝐹 𝑀 = diag 1 𝜏1𝑚𝑎𝑥 ， 1 𝜏2𝑚𝑎𝑥 ， 1 𝜏3𝑚𝑎𝑥 × 𝑀 最大値 重力 エンド出力 慣性項 ※
- 35. Arm L R 第2関節 正 負 外力の 働く方向 &1 N 1 N 1 N 固有 世界 ArmL B=315 deg. ArmR B=90 deg. w w w 𝐽2 𝐽2 The direction which end-effector moves 50 mm 50 50
- 36. 特異姿勢となる𝜔 𝑑 = 0の位置 = トルク余裕度の高い位置 エンドエフェクタ出力の影響度 可操作度 ：小 トルク余裕度 ：大 𝜔 𝑑 = 𝑑𝑒𝑡 (𝐽𝑣) 𝑑𝑒𝑡(𝑀) 可操作度 ： 姿勢の影響が大 トルク余裕度 可操作度
- 37. Determined line C Determined line w= - 50 mm w= 50 mm A C B A:始点 B:終点 C:𝜔 𝑑 = 0 特異姿勢となる𝜔 𝑑 = 0の位置 ≠ トルク余裕度の高い位置 エンドエフェクタ出力の影響度 可操作度 ：小 トルク余裕度 ：大 𝜔 𝑑 = 𝑑𝑒𝑡 (𝐽𝑣) 𝑑𝑒𝑡(𝑀) 可操作度 ： 姿勢の影響が大 トルク余裕度 可操作度
- 38. ArmRは可操作度の低い軌道を選択しているが，動作方向に操作可能 操作力が確保できている 操作力楕円体(MFE)の作成 Determined lineDetermined line w= 50 mm トルク余裕度 可操作度
- 40. ①おもりを持ち上げるために必要となる仕事100 Nmを各ロボットで分担 ②各ロボットで行う仕事が50 Nmとなるように軌道を決定 ③主体となるロボット(ArmR)より軌道を決定 おもりが真上のみに持ち上がるように w軸正方向に50 mmと決定する ④テグスの水平条件より ArmLは w軸正方向に50 mm持ち上げる軌道とする ⑤ ArmLの w軸正方向への仕事はおもりに対して仕事を行わないので w軸負方向にも50 mm動作させることで 2台のロボットにより，おもりを100 mm持ち上げる
- 41. Weight 𝑙1 𝑙2 𝑙1 𝑙2 = 𝑙 ArmL End-effector zw ArmR End-effector xw (a)Before (b)After Weight 𝑙1 𝑙1 2 2 = 𝑙 zw xw テグスの水平条件を考えない場合 = 𝑙 − 2 𝑙1 2 − = 𝑙1 𝑙2 − 2 𝑙1 2 − 𝐿 = 𝑙2 − = 2 𝑙1 2 − 𝑙1 おもりを持ち上げる際にロボット間距離の拘束を受ける エンドエフェクタの出力が随時変化する 出力に応じたトルク余裕度図の作成が必要となる 問題の複雑化 問題1問題2
- 42. Weight 𝑙1 𝑙1 = 𝑙 zw xw テグスの水平条件を考える場合 Weight 𝑙1 𝑙2 𝑙1 𝑙2 = 𝑙 ArmL End-effector zw ArmR End-effector xw (a)Before (b)After 𝑙 = 𝑙1 𝑙2 = 𝑙1 = 𝑙2 − − 𝐿 = 𝑙2 − = おもりを持ち上げる際にロボット間距離の拘束を受けない エンドエフェクタの出力が変動しない 出力に応じたトルク余裕度図の作成が必要でなくなる 問題の簡単化
- 43. Weight 45[deg.] zrL xrL Yw zrR xrR J1 J1 ArmL B=315 deg. C=0 deg. Xw Zw ArmR B=90 deg. C=0 deg. Weight 45[deg.] zrL xrL Yw J1 ArmL B=315 deg. C=0 deg. Xw Zw 45[deg.] ArmR B=315 deg. C=0 deg. どちらのロボットの方がトルク余裕度が高くなるのかを比較 同じ配置，同じ姿勢 異なる配置，異なる姿勢
- 44. End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] 80 100 NτP[%] 90 w= 50 mm Determined line Determined line End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] 80 100 NτP[%] 90 w= 50 mm Weight 45[deg.] zrL xrL Yw J1 ArmL B=315 deg. C=0 deg. Xw Zw 45[deg.] ArmR B=315 deg. C=0 deg. Weight 45[deg.] zrL xrL Yw zrR xrR J1 J1 ArmL B=315 deg. C=0 deg. Xw Zw ArmR B=90 deg. C=0 deg. トルク余裕度の高い緑(90 %付近)の領域が多い
- 45. End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] 70 100 NτP [%] 85 0 100 300-200-300 -300 -100 0 100 300 200 -200 -100 200 なぜ，トルク余裕度の 高い位置と低い位置が現れるのか ・エンドエフェクタの出力 ・自重の影響 姿勢図により解明
- 46. End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] 70 100 NτP [%] 85 -300 -100 0 100 300 200 -200 0 100 300-200-300 -100 200 Determined line w= - 50 mm w= 50 mm ArmL 動作始点におけるロボットの姿勢 各関節に加わる 自重の影響 第一関節…リンク1,2,3の重心である●印 第二関節…リンク2,3の重心である△印 第三関節…リンク3の重心である＊印 0 150 300-150-300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight
- 47. 0 150 300-150-300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] 70 100 NτP [%] 85 -300 -100 0 100 300 200 -200 0 100 300-200-300 -100 200 Determined line w= - 50 mm w= 50 mm 動作終点におけるロボットの姿勢 各関節に加わる 自重の影響 第一関節…リンク1,2,3の重心である●印 第二関節…リンク2,3の重心である△印 第三関節…リンク3の重心である＊印 ArmL
- 48. 0 150 300-150-300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight 0 150 300-150-300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight 終点始点 第一関節回りについて，各トルクが反転するように働いている 第一関節が楽に動作できる姿勢となっている ArmL
- 50. 93%88% 高くなっている 第二関節回りについても，各トルクが反転するのに近い姿勢 ArmLについては，第二関節が常に正の範囲で動作する として計算 反転しないように計算を行っている ArmL
- 51. 𝐽1 𝐽2 𝐽3 𝜏𝑖 [Nm] 0.055 0.004 ‐0.062 𝜏 𝑔 [Nm] ‐0.061 0.119 0.030 Total [Nm] ‐0.006 0.123 ‐0.032 𝐽1 𝐽2 𝐽3 𝜏𝑖 [Nm] 0.104 0.027 ‐0.062 𝜏 𝑔 [Nm] ‐0.116 0.019 0.030 Total [Nm] ‐0.012 0.046 ‐0.032 始点 ArmL 終点 時計回りが正
- 52. End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] 70 100 NτP [%] 85 -300 -100 0 100 300 200 -200 0 100 300-200-300 -100 200 Determined line w= - 50 mm w= 50 mm 作業領域端でもっともトルク余裕度が高くなる理由 第二関節≒0 deg.となる姿勢，つまり 第一関節と第三関節がほぼ直線上にある姿勢で，最も高くなる 0 150 300-150-300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrL[mm] End-effector’s position of xrL[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight ArmL
- 53. End Effector Own weight End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] J1 J2 J3 -300 -100 100 300 200 -200 0 -300 End-effector’s position of xrR[mm] 0 -200100200300 -100 -300 End-effector’s positionofzrR[mm] 60 100 NτP[%] 80 Determined line w= 50 mm 動作始点におけるロボットの姿勢 各関節に加わる 自重の影響 第一関節…リンク1,2,3の重心である●印 第二関節…リンク2,3の重心である△印 第三関節…リンク3の重心である＊印 ArmR
- 54. End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight -300 -100 100 300 200 -200 0 -300 End-effector’s position of xrR[mm] 0 -200100200300 -100 -300 End-effector’s positionofzrR[mm] 60 100 NτP[%] 80 Determined line w= 50 mm 動作終点におけるロボットの姿勢 各関節に加わる 自重の影響 第一関節…リンク1,2,3の重心である●印 第二関節…リンク2,3の重心である△印 第三関節…リンク3の重心である＊印 ArmR
- 55. End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] J1 J2 J3 End Effector Own weight End Effector Own weight End-effector’s position of xrR[mm] 0 -150300 150 -300 -300 -150 0 150 300 End-effector’s positionofzrR[mm] J1 J2 J3 始点 終点 第二関節が常に負の値を取って動作する姿勢を用いることで 第一関節回りだけでなく，第二関節回りについても各トルクが反転し おもりを吊るしているArmにおいても，トルク余裕度は高くなる ArmR
- 56. 𝐽1 𝐽2 𝐽3 𝜏𝑖 [Nm] 0.110 0.017 0.088 𝜏 𝑔 [Nm] ‐0.143 ‐0.128 0 Total [Nm] ‐0.033 ‐0.111 0.088 𝐽1 𝐽2 𝐽3 𝜏𝑖 [Nm] 0.154 0.099 0.088 𝜏 𝑔 [Nm] ‐0.163 ‐0.084 0 Total [Nm] ‐0.009 0.015 0.088 始点 終点 ArmR 時計回りが正