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死にたくない 
@joisino_
囚人の帽子の問題とハミング符号 
@joisino_
問題 
囚人がN(= 2n−1 
)人いる 
囚人は白帽か赤帽をかぶっている 
自分の帽子の色は分からないが、他人の帽子の 
色は全てわかる 
各人は同時に自分の色を言うか何も言わない
問題 
● 1人以上が発言し、発言した人全員が正解→勝 
利 
● 全員沈黙、または一人でも間違う→死 
生存確率が高くなるような作戦を求める
例 
赤白 
→勝利
例 
白白赤 
→死
N = 3 のとき
方針 : 全列挙
方針 : 全列挙 
● 囚人から見たパターンは2通り(他の人の色が同 
じ、異なる) 
● 作戦は全6通り 
● この作戦を帽子の全パターンについて試す
方針 : 全列挙 
帽子の色の全パターンは以下の8通り 
● (白、白、白) 
● (白、白、赤) 
● (白、赤、白) 
● (白、赤、赤) 
● (赤、白、白) 
● (赤、白、赤) 
● (赤、赤、白) 
● (赤、赤、赤)
答え 
他の人が同じ色のときは違う色を言う。 
違う色のときは黙る
答え 
赤赤赤 
→死 
勝利:0 
死:1
答え 
→勝利 
赤 
勝利:1 
死:1
答え 
赤 
→勝利 
勝利:2 
死:1
答え 
→勝利 
白 
勝利:3 
死:1
答え 
→勝利 
赤 
勝利:4 
死:1
答え 
白 
→勝利 
勝利:5 
死:1
答え 
→勝利 
白 
勝利:6 
死:1
答え 
白白白 
→死 
勝利:6 
死:2
答え 
8パターン中6パターン勝利(75パーセント) 
何故良いか? 
→各人が当てられる確率は50パーセントだ 
が、皆が間違うパターンが集中している
答え 
白白白 
→死
N = 7 のとき
N = 7 のとき 
帽子のパターンは128通り、作戦のパターンは 
18通り 
囚人にコンピュータは与えられない 
– 全列挙は難しい
方針1 : 妥協
方針1 : 妥協 
3人選んでN = 3のときの方針をとる 
他の4人は黙らせる
方針1 : 妥協 
赤
方針1 : 妥協 
勝利確率はN = 3のときと同じで75パーセント 
利点 : 楽 
難点 : 命を粗末にするのはダメ
方針2 : ハミング符号
2元ハミング符号 
H7 
2元ハミング符号 H7 
とは? 
誤り訂正符号の1つ 
– 送りたい情報にノイズが混入しても訂正できるよう 
な符号 
3つの集合A,B,Cに対するベン図を使う 
それぞれの集合は1,10,100(2進数)を表す
2元ハミング符号 
B 
C 
A 
H7 
u1 
u2 u3 
u6 
u4 
u5 
u7
2元ハミング符号 
H7 
使い方 
4ビットの情報( a1, a2, a3, a4 
)を送る 
ビットをベン図の u3 , u5 , u6 , u7 
に割り当てる 
それぞれの集合に属するビットの和が0になるよう 
に残りのビットを決める
2元ハミング符号 
例) = 1 , = 0 , = 1 , = 1 
B 
C 
0 1 
1 
0 1 
0 
1 
A 
符号) 0110011 
H7 
a1 a2 a3 a4
2元ハミング符号 
符号) 0110011 が 符号) 0100011 になってしまった 
B 
C 
0 1 
0 
0 1 
0 
1 
A 
H7
2元ハミング符号 
B 
H7 
C 
0 1 
0 
0 1 
0 
1 
A 
A : 0 + 0 + 1 + 0 = 1(おかしい)
2元ハミング符号 
B 
H7 
C 
0 1 
0 
0 1 
0 
1 
A 
B : 1 + 1 + 1 + 0 = 1(おかしい)
2元ハミング符号 
B 
H7 
C 
0 1 
0 
0 1 
0 
1 
A 
A : 0 + 0 + 1 + 1 = 0(ただしい)
2元ハミング符号 
A : おかしい 
B : おかしい 
C : ただしい 
H7 
→間違いはA , Bに属していて、Cに属していない 
→間違いは 
u3
2元ハミング符号 
H7 
誤り訂正符号としての問題点 
2つ以上の間違いが混入したら修正できない 
符号) 0110011 が 符号) 0100111 になってしまった 
→0100101と修正してしまう
答え 
囚人に番号をつけておく 
白帽を0,赤帽を1としてビット列をつくる 
● 自分のビットを決めてハミング符号語にできるな 
ら、ハミング符号語にならないように帽子の色を言 
う 
● ハミング符号語にできないなら何も言わない
答え 
全員何も言わない 
– 任意の7ビット列は1ビット変更してハミング符号語にで 
きるのであり得ない 
間違える 
– 帽子のビット列がハミング符号語のとき 
– 4ビットの送る情報それぞれに1つハミング符号語があ 
るので16通り 
全...
ハミング符号作戦が最適である証明 
ある作戦においてその作戦で勝利したとき、1人 
以上が帽子の色を発言している 
赤
ハミング符号作戦が最適である証明 
もし、他の人の帽子の色が同じで、自分の帽子 
の色が変わった場合、死 
(自分では変わっても区別できないから) 
赤
ハミング符号作戦が最適である証明 
つまり、作戦が成功する帽子のビット列に隣接 
するビット列で、失敗するビット列が存在する 
成功したビット列で、発言した1人のビットを変更 
すると構成できる 
(隣接: 0110011 と 0100011 ...
ハミング符号作戦が最適である証明 
失敗するビット列の集合をFとすると、Fの元xを 
中心とする半径1の球B={y∈ Z2 
7 
| yはxに隣接し 
ているまたはy = x}の和は全ての7ビット列を覆 
う必要がある 
覆われていない元zが...
ハミング符号作戦が最適である証明 
|B| = 8 なので 
8|F| ≧ 2^7 
|F| ≧ 16 
失敗するビット列は16個以上 
よって H 7 による作戦が最適となる
一般( N = 2 n )の場合−1
一般( N=2n−1 
)の場合 
2元ハミング符号による作戦が最適であることが 
N = 7と同様に示せる(省略)
一般( N=2n−1 
)の場合 
H2n−1 2n−1−n 
2元ハミング符号 が伝える情報は 
ビットなので失敗するパターン(ハミング符号語 
の数)は 22n−1−n 
通り。 
帽子のパターンは 通り 
勝利確率は 
22n−1 
1−...
まとめ 
人数が多いほうが死なない 
符号理論を知っている方が死なない
ご清聴ありがとうございました
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死にたくない

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囚人の帽子の問題とハミング符号

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死にたくない

  1. 1. 死にたくない @joisino_
  2. 2. 囚人の帽子の問題とハミング符号 @joisino_
  3. 3. 問題 囚人がN(= 2n−1 )人いる 囚人は白帽か赤帽をかぶっている 自分の帽子の色は分からないが、他人の帽子の 色は全てわかる 各人は同時に自分の色を言うか何も言わない
  4. 4. 問題 ● 1人以上が発言し、発言した人全員が正解→勝 利 ● 全員沈黙、または一人でも間違う→死 生存確率が高くなるような作戦を求める
  5. 5. 例 赤白 →勝利
  6. 6. 例 白白赤 →死
  7. 7. N = 3 のとき
  8. 8. 方針 : 全列挙
  9. 9. 方針 : 全列挙 ● 囚人から見たパターンは2通り(他の人の色が同 じ、異なる) ● 作戦は全6通り ● この作戦を帽子の全パターンについて試す
  10. 10. 方針 : 全列挙 帽子の色の全パターンは以下の8通り ● (白、白、白) ● (白、白、赤) ● (白、赤、白) ● (白、赤、赤) ● (赤、白、白) ● (赤、白、赤) ● (赤、赤、白) ● (赤、赤、赤)
  11. 11. 答え 他の人が同じ色のときは違う色を言う。 違う色のときは黙る
  12. 12. 答え 赤赤赤 →死 勝利:0 死:1
  13. 13. 答え →勝利 赤 勝利:1 死:1
  14. 14. 答え 赤 →勝利 勝利:2 死:1
  15. 15. 答え →勝利 白 勝利:3 死:1
  16. 16. 答え →勝利 赤 勝利:4 死:1
  17. 17. 答え 白 →勝利 勝利:5 死:1
  18. 18. 答え →勝利 白 勝利:6 死:1
  19. 19. 答え 白白白 →死 勝利:6 死:2
  20. 20. 答え 8パターン中6パターン勝利(75パーセント) 何故良いか? →各人が当てられる確率は50パーセントだ が、皆が間違うパターンが集中している
  21. 21. 答え 白白白 →死
  22. 22. N = 7 のとき
  23. 23. N = 7 のとき 帽子のパターンは128通り、作戦のパターンは 18通り 囚人にコンピュータは与えられない – 全列挙は難しい
  24. 24. 方針1 : 妥協
  25. 25. 方針1 : 妥協 3人選んでN = 3のときの方針をとる 他の4人は黙らせる
  26. 26. 方針1 : 妥協 赤
  27. 27. 方針1 : 妥協 勝利確率はN = 3のときと同じで75パーセント 利点 : 楽 難点 : 命を粗末にするのはダメ
  28. 28. 方針2 : ハミング符号
  29. 29. 2元ハミング符号 H7 2元ハミング符号 H7 とは? 誤り訂正符号の1つ – 送りたい情報にノイズが混入しても訂正できるよう な符号 3つの集合A,B,Cに対するベン図を使う それぞれの集合は1,10,100(2進数)を表す
  30. 30. 2元ハミング符号 B C A H7 u1 u2 u3 u6 u4 u5 u7
  31. 31. 2元ハミング符号 H7 使い方 4ビットの情報( a1, a2, a3, a4 )を送る ビットをベン図の u3 , u5 , u6 , u7 に割り当てる それぞれの集合に属するビットの和が0になるよう に残りのビットを決める
  32. 32. 2元ハミング符号 例) = 1 , = 0 , = 1 , = 1 B C 0 1 1 0 1 0 1 A 符号) 0110011 H7 a1 a2 a3 a4
  33. 33. 2元ハミング符号 符号) 0110011 が 符号) 0100011 になってしまった B C 0 1 0 0 1 0 1 A H7
  34. 34. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A A : 0 + 0 + 1 + 0 = 1(おかしい)
  35. 35. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A B : 1 + 1 + 1 + 0 = 1(おかしい)
  36. 36. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A A : 0 + 0 + 1 + 1 = 0(ただしい)
  37. 37. 2元ハミング符号 A : おかしい B : おかしい C : ただしい H7 →間違いはA , Bに属していて、Cに属していない →間違いは u3
  38. 38. 2元ハミング符号 H7 誤り訂正符号としての問題点 2つ以上の間違いが混入したら修正できない 符号) 0110011 が 符号) 0100111 になってしまった →0100101と修正してしまう
  39. 39. 答え 囚人に番号をつけておく 白帽を0,赤帽を1としてビット列をつくる ● 自分のビットを決めてハミング符号語にできるな ら、ハミング符号語にならないように帽子の色を言 う ● ハミング符号語にできないなら何も言わない
  40. 40. 答え 全員何も言わない – 任意の7ビット列は1ビット変更してハミング符号語にで きるのであり得ない 間違える – 帽子のビット列がハミング符号語のとき – 4ビットの送る情報それぞれに1つハミング符号語があ るので16通り 全員正解する – それ以外の128-16=112通り 勝利確率は 112/128 (87.5パーセント)
  41. 41. ハミング符号作戦が最適である証明 ある作戦においてその作戦で勝利したとき、1人 以上が帽子の色を発言している 赤
  42. 42. ハミング符号作戦が最適である証明 もし、他の人の帽子の色が同じで、自分の帽子 の色が変わった場合、死 (自分では変わっても区別できないから) 赤
  43. 43. ハミング符号作戦が最適である証明 つまり、作戦が成功する帽子のビット列に隣接 するビット列で、失敗するビット列が存在する 成功したビット列で、発言した1人のビットを変更 すると構成できる (隣接: 0110011 と 0100011 など)
  44. 44. ハミング符号作戦が最適である証明 失敗するビット列の集合をFとすると、Fの元xを 中心とする半径1の球B={y∈ Z2 7 | yはxに隣接し ているまたはy = x}の和は全ての7ビット列を覆 う必要がある 覆われていない元zがあるとすると、zのとき作 戦が成功し、zに隣接する元で失敗する元が存 在しないことになるから矛盾
  45. 45. ハミング符号作戦が最適である証明 |B| = 8 なので 8|F| ≧ 2^7 |F| ≧ 16 失敗するビット列は16個以上 よって H 7 による作戦が最適となる
  46. 46. 一般( N = 2 n )の場合−1
  47. 47. 一般( N=2n−1 )の場合 2元ハミング符号による作戦が最適であることが N = 7と同様に示せる(省略)
  48. 48. 一般( N=2n−1 )の場合 H2n−1 2n−1−n 2元ハミング符号 が伝える情報は ビットなので失敗するパターン(ハミング符号語 の数)は 22n−1−n 通り。 帽子のパターンは 通り 勝利確率は 22n−1 1−22n−1−n 2n= N 22n−1 =1− 1 N+1 Nが大きくなると勝利確率は限りなく1に近づく
  49. 49. まとめ 人数が多いほうが死なない 符号理論を知っている方が死なない
  50. 50. ご清聴ありがとうございました

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