Matematika Peminatan 11A.ppt

SMA/MA Kelas XI Semester 1
Matematika
Disusun oleh:
Anna Yuni Astuti
Disklaimer Daftar isi
Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam

• Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna
membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.
• Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI)
dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.
• Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini
disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar
saja.
• Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat
mengembangkannya sesuai kebutuhan.
• Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru
dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan
interaktif.
Disklaimer

DAFTAR ISI
Bab 1. Trigonometri
Bab 2. Lingkaran

BAB
Trigonometri
I
C. Identitas Trigonometri Sudut Rangkap
D. Identitas Perkalian dan Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus
B. Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut
A. Persamaan Trigonometri
Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Trigonometri
1. Pengertian Persamaan Trigonometri
2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri
a. Penyelesaian persamaan sin x = sin a
b. Penyelesaian persamaan cos x = cos a
c. Penyelesaian persamaan tan x = tan a
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Pengertian Persamaan Trigonometri
Berikut beberapa contoh persamaan trigonometri.
1. Apakah persamaan-persamaan trigonometri tersebut
memuat variabel?
2. Apakah persamaan-persamaan trigonometri tersebut
selalu memuat variabel yang berada di dalam bentuk
trigonometri?
Diskusikan pertanyaan berikut!
1
a. sin x = c. tan x 5
2
1
b. cos y 3 0 d. sin 2b sin b 6 0
2

    

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang
variabelnya termuat dalam bentuk trigonometri.
KESIMPULAN

2. Penyelesaian Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri diselesaikan dengan mengubah
bentuk persamaan ke bentuk umum
sin x = sin a, cos x = cos a, atau tan x = tan a.

Sudut dalam satuan derajat:
sin x = sin a
 x = a + k  360
atau x = (180 – a) + k  360
Sudut dalam satuan radian:
sin x = sin a
 x = a + k  2
atau x = ( – a) + k  2

Contoh soal
Tentukan penyelesaian sin x = sin (–30 ).
Jawaban:
sin x = sin (–30).
 x = (–30) + k  360
atau x = (180 – (–30)) + k  360
 x = (–30) + k  360
atau x = 210 + k  360
Ingat penyelesaian
sin x = sin a
 x = a + k  360atau
x = (180 – a )+ k  360

Untuk x = –30 + k  360:
k = 0 maka x = –30 + 0  360 = –30
k = 1 maka x = –30 + 1  360 = 330
Untuk x = 210 + k  360:
k = 0 maka x = 210 + 0  360 = 210
k = 1 maka x = 210 + 1  360 = 470
Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 210 dan
330
Jadi, himpunan penyelesaian sin x = sin 30
adalah {210, 330}

cos x = cos a
 x = a + k  360
 x = a + k  360 atau x = –a + k  360
cos x = cos a
 x =  a + k  2
 x = a + k  2 atau x = –a + k  2

Contoh soal
Tentukan penyelesaian persamaan cos 2x = cos 120
Jawaban:
cos 2x = cos 120
 2x = 120+ k  360
atau 2x = –120+ k  360
 x = 60 + k  180
atau x = –60 + k  180
Ingat penyelesaian
cos x = cos a
 x = a + k  360atau
x = –a + k  360

Untuk x = 60 + k  180:
k = 0 maka x = 60 + 0  180 = 60
k = 1 maka x = 60 + 1  180 = 240
k = 2 maka x = 60 + 2  180 = 420
Untuk x = –60 + k  360:
k = 0 maka x = –60 + 0  180 = –60
k = 1 maka x = –60 + 1  180 = 120
Nilai x yang memenuhi 0  x  360 adalah 60, 120, dan
240.
Jadi, himpunan penyelesaian sin x = sin 30
adalah {210, 330}.

tan x = tan a
 x = a + k  180
tan x = tan a
 x = a + k  

Contoh soal
Tentukan penyelesaian persamaan tan (3x – 45) = tan 60
untuk 100  x  300.
Jawaban:
tan (3x – 45) = tan 60
 3x – 45 = 60+ k  180
 3x = 45 + 60 + k  180
 3x = 105 + k  180
 x = 35 + k  60
Ingat penyelesaian
tan x = tan a
 x = a + k  180

Untuk x = 35 + k  60:
k = 0 maka x = 35 + 0  60 = 35
k = 1 maka x = 35 + 1  60 = 95
k = 2 maka x = 35 + 2  60 = 155
k = 3 maka x = 35 + 3  60 = 215
k = 4 maka x = 35 + 4  60 = 275
k = 5 maka x = 35 + 5  60 = 335
Nilai x yang memenuhi 100  x  300 adalah 155, 215,
dan 275.
Jadi, himpunan penyelesaian tan (3x – 45) = tan 60 untuk
100  x  300 adalah {210, 330}.

B.Identitas Trigonometri Penjumlahan dan
Selisih Dua Sudut
cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin 
cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin 
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin 
sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin 
tan tan
tan ( )
1 tan tan
tan tan
tan ( )
1 tan tan
 
 
 
 
 
 

 


 


Contoh soal
Tentukan nilai trigonometri berikut.
a. cos 105
b. sin 15
c. tan 255

Contoh soal

C. Identitas Trigonometri Sudut Rangkap
1. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Rangkap
2. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut Pertengahan

1. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut
Rangkap
2
2
2 2
2
sin 2α 2sin αcosα
cos 2α 2cos α 1
1 2 sin α
cos α sin α
2tan α
sin 2α
1 tan α

 
 
 



2. Identitas Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut
Pertengahan
sin 2α 2sin αcosα
1 cos α
1
sin α
2 2
1 cos α
1
cos α
2 2
1 cos α
1
tan α
2 1 cos α


 

 

 


Contoh soal
Jawaban:
Dari tan x = dapat dibuat segitiga
seperti gambar di samping.
x di kuadran II, nilai sin x positif dan cos x
negatif sehingga sin x = dan cos x =
x
2
x
2
4
3
4
3
4
5
3
5

Diketahui nilai tan x = dan x di kuadran II. Tentukan nilai
sin dan cos .

1 cos x
x
sin
2 2
3
1 ( )
5
=
2
8 10 80 4 5 2
= = 5
10 10 10 10 5

 
 

       
Oleh karena 90  x  180  45   90 maka
nilai sin positif yaitu .
x
2
x
2
2
5
5

Oleh karena 90  x  180  45   90 maka nilai
cos positif yaitu .
1 cos x
x
cos
2 2
3
1 ( )
5
=
2
2 10 20 2 5 1
= = 5
10 10 10 10 5

 
 

       
x
2
x
2
1
5
5

D. Identitas Perkalian dan Penjumlahan dan
Selisih Sinus Kosinus
1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus
2. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus
1
sin αcosβ [sin (α β) sin (α β)]
2
1
cosαsinβ [sin (α β) sin (α β)]
2
1
cosαcosβ [cos (α β) cos (α β)]
2
1
cosαcosβ [cos (α β) cos (α β)]
2
   
   
   
   

2.Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus
dan Kosinus
1 1
sin p sinq 2 sin (p q) cos (p q)
2 2
1 1
sin p sinq 2 cos (p q) sin (p q)
2 2
1 1
cosp cos q 2cos (p q) cos (p q)
2 2
1 1
cosp cos q 2 sin (p q) sin (p q)
2 2
   
   
   
    

BAB
Lingkaran
II
A. Persamaan Lingkaran
C. Garis Singgung Lingkaran
B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran terhadap Lingkaran
Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
2. Persamaan Lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari r.
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b) dan
berjari-jari r.
c. Bentuk umum persamaan lingkaran

1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak
sama terhadap sebuah titik
tertentu.
Sebuah titik tertentu tersebut
disebut pusat lingkaran dan jarak
yang sama itu dinamakan jari-jari
lingkaran(radius).

2. Persamaan Lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat
di O(0, 0) dan berjari-jari r.
b. Persamaan lingkaran yang berpusat
di P(a, b) dan berjari-jari r.
x2 + y2 = r2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2

c. Bentuk umum persamaan lingkaran:
x2 + y2 + Ax + By + C = r2
Lingkaran tersebut mempunyai jari-jari:
titik pusat:

Tentukan persamaan lingkaran di bawah ini.
Contoh soal

Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik (1, 4).
Tentukan panjang jari-jari lingkaran tersebut .
Jawaban:
Lingkaran melalui titik (1, 4), diperoleh:
12 + 42 + 6 × 1 – 2 × 4 + a = 0
⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0
⇔ a = –15
Contoh soal

1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
3. Kedudukan Dua Lingkaran
B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran
terhadap Lingkaran

1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
Ada tiga kemungkinan
kedudukan titik terhadap
lingkaran yaitu titik terletak
di dalam, pada, atau di luar
lingkaran.

Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah
jarak antara titik (x1, y1) dan titik P(a, b).
1) Jika d < r, titik (x1, y1) terletak di dalam lingkaran.
2) Jika d = r, titik (x1, y1) terletak pada lingkaran.
3) Jika d > r, titik (x1, y1) terletak di luar lingkaran.

Contoh soal
Tentukan kedudukan titik A(4, –2) terhadap lingkaran
x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dapat
digunakan dua cara sebagai berikut.
4 4 ( 2 ( 2)) 4(4) 2( 2) 20
16 4 16 4 20
12
        
   


2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Ada tiga kemungkinan
kedudukan titik terhadap
lingkaran yaitu garis tidak
memotong lingkaran, garis
menyinggung lingkaran, dan
garis memotong lingkaran di
dua titik.

Kedudukan garis A terhadap lingkaran L dapat ditentukan
dengan cara sebagai berikut.
a. Mensubstitusikan persamaan garis A ke dalam persamaan
lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0, lalu menghitung nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac).
1) Jika D < 0, garis A tidak memotong lingkaran L.
2) Jika D = 0, garis A menyinggung lingkaran L.
3) Jika D > 0, garis A memotong lingkaran L di dua titik.

Membandingkan antara jarak titik pusat lingkaran L
terhadap garis A dengan jari-jari lingkaran.
Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah jarak
antara garis px + qy + r = 0 dan titik P(a, b).
Kedudukan garis A terhadap lingkaran L sebagai berikut.
1) Jika d < r, garis A memotong lingkaran L di dua titik.
2) Jika d = r, garis A menyinggung lingkaran L.
3) Jika d > r, garis A tidak memotong lingkaran L.

3. Kedudukan Dua Lingkaran
Ada beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran
yaitu lingkaran pertama sepusat, terletak di dalam, terletak
di luar, bersinggungan, saling lepas, atau memotong
lingkaran kedua.

Contoh soal
Tentukan kedudukan pasangan lingkaran A dengan
persamaan (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9 dan lingkaran B dengan
persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25.

C. Garis Singgung Lingkaran
1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
a. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui
gradiennya.
b. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada
lingkaran.
c. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar
lingkaran.

1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung lingkaran merupakan garis yang
memotong lingkaran di satu titik dan tegak lurus dengan
jari-jari lingkaran. Titik perpotongan garis singgung dan
lingkaran dinamakan titik singgung.
Pada gambar di samping,
garis A menyinggung
lingkaran di titik A(x1, y1).
Ruas garis AP tegak lurus
dengan garis l.

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
a. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui
gradiennya.
b. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada
lingkaran.
Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan
jika diketahui beberapa unsurnya sebagi berikut.

a. Persamaan garis singgung lingkaran yang
diketahui gradiennya .
1). Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran
yang berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari r:
2). Persamaan garis singgung bergradien m pada lingkaran
yang berpusat di titik P(a, b) dan berjari-jari r:

b. Persamaan garis singgung lingkaran di
suatu titik pada lingkaran.
1). Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2
di titik T(x1, y1):
2). Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
di titik T(x1, y1):
3). Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 +Ax + By + C
= 0 di titik T(x1, y1):

Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
melalui titik (15, –5) terhadap lingkaran
(x – 10)2 + (y – 1)2 = 61 .

c. Persamaan garis singgung lingkaran di
suatu titik di luar lingkaran.
Jika titik R(x1, y1) terletak di luar lingkaran, harus ditentukan
garis kutub terlebih dahulu.
Garis merupakan garis
kutub lingkaran dari titik
R.
Garis kutub memotong
lingkaran di titik A dan B.
Garis singgung lingkaran
melalui titik A dan B.

Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
melalui titik (15, –5) terhadap lingkaran x2 + y2 = 225

Terima Kasih

Matematika Peminatan 11A.ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Matematika Peminatan 11A.ppt

Similar to Matematika Peminatan 11A.ppt (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematika Peminatan 11A.ppt