無矛盾性、独立、構成可能宇宙

1. 公理的集合論と
独立性証明
勝良研究室 有坂壮平

2. 今日お話しすること
• モチベーション
• 無矛盾であること，独立であること
• について（AC+CHの無矛盾性を示してみる）
• これから

3. モチベーション
素朴集合論
矛盾

4. モチベーション
公理的集合論
CH
※CH（連続体仮説）とは可算濃度と連続濃度の間に
他の濃度が存在しないという仮説．

5. モチベーション
公理的集合論
CH
※CH（連続体仮説）とは可算濃度と連続濃度の間に
他の濃度が存在しないという仮説．

6. 無矛盾であること，独立であること
• ある言明 が無矛盾であるとは，公理に を付け加
えてもそこから矛盾が証明できないということ．
• ある言明 が独立であるとは， も も無矛盾で
あるということ．
しかし，ゲーデルの不完全性定理より，無矛盾
性
の証明はできないことが知られている．

7. 相対的無矛盾性
A．示せるのはCon(ZF) Con(ZFC+CH)
という類いの相対的無矛盾性である．
Q．では，何ができるのか？
Q．どうやって？
A．公理が成り立つような「モデル」を構成する．

8. 相対化とモデル
• の への相対化 とは， の言及の範囲を
に制限したもの．
• がSのモデルであるとは，Sの公理を に相対化
したものの全てが成立すること．

9. 無矛盾性証明の根拠
定理．SとTを公理の集合とする．あるクラス につい
て， がSのモデルであることをTで証明できたとする
．このときCon(T) Con(S)である．
たとえば，Con(ZF) Con(ZFC+CH)のように使う
証明．Sが矛盾を含んでいたとすると，ある について，
をSで証明できる．そこでTで議論すれば におい
てSが真であって となる．従ってTも矛盾を含む
.

10. をつくる
“ZFの範囲内で”作業して，
構成可能的集合のクラス を定義する．
は順序数を用いた超限再帰によって定義される．
はZFC＋CHのモデルとなる．
？

11. 順序数とは
・順序数とは，整列集合の同値類のある代表元のこと．
・Xが整列集合とは，Xが全順序集合であって，
Xの空でない部分集合に必ず最小限があること．
？
例えば，自然数の集合 やその部分集合，
また， に辞書式順序をいれたものも整列集合である．

12. 順序数とは
・順序数とは，整列集合の同値類のある代表元のこと．
例えば，自然数や は後続型順序数．
や は極限順序数である．
・ が順序数であるとき， も順序数となる．
この形で表せるものを後続型順序数という．
そうでないものを極限順序数という．

13. をつくる
・ が極限順序数のとき，
・
・
に相対化された式によって の有限個の要素
から定義できるような の部分集合たち
順序数 に関する超限帰納法で を定義する．
“定義の仕方”をうまく数え上げることで，
には整列順序が入る．
：順序数
・

14. がモデルになることを確認
・冪集合の公理
・選択公理
・内包性公理．任意の について，その自由変数を
とするとき，
・対の公理
は を整列順序づける．

15. CHが で成り立つ
“ の中では”， のあらゆる部分集合が,
ある可算の段階で構成される．
つまり， となり，実は
なので となる.
さらに，連続体仮説を一般化した
一般連続体仮説も で成立する．

16. まとめ
はZFC＋CHのモデルとなり，
Con(ZF) Con(ZFC+CH)である．
ZFの中で を定義し、ZFC ＋CH を確認した．

17. これから
• CHの否定やACの否定が無矛盾であることを示すに
は，強制法と呼ばれる手法を使う．
• その手法を学び，それを応用した研究を行う．

18. ありがとうございました
．