Studio della performance termica di una parete attraverso la simulazione con il metodo agli elementi finiti

1. Applicazioni del FEM
al calcolo termico
Di sibillaferroni
CalcoloAutomatico delle Strutture
Prof. Giovanni Formica
Università degli studi Roma TrelU
Dipartimento di architettura

2. INDICE
1. l’intento
2. Il fem
3. Il modello
4. Comsol multiphysics
5. La simulazione
6. Le varianti
7. 3D time dependent
8. conclusioni

3. L’intento
La simulazione dei fenomeni fisici che occorrono nell’organismo architettonico può essere utilizzata come
strumento di supporto per la progettazione di un edificio, in particolare per la verifica prestazionale
dell’involucro edilizio.
L’intento di questo lavoro è quello di sperimentare il FEM, attraverso un software molto versatile, per lo
studio della termodinamica di una parete.
La sperimentazione ha comportato l’elaborazione di diversi modelli per operare confronti e per conoscere
le possibilità di applicazione dello studio.
In fine è stato utilizzato il metodo implementato per la verifica delle prestazioni di una parete assemblata e
analizzata in precedenza attraverso calcoli e metodologie differenti.
L’involucro ha
un’importanza
fondamentale per il
funzionamento
passivo di un edificio,
nonché per limitare i
costi della
climatizzazione.

4. Lo studio è rivolto alla situazione invernale, in cui è possibile studiare le prestazioni dell’involucro in
condizioni stazionarie. Le temperature scelte sono 20°C per l’ambiente interno e 0°C per l’esterno
La disposizione degli strati comporta delle differenze non tanto per la potenza termica dispersa, quanto per
la durabilità dei materiali e per l’entità dei fenomeni di condensa superficiale e interna alla parte.
Con questa analisi sarà possibile controllare anche valutare fenomeni di condensa superficiali, perché
dipendenti dalla temperatura di rugiada, mentre per quelli interni occorre uno studio incentrato sulla
pressione, anziché sulla temperatura.
http://www.thechallengeseries.ca/

5. Il fem
Il metodo agli elementi finiti (FEM) consiste in una possibile maniera di svolgere l’analisi del problema
meccanico (in questo caso di trasmissione del calore) attraverso la discretizzazione del dominio. In generale
per la risoluzione di sistemi lineari, è il metodo più utilizzato.
Si compie un’astrazione e si sviluppa un sistema «discreto», cioè si riduce il modello ad un sistema finito di
elementi, secondo il principio per cui, anche se con valori diversi, gli elementi del dominio saranno
sottoposti tutti allo stesso problema (attraverso i nodi).
Sistema fisico Modello discreto Soluzione discreta
idealizzazione +
discretizzazione
risoluzione
In questo modo anche oggetti
complessi come un aeroplano
possono essere riportati ad un
modello discreto.
Stabilito il dominio, gli elementi
e i nodi, le condizioni di bordo e
la sollecitazione (di qualsiasi
natura fisica) il metodo
risolutivo è dato e non cambia.

6. Il Sistemafisico
T1 eT2 temperature degli ambienti,
interno ed esterno (note)
Tp1 eTp2 temperature delle facce esterne
della parete (incognite)
(1) Per convezione l’aria degli ambienti scambia
calore con gli strati esterni della parete
(2) Per conduzione gli strati interni alla parete si
scambiano calore
Tn temperature degli strati interni (incognite)
k indica le caratteristiche dei materiali (note)
x spessori degli strati (noti)
q flusso di calore
(1)
(2)
(1)

7. Quindi, nel caso questa analisi, il sistema è costituito dalla parete che è soggetta ad un flusso di
calore, dovuto alla differenza di temperatura che occorre tra i due ambienti che essa divide.
Il problema è ricondotto ad un modello bidimensionale in cui si individuano facilmente le variabili e i
parametri del problema.
Q = U S (Tin -Tout)
I “carichi” termici vengono generalmente specificati sotto forma di flussi di calore introdotti in determinate
aree del componente in via di studio.
I “vincoli” termici sono spesso associati a temperature assegnate in certe aree, mentre i coefficienti di
scambio convettivo completano la definizione delle condizioni al contorno.
Il FEM utilizzato per il calcolo strutturale è ricondotto alla termodinamica della parete
Regime stazionario
CALORE ENTRANTE
= CALORE USCENTE
Regime stazionario con
variazione della solaT esterna
Q = U S (Tin -Tout)
conTout = f(t)

8. Il modello
In questo modo fissati i materiali e le temperature , il problema si riduce all’assemblaggio degli strati.
Così come nel caso di un asta sollecitata da un carico noto, in un problema di meccanica
strutturale, l’astrazione possibile nel caso della parete sottoposta ad un flusso di calore, è quello
di una serie di aste che connettono i punti rappresentativi delle superfici di scambio della parete.
In entrambi i casi c’è una sollecitazione interna, ma con una natura fisica diversa.

9. Discretizzazione
Il problema è ricondotto ad un modello unidimensionale in cui tutte le informazioni sono contenute
nei nodi, che corrispondo ai punti in cui avviene lo scambio di calore tra i diversi strati della parete. La
distanza tra i nodi è lo spessore degli strati.
modello_1
Il Modello_1 costituisce la base per la simulazione, parametrizzando le dimensioni degli spessori e
aggiungendo nel caso servisse altri nodi, è possibile rappresentare diverse tipologie di pareti.

10. Comsol multiphysics
Il software utilizzato per questo lavoro, COMSOL Multiphysics, è un tipo di software che lavora con il FEM.
Questo ha determinato la scelta di utilizzare il modulo matematico per la simulazione, in cui la
modellazione sarebbe stata direttamente basata sulle equazioni, garantendo un controllo più diretto.
I diversi moduli del software, visibili qui sopra spiegano come il programma si interfacci facilmente
con tutti i campi della fisica, proprio perché basato sul FEM. Particolarmente interessante è la
possibilità di effettuare simulazioni contemporaneamente con più di modulo, in questa maniera è
possibile verificare e controllare l’interazione tra i diversi fenomeni fisici che occorrono nel sistema
reale.

11. Per poter tradurre la termodinamica del problema in equazioni matematiche è stato necessario
ricorrere a equazioni differenziali alle derivate parziali. Quindi, in Comsol, al modulo matematico,
attraverso la «PDEs coefficient general equation».
La formula generica (qui sotto) è valida sia per simulazioni stazionarie che variabili nel tempo ed è
applicabile a diversissimi campi della fisica.
La prima equazione è di pertinenza del dominio (Ω) e contiene, nel caso della termodinamica, tutte e
tre le tipologie di trasmissione del calore: la conduzione, la convenzione e l’irraggiamento.
La seconda e la terza, invece, sono descrittive delle condizioni di bordo (∂Ω) e sono dette
rispettivamente di Neumann e di Dirichelet.

12. La simulazione
Scelta la dimensione spaziale del modello (1D, 2D o 3D), fissato il modulo generico matematico e la
tipologia di studio (stazionario o variabile nel tempo), si procede alla costruzione geometrica del
modello_1.
Tutti i coefficienti dell’equazione,
tranne il coefficiente «c», che
rappresenta, nel nostro caso, il
coefficiente di conducibilità
termica, devono essere uguagliati
a zero perché l’equazione sia
descrittiva del fenomeno di
conduzione.
(-c u) = f
L’equazione generica è infatti
applicata dal software in
automatico a tutti i domini del
modello.
Si procederà quindi con la
sovrapposizione per quanto
riguarda le condizioni a contorno.
procedimento

13. Si fissano le condizioni di bordo come Flux/Source, perché è da questi punti, soggetti a convezione
(quindi l’equazione di Neumann), che comincia e finisce il fenomeno di conduzione, e dunque il flusso
termico così come lo abbiamo descritto e fissato nell’equazione del dominio (Coeffcient Form PDE’s).
Con questa equazione si definisce la convezione, qui la traduzione della nomenclatura e i parametri
fissati:
CONVEZIONE : f =
Te = temperatura esterna
hce = coeff. Convezione esterno

14. Nella sezione dedicata alle equazioni del problema si impostano le variabili.
L’unica variabile dipendente in questo caso è laTemperatura, misurata in Kelvin [K],
mentre la sorgente della trasmissione del calore è una sorgente di calore [W/m^3].
La natura fisica
delle variabili
La variabile letta
dal software
Equazioni
descrittive
del problema

15. Le variabili indipendenti
del problema sono i
diversi «k» coefficienti di
conduzione termica,
misurati in [W/m*K ].
Questi dipendono dal
materiale e vanno
inseriti come variabili
nella sezione «modello»
e quindi assegnate ai
diversi domini.
I parametri , quindi tutte le
grandezze in gioco, fatta
eccezione per le variabili
dipendenti e indipendenti,
devo essere assegnati nella
sezione «Global definitions».
La parametrizzazione
consente, inserendo nelle
varie fasi del problema la
sigla e non il valore, di
semplificare i cambiamenti
nel problema e quindi
rendere il modello
riutilizzabile più di
una volta.

16. RISULTATI
Il modello_1 è rappresentativo di una parete di base costituita da 30 cm di calcestruzzo, un buon
isolamento esterno di 10 cm ( k= 0.041W/mK) e 1,5 cm di intonaco sia esternamente che internamente.
Grafico lineare rappresentativo
dell’andamento della
Temperatura nei diversi
materiali, nell’ipotesi di
materiali omogenei.
calcestruzzoisolante
intonacointonaco

17. È chiaro da questo primo modello il funzionamento dell’isolante che permette l’unico salto di
temperatura sensibilmente percepibile (da 1°C a 18°C) permettendo alla parete interna in calcestruzzo
di rimanere calda nonostante il salto termico tra interno ed esterno.
È quindi verificata la correttezza dell’analisi e l’influenza del coefficiente di trasmissione, indice
complessivo della capacità del materiale di lasciarsi attraversare dal calore (k = 1/R)
(k= 0,041 : 1°18° contro k=1,4 : 18°19°C del calcestruzzo)
Tabella con i
valori rilevati
per ogni faccia
scambiante
affiancata al
grafico lineare
ma nella
versione
esponenziale,
così da vedere
accentuate le
differenze tra i
diversi strati
(soprattutto i
salti diT nei due
strati di
intonaco, che
altrimenti non
sarebbero
percepibili).

18. È chiaro da questo primo modello il funzionamento dell’isolante che permette l’unico salto di
temperatura sensibilmente percepibile (da 1°C a 18°C) permettendo alla parete interna in calcestruzzo
di rimanere calda nonostante il salto termico tra interno ed esterno.
È quindi verificata la correttezza dell’analisi e l’influenza del coefficiente di trasmissione, indice
complessivo della capacità del materiale di lasciarsi attraversare dal calore (k = 1/R)
(k= 0,041 : 1°18° contro k=1,4 : 18°19°C del calcestruzzo)
E’ possibile fare
una valutazione
anche
affiancando il
grafico lineare
ma nella
versione
esponenziale
che permette di
visualizzare
accentuate le
differenze tra i
diversi strati
(soprattutto i
salti diT nei due
strati di
intonaco, che
altrimenti non
sono
percepibili).
Modello_2

19. L’ultima prova, per questa tipologia di parete, è stata quella di rimuovere l’isolante. Il modello _3
modello è infatti costituito dal solo calcestruzzo (30 cm) intonacato internamente ed esternamente (1,5
cm ciascuno).
Il valore interno della parete è più alto rispetto agli altri due modelli, questo è un vantaggio perché
limita la possibilità di condensa superficiale. Infatti se diminuisce la temperatura interna all’edificio
quella temperatura chiaramente diminuirà proporzionalmente, e raggiunti i 13°C , temperatura di
rugiada, la condensa si forma e compaiono le muffe.
≈ 0,35 °C ≈ 0,35 °C ≈ 20 °C ≈ 20 °C
Modello_3

20. Il grafico del modello_3 risalta nettamente: il calcestruzzo è soggetto all’intera variazione termica,
problematico per la durabilità della parete.
Nei modelli _1 e _2 la spezzata si inclina bruscamente rispettivamente nel primo e nel secondo tratto,
in corrispondenza dell’isolante, limitando la variazione di temperatura nel calcestruzzo.
I modelli _2 e _3 invece presentano entrambi una temperatura maggiore sull’ultimo strato superficiale
interno, che comporta l’abbassamento del rischio di condensa superficiale.
confronti

21. Le varianti
La simulazione può essere effettuata anche in uno spazio bi- e tri-dimensionale. Questo comporta una
complessità maggiore dell’analisi che quindi analiticamente non sarebbe possibile effettuare.
A rendere possibile questa estensione dimensionale è il concetto di base del FEM per cui il problema a cui
sono soggetti i nodi, luogo in cui avviene il passaggio di calore e quindi i veri protagonisti di questa analisi, è
sempre lo stesso.
Lo schema qui sotto vuole riassumere quelle che sono state le mie riflessioni sulle possibilità di analisi e
l’utilità di ogni singolo tipo di modello.
Modello 1D Modello 2d Modello 3d
Risoluzione di base,
controllo diretto sulla
procedura, valutazione
abbinamento degli strati:
dimensionamento parete.
Flusso di calore lineare
attraverso i materiali
Dimensionamento e
combinazione
Valutazioni più complesse e
visivamente più immediate,
controllo su domini più vari
in forma e dimensioni;
analisi dei ponti termici.
Passaggio del calore uni e
pluridirezionale
Disposizione e
geometria
Influenza reciproca dei
materiali combinati in tutte
le direzioni, visualizzazione
complessa: analisi completa
del modello parete.
Flusso di calore uni e pluri,
ma anche trasversale
Combinazione 3D e
trasversalità

22. La stessa parete del modello_1 è stata realizzata in 2D, provando prima la visualizzazione diretta, per
un’analisi unidirezionale. Quindi si è reso il modello più complesso geometricamente dando la
possibilità di effettuare ulteriori considerazioni sulle scelte progettuali .
Modelli 2D
L'unidirezionalità del calcolo: impostare la fonte di calore (Flux/Source, Neumann equations)
, in questo caso laT esterna e laT interna, e si determinerà la sua direzione

23. L’importanza del dominio: qui il dominio non sarà
più soltanto l’asta, ma lo strato bidimensionale
attraversato dal calore.
La mesh discretizza il modello e rende possibile
l’analisi.
In questo caso si è scelta la mesh «Physic based»
che prevede l’infittirsi dei segmenti dove lo strato è
più sottile o dove sono state impostate delle
particolari «Boundary conditions»

24. La cut line per
il grafico 1D
Dal modello
2D è possibile
estrapolare lo
stesso grafico
del modello
1D,
semplicemnte
costruendo
una «cut line»
con le
coordinate del
luogo del
modello in cui
si intende
conoscere
l’andamento
della
temperatura.

25. Risultato in 2D associato
al grafico lineare
Modello_1 in 2d
Per tutti e 3 i risultati le
considerazioni sono
quelle fatte per il
modello
unidimensionale, con la
differenza che in questo
caso la valutazione
dell’analisi è
decisamente più
immediata e
intuitivamente apre le
porte ad uno studio più
complesso e articolato.
Per esempio
l’introduzione di altri
materiali in alcune
porzioni della parte,
dettagli di viti e altri
elementi costruttivi o di
finitura di cui studiare
l’influenza sulla
prestazione termica del
prototipo.

26. Immediatezza della visualizzazione
Per tutti e 3 i risultati le
considerazioni sono quelle fatte per
il modello unidimensionale, con la
differenza che in questo caso la
valutazione dell’analisi è
decisamente più immediata e
intuitivamente apre le porte ad uno
studio più complesso e articolato.
Per esempio l’introduzione di altri
materiali in alcune porzioni della
parte, dettagli di viti e altri elementi
costruttivi o di finitura di cui
studiare l’influenza sulla
prestazione termica del prototipo.

27. I PONTI TERMICI
Il modello bidimensionale consente di studiare
l'unidirezionalità del flusso per una combinazione di
elementi.
Questo permette di valutare, per quanto riguarda una parete,
la correttezza dei ponti termici.
In questo caso si è scelto di studiare una parete in mattoni
forati, coibentata esternamente con 5cm di isolante, nel
punto in cui è presente il pilastro in C.A. del telaio portante.
M_1
M_2
M_3
Le tre varianti analizzate (M_1, M_2 ed M_3, qui a fianco)
presentano 3 soluzioni differenti per lo stesso ponte termico.
M_1 prevede l’inserimento di un pannello di legno
mineralizzato della stessa dimensione del pilastro, M_2
invece prevede lo stesso pannello di legno ma sporgente ad
ogni lato di 20 cm, infine nel terzo caso, M_3, sono stati
inseriti due pannelli di 3 e 2 cm rispettivamente sul alto
esterno e sul lato interno del pilastro.
Il confronto tra le pareti qui studiate analizzate è stato ideato da
Roberto Calliari e pubblicato sul sito del Consorzio Poroton Italia

28. La temperatura nel pilastro rimane
sempre più alta della temperatura
della parete, ad eccezione del caso
_3 in cui la temperatura nel
pilastro (tratto individuato dalle
linee tratteggiate) è
complessivamente inferiore agli
altri due casi, ma dai dati numerici
estrapolati dal modello, la
temperatura superficiale risulta
maggiore nell’ M_3 che negli altri
casi.
Il caso _2 dimostra che allargare la
striscia di isolante oltre la
dimensione del pilastro consente,
a fronte di un maggior onere di
lavorazione, un migliore
comportamento globale del nodo.
Il che è vero perché
effettivamente compensa, anche
se di poco, la zona perturbata del
calcestruzzo.
Valutazione dei risultati attraverso i
grafici
M_1
M_2
M_3

29. In questo caso si è voluto
analizzare il comportamento di
un angolo di muratura di
tamponamento in laterizio
(spessore 35 cm) con cappotto
(5 cm di isolante), nel quale è
posizionato un pilastro in C.A. di
sezione 30x30 cm. Questa
situazione di ponte termico
somma un problema
geometrico (configurazione ad
angolo) con un problema di
discontinuità di materiale (c.a. e
muratura di laterizio).
I primi due casi, dal punto di
vista concettuale, sono
analoghi a quanto analizzato
nella parete rettilinea, mentre il
terzo caso considera il pilastro
coibentato su tutti e quattro i
lati, ma con spessori differenti
in modo da mantenere uno
spessore maggiore di isolante
sul lato esterno.
I ponti termici geometrici: la
complessità della forma e la
pluridirezionalità del flusso.
P_1
P_2
P_3

30. P_1
EXT Point: 2 Point: 4 Point: 7 Point: 9 Point: 11 Point: 15 INT
u (K) 273,15 273,16 280,48 284,53 290,52 293,14u (K)
u (°C) 0 0 7,3 11,4 17,4 20u (°C)
P_2
EXT Point: 2 Point: 4 Point: 7 Point: 10 Point: 12 Point: 15 INT
u (K) 273,15 273,16 280,49 284,56 290,54 293,14u (K)
u (°C) 0 0 7,3 11,4 17,4 20u (°C)
P_3
EXT Point: 2 Point: 4 Point: 7 Point: 10 Point: 14 Point: 18 INT
u (K) 273,15 273,16 280,55 283,09 291,99 293,14u (K)
u (°C) 0 0 7,4 9,9 18,8 20u (°C)
INTEXT
P_1 P_2 P_3
Confrontando i valori riportati nella tabella, indicanti le temperature dei diversi punti della muratura, si può
evidenziare che la soluzione P_3 è senz'altro la più performante per quanto riguarda il fattore di temperatura
superficiale (18,8°C). La realizzazione quindi di uno strato isolante continuo attorno all'elemento in C.A.,
consente di isolare la parte termicamente debole dell'involucro esterno e uniformare sufficientemente il
comportamento globale della parete esterna opaca.

31. Per la simulazione in 3D è stato utilizzato un modello di parete ideato per un prototipo edilizio ad alta
efficienza energetica, le cui caratteristiche sono state verificate con specifici software e metodi
analitici. L’applicazione sperimentale del software a questo modello di parete ha dimostrato la
validità dell’analisi e l’estrema versatilità del software in diversi campi della fisica, tra cui proprio il
calcolo termico.
Modelli 3D

32. Per poter tradurre la termodinamica del problema in equazioni matematiche è stato necessario
ricorrere a equazioni differenziali alle derivate parziali, quindi al modulo matematico di Comsol,
attraverso la «PDEs coefficient general equation».
La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.

33. Per poter tradurre la termodinamica del
problema in equazioni matematiche è stato
necessario ricorrere a equazioni differenziali
alle derivate parziali, quindi al modulo
matematico di Comsol, attraverso la «PDEs
coefficient general equation».
La formula generica (qui sotto) è valida per il
caso di uno studio statico ed è applicabile a
diversissimi campi della fisica.
Cut line 2
Cut line 1
Cut lines graph

34. Per poter tradurre la termodinamica del problema in equazioni matematiche è stato necessario
ricorrere a equazioni differenziali alle derivate parziali, quindi al modulo matematico di Comsol,
attraverso la «PDEs coefficient general equation».
La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.

35. 3D time dependent
Per poter tradurre la termodinamica del problema in equazioni matematiche è stato necessario
ricorrere a equazioni differenziali alle derivate parziali, quindi al modulo matematico di Comsol,
attraverso la «PDEs coefficient general equation».
La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.
Ipotizzando di mantere unaT interna costante con sistemi di condizionamento, fare una
valutazione del funzionamento della parete al variare dellaT esterna.

36. La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.
Modelli 3D

38. La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.

39. La formula generica (qui sotto) è valida per il caso di uno studio statico ed è applicabile a diversissimi
campi della fisica.

40. COMPORTAMENTO DELLA PARETEA 6 ISTANTI DITEMPO SCELTI:
t1 = 01.00 (h)
t2 = 09.00 (h)
t3 = 15.00 (h)
t4 = 18.00 (h)
t5 = 21.00 (h)
t6 = 23.00 (h)

41. conclusioni
Questo lavoro mi ha permesso di studiare e conoscere meglio il funzionamento di una parete. In
particolare per quanto riguarda i fenomeni termodinamici che occorrono in essa, i quali posso così
essere controllati e sfruttati ai fini di un funzionamento passivo e consapevole dell’edificio.
Le considerazioni che seguono questa ricerca riguardano principalmente due argomenti:
- il confronto dei risultati con quelli precedentemente ottenuti con metodologie di analisi diverse
- le possibilità di integrazione con altre analisi (come quella igroscopica)
Infine concludo con i ringraziamenti per questo corso e per avermi dato la possibilità di sperimentare
e fare ricerca in un campo per me molto interessante; ma in particolare il ringraziamento è per avermi
aperto la mente all’importanza che hanno la conoscenza dell’idea e dei meccanismi che sono dietro
un software, perché è così che si ottiene una simulazione ottimale e che, soprattutto, la si può
controllare.