Dokumen tersebut merupakan presentasi materi pelajaran Matematika Kelas XII tentang "Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah". Presentasi ini berisi penjelasan tentang pengertian vektor, aljabar vektor, penjumlahan vektor, perkalian skalar vektor, dan contoh soal untuk menguji kompetensi siswa. Materi ini disajikan secara visual dengan gambar-gambar untuk mempermudah pemahaman konsep vektor.

2. 5.3 MMeeddiiaa PPrreesseennttaassii
MMaatteemmaattiikkaa KKeellaass XXIIII
(( SSeemmeesstteerr GGeennaapp ))
PPrrooggrraamm SSttuuddii
IIllmmuu AAllaamm
Nomor
Topik Bahasan
PPeemmbbeellaajjaarraann
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Lanjut Akhir Keluar
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

3. PPeettuunnjjuukk PPeenngggguunnaaaann
MMeeddiiaa PPrreesseennttaassii PPeemmbbeellaajjaarraann iinnii ddiibbuuaatt ddeennggaann mmeenngggguunnaakkaann
ssaallaahh ssaattuu aapplliikkaassii ddaarrii kkeelluuaarrggaa MMiiccrroossoofftt OOffffiiccee yyaaiittuu MMiiccrroossoofftt
OOffffiiccee PPoowweerrPPooiinntt 22000033.. DDaallaamm ppeennggooppeerraassiiaannnnyyaa ddiilleennggkkaappii
ddeennggaann ttoommbbooll--ttoommbbooll nnaavviiggaassii yyaanngg ssaannggaatt ssiimmppeell yyaanngg bbeerraaddaa ddii
ppaanneell sseebbeellaahh kkiirrii ((MMeennuu)) ddaann ddii bbaarr bbaaggiiaann bbaawwaahh;; sseehhiinnggggaa
mmeemmuuddaahhkkaann ppeemmaakkaaii uunnttuukk mmeenngggguunnaakkaannnnyyaa,, kkaarreennaa sseemmuuaa
kkeennddaallii ppeennggooppeerraassiiaann ddiillaakkuukkaann mmeellaalluuii ttoommbbooll--ttoommbbooll nnaavviiggaassii
tteerrsseebbuutt.. MMiissaallnnyyaa uunnttuukk mmeelliihhaatt ccoonnttoohh ssooaall llaakkuukkaann kklliikk ppaaddaa
ttoommbbooll CCoonnttoohh SSooaall.. BBeeggiittuu jjuuggaa ddeennggaann ppiilliihhaann ttooppiikk llaaiinnnnyyaa,,
AAnnddaa hhaannyyaa mmeellaakkuukkaann kklliikk ppaaddaa jjuudduull ttooppiikk sseessuuaaii ppiilliihhaann ddaallaamm
sseettiiaapp ttoommbbooll.. UUnnttuukk mmeennaammppiillkkaann sslliiddee bbeerriikkuuttnnyyaa kklliikk ppaaddaa
ttoommbbooll LLaannjjuutt aattaauu uunnttuukk kkeemmbbaallii kkee sslliiddee ddii ddeeppaannnnyyaa ppiilliihh ttoommbbooll
BBaalliikk.. JJiikkaa AAnnddaa tteellaahh mmeennaammppiillkkaann ssuuaattuu ttooppiikk mmaakkaa wwaarrnnaa hhuurruuff
ddaarrii ttooppiikk ddaallaamm ttoommbbooll ddii sseebbeellaahh kkiirrii aakkaann bbeerruubbaahh mmeennjjaaddii hhiittaamm
yyaanngg mmeennggiinnddiikkaassiikkaann bbaahhwwaa ttooppiikk tteerrsseebbuutt sseeddaanngg aakkttiiff.. DDaallaamm
uurraaiiaann mmaatteerrii tteerrddaappaatt ggaammbbaarr--ggaammbbaarr aanniimmaassii sseebbaaggaaii vviissuuaalliissaassii
ddaarrii kkoonnsseepp yyaanngg ddiissaammppaaiikkaann.. UUnnttuukk mmeelliihhaatt aanniimmaassii tteerrsseebbuutt kklliikk
ppaaddaa sseemmbbaarraanngg tteemmppaatt ddaallaamm sslliiddee.. KKaattaa ((kkaalliimmaatt)) bbeerrwwaarrnnaa ddaann
bbeerrggaarriiss bbaawwaahh mmeerruuppaakkaann lliinnkk ssiillaahhkkaann kklliikk ppaaddaa kkaattaa aattaauu
kkaalliimmaatt tteerrsseebbuutt uunnttuukk mmeelliihhaatt iissiinnyyaa..
SSeemmooggaa mmeeddiiaa iinnii bbeerrmmaannffaaaatt bbaaggii mmeerreekkaa yyaanngg mmeenngggguunnaakkaann--
nnyyaa.. SSaallaamm hhaannggaatt!!
TTeeoo MMaallaattuunnii
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
BBaaccaa DDeettaaiill PPeenngggguunnaaaann CCDD && TTrroouubblleesshhoooottiinngg

4. SSttaannddaarr KKoommppeetteennssii ddaann KKoommppeetteennssii DDaassaarr
SSttaannddaarr KKoommppeetteennssii ddaann KKoommppeetteennssii DDaassaarr mmiinniimmaall yyaanngg hhaarruuss
ddiiccaappaaii sseetteellaahh mmeennyyeelleessaaiikkaann ttooppiikk iinnii aaddaallaahh::
SSttaannddaarr KKoommppeetteennssii
Ю MMeerraannccaanngg ddaann mmeenngggguunnaakkaann mmooddeell mmaatteemmaattiikkaa pprrooggrraamm
lliinneeaarr sseerrttaa mmeenngggguunnaakkaann ssiiffaatt ddaann aattuurraann yyaanngg bbeerrkkaaiittaann
ddeennggaann bbaarriissaann,, ddeerreett,, mmaattrriikkss,, vveekkttoorr,, ttrraannssffoorrmmaassii,, ffuunnggssii
eekkssppoonneenn,, ddaann llooggaarriittmmaa ddaallaamm ppeemmeeccaahhaann mmaassaallaahh..
KKoommppeetteennssii DDaassaarr
Ю MMeenngggguunnaakkaann ssiiffaatt--ssiiffaatt ddaann ooppeerraassii aalljjaabbaarr vveekkttoorr ddaallaamm
ppeemmeeccaahhaann mmaassaallaahh;;
Ю MMeenngggguunnaakkaann ssiiffaatt--ssiiffaatt ddaann ooppeerraassii ppeerrkkaalliiaann sskkaallaarr dduuaa
vveekkttoorr ddaallaamm ppeemmeeccaahhaann mmaassaallaahh..
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

5. PPeennddaahhuulluuaann
BBaaggii AAnnddaa yyaanngg tteellaahh mmeemmppeellaajjaarrii FFiissiikkaa ppaassttii ppeerrnnaahh mmeennddeennggaarr kkaattaa
vveekkttoorr.. VVeekkttoorr mmeerruuppaakkaann ssuuaattuu bbeessaarraann sseellaaiinn bbeessaarraann sskkaallaarr yyaanngg
ssuuddaahh AAnnddaa kkeennaall ddaallaamm FFiissiikkaa.. PPeerrbbeeddaaaann kkeedduuaa bbeessaarraann iinnii aaddaallaahh::
SSkkaallaarr :: BBeessaarraann yyaanngg hhaannyyaa mmeemmppuunnyyaaii nniillaaii ((mmeennuunnjjuukkkkaann
bbiillaannggaann rreeaall tteerrtteennttuu)).. CCoonnttoohh:: ssuuhhuu,, mmaassssaa,, ddaann sseebbaaggaaiinnyyaa..
VVeekkttoorr :: BBeessaarraann yyaanngg mmeemmppuunnyyaaii bbeessaarr ((nniillaaii)) ddaann aarraahh..
BBiiaassaannyyaa ddiigguunnaakkaann uunnttuukk mmeennyyeelliiddiikkii ggeerraakk ppeerrppiinnddaahhaann,,
ppeerrggeesseerraann,, kkeecceeppaattaann,, ppeerrcceeppaattaann ddaann sseebbaaggaaiinnyyaa..
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

6. UUrraaiiaann MMaatteerrii
SSiillaahhkkaann ppiilliihh MMaatteerrii yyaanngg iinnggiinn ddiissaammppaaiikkaann ((ddiippeellaajjaarrii))::
AA.. NNoottaassii VVeekkttoorr
BB.. AAlljjaabbaarr VVeekkttoorr
CC.. VVeekkttoorr BBaassiiss
DD.. VVeekkttoorr PPoossiissii
EE.. PPeerrkkaalliiaann SSkkaallaarr VVeekkttoorr ((PPeerrkkaalliiaann TTiittiikk))
FF.. PPeerrkkaalliiaann SSiillaanngg VVeekkttoorr
GG.. SSuudduutt aannttaarraa DDuuaa VVeekkttoorr ddii RRuuaanngg ((RR33))
HH.. CCoonnttoohh SSooaall
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

7. AA.. NNoottaassii VVeekkttoorr
Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang
dan arahnya tertentu.
gambar 1
A
B
u
Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil.
Misalnya: u,
u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan
sebuah vektor.
u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujung
Arah anak panah = arah vektor
Panjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor
Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan
real.
• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u =
x
y
x
y
z
• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

8. BB.. AAlljjaabbaarr VVeekkttoorr
Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan
berikut.
• Dua vektor dikatakan sama
gambar 2
jika besar dan arahnya sama.
(Lihat gambar 2). u
= v
• Suatu vektor v dikatakan invers
dari vektor u jika berlaku u + v = 0;
0 adalah vektor nol. Jadi dua
vektor saling invers jika besarnya
sama tetapi berlawanan arah.
(Lihat gambar 3).
Dua vektor yang sama
gambar 3
u v = -u
Dua vektor yang saling
invers (berlawanan)
Ю Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan
aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil
jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam
gambar 4 dan 5.
Media Presentasi Pembelajaran Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

9. gambar 4 gambar 5
u
v
u+v u
v
u+v
Dengan aturan segitiga:
• Tempatkan titik pangkal
vektor v sehingga berimpit
dengan titik ujung vektor u;
• Vektor (u + v) diperoleh
dengan cara
menghubungkan titik pangkal
vektor u dengan titik ujung
vektor v.
Dengan aturan jajargenjang:
• Tempatkan titik pangkal vektor v
sehingga berimpit dengan titik
pangkal vektor u;
• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi
yang sejajar dengan u dan v;
• Vektor (u + v) adalah diagonal
jajargenjang dengan titik pangkal
vektor u.
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

10. Ю Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u
dengan invers vektor v. Perhatikan ilustrasi dalam gambar 6 dan 7.
gambar 6 u - v = u + (-v) gambar 7 v - u = v + (-u)
v
u
v--v u-u
v
-v v
u
-u
Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar
Misalkan vektor u dan sebuah
bilangan real (skalar) m. Hasil kali
m dengan vektor u (mu) adalah
penggandaan vektor u sebanyak m
dan arah mu sama dengan arah
vektor u.
gambar 8
u
u
v
-u
3u
2u -2u
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

11. CC.. VVeekkttoorr BBaassiiss
Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.
gambar 9 gambar 10
Vektor Basis dalam Bidang (R2) Vektor Basis dalam Ruang (R3)
X
Y
Z
X
Y
k(0,0,1)
O
j(0,1)
O i(1,0)
i(1,0,0) j(0,1,0)
Vektor i dan j merupakan vektor
basis dalam R2.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
Vektor i, j, dan k merupakan vektor
basis dalam R3.
i : vektor satuan searah sumbu X+
j : vektor satuan searah sumbu Y+
k : vektor satuan searah sumbu Z+
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

12. DD.. VVeekkttoorr PPoossiissii
Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat.
Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor satuan.
gambar 11 gambar 12
Vektor Posisi dalam Ruang (R3)
zk
| r | = x2 + y2 + z2
Vektor Posisi dalam Bidang (R2)
R(x,y)
Titik R(x,y) adalah vektor posisi
OR dalam R2 yaitu:
R(x,y,z)
X
Y
Z
X
Y
O O
Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR
dalam R3 yaitu:
xi
yj
r
r
yx j i
r = (x,y) = xi + yj
r = (x,y,z) = xi + yj + zk
Panjang dari r :
Panjang dari r : | r | = x2 + y2
| |r r
Vektor satuan dari r : e =
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

13. U(u1,u2, u3)
OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor
posisi.
Y
gambar 13
Z
O
v
u
V(v1,v2, v3)
UV = UO + OV
= -u + v
= v – u
=
Jika dinyatakan dengan kombinasi
X linear maka:
Jarak atau panjang vektor UV adalah:
v1 – u1
v2 – u2
v3 – u3
UV = v – u
= (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k
2
2 2 3 3
2
|UV | = (v1 - u1 ) + (v - u ) + (v - u )
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

14. EE.. PPeerrkkaalliiaann SSkkaallaarr VVeekkttoorr ((PPeerrkkaalliiaann TTiittiikk))
Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.
Didefinisikan:
u.v = |u||v| Cos q
q = sudut antara u dan v
v
gambar 14
u
q
Jika : 0o £ q < 90o maka u.v > 0
q = 90o maka u.v = 0
90o < q £ 180o maka u.v < 0
gambar 15
X
Y
Z
k(0,0,1)
i(1,0,0) O j(0,1,0)
Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan
vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik
kedua vektor adalah:
u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)
= u1v1 + u2v2 + u3v3
atau secara geometris:
u.v = |u||v| Cos q
i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:
i.i = j.j = k.k = 1
i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i ^ j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

15. FF.. PPeerrkkaalliiaann SSiillaanngg VVeekkttoorr
Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.
Didefinisikan:
u x v = |u||v| Sin q
q = sudut terkecil antara u dan v
Arah u x v ditentukan berdasarkan arah
putaran tangan kanan.
gambar 16
v
u
q
gambar 17 i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:
X
Y
Z
k(0,0,1)
i(1,0,0) O j(0,1,0)
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = |i||j| Sin 90o = 1 ( i ^ j )
Berdasarkan definisi maka:
i x j = k j x k = i k x i = j
j x i = -k k x j = -i i x k = -j
u x v
v
u
q
v x u
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

16. Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai
determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah
cara Sarrus.
Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).
u x v =
i j k i j k i j
u u
1 2
1 2
u u u
1 2 3
1 2 3
u u u
1 2 3
1 2 3
v v
v v v
v v v
=
u x v =
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
u v -
u v
2 3 3 2
u v -
u v
3 1 1 3
u v -
u v
1 2 2 1
(–) (–) (–) (+) (+) (+)
( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )
u x v =
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

17. GG.. SSuudduutt aannttaarraa DDuuaa VVeekkttoorr ddii RRuuaanngg ((RR33))
gambar 18 Z
X
g b
O Y
a
u
a sudut antara vektor satuan i
dengan vektor u.
Jika u = u1i + u2j + u3k maka :
X
A(a1,a2,a3)
O Y
gambar 19
Z
q
u.i u1
Cos a = =
u.k u3
Cos g = =
u.j u2
Cos b = =
u j u
Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor
b = b1i + b2j + b3k maka sudut
antara kedua vektor:
Cos .
q = a b
| || |
a b
2
3
2
2
Cos q = a b + a b +
a b
2
1
2
3
2
2
2
1
1 1 2 2 3 3
a + a + a . b + b +
b
a
·
b
·B(b1,b2,b3)
u i u
u k u
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
b sudut antara vektor satuan j
dengan vektor u.
g sudut antara vektor satuan k
dengan vektor u.

18. CCoonnttoohh SSooaall
1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)
a) Nyatakan komponen dari PQ
b) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basis
b) Hitung panjang PQ
Penyelesaian:
X
Z
·P(2,3,5)
q
p
·Q(1,5,2)
O Y
a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
ç ç ç
è
-
1
2
-
=
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
-
ç ç ç
è
ö
÷ ÷ ÷
ø
æ
=
ç ç ç
è
3
2
3
5
1
5
2
PQ
b) Bila dinyatakan sebagai
kombinasi linear vektor basis,
maka:
PQ = – i + 2j – 3k
c) |PQ| = (1- 2)2 + (5 - 3)2 + (2 - 5)2
= (-1)2 + 22 + (-3)2
= 14
|PQ|
|PQ|
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

19. CCoonnttoohh SSooaall
2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbu-sumbu
koordinat.
Penyelesaian:
Misalkan:
a sudut antara vektor u dengan sumbu X
b sudut antara vektor u dengan sumbu Y
g sudut antara vektor u dengan sumbu Z
| u |= 32 + (-2)2 + 12 = 14
3 14
3 14
3
ö
æ
u
1 36,7o
Cos = ÷ ÷
14
arc cos
a a
14
14
| |
ø
ç ç
è
= = = Û =
u
2 14
2 14
2
ö
æ
u
2 122,3o
Cos = ÷ ÷
14
b b
= = - = - Û = arc cos
-
14
14
| |
ø
ç ç
è
u
14
14
1
ö
æ
u
3 74,5o
Cos = ÷ ÷
14
arc cos
g g
14
14
| |
ø
ç ç
è
= = = Û =
u
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
b a
X
Y
Z
3
-2
(3,-2,1)
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
g

20. CCoonnttoohh SSooaall
3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar
sudut antara vektor a dan b.
Penyelesaian:
Misalkan:
q adalah sudut antara vektor a dan b
Cos .
q = a b
| || |
a b
q = - - + +
1( 3) 0(0) 2(1)
( 1)2 02 22. ( 3)2 02 12
ö çè
2 45o
1
arc cos = ÷ø
2
Û q = æ
Cos
- + + - + +
2
1
2
5
Cos q = = =
5 2
5
5. 10
Jadi besar sudut antara vektor a dan b = 45o
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
X
Y
Z
b a
q

21. CCoonnttoohh SSooaall
4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.
Penyelesaian:
i j k i j k i j
3 2
1 4
= - -
3 2 2
1 4 3
- -
3 2 2
1 4 3
-
-
-
-
a x b =
(–) (–) (–) (+) (+) (+)
a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )
= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )
= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k
= – 2i + 7j + 10k
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

22. UUjjii KKoommppeetteennssii
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

23. UUjjii KKoommppeetteennssii
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )
Jawaban Anda Belum Benar
CCoobbaa llaaggii?? LLiihhaatt jjaawwaabbaann??
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

24. UUjjii KKoommppeetteennssii
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )
Jawaban Anda Benar
LLiihhaatt jjaawwaabbaann??
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

25. UUjjii KKoommppeetteennssii
1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a
adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....
a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )
d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )
Penyelesaian:
Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3)
Komponen suatu vektor = titik ujung – titik pangkal
Komponen vektor a = titik ujung vektor a – titik pangkal vektor a
ì
a 3 5 a 8
1 1
a 2 7 a 5
2 2
ö
æ
- 2
ö
æ
-
3
- -
( 2)
a
a
1
2
Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)
- = Û =
+ = Û =
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
(3, -2, 4)
(a1, a2, a3) komponen a (5, 7, -2)
Û
ïî
ïí
- = - Û =
a 4 2 a 2
3 3
= ÷ ÷
ø
ç ç
è
7 5
÷ ÷ ÷
ø
ç ç ç
è
-
4
a
3

26. UUjjii KKoommppeetteennssii
2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara
vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.
Penyelesaian:
Misalkan:
a sudut antara vektor u dengan sumbu X
b sudut antara vektor u dengan sumbu Y
g sudut antara vektor u dengan sumbu Z
Z
| u |= (-2)2 + 42 + (-6)2 = 56 = 2 14
14
14
2
ö
æ
u
1 105,5o
Cos = ÷ ÷
14
a a
= = - = - Û = arc cos
-
14
2 14
| |
ø
ç ç
è
u
14
14
4
ö
æ
u
2 57,7o
Cos = ÷ ÷
7
arc cos
b b
7
2 14
| |
ø
ç ç
è
= = = Û =
u
3 14
3 14
6
ö
æ
u
3 143,3o
Cos = ÷ ÷
14
g g
= = - = - Û = arc cos
-
14
2 14
| |
ø
ç ç
è
u
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
X
O Y
a
g
b
u
(-2, 4, -6)

27. UUjjii KKoommppeetteennssii
3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang
ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di
posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak
tempuh pesawat dari posisi A ke B.
Penyelesaian:
Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)
Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)
Z
Jarak A dan B: | AB |= (2 - 1)2 + (4 - 2)2 + (-2 - (-1))2 = 6
Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah
6 satuan panjang.
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi
X
O Y
A(1, 2, -1)
B(2, 4, -2)

28. UUjjii KKoommppeetteennssii
4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) .
Hitunglah a x (b + c).
Penyelesaian:
ö
÷ ö
æ-
÷
= ø
÷ ö
æ-
÷
+ ø
æ
-
3
1
2
b + c = ÷ ÷
ø
ç ç
è
ç ç
è
4
i j k i j k i j
4 2
3 7
= -
4 2 1
3 7 1
4 2 1
3 7 1
-
-
-
-
-
3
a x (b+c) =
(–) (–) (–) (+) (+) (+)
( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )
= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )
= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k
ç ç
è
-
1 7
3
2
a x (b+c) =
= – 9i – 7j + 24k
= ( – 9, – 7, 24 )
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

29. RReeffeerreennssii
Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri
Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.
Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang,
Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.
Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A,
Erlangga, Jakarta, 2004.
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi

30. BBiiooddaattaa TTiimm
NNaammaa :: TTeeooppiilluuss MMaallaattuunnii,, SS..PPdd..
NN II PP :: 113322 222255 990033
PPeekkeerrjjaaaann :: GGuurruu SSMMAA NNeeggeerrii 11 KKaaiimmaannaa,,
PPrroovviinnssii IIrriiaann JJaayyaa BBaarraatt
TTuuggaass :: MMeennggaajjaarr MMaattaa PPeellaajjaarraann MMaatteemmaattiikkaa,,
TTeekknnoollooggii IInnffoorrmmaassii && KKoommuunniikkaassii
AAllaammaatt :: JJaallaann VVeetteerraann,, KKoommpplleekkss SSMMAANN 11 KKaaiimmaannaa 9988665544
TTeellpp//FFaaxx :: KKaannttoorr ((00995577)) 2211001166;; RRuummaahh ((00995577)) 2211331122;; HHPP 008811334444003399994400
EE--mmaaiill :: tteeoo__mmaallaattuunnii@@yyaahhoooo..ccoo..iidd
NNaammaa :: AAnnii JJuunniiaattii
NN II PP :: -
PPeekkeerrjjaaaann :: SSttaaff AAddmmiinniissttrraassii SSMMAA NNeeggeerrii 11 KKaaiimmaannaa,,
PPrroovviinnssii IIrriiaann JJaayyaa BBaarraatt
TTuuggaass :: MMeennaannggaannii ddaann mmeennggooppeerraassiikkaann kkoommppuutteerr ppaaddaa
bbaaggiiaann TTaattaa UUssaahhaa
AAllaammaatt :: JJaallaann PPeeddeessaaaann KKaaiimmaannaa
TTeellpp//FFaaxx :: KKaannttoorr ((00995577)) 2211001166;; RRuummaahh ((00995577)) 2211774400;; HHPP 008811334444004433004411
EE--mmaaiill :: aanniijj@@tteellkkoomm..nneett
Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni Awal Balik Lanjut Akhir Keluar
MATEMATIK
A
KELAS XII
“Penerapan
Konsep Vektor
untuk
Menyelesaikan
Masalah”
Menu
Petunjuk
Standar
Kompetensi
Pendahuluan
Uraian
Materi
Contoh Soal
Uji
Kompetensi
Referensi