1. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ- PHÂN TÍCH VECTƠ
Bài 1: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 2 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.
Chứng minh:
a) Nếu 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡ℎì 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐷⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐽⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2. = 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐶⃗⃗⃗⃗
= 𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐼𝐽⃗⃗⃗ = 2𝐼𝐽⃗⃗⃗⃗⃗
c) Gọi G là trung điểm IJ. Chứng minh : 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
2𝐼𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐽⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
0⃗ = 0⃗
Bài 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và
CD. Chứng minh : 2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2(𝐼𝐽⃗⃗⃗ + 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.
1
2
𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 4: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành
ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh : 𝑅𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑅𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝑄⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑅𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑆⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝑆⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ + 𝐽𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3. Bài 5: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm AM.
a) 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
0⃗ = 0⃗
b) 2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
2𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ + 2𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ = 4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
Bài 6: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, G là trọng tâm, H là trực
tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh :
a) 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O.
Tứ giác BHCA’ là hình bình hành.
M là trung điểm HA’
Xét tam giác AA’H có :
là trung điểm của AA’
M là trung điểm của HA’
OM là đường trung bình của tam giác AA’H
OM // AH và OM = ½ AH
AH = 2OM
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4. 3𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐻𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 7: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có các trọng tâm là G
và G’.
a) Chứng minh : 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐺′⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 8: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC sao cho MB =
2MC. Chứng minh : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có :
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ↑↓ 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=> −𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
2𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 9: Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộcAC sao cho 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑁𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .K là trung điểm MN. Chứng minh :
6. b) 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
2
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( Vì MN là đường trung bình của tam giác OCB =>
MN // BC và MN = ½ BC )
Bài 11. Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,
AC. Chứng minh :
a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = −
2
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
4
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = −(
2
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
4
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
−3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
7. 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −
4
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
2
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −(
4
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
−3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 4𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
3
𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 12 : Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm. Gọi H là điểm đối
xứng của B qua G. Chứng minh :
a) 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi M là trung điểm của BC
Xét tam giác BHC có M là trung điểm của BC, G là trung điểm của
BH.
MG là đường trung bình của tam giác BHC.
8. MG // HC và MG = ½ HC
Mà MG = ½ AG
AG // HC và AG = HC
AHCG là hình bình hành.
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) 𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗ = −
1
3
(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )
−3𝐶𝐻⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐺𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
9. 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
c) 𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
5
6
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có : 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
2
3
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
3
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
1
6
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −
5
6
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, đặt 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎; 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗ . Gọi I là
trung điểm của CD;G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ ,
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ theo 𝑎, 𝑏⃗ .
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝑎 + 𝑏⃗ +
1
2
𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝑎 + 𝑏⃗ +
1
2
𝑎
𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = −
1
2
𝑎 + 𝑏⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
Gọi K là trung điểm của IC
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝐵𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +
2
3
𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ +
2
3
.
1
2
𝐶𝐼⃗⃗⃗⃗
10. 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ +
2
3
.
1
2
.
1
2
𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 +
2
3
𝑏⃗ −
1
6
𝑎
𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ =
5
6
𝑎 +
2
3
𝑏⃗
Bài 14 : Cho lục giác ABCDEF. Phân tích các vec tơ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo các
vec tơ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ .
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi 𝐴1, 𝐵1, 𝐶1 lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB. Chứng minh :
a) 𝐴𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗
Gọi G là giao điểm của ba đường trung tuyến
G là trọng tâm của tam giác ABC