1. PATRICK TEN BRUGGENCATE
Verder met kruisbepaling.
Methodes om een kruis te bepalen.
Patrick ten Bruggencate
Heerlen
19-10-2016
Twee methodesomeenkruiste bepalenbij eenpuntenverzamelingvanvier.
2. 1 4 punten op 1 as en verder.
Alspuntenop1 as liggenzoalsbijvoorbeeldde x-asdankrijgje geenkruis.Je krijgtnieteenseen
oppervlakte.
Verplaats1 puntvan de as enje krijgteenoppervlakmaargeenkruis.
Verplaatsnogeenpuntvande as enje krijgt oppervlaken eenkruismitsernietmeerdan2 punten
op 1 lijnliggen.Eenlijnhoeftgeenaste zijn maar kandat wel zijn.
3. 2 Een sorteringsalgoritme om puntente voorzienvan labels.
Stel je hebtde coördinatenvan4 puntenmaar je mag ze nietplottenomte zien hoe de puntenten
opzichtvanelkaarstaan.
De coördinatenzijn:
x-as y-as
1 2
3 3
2 1
0 0
Je kan deze coördinatensorterenopde x-asende y-as.Inditgeval sorterenwe vankleinnaargroot.
Eerst de x-as:
x-as y-as
0 0
1 2
2 1
3 3
Omdatde x-asvanklein(links) naargroot(rechts) wordtgesorteerdkanmende volgendelabelsaan
de coördinatenplakken.
x-as y-as Label x-as
0 0 Links
1 2 Minderlinks
2 1 Minderrechts
3 3 Rechts
Nude y-assorterenvankleinnaargroot:
x-as y-as
0 0
2 1
1 2
3 3
Omdatde y-asvan klein(onder) naargroot(boven) wordtgesorteerdkanmende volgende labelsaan
de coördinatenplakken.
x-as y-as Label y-as
0 0 Onder
2 1 Minderonder
1 2 Minderboven
3 3 Boven
4. 2.1 Aan de hand van de 4 punten een kruisbepalen.
Dus je hebtnu 4 puntenmet8 labels nasorteringopde x eny-as.
x-as y-as Label x-as Label y-as
1 2 Minderlinks Minderboven
3 3 Rechts Boven
2 1 Minderrechts Minderonder
0 0 Links Onder
Om eenkruiste bepalenmoetje de diagonalenbepalenwanterisaltijdeenlinksenrechtszoalser
ookaltijdeenbovenenonderis.
Dus linksisinditgeval ondermaar kanook minderonder,minderbovenof boven zijn.1puntvan de
diagonaal gevonden.
Dus er islinksonderdusiser ook eenrechtsenin ditgeval eenboven maarkan ookbijvoorbeeld
minderboven,minderonderof onderzijn.2’de puntgevonden.
Omdatdiagonalenbestaanuit2lijnenzijnde andere twee puntenookeendiagonaal.Voordeze
puntenverzamelingisde eerste diagonaal van(0,0) naar(3,3). De tweede diagonaal looptdanvan
(1,2) naar (2,1).
2.2 Meerdere punten op 1 as regel.
Stel je hebtmeerdere puntenop1 as liggenzoalsinhetderde figuurinhoofdstuk1.
Om deze puntente sorterenmoetereenextraregel komen.De regel luidtalsvolgt:
Alspuntendezelfde waarde hebbenvooreenx of y-asdan sorteerdeze puntenopde volgende as
verdernietde as waarje opaan het sorterenbent.
Met andere woordensorteerje opde y-asende waardesop de y-aszijnhetzelfdedan sorteerdeze
groepcoördinatenopx-asverder.
De volgende coördinatenzijngegeven:
x-as y-as
3 1
1 0
2 1
0 0
Oplopendgesorteerdopde y-asgeeft:
x-as y-as
0 0
1 0
2 1
3 1
Zoalsje zietwordtde groep(0,0) en (1,0) oplopendgesorteerdop de x-asookal sorteerje ze op de
y-as.Hetzelfde geldtvoorde groep(2,1) en(3,1).
5. 3 Bepalen of er een kruis is ongeacht sorteringsalgoritme.
Nuheb je eensorteringsalgoritme datdiagonalenkanbepalenmaarditalgoritme zietgeenverschil
tussen3 puntendie op1 lijnliggen:
Of eenpuntbinnende driehoekvande andere puntenligt:
In beide gevallengeenkruis.
3.1 Twee manieren om kruis te bepalen.
De eerste manierbehelsteenformule,permutatiesenanalysevande data.Zie bijlage.
De tweede manierbehelsthetberekenenvanhoekenvolgensde eenheidscirkel enhetuitlezenvan
de gesorteerde dataomte bepalenof puntenop1 lijnliggenenof eenpuntinde driehoekvande
andere puntenligt.
3.1.1 Deeenheidscirkel.
Dit isde eenheidscirkel zoalsbekendinde wiskunde.
Stel je hebttwee puntenA enB metde volgende coördinaten:
A (1,1) enB (3, 3).
Stel we bepalende hoekα gezienvanuitpuntA naar puntB.
∝= arctan(
𝑌𝑏−𝑌𝑎
𝑋𝑏−𝑋𝑎
) = arctan (
3−1
3−1
) = 45 graden.
Nubepalenwe de hoekα gezien vanuitpuntBnaar puntA.
∝= arctan(
𝑌𝑎−𝑌𝑏
𝑋𝑎−𝑋𝑏
) = arctan (
1−3
1−3
) = 45 graden.
Zoalsje zietmaakt hetnietuitvanuitwelkpuntje kijktde hoekblijfthetzelfde.
6. 3.2 Hoeken berekenen voor een puntenverzameling van 4.
De volgende puntenverzamelinggaan we onderzoeken.
Met de coördinaten:
A = (0, 0) B = (2 ,1) C = (1, 2) en D = (3,3)
Nugaan we de hoekenbepalen gezienvanuitA naar de andere punten:
Naam: Deltax: Deltay: Hoekin graden:
VanA naar B (2 – 0) = 2 (1 – 0) = 1 26,57
VanA naar C (1 – 0) = 1 (2 – 0) = 2 63,43
VanA naar D (3 – 0) = 3 (3 – 0) = 3 45
Hetzelfde doenwe nuvoorde hoekengezienvanuitDnaar de andere punten:
Naam: Deltax: Deltay: Hoekin graden:
VanD naar B (2 – 3) = -1 (1 – 3) = -2 63,43
VanD naar C (1 – 3) = -2 (2 – 3) = -1 26,57
VanD naar A (0 – 3) = -3 (0 – 3) = -3 45
Nugaan we deze datasorterenvankleinste hoeknaargrootste hoek.
GezienvanuitA:
Naam: Hoekin graden:
VanA naar B 26,57
VanA naar D 45
VanA naar C 63,43
Nukan je deze data als volgtuitlezenineensequentie.
VanA naar B vanB naar D van D naar C enweerterugnaar A.Oftewel:ABDC.
GezienvanuitD:
Naam: Hoekin graden:
VanD naar C 26,57
VanD naar A 45
VanD naar B 63,43
De sequentie is:VanDnaar C van C naar A van A naar B en weerterugnaar D. Oftewel:DCAB.
Alsje de twee sequentiesonderelkaarzetkrijgje hetvolgende:
ABDC
DCAB waarbij dithetverschovenpatroonisvanABDCalleenleesje nuvanDdaarna C weerterug
naar A endaarna B.
De puntenA enD zijngekozenomdatA hetonderste puntisenD ishetbovenste puntvandeze
puntenverzameling.Je kanookhetlinkse enhetrechtse puntkiezenmaardan moetje andersom
draaien.Metandersombedoel ikvanlinksnaarrechtsennietzoalsde eenheidscirkel vanrechtsnaar
links.
7. 3.2.1 Punten op1 lijn.
Als3 of meerpuntenop1 lijnliggendanzijnde hoekenexacthetzelfde.Omdathetalgoritme dit
doetvoor 2 puntennamelijkhetbovensteenhetonderste puntzullenalle puntendie op1 lijnliggen
gedetecteerdworden.
3.2.2 Punt binnende driehoekvandeanderepunten.
Stel je hebtde volgende puntenverzameling.
Onderste puntisA en bovenste puntisD.
Na hoekbepalingzal voorpuntA de volgende sequentie naarbovenkomen:ABCD.
Terwijl nahoekbepalingvoorpuntD de volgende sequentienaarboven komt:DACB.
Zettenwe deze sequentiesonderelkaarkrijgje:
ABCD
DACB terwijl ditDABChadmoetenzijnvooreenkruis.Dusvooreenpuntinde driehoekvande
andere puntenkrijgje eenafwijkendesequentie enishiermee detecteerbaar.
3.3 Conclusie.
Alsde puntenverzamelingeenkruisbevatdanisde sequentievanhetonderste enhetbovenste punt
hetzelfdealleenmaarverschoven.
Alseenpuntinde puntenverzamelingop1 lijnof as ligtmettwee andere puntendankrijgje
dezelfdehoeken.
Alseenpuntinde puntenverzamelinginde driehoekligtvande andere puntendankrijgje een
andere sequentie voorbovenenonderdie je nietkuntverschuiven.
