Bepalen of een punt binnen de omtrek ligt van de andere punten van de puntenverzameling.

1. PATRICK TEN BRUGGENCATE
Omtrek
puntenverzameling versie
4
Bepalen of een punt binnen de omtrek ligt van
de andere punten van de puntenverzameling.
Patrick ten Bruggencate
Heerlen
9-9-2017
Doormiddel vanhoekberekeningbepalenof een puntineenpuntenverzamelingbinnende omtrek
van de andere puntenligt.

2. 1 De puntenverzameling.
De 7 puntenwaarbij overduidelijk1puntin hetmiddenligt.
2 Bepaal het startpunt.
Het startpuntisbepaaldennaar alle andere punteniseenlijn getrokkengenaamdde centerlijn.
2.1 Berekenen van de hoeken tussen de centerlijnen.
Zoalsmenzietheeftmen6 hoeken tussen6centerlijnen vooreenverzamelingvan7 punten. Verder
kan menopmerkendatalsmen deze hoekenberekentzie hoofdstuk4enbij elkaaropteltdatje een
waarde krijgtvan360 graden waarbij mentelkensde kortste hoekpakttussentweecenterlijnen.
Conclusie alseenpuntbinnende omtrekligtvande andere puntendanisde totale hoekvanelk
segmentopgeteld360 graden.
Mocht eenhoektussentwee centerlijnengelijkzijnaan180 gradendan liggende drie punten,
startpuntende twee puntenmetcenterlijnenop1 lijnenwordtde hoekgeteldals0 graden.

3. 3 Bepaal een ander startpunt.
Het startpuntisbepaaldennaar alle andere punteniseencenterlijngetrokken.
3.1 Berekenen van de hoeken tussen de centerlijnen.
Zoalsmenzietzijnerweer6 hoeken voor6 centerlijnenwaarbij hoekh6loopttussende twee
buitenste centerlijnen.Alsmendeze hoekenopteltdankrijgtmennogaltijdniet360 gradendusligt
hetpunt buitende omtrekvande andere punten.

4. 4 Hoe bepaal je de hoek tussencenterlijnen.
Zie de volgende puntenverzameling.
We hebbende punten1tot enmet5. Kiesje startpuntbijvoorbeeld2.
We krijgendande volgende centerlijnen.
En de volgendereeks: 1,2, 3, 4, 5.
We bepalendande volgendehoekentussende centerlijnen.
Startpunt Ander
punt
Hoekin gradentussen
startpuntenander punt
2 1 90
2 3 180
2 4 0
2 5 270
Alsmendeze hoekensorteertvankleinnaargrootkrijgtmende volgende reeks:4,1, 3, 5.
Alsmendituitschrijftkrijgtmende volgende combinatiesvoorde hoek tussende centerlijnen.
Punt1 Punt2 Hoektussen
centerlijnenin
gradent.o.v.
startpunt
4 1 90
1 3 90
3 5 90
5 4 90
Alle hoekenbijelkaaropgeteldgeeft360graden dusstartpunt2 ligtbinnende omtrekvande andere
punten.

5. Stel we kiezen3als startpunt.
De tabel wordtdan:
Startpunt Ander
punt
Hoekin graden tussen
startpuntenander punt
3 1 45
3 2 0
3 4 0
3 5 315
Alswe ditsorterenkrijgenwe de volgende reeks:2,4 ,1 ,5.
Daaruit halenwe de volgendehoeken.
Punt1 Punt2 Hoektussen
centerlijnenin
gradent.o.v.
startpunt
2 4 0
4 1 45
1 5 90
5 2 45
Opgeteldgeeftdit180 gradendus ligtpunt3 nietbinnende omtrekvande andere punten.
Wat wel opgemerktmoetwordenisdatde maximale hoektussentweecenterlijnengelijkisaan 180
gradengroterkan de hoeknietwordenendatde hoekenaltijdpositief zijn.Mochtje eenhoek
tegenkomendienegatief isdanmoetmenhiervande absolutewaarde bepalenoftewel de negatief
wegnemen.

6. 5 Waar je de informatie binnen of buiten omtrekvoor nodig hebt.
Ligt hetstartpuntbinnende omtrekvande andere puntendankanje eenpizzapuntomtrekbepalen.
Afhankelijkvanhetaantal hoekentussende centerlijnenkrijgje hetzelfdeaantal aanomtrekkenvoor
de puntenverzameling.
Hoe bepaal je deze omtrek?Wel doorhetstartpuntwegte halendande omtrekvan de resterende
puntenbepalenenhetstartpuntweerterugplaatsen waarnamende pizzapunt omtrekkanbepalen.
Maar wat alshetstartpunt buitende omtrekligt?Danbepaal je de omtrekvanalle punteninde
verzamelingdusinclusief hetstartpunt.

7. 6 De hoekbepalingen die gebruikt worden.
In ditstukwordentwee hoekbepalingengedaannamelijk:
- De hoektussentwee puntengezienvanuithetstartpunt.
- De hoektussendrie puntengezienvanuithet startpunt.
Verdergeldtdathetstartpuntwordgezienalsoorsprongzegmaar de coördinaten0,0 voor elke
berekeningvanhoekentussenpunten.
6.1 De hoek tussen twee punten gezien vanuit het startpunt.
We hebbentwee puntennamelijk1en2 waarbij 1 het startpuntis,de centerlijndoorde punten1en
2 ende hoekh1 tussende x-asende centerlijn.
De hoekh1 looptvan0 gradentot 360 graden.Negatieve hoekenmoetenomgerekendwordennaar
positievehoeken.De hoekberekenje metarctanmetalsinvoerhetresultaatvande deling deltay
gedeelddoordeltax.
6.2 De hoek tussen drie punten gezien vanuit het startpunt.
We hebbennudrie puntennamelijk1,2 en3 waarbij 1 hetstartpuntis,twee centerlijnennamelijk
van 1 naar 2 en van1 naar 3 ende hoektussendeze twee centerlijnen.
De hoekh1 looptvan0 gradentot 180 graden.Hierbij ishettoegestaanomnegatievehoekente
gebruiken.Omde hoekh1te berekenenberekenje eerstde hoektussenpunt1en2 daarna de hoek
tussen1 en 3. Trektde tweede hoekaf vande eerste hoekenje hebtde totale hoektussenpunten2
en3 waarbij opgemerktmoetwordendat45 – (-45) gelijkisaan90.
Verderisereenmogelijkheiddatje alshoektussencenterlijneneennegatieve hoekberekentzoals
bij het voorbeeldinhoofdstuk4:

8. De berekeningvoorde hoektussende twee centerlijnen isaltijdhoekpunt2minusde hoekvanpunt
1.
Punt1 Punt2 Berekeninghoek
punt2 minpunt 1
Hoektussen
centerlijnenin
gradent.o.v.
startpuntna
berekening
Hoekna bepaling
absolute waarde
4 1 90 - 0 90 90
1 3 0 - 90 -90 90
3 5 -90 – 0 -90 90
5 4 0 – (-90) 90 90
Dus om de totale hoekte bepalenvandeze puntenverzamelingmoetende hoekenalsabsolute
waardeswordenopgeteld.
Om nogduidelijkerte makenstel we hebbende volgende x enycoördinatenvanalle punten.
Punt X as Y as
4 1 0
1 0 1
3 -1 0
5 0 -1
2 0 0
Dan gaan we als volgtte werk.We bepalende deltax endeltayt.o.v.hetstartpuntin ditgeval punt
2. Daarna bepalenwe de waarde vandeltaygedeelddoordeltax. Nadeze calculatiekanmenmet
arctan de hoekbepalenwaarbijoneindiggelijkisaaneenhoekvan0 graden.
Deltax Deltay delta
x/deltay
Hoek
d.m.v.
arctan
1 0 Oneindig 0
0 1 1 90
-1 0 Oneindig 0
0 -1 -1 -90
En metbehulpvanditlijstje kande hoekenbepalentussende centerlijnen.

9. 7 Conclusie.
Het waaitnaar alle kantenmaarop ditmomentbenikklaar metbepalenof puntbinnende omtrek
ligtvan andere puntenof niet.Verderwil iknogmeegevendathetondanksde tegenwerkende
krachtenik tevredenbenophetresultaatookal is hetnietdat documentgewordenwatikwenste.