Een notitie over berekeningen met de vakken van een raster.

1. Rasterberekeningen(een notitie).
Patrick ten Bruggencate.
2-8-2020
Heerlen
We startenmet1 vak.
Na de 1 vak volgtde 4 vak.
Met deze 4 vakgaan we ponsenopeengrotere matrix engaan kijkenhoe vaakde 4 vak past ineen
grotere matrix.Metponsen bedoel iktelkens4vakkenbezettenendan1 verderschuiven.Eerst met
de x-asdaarna metde y-as.
Dus nu de 9 vlak.
In deze 9 vakkenpassen4 vakkenvan4.
Nude 16 vak.
In deze 16 vakkenpassen9 vakkenvan4.
En als laatste de 25 vak.
In deze 25 vakkenpassen16 vakkenvan4.
Zonderte tekenenkanikzeggendatbij 36 vakkener25 vakkenvan4 inpassen. Verderkanmende
formule vakkenopde x-asmin1 vermenigvuldigdmetvakkenopde y-asmin1 toepassenomhet
aantal vakkenvan4 te bepalenbij eenwillekeurigeverzamelingvakkenmitsdie groterzijndan4
vakkenenbestaanuiteenmatrix methetzelfde aantal vakkenvooralle regels.

2. Uitleg over het schuifpatroon.
Voorbeeldde 9vak:
Eerst beginnenwe invak0,0 methettekenenvaneenvierkant.
Dan schuivenwe 1 vakop naar rechts opde x-asenkrijgende volgende vierkant.
We schuivennetzolangmet1totdat de vierkantde andere kantraakt.
Nudoenwe hetzelfde maardanmetde y-asen verschuivende vierkant1vak.
Zoalsu zietraakt de vierkantde bodemal engaan we dus vanhieruitweernaarde andere kant op
de x-as.

3. Berekening van aantal cursorsin een raster.
Stel je hebteenrastermet Xr aantal vakkenen Yr aantal vakken.Hoe vaakkan je dan eencursorvan
Xc aantal vakkenen Yc aantal vakkenplaatsenineenrasterwaarbij de cursortelkens1vak inde x of
y as verspringt?
Dat doe je door de volgende formulete gebruiken:
(Xr- Xc+1)*( Yr- Yc+1)=Aantal mogelijkheden.
Oftewel de breedte vande cursorvan de breedte vanhetrasteraftrekkenener1 bij optellen
vermenigvuldigenmetde hoogte vande cursorvan de hoogte van hetraster aftrekkenener1 bij
optellen.Mitshetaantal vakkeninhetrastergelijkof groterzijndande cursor.
Toestanden van een vak.
Eenvak kan drie toestandenhebbennamelijk:
- Het vakbestaatniet.Duseengat in hetraster.
- Het vakis leeg.Dushetvakbestaatmaar er is geeninhoud.
- Het vakis gevuld.Dushetvakisnietleegenhetbestaat.
Overwaarmee hetvakgevuldisdoe ikgeenuitspraakmaareengevuldvakisgeenleegvakeneen
leegvakisgeengevuldvak.Watbetrefthetvakbestaatnietkan menzeggendatmeneen
boormachine heeftgepaktenletterlijkeengatinhetrasterheeftgeboordwaardooreennaalddoor
hetraster kan vallenvande ene kantnaar de andere kantenals u dat wiltweerterug.
Vervormde vakken.
Eenvak bestaatuit4 puntendie metelkaarzijnverbondendoormiddelvan4 lijnendie elkaarniet
kruisen. Eenvakkanmen vervormenzolang menaande bovenste regel voldoet.
Numet 4 vakken.

4. Stel nudat er eenregel bestaatdie zegtdatals1 vak vervormdisdatde omringende vakkendanook
vervormenmaarde vervormingwel corrigerenbinnen1ring. Zoalsbij dit9 vak raster.
Hetzelfde kanmendoenmet4vakkendie vervormdzijndankrijgtmenintotaal 16 vakken omde
vervormingte corrigeren.De formuleomhettotaal aantal vakkente berekenenongeacht
cursorgrootte is:‘2 * lengte_cursor+2 * breedte_cursor+4 hoekvakken+aantal_vakken_in_cursor’.
Welke getallen in welke rasters passen.
Alle priemgetallenpassenalleenineenrastervan1*n. Dus alle onevengetallendie nieteen
priemgetal zijnpassenineenrastervanm*n.Waarbij menzelf de keuze heeftof mof n eenrij of
kolomis.
Het midden.
Je hebttwee soortenmiddennamelijkhetvirtuelemiddenenhetfysiekemidden.Stel je hebeen
getallenreeksvanhetsoortnatuurlijke getallen(1,2,3, 4, etc).Je kanpas eenmiddenbepalenalsje
meerdan 1 vak hebtwant1 kan je nietdelen.Alsje een vakkenverzamelinghebtvan2 of elkander
evengetal enje bepaalthetmiddendanisdatmiddenvirtueel wantje snijdtlangseenlijnennietvia
eenvak.Alsje eenvakkenverzamelingvanonevengetallenhebtdiestartvanaf 3 dan hebje een
fysiekmidden namelijkeenvakwaarbij linksenrechtseenanderfysiekvakligt.Zie voorbeeld.
Bij A ishet middentussende twee vakken1en2. Bij B ishet middenvak2 metlinksvak1 enrechts
vak 3.

5. Bresenham.
Bresenhamisde mandie eenalgoritme beschreef ompuntenineenrastermetelkaarte verbinden.
Dit rasteris 47 hokkenbreeden15 hokkenhoog.De puntenmitshethoklinksbovenhetcoördinaat
(0,0) heeftwaarbij linksde x-asisenrechtsna de kommade y-asdan ligt1 punt op(2,1) en het2’de
puntop (44,15). Verbindtje deze puntenvolgensBresenhamdankrijgje hetvolgendeplaatje:
Waarbij de afstandeenvraag iswant tellenwe hokjes tussende puntenvolgensBresenham dan
krijgenwe eenronde waarde van41 maar gebruikenwe Pythagorasdankrijgenwe metde volgende
formule:
𝐴𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 = √( 𝑋2 − 𝑋1)2 + (𝑌2 − 𝑌1)22
Waarbij de oplossingvoorafstand44,27 is.Opmerkingof ditmeters isof millimetersof zelfseen
grootheidalsenergie datisvoorlater.
Conclusie.Erisverschil tussende rasterwereldende wereldzoalsberekenddoor Pythagorasenkan
gezienwordenalsruis.
Puntenverzameling.
Dus na Bresenhamhoe losje ditopals je hiereenomtrekvanwiltmakendie elkpuntmaar1 keer
aandoetenals hetkanzo efficiëntmogelijkis?

6. Gat in het raster.
Stel je hebteenvol puntineenverderleegraster.Datpuntvultzich envultzichvultzich zoverdat
hetkapot springtduswat voorsoort gat kan mendanverwachten?
Dus eersteenvol puntineenleegraster:
Dit volle puntkan volgenshetrastermaarop twee manierentoteengatwordengemaaktnamelijk
viade vierkant:
Of viade ruit:
Let wel hetrastermethetgat heeftgeenwaarde zoalseenleegof vol gat(zwartof wit) maarwel de
eigenschapdatje vande ene kant vanhet rastervrij naar de andere kantkuntgaan endesnoods
weerterug.