COL_BRESLER Y CONTORNO CARGA.pdf

1. Carlos Ramos Ch/ Set 2020
D I S E Ñ O D E C O L U M N A S B I A X I A L E S
METODOS DE ANALISIS Y DISEÑO
METODO DE LA CARGA INVERSA O METODO DE BRESLER
METODO DEL CONTORNO DE CARGA

2. Carlos Ramos Ch/ Set 2020
METODO DE LA CARGA INVERSA O METODO DE BRESLER

3. Carlos Ramos Ch/ Set 2020
DISEÑO DE COLUMNA BIAXIAL
ENUNCIADO.-
Diseñar una columna estribada, para que soporte una carga axial Pu = 140 tn , Mux = 22.8 tn-m y
Muy = 27.2 tn-m , recubrimiento = 4.0 cms. , f´c = 210 Kg/cm² y fy = 4200 Kg /cm²
22.8
SOLUCION .-
1.- PREDIMENSIONAMIENTO
De acuerdo con la fórmula de falla balanceada, se determina la sección a usar :
Pnb = 0.72 * f´c 6300 d * b Pu = Ø Pn Ø = 0.70
6300 + fy Pn = 140 = 200 tn.
0.70
Pnb = Pn = 0.72 x 210 x 6300 d * b = 90.72 d * b = 200000
6300 + 4200
d * b = 2205 cm² se toman los lados de la columna en relación a los momentos actuantes
Mux/ Muy = 0.838 d = 51.3 tomar d = 50
b/d = 0.838 b = 0.84 *d b = 44.09 tomar b = 45
0.84 * d² = 2205 Ag = 2250 cm²
2.- REFUERZO ASUMIDO .-
Se toma una cuantía mayor a la minima ( 1% ) , p = 1.8 %
Area de acero asumida : As = 50 x 45 x 0.018 = 40.5 cm²
Se reparten las areas de acero de acuerdo a la relación de los momentos :
As = Asx + Asy
Asx / Asy = 0.838 se toma Asx = 6 Ø 1" = 30.6 cm²
Asy = 4 Ø 3/4 = 11.4 cm² Ast = 42.00
3.- DETERMINACION DE LAS EXCENTRICIDADES .-
Pu ey
ey = Mux = 22.8 = 0.163 m
Pu 140
My
ex ex = Muy = 27.2 = 0.194 m
Pu 140
d ´= recub + Ø /2 + # Ø 3/8 = 6.22 cms
Mx
4.- DETERMINACION DE Pnx y Pny ( Primer ciclo ) :
a) Pnx = ???? ey = 0 ; ex = 19.4 cms.
Mny= 38.86 tn-m
ex = 19.43 = 0.389 pt = Ast = 42.00 = 0.019
t 50 b * t 45 x 50
ϒ* t = t - 2 * d´ = 50 - 12.4 = 37.6 Rnx= 0.164
ϒ = 37.6 = 0.751
50
Rnx = 0.164 g = 0.7 Knx= 0.40
Para y g = 0.75 Kny= 0.451
pt = 0.019 g = 0.8 Knx= 0.50
Pnx= Knx*f´c *b*t Pnx = 213.2 tn
b) Pny = ???? ex =0 , ey = 16.3 cms.
Mnx= 32.571 tn-m
ey = 16.29 = 0.362 pt = 0.019
b 45
ϒ* b = b - 2 * d´ = 45 - 12.4 = 32.6 Rny= 0.153
ϒ = 32.6 = 0.724
45
Rny = 0.153 g = 0.7 Kny= 0.50
Para y g = 0.72 Kny= 0.52
pt = 0.019 g = 0.8 Kny= 0.59

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Pny = Kny*f´c *b*t Pny = 246.3 tn
c) Pon = ????? ex = 0 , ey = 0
Pon = 0.85 * f´c * ( Ag - As ) + As * fy
Pon = 0.85 * f´c * ( Ag - As ) + As * fy
0.85 x 210 x ( 2250 - 42.0 ) +' 42.0 x 4200 = 570.53 tn
Puo = Ø Pon Puo = 0.7 x 570.5 = 399.37 Kn
d ) APLICANDO LA FORMULA DE BRESLER
1 = 1 + 1 - 1
P´n Pnx Pny Pno
1 = 1 + 1 - 1 = 0.007 P´n = 142.89 Kn
P´n 246.3 213.19 570.5 P'u =Ø*P'n= 100.02 < Pu
Para este caso se modifica el área de acero y se mantiene la sección transversal
Se toman las siguientes áreas de acero : Asx = 8Ø1" = = 40.8 cm²
Asy = 2Ø1" = 10.2 cm² Ast = 51
b x t = 45 x 50
5.- DETERMINACION DE Pux y Puy ( Segundo ciclo ) :
a) Pnx = ???? ey = 0 ; ex = 19.4 cms.
ex = 19.43 = 0.389 pt = Ast = 51 = 0.023
t 50 b * t 45 x 50
ϒ* t = t - 2 * d´ = 50 - 12.4 = 37.6
ϒ = 37.6 = 0.751 Mny= 38.857 tn-m
50 Rnx= 0.164
Rnx= 0.164 ϒ = 0.7 K = 0.540
Para y ϒ = 0.75 K = 0.591
pt = 0.023 ϒ = 0.8 K = 0.640
Pnx = K*f´c *b*t Pnx = 279.3 tn
b) Pny = ???? ex =0 , ey = 16.3 cms.
ey = 16.29 = 0.362 pt = Ast = 51 = 0.023
b 45 b * t 45 x 50
ϒ* b = b - 2 * d´ = 45 - 12.4 = 32.6
ϒ = 32.6 = 0.724 Mnx= 32.571 tn-m
45 Rny= 0.153
Rny= 0.153 ϒ = 0.7 K = 0.640
Para y ϒ = 0.72 K = 0.638
pt = 0.023 ϒ = 0.8 K = 0.630
Pny= K*f´c *b*t Pny = 301.29 tn
c) Pon = ????? ex = 0 , ey = 0
Pon = 0.85 * f´c * ( Ag - As ) + As * fy
Pon = 0.85 * f´c * ( Ag - As ) + As * fy
0.85 x 210 x ( 2250 - 51.0 ) +' 51.0 x 4200 = 606.72 tn
Puo = Ø Pon Puo = 0.7 x 606.7 = 424.71 tn
d ) APLICANDO LA FORMULA DE BRESLER
1 = 1 + 1 - 1
P´n Pnx Pny Pno
1 = 1 + 1 - 1 = 0.0053 P´n = 190.45 tn
P´n 279.3 301.29 606.72 P'u =Ø*P'n= 133 ≈ Pu
Cuantía de acero de la sección : pt = 51 = 0.023 < 4%
45 x 50

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METODO DEL CONTORNO DE CARGA
INTRODUCCION .-
El método consiste en transformar los momentos bi axiales en un momento bi
axial equivalente, diseñando la sección para flexión uniaxial, de manera que pueda resistir los
momentos flexionantes bi axiales reales. El método se basa en considerar una superficie de falla en
lugar de planos de falla, que es generada por la intersección de los planos Mnx y Mny, a un valor
constante Pn.
Pn
Curva de interacción
Plano a Pn constante
Curva de Interacción
Mnox
Pn
Mnx
Mnoy
Contorno de carga
Mny
La Ecuación general adimensional para el Contorno de carga, a una carga constante Pn, se
expresa como :
α1 α2
Mnx Mny
+ = 1 ( a )
Mnox Mnoy
Mnx : Momento resistente nominal en la dirección X : Mnx = Pn * ey
Mny : Momento resistente nominal en la dirección Y : Mny = Pn * ex

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Mnox: Mo.resistente nominal en la dirección X , sin excentricidad en la otra dirección ex = 0
Mnoy: Mo.resistente nominal en la dirección Y , sin excentricidad en la otra dirección ey = 0
α : Exponente que depende de la geometría de la sección transversal, del porcentaje y
distribución del refuerzo y de la resistencia del concreto.
La ecuación ( a ) se simplifica por medio de un exponente común ( β ), para un valor particular
de la carga axial “ Pn “, tal que la relación Mnx / Mny, tenga el mismo valor que Mox /Moy
Mnx Mnox
= = β
Mny Mnoy
Acomodando términos se obtiene :
Mnx = β Mnox
Mnx Mny
= = β reeplazando en ( a )
Mnox Mnoy
Mny = β Mnoy
β Mnx α1 β Mny α2
+ = 1
Mnox Mnoy
Cuando α1 = α2 =α; las formas para estos contornos de interacción son como los mostrados
en la gráficas para valores específicos de β .
La ecuación anterior puede ser simplificada usando un exponente común e introduciendo un
factor de β para un valor de la carga axial Pn , tal que la relación Mnx/Mny tengan el mismo valor que
la relación Mox / Moy; esta simplificación conduce a la fórmula siguiente :
α α
Ø Mnx Ø Mny
+ = 1 ( a )
Ø Mnox Ø Mnoy
o
α α
Mux Muy
+ = 1 ( b )
Mox Moy
log 0.5
2 βα
= 1 βα
= 0.5 α =
log β
“ β “ oscila entre 0.55 y 0.90 ; se le toma como 0.65 para iniciar el diseño, y posteriormente se le
determina a través del gráfico correspondiente

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Para propósitos de diseño las expresiones del contorno de carga se pueden ajustar al sgte. Gráfico:
A
1 Mnx + Mny 1 - β
β = 1
Mnox Mnoy
B
Mnx + Mny 1 - β
β = 1
Mnox Mnoy
C
1
Si a la ecuación ( a ) se elimina el factor Ø, a numerador y denominador, se tiene :
En la que ; si :
Mny / Moy ≥ Mnx / Mox Moy = Mny + Mnx [ Moy / Mox ] ( 1 - β ) / β
Mny / Moy ≤ Mnx / Mox Mox = Mnx + Mny [ Mox / Moy ] ( 1 - β ) / β
Para secciones rectangulares con refuerzo uniformemente distribuido en las cuatro caras, las fórmulas
se aproximan a :
Si, Mny / Mnx ≥ Mony / Monx ó Mny / Mnx ≥ b / h
Mnoy = Mny + Mnx ( b/h ) ( 1 - β ) / β
Si, Mny / Mnx ≤ Mnoy / Mnox ó Mny / Mnx ≤ b / h
Mnox = Mnx + Mny ( h/ b ) ( 1 - β ) / β
Mny = Pn * ex Mnx = Pn * ey

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Y
Mny
X
h
Mnx
b
b y h; son las dimensiones de la columna en la dirección X e Y , respectivamente.

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EJEMPLO DEL METODO DEL CONTORNO DE CARGA
SE DESARROLLA EL MISMO EJEMPLO ANTERIOR
ENUNCIADO.-
Diseñar una columna estribada, para que soporte una carga axial ; Pu= 140.0 Ton ,Mux = 22.8 Ton-m
Muy = 27.2 t-m , recubrimiento = 4.0 cms. , f´c = 210 tn/cm² y fy = 4200 tn /cm²
De acuerdo con la fórmula de falla balanceada, se determina la sección a usar :
Pnb = 0.72 * f´c 63 d * b Pu = Ø Pn Ø = 0.70
63 + fy
Pn = 140.0 = 200.00 Tn
0.70
Mnx = 32.57 Tn-m
Mny = 38.86 Tn-m
Pnb = Pn = 0.72 x 210 x 6300 d * b = 90.72 d * b = 200.0 kgs
6300 + 4200
d * b = 2205 cm² se toman los lados de la columna en relación a los momentos actuantes
Mux/ Muy = 0.838
d/b = 0.838 d = 0.838 *b
0.838 * b² = 2204.6 b = 51.3 tomar b = 40
d = 55.11 tomar h = 50
Ag = 2000 cm²
Mny
- Sección : b x h = 40 x 50 50
- Determinación del Momento Equivalente :
Mnx
Mny = 38.86 = 1.193 40
Mnx 32.57 Mny > b X
Mnx h
b = 40 = 0.800
h 50
Mnoy = Mny + Mnx (b/h ) ( 1 - ß ) / ß Asumir ß = 0.65 Y
Mnoy= 38.86 + 32.57 x 40 x ( 1.0 - 0.65 ) = 52.888 ton- m
50 0.65
d' = 6.22 cms g = 50.0 - 12.4 = 0.75
50
Pn = 200 = 0.4762
Ag* f'c 40 x 50 x 210
Mnoy = 52.89 x 100 = 0.252
( 50 )² x 40 x 210
De los gráficos uniaxiales ø = 0° ( refuerzo en dos caras ):
g = 0.7 pt = 0.026
g = 0.75 pt = 0.024 p = 0.0240
g = 0.80 pt = 0.022
Asy = 0.0240 x 50 x 40 = 47.90 Asx = 20.40
Asx = 32.57 x 47.90 = 40.15
38.9
Se tantea con el siguiente refuerzo :Asy = 8Ø1" Asy = 40.80
Asx = 2Ø1" Asx = 10.20
Ast = Asx + Asy = 40.80 + 10.20 = 51.00 cm²
Ag h f'c

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RESISTENCIA A FLEXION EN Y - Y: h = 50 ; b = 40
g = 37.56 = 0.75
pt = 51 = 0.026 50.0
50 x 40
pt = 0.026
K = Pn /f'c b t = 200.0 = 0.48
210 x 50 x 40
De los gráficos con refuerzo en cuatro caras :
g = 0.7 Mnoy = 0.220
Ag * h * f'c
g = 0.75 Mnoy = 0.230
Ag * h * f'c
g = 0.80 Mnoy = 0.240
Ag * h * f'c
0.23 x 40 x 2500 x 210 = 48.4 ton - m
48.4 ton - m
RESISTENCIA A FLEXION EN X - X : h= 40 ; b = 50
g = 27.56 = 0.69
40
pt = 51 = 0.026
40 x 50 pt = 0.026
K = Pu /f'c b t = 200 = 0.48
50 x 40 x 210
De los gráficos con refuerzo en cuatro caras :
g = 0.6 Mnox = 0.190
Ag * h * f'c
g = 0.69 Mnox = 0.217
Ag * h * f'c
g = 0.70 Mnox = 0.22
Ag * h * f'c
0.217 x 50 x 1600 x 210 = 36.41 ton - cm
36.4 ton - m
Determinación del valor ß :
Mnx = 32.57 = 0.895 Entrando al gráfico ß = 0.85
Mnox 36.41
α = log 0.50 = -0.30 = 4.27
Mny = 38.86 = 0.804 log 0.85 -0.0706
Mnoy 48.35
0.50
( Mnx )
α
+ (Mny )
α
= 1 : 4Ø1"
( Mnox ) + (Mnoy )
0.895
4.27
+ 0.804
4.27
≈ 1 0.40 2Ø1"
0.622 + 0.394 = 1.016
4Ø1"
Mnox =
Mnox =
Mnoy =
Mnoy =