1. Использование пакета GALA-3.0 для анализа
и решения краевых задач
Бибердорф Э.А.
Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН
Новосибирский государственный университет
Попова Н.И.
Институт ядерной физики им. Г.И.Будкера СО РАН
1
2. GALA-3.0 – Guaranteed Accuracy in Linear Algebra
зарегистрирован 9.9.2010 в Реестре программ для ЭВМ Федеральной
службы по интеллектуальной собственности и товарным знакая, свиде-
тельство № 20615904
Контроль точности вычислений
* Рост объемов вычислений ⇒ неконтролируемый рост по-
грешностей.
* Широкое использование математического обеспечения в
прикладных областях ⇒ отсутствие профессионального
анализа свойств задачи и адекватной интерпретации ре-
зультата вычислений.
* Высокие требования к точности в ряде прикладных обла-
стей (физика, инженерия и др.) вступают в противоречие
с отсутствием гарантии точности многих вычислитель-
ных методов.
В пакете реализованы алгоритмы, допускающие использование метода
обратного анализа погрешностей
2
4. Модуль SweepMod. Основная процедура Sweep - чис-
ленное решение краевой задачи для линейных систем ОДУ
методом ортогональной прогонки
d
dx
u = A(x)u + f(x)
Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ
4
5. Задачи для функции Грина:
d
dx
G(x, ξ) = A(x)G(x, ξ)
LG|x=0 = 0, RG|x=d = 0, G(ξ + 0, ξ) − G(ξ − 0, ξ) = I
d
dx
GL(x) = A(x)GL(x)
LGL|x=0 = Il, RGL|x=d = 0
d
dx
GR(x) = A(x)GR(x)
LGR|x=0 = 0, RGR|x=d = Ir
u(x) = GL(x)ϕ +
d
0
G(x, ξ)f(ξ)dξ + GR(x)ψ
5
6. Функция Грина как критерий обусловленности краевой за-
дачи:
u(x) = GL(x)ϕ +
d
0
G(x, ξ)f(ξ)dξ + GR(x)ψ
d
dx
u = A(x)u + f(x)
Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ
d
dx
u = A(x)u + f(x)
Lu|x=0 = ϕ, Ru|x=d = ψ
∆u ≤
K(φ + α u )
1 − αK
G , GL , GR ≤ K
∆A , ∆L , ∆R ≤ α
∆f , ∆ϕ , ∆ψ ≤ φ
Кузнецов С.В. "Развитие метода ортогональной прогонки 1988
6
8. Использование прогонки для решения
эволюционных задач
Метод прямых
∂
∂t
u + A(t, x)
∂
∂x
u = f(t, x)
un − un−1
τ
+ A(tn, x)
d
dx
un = f(tn, x)
d
dx
un =
−1
τ
A−1un+A−1 f(tn, x) +
un−1
τ
8
9. Корректность начально-краевой задачи
∂
∂t
u + A(t, x)
∂
∂x
u = f(t, x)
Lu|x=0 = ϕ(t), Ru|x=d = ψ(t)
u|t=0 = u0
На границе римановы инварианты, соответствующие УХО-
ДЯЩИМ характеристикам, должны выражаться через рима-
новы инварианты, соответствующие ПРИХОДЯЩИМ харак-
теристикам.
Lu|x=0 = ϕ(t) ⇒ R→
i = Φ(t, R←
1 , . . . , R←
j )
Ru|x=d = ϕ(t) ⇒ R←
i = Ψ(t, R→
1 , . . . , R→
k )
9
10. Проявление некорректности начально-краевой задачи на вре-
менном слое
∂
∂t
u + A(t, x)
∂
∂x
u = f(t, x)
Lu|x=0 = ϕ(t), Ru|x=d = ψ(t)
u|t=0 = u0
⇓
d
dx
un =
−1
τ
A−1un + A−1 f(tn, x) +
un−1
τ
Если УХОДЯЩИЙ риманов инвариант НЕ выражается через
ПРИХОДЯЩИЕ, то на временном слое t = tn
Gn ≈ ed/τ
10
11. Если УХОДЯЩИЙ риманов инвариант НЕ выражается через
ПРИХОДЯЩИЕ, то на временном слое t = tn
Gn ≈ ed/τ
11
12. Течение крови в сосуде
∂
∂t
U + B(U)
∂
∂x
U = S(U), U = (A, Q)T
12
