1. Fagrapport – Matematik
N. Zahles Seminarium 2009
En undersøgelse af, hvordan de bedste
matematikelever arbejder.
Forfatter: Klavs Ravn Gydesen
Studienummer: 272026
Vejleder: Hans Jørgen Beck

2. Indholdsfortegnelse
1.0 Indledning. .....................................................................................................................................................3
1.1 Emneområde. ............................................................................................................................................3
1.2 Baggrund for valg af emneområde. ...........................................................................................................3
2.0 Problemformulering. .....................................................................................................................................4
3.0 Metodebeskrivelse. .......................................................................................................................................5
3.1 Den læringsteoretiske synsvinkel. .............................................................................................................5
3.2 Indledende undersøgelse. .........................................................................................................................6
4.0 Didaktiske og pædagogiske overvejelser. .....................................................................................................6
4.1 Didaktiske overvejelser..............................................................................................................................6
4.2 Pædagogiske overvejelser. ........................................................................................................................9
4.3 Det valgte undervisningsforløb. ..............................................................................................................10
4.4 Observationsfokus. ..................................................................................................................................11
5.0 Undervisningsforløbet. ................................................................................................................................12
5.1 Afsluttende kommentar på UV-forløbet: ................................................................................................18
6.0 Analyse af undervisningsforløbet. ...............................................................................................................18
6.1 En diskussion og refleksion over undervisningsforløbet. ........................................................................20
7.0 Konklusion. ..................................................................................................................................................21
8.0 Afrunding og perspektivering. .....................................................................................................................22
9.0 Kilder. ...........................................................................................................................................................23
10.0 Bilagsoversigt. ............................................................................................................................................24
Bilag 1: Invitationsbrev ..................................................................................................................................25
Bilag 2: Resultatark ........................................................................................................................................27
Bilag 3: Evalueringstekst i forbindelse med de enkelte moduler ..................................................................28
Bilag 4: Undervisningsforløbet i skematisk form ...........................................................................................29
Bilag 5: Øvelse – geometriske figurer ............................................................................................................32
Bilag 6: Øvelse - omskrive tekster til matematisk udtryk ..............................................................................33
Bilag 7: Øvelse – ”Kryds og bolle” skal bytte plads........................................................................................34
2

3. 1.0 Indledning.
1.1 Emneområde.
Jeg er optaget af, hvad der sker i en homogen gruppe af udskolingselever, der almindeligvis har relativt nemt
ved matematikfaget, når disse elever bringes ind i et undervisningsforløb, hvor de er sammen med
”ligesindede”. I det følgende er omtalen af ”elever” underforstået udskolingselever i en klasse. Klassen består
af 11 piger (61 %) og 7 drenge (39 %).
1.2 Baggrund for valg af emneområde.
Faget matematik er et kernefag i den danske folkeskole: ”Formålet med undervisningen i matematik er, at
eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv
og naturforhold. Analyse og argumentation skal indgå i arbejdet med emner og problemstillinger.” (Kilde:
www.faellesmaal.uvm.dk/fag/Matematik/formaal). I formålsparagraffen stk. 2 hedder det endvidere at:
”Undervisningen tilrettelægges, så eleverne opbygger matematisk viden og kunnen ud fra egne forudsæt-
ninger”. De fremhævede dele har for mig en central betydning idet matematikfaget i de ældste klasser (7. -
9.klasse) har et tiltagende dagligt præg af, at eleverne snart skal til afgangsprøve. Terminskarakterer,
”blækregning” (opgaver i problemløsning) trinmål og slutmål har specielt fra lærerside et dedikeret fokus. ”Nu
skal de lære matematik.”
Eleverne møder i undervisningssituationerne flere nye begreber eksempelvis formler, ”ubekendte”, regning
med ”ubekendte”. Det er en matematik, der bliver sat mere og mere ind i hverdagssituationer gennem
problemløsning og undersøgende arbejde med tekster og tolkning af det matematiske indhold i teksterne.
Nogle elever i udskolingen mangler dog stadig at få helt styr på de små tabeller, at kunne multiplicere, at
kunne udføre en division, måske at huske ti’erne i overgange ved addition, forståelse af brøker samt procent-
regning er heller ikke altid lige nemt.
I undervisningssituationer bliver der stadig brugt tid på ”at samle op” og sikre, at alle elever er på nogenlunde
samme niveau, hvad angår det basale stof (fra mellemtrinet). Men der er samtidig andre elever, der har
indøvet en fortrolighed med viden, færdigheder og kompetencer fra mellemtrinnet. Disse elever har nemmere
ved det nye stof, men de keder sig relativt hurtigt i situationer, hvor læreren nu igen skal bruge tid på at samle
op og repetere. Løsningen på dette findes måske inden for princippet om undervisningsdifferentiering, bl.a.
formuleret i FSL § 18. De dygtige elever får eksempelvis stillet nogle af de mere komplicerede opgaver. Disse
opgaver hviler ofte på den samme forståelse og anvendelse af denne forståelse. I praksis opleves også, at de
relativt svagere elever har brug for mere tid i deres arbejde med det problem, som de er stødt på. De relativt
stærkere elever har brug for mindre tid i deres arbejde med det samme problem. Resultatet er, at lærerens tid
over for de svagere elever i praksis ofte er fordelt til fordel for dem, mens de stærkere elever mister en
værdifuld tid til kvalificerende og udfordrende dialog omkring netop det læringspotentiale, som de står med.
3

4. Mit fokusområde i denne fagrapport er, at de bedste elever i dagligdagen ikke får tilstrækkelig udfordring og
kvalificeret opmærksomhed i deres læreproces. Disse elever møder sjælden en grænse for, hvornår det er lidt
svært at finde ud af det – en grænse der kan være med til at stimulere en yderligere nysgerrighed. Der skal
også i forhold til de bedste elever iscenesættes en kvalificeret virksomhed med henblik på at lære matematik
ud fra deres kognitive og motivationelle niveau.
Jeg er til daglig matematiklærer for to 8.klasser på en folkeskole. Jeg havde ligeledes begge klasserne i 7.klasse
sidste skoleår. Skolen er afdelingsopdelt, hvor jeg tilhører udskolingen (7. – 9.kl.). I skoleåret 2008/2009 er der
udbudt en række valgfag. Flere valgfag har status af at henvende sig til de dygtigste elever. Ét af valgfagene
hedder ”Matematikgrublerier”. Dette valgfagsforløb, der er på 5 gange 2 lektioner, har jeg stået for at
planlægge, forberede, afvikle samt evaluere. Der var i alt 18 elever fordelt på to 7.klasser samt to 8.klasser.
Efter samråd med de øvrige matematiklærere, blev eleverne fra 9.klasserne af forskellige årsager valgt fra, og
deltog i stedet i valgfaget ”Matematikværksted”.
Det er ud fra Folkeskolelovens § 25 stk. 5 muligt at sammensætte elevgrupper på tværs af klasser og klassetrin
i kortere perioder. Dette giver anledning til, at de bedste elever inden for matematik i en periode kan opnå at
fokusere bedre på læreprocessen og derved bedre kan registrere udbyttet af læringen. Der skabes et mere
intensivt fokus på ”at lære matematik”, når en gruppe elever er samlet uden for normalgruppen / normal-
klassen. Eleverne udgør en mere homogen gruppe, idet de har foretaget et positivt tilvalg af valgfaget.
I dagligdagen ved jeg/vi godt, at ”de gode elever er gode” inden for daglig pensum. Dette opleves på forskellig
vis; de arbejder hurtigere, de løser flere opgaver og har flere rigtige, de er bedre i stand til at forklare sig, og
selvom det på ingen måde er lærerens intension kommer eleverne ofte til at kede sig for hurtigt.
Jeg mener, der er et reelt grundlag for at undersøge, hvad sker der i en relativt homogen gruppe af elever,
der almindeligvis har nemt ved matematikfaget, når de bringes ind i et undervisningsforløb, hvor de er
sammen med ”ligesindede”.
2.0 Problemformulering.
I konkretiseringen af emneområdet ønsker jeg at fokusere på, hvilke faktorer, der har indflydelse på læringen
for de bedste elever, når de er i et læringsmiljø, hvor deres kompetencer har mulighed for at blive udfordret.
Ligeledes har det været vigtigt for mig at kunne observere tegn eller konkret adfærd, der kan bidrage til at
beskrive og evaluere læringsprocessen. Dette fører til følgende problemformulering:
Hvordan arbejder de bedste matematikelever i en udskolingsgruppe,
og er der særlige tegn, der kan observeres og beskrives?
4

5. 3.0 Metodebeskrivelse.
Fagrapporten er bygget op således, at jeg først vil kort præsentere min indledende pejling på elevernes eget
udtrykte udgangspunkt og forventninger til forløbet. Dette munder ud i en præsentation af mine didaktiske og
pædagogiske overvejelser samt mine overvejelser omkring det matematikfaglige valg.
Dernæst vil jeg beskrive den teori jeg har anlagt med henblik på valget af et konkret undervisningsforløb. Jeg
vil samtidig konkludere på, hvorfor jeg har taget konkrete valg med baggrund i dels forundersøgelsen samt det
teoretiske fundament for denne rapport.
Med udgangspunkt i en beskrivelse af undervisningsforløbet vil jeg inddrage mine iagttagelser, evalueringer
og notater fra lektionerne samt elevernes slutevalueringer.
Efterfølgende vil jeg analysere, reflektere over samt diskutere mit erfaringsmateriale med udgangspunkt i
den læringsteoretisk ramme, idet jeg anvender en model som professor ved RUC, Knud Illeris (”Læring”, 2007),
har udarbejdet. Modellen anlægger et overordnet syn på de elementer og sammenhænge, der indgår i en
enhver læreproces. Jeg vil anvende modellen med specifik fokus på læring inden for faget matematik.
Endelig vil jeg foretage en konklusion samt en afrunding og perspektivering på, hvorledes de bedste elever kan
have mulighed for at blive tilgodeset på en mere kvalificeret måde inden for faget matematik.
3.1 Den læringsteoretiske synsvinkel.
Der findes i litteraturen adskillige teorier om, hvordan
læring foregår samt, hvordan lærings-processer kan
tilrettelægges. Matematikfaget er i et væsentligt omfang
bygget op omkring en logik, definitioner, abstrakte
begreber, bestemte tal og begrebsmæssige
sammenhænge under givne forudsætninger samt ikke
mindst løsninger, der enten er rigtige eller forkerte.
Læringsprocessen har ifølge professor ved RUC Knud
Illeris (”Læring”, 2007) tre hoveddimensioner:
 Den kognitive dimension, hvor særligt tænkning,
analyse, struktur, deduktion og logik håndteres. Knud
Illeris omtaler læringens entydighed (assimilation) samt læringens flertydighed (akkomodation) i den
kognitive dimension. I min analysedel vil jeg forsøge at beskrive, hvorvidt undervisningsforløbet har tilført
assimilativ eller akkomodativ læring hos målgruppen idet jeg supplerer med Benjamin Blooms taksonomi.
5

6.  Den psykodynamiske dimension indeholder vores motivation, følelser og viljes bidrag til læringen.
 Den tredje dimension er den relationelle dimension eller den samspilsmæssige dimension. Samspils-
dimensionen dækker over, at læringen dannes i den sociale proces og konteksten, man deltager i.
Deltagelsen kan spænde fra en passiv iagttager til en aktiv deltagelse, der genererer medspil, udfordring
eller modspil.
Matematiklæring kræver virksomhed. Eleverne kan ikke nøjes med at læse matematik for at forstå matematik.
En matematiklæring er udvikling af en færdighed, en kompetenceudvikling. Faget har et implicit indhold af et
undersøgende og afprøvende element. Jeg har anlagt en erfaringspædagogisk tilgang i undervisningsforløbet.
John Deweys (tidligere amerikansk filosof og pædagogisk tænker) tænkning baserede sig på, at mennesket
konstant er i interaktion med sin omverden, og regulerer sine aktiviteter i forhold til de reaktioner det
modtager – at vi lærer (bedst) gennem at kombinere egen virksomhed og erfaring. Begrebet virksomhed
dækker over, at vi foretager handlinger og praktiske forsøg, og har en umiddelbar oplevelse forbundet
dermed. Erfaringen og erfaringsprocessen er en efterfølgende erkendelse, hvor det oplevede nu får en
betydning, mening og værdi, hvorved læring er opnået i den konkrete situation.
3.2 Indledende undersøgelse.
Tilbagemelding på det indledende brev (bilag 1) op til forløbet viste i elevernes egen vurdering af niveau i
forhold til klassekammeraterne ikke overraskende, at ingen i gruppen ”under middel”. Fordelingen af eleverne
i de to øvrige kategorier var: 5 i ”middel” og 13 i ”over middel”. I begrundelserne (se bilag 2 – resultatark)
viste tilbagemeldingen to dominerende grupperinger af indhold: A) at eleverne ønsker/håber på en faglig
stimulering. B) at eleverne glæder sig at have det sjovt!
4.0 Didaktiske og pædagogiske overvejelser.
Eleverne i forløbet havde i december 2008 modtaget et velkomstbrev fra mig. I dette brev havde jeg bedt dem
om at skrive en kort begrundelse for valget af netop dette valgfag. Endvidere havde jeg udbedt mig elevens
egen umiddelbare vurdering af (som en afkrydsning), hvor de mener, at de fagligt er placeret i forhold til deres
klassekammerater i faget matematik: under middel, omkring middel eller over middel. Se bilag 1.
4.1 Didaktiske overvejelser.
I en beskrivelse af mine didaktiske overvejelser og intentioner vil jeg benytte den didaktiske relationsmodel fra
Hiim og Hippe i en strukturel opsætning idet denne model giver en god og nuanceret baggrund for dels plan-
lægningen af undervisningsforløbet og dels den efterfølgende analyse af forløbet.
Læringsforudsætninger: elevernes sociale, kulturelle, psykologiske og fysiske læringsforudsætninger. Hvor
gode er de bedste elever egentlig? At de er bedre end deres klassekammerater i stamklasserne er reelt nok,
men er de bedste så i ”en klasse for sig”, og hvordan vil dette give sig udtryk i spørgsmål til det stof jeg kan
6

7. præsentere for dem samt i deres spørgsmål til hinanden og mig som lærer? Hvad kan jeg forvente af dem i en
gruppedialog, som en del af en demokratiforståelse? Har eleverne blot en hurtigere tilgang til en strategi-
forståelse hen imod en løsning af de daglige opgaver? Hvordan vil et fagligt overskud og en forståelse af stoffet
kunne skabe en større almen respekt for de andre klassekammeraters forslag og løsninger?
Målgruppen for forløbet er de dygtigste elever i en udskolingsgruppe. Eleverne er gruppe børn fra et
middelklasseområde i en rolig forstadskommune til København. Der er ikke dansksproglige eller kulturelle
udfordringer til stede i elevgruppen. Eleverne har foretaget et positivt tilvalg i deres deltagelse. Jeg anlægger
derfor den synsvinkel, at eleverne er velfunderet i sproglighed inden for problemopgaver og situations-
beskrivelser samt har godt styr på den matematik, der ligger i niveauet 7.kl. / 8.kl. I Benjamin Blooms
taksonomi svarende til niveau 3 – anvendelse: ”Benyttelse af generelle ideer, teorier, principper, procedurer
og metoder i konkrete (nye) (problem) situationer”.
I elevernes egen vurderingen af niveau i forhold til klassekammeraterne var der, ikke overraskende, ingen i
gruppen ”under middel”. Fordelingen af eleverne i de to øvrige kategorier var: 5 i ”middel” og 13 i ”over
middel”.
Rammefaktorer: lovgivning, skolebeslutninger, fysiske rammer. Skolen har en bevidst ambitiøs målsætning, og
er placeret som den bedste skole i kommunen målt af CEPOS. Lærerteamet i udskolingen har en ligeledes
tydelig og ambitiøs indstilling til at have en klar profil både hvad angår det faglige og det sociale. Udskolingen
er fysisk samlet i store og lyse klasselokaler, der giver gode muligheder for at mindre grupper kan arbejde. I
dette forløb har jeg lagt beslag på det tidligere 10.kl. lokale, så vi har mulighed for at lade materialer og
notater m.v. ligge fra gang til gang.
Mål: undervisningsmål, læringsmål. Folkeskolens formål i relation til den almene dannelse rummer alle elever,
men eleverne med særlige bevidste (og udprægede gode) kompetencer inden for faget matematik skal også
kunne rummes ud fra deres individuelle behov. Matematik faget i udskolingen har som særligt slutmål, at
eleverne skal op til en skriftlig afgangsprøve efter 9.klasse. For en del af eleverne gælder det endvidere om at
komme videre i en gymnasial uddannelse, og måske derfra videre i uddannelsessystemet.
Matematik faget har i mange uddannelser en central kvalificerende og samtidig en studiemæssig relevant
betydning, idet fagets analyserende og undersøgende form bidrager kognitivt til en strategiforståelse og
problemløsende tilgang til mange andre komplekse eller forståelsesmæssige sammenhænge, hvor der indgår
flere elementer.
Målsætningen med forløbet er at sætte en ramme, og præsentere et indhold, hvor de valgte problemstillinger
giver så mange muligheder for at arbejde undersøgende som muligt og samtidig skal det være muligt at nå
7

8. frem til at løse problemet. Balancen mellem at give faglig udfordring uden at tage modet fra eleverne har
været vigtigt i mine valg.
Inden for Fællesmålene for matematik vil jeg derfor fokusere på, at eleverne har mulighed for at tilegne sig
færdigheder, der sætter dem i stand til at problemformulere, beskrive fremgangsmåder og angive løsninger
på forståelig vis, at de mundtligt kan udtrykke sig samt i samarbejde med andre kan vælge en hensigts-
mæssig faglig metode, arbejdsform og redskab ved løsning af problemstillinger af tværgående art. I deres
arbejde med at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer skal de opnå en forståelse af, at valget
af en matematisk model kan afspejle en bestemt værdinorm.
Indhold: undervisningsforløbets faglige indhold. Hvilke faglige udfordringer har de behov for samt hvad kan jeg
præsentere således, at eleverne på den ene side oplever en, i forhold til deres niveau, faglig stimulering, og
samtidig på en måde således, at de på den anden side ikke møder et naturligt fagligt nederlag, men fortsat har
tillid til egne muligheder? Eleverne er gode til at ”regne matematik”. Jeg anlægger derfor et udgangspunkt,
hvor der godt må være en hvis grad af uforudsigelighed i problemopgaverne. I begrundelserne (bilag 2) viste
tilbagemeldingen to dominerende grupperinger af indhold. Den ene gruppe handler om, at eleverne
ønsker/håber på en faglig stimulering. Indhold som eks.: ”… udfordring …”, ”… at lære noget …”, ”… nye måder
…”, ” … løse problemer …” går igen i flere af elevernes begrundelser. Den anden gruppe handler om, at
eleverne glæder sig at have det sjovt! Jeg mener godt dette kan tolkes, at eleverne har en forventning om, at
det bliver et socialt stimulerende forløb at kunne arbejde sammen med ”ligesindede”.
Læreprocessen: tilrettelæggelsen og organiseringen samt afviklingen af læreprocessen herunder lærerens
involvering og rolle. Jeg forestiller mig, at elevernes gensidige respekt for hinanden er synligt til stede, da de til
en vis grad kender hinandens forudsætninger for at deltage i forløbet. Eleverne har en god fornemmelse af, at
de er sammen med andre, der også er dygtige til den daglige matematik. Jeg har en forestilling om, at deres
samarbejdsevner viser sig i en professionel udgave idet eleverne møder undervisningsforløbet med en positiv
motivation. Eleverne kan med andre ord forventes at indgå som aktører i undervisningen (T. Nordahl)
Jeg er indstillet på, at eleverne møder med en åben og erkendt nysgerrighed og et ønske om at blive udfordret
og sat på prøve … ”gad vide om jeg også kan klare dette!”. Jeg vil forvente, at eleverne har en undersøgende
og spørgende tilgang i omgangen med stoffet samt, at de har en interesse i at hjælpe hinanden. Denne
situation kender de fra dagligdagen, hvor de er hjælper for deres sidekammerater.
Jeg har en forestilling om, at eleverne selv skaber det udfordrende i deres strategi for at håndtere
grublerierne, og samtidig ikke lader sig afskrække af en problemløsningsopgave. Eleverne har med andre ord
en lidt naiv faglig selvbevidsthed, der skal rystes og stimuleres med en ”god anderledeshed” (som Thomas
Ziehe udtrykker det). Som matematiklærer anser jeg det for en meget vigtig opgave at bidrage til den almene
8

9. dannelse samt at så mange elever som muligt opnår så gode matematikfaglige kvalifikationer som muligt
inden for folkeskolens kontekst. Men også, at de elever, der har behovet, opnår en for deres niveau passende
matematisk kompetence, der bidrager til en handlekompetence.
Vurdering / evaluering: vurdering og evaluering i forhold til processen og de opsatte mål. Hvad kan eleverne
have ud af at gennemføre 10 lektioner i matematisk grubleri, når de i forvejen ligger godt til, i den under-
visning, der er tilrettelagt ud fra de fælles mål?
Jeg har udleveret en invitation inden forløbet startede og gennem invitationen opsamlet skriftlige svar på et
spørgsmål om elevernes forventninger (se bilag 2). Undervejs vil jeg dels observere gruppesamtalerne mellem
eleverne samt foretage en umiddelbar evaluering efter hvert modul, hvor jeg vil bede eleverne om en
umiddelbar tilkendegivelse af deres dominerende læringsoplevelse af modulet.
Slutligt vil jeg udbede mig en kommentar på forløbet sat i forhold til deres oprindelige forventning. De løbende
modulevalueringer skal give mig en pejling på om sværhedsgraden og læringsoplevelsen har været passende.
Samtidig er det min forventning, at evalueringerne og gruppeobservationerne kan bidrage med et vurderings-
materiale til at kunne besvare problemformuleringen.
I en samarbejdsproces med ligesindede vil jeg vurdere elevernes evne og adfærd i forhold til at anvende deres
normalfaglige overskud til dels at indgå i et samarbejdende fællesskab og dels deres evne til at skabe fremdrift
på den faglige del af problemløsningen.
Med fokus på de bedste elever er denne udfordring yderligere vigtig. Denne elevgruppe har i deres valg af
valgfagsforløbet tilkendegivet et tilvalg af et fokusområde, hvor de gerne vil udfordres og kvalificeres i forhold
til den daglige undervisning. Dette vil jeg vurdere på en tretrinsskala (bilag 3), hvor 1) Det individuelt kognitive:
angiver om eleven oplever at have fået mest ud at kunne reflektere og overveje/tænke løsningsmuligheder
eller delløsninger i problemopgaven, 2) Det samspilsmæssige og relationelle: angiver om eleven mener at have
fået mest ud af den interpersonelle proces og det dialogbaserede samarbejde i gruppen samt 3) Det
præstationsorienterede: der angiver, om eleven mener at have haft størst udbytte af, at gruppen eller eleven
selv er nået frem til en løsning / et resultat.
4.2 Pædagogiske overvejelser.
Jeg planlægger et undervisningsforløb, hvor eleverne arbejder i mindre grupper. Eleverne skal kunne udfordres
og samtidig opleve, at de selv bidrager i en udfordrende dialog med ligesindede, og derved indgår i et
dialektisk forhold med deres omverden. Inden for gruppen er min intension, at eleverne via deres samtaler om
problemstillingen, ved fælles hjælp, selv skal udvikle en løsningsstrategi. Dette er en erfaringspædagogisk
vinkel, som stimulerer elevernes kognitive evner samtidig med, at den samspilsmæssige og relationelle
dimension kan bringes i spil.
9

10. Da alle eleverne har et rimelig fagligt homogent samt ambitions- og interessemæssigt ensartet udgangspunkt,
er der stor sandsynlighed for, at alle eleverne kan opleve at være inddraget i arbejdet. Dette udelukker ikke, at
enkelte elever kan have behov for at trække sig tilbage i kortere perioder for at kunne reflektere og klargøre
sine tanker, der derefter kan præsenteres i gruppen.
Jeg er i mine pædagogiske overvejelser optaget af, at undervisningsforløbet tidsmæssigt og arbejdsmæssigt
skal have plads til en udforsknings- og dialogproces i gruppearbejdet. Det er ikke afgørende, at eleverne
fremkommer med resultatet, men hvordan de i gruppesamarbejdet kommer frem til resultatet.
Sat i forhold til Illeris´ tre dimensioner i læringstrekanten vil jeg illustrere ovenstående:
 Kognition og de kognitive elementer: De bedste elever oplever sig tydeligvis bedre end deres
klassekammerater i stamklassen. Jeg mener det er væsentligt, at det matematikfaglige indhold, der skal
tilbydes, er tilstrækkelig illustrativt (billedligt og matematisk), relevant i forhold til klassetrin og analytisk
udfordrende således, at eleverne har plads og tid til at strukturere deres tanker samt kan sætte ord og
sprog på tanker, forslag og metoder/ fremgangsmåde, strategi.
 Psykodynamik og elementer af det psykodynamiske: Motivationen, følelsen af, at matematik er sjovt
samt viljen til at ville lykkes og finde løsningen skal imødekommes i valget af indhold og målsætning for
forløbet. Jeg vil sætte undervisningsrammen for et arbejde med eleverne således, at de har mulighed for
at fokusere på processen, metoden og fremgangsmåden mere end på dét, at de finder selve resultatet.
 Det relationelle og deltagelsen i en samspilsproces: Mit indtryk er, i dagligdagen arbejder de fleste af
eleverne mere på ”egen hånd”, hvor de oplever, at have en faglig selvtilstrækkelighed. Samarbejdet, og
dét, at de kan bruge hinanden aktivt skal have mulighed for at komme til udtryk i dette undervisnings-
forløb. Det kan ikke udelukkes, at enkelte vil have behov for at isolere sig i deres egen tanke- og løsnings-
orienterede arbejdsproces i kortere perioder.
4.3 Det valgte undervisningsforløb.
Med udgangspunkt i ovenstående overvejelser har jeg valgt et undervisningsforløb, hvor vi arbejder ud fra
følgende – en skematisk form af hele undervisningsforløbet findes i bilag 4:
 Klassen deles på forhånd af mig i mindre grupper på 4-5 elever med en ligelig spredning af drenge og piger.
 Da samtale (gruppedialoger, klassedialoger), notater, refleksion, tænkning og eksperimenterende
afprøvning skal have plads, har jeg valgt, at vi arbejder uden for det bogsystem (Matematiktak), som de er
vant til. Der er således ikke mulighed for at konsultere en resultatliste.
 Jeg har en intension om, at eleverne kan arbejde hen imod en udledning af matematikken i problem-
opgaverne samt, at jeg kan opnå, at klassen ved fælles hjælp kan frembringe det generelle i forsøgene og
derved, at vi kan opskrive vores strategi i det undersøgende arbejde og nå frem til ”formlen”.
10

11. Jeg har valgt det faglige indhold i form af tre ”hovedeksperimenter”, der alle tre er anderledes og sjove, og
samtidig giver mig mulighed for at kunne foretage mine observationer og undersøgelser – bilag 5:
 ”To lige høje tårne” – hvor eleverne gerne skal komme frem til, hvordan man ud af et sæt stave med en
stigende længde på 1 cm kan bygge to lige høje tårne. Denne opgave har en karakter af et eksperiment
samt har karakter af noget fysisk, der kan observeres, undersøges og efterprøves i en resultatgivende eller
ikke-resultatgivende retning. Jeg medbringer stave fra 1x1 cm til 1x20 cm.
 ”Kryds & bolle skal bytte plads” – et spilorienteret eksperiment, hvor en systematisering af pladsbytningen
og fremgangsmåden kræver opbygning af en dokumentation. Jeg udvider med stadig flere krydser & boller
– fra to af hver op til fire af hver.
 ”Rente på penge”. Eksperimentet er flyttet ud i en dagligdags kontekst, hvor det handler om penge, rente
på penge og opsparing, som eleverne har et vist forhold til.
Min lærerrolle er, at jeg på baggrund af at stille opgaverne, så åbent som muligt, vil lade grupperne arbejde
selvstændigt så lang tid som muligt, uden jeg intervenerer med
hjælp, vejledning eller anden støtte.
4.4 Observationsfokus.
Undervisningsforløbet danner udgangspunkt for mit
observationsfokus. Jeg har struktureret dette ud fra Illeris´ tre
dimensioner (se figur, kilde: ”Læring”, 2007) med følgende
indhold for mit observationsfokus:
I den kognitive dimension vil jeg kigge efter tegn på, hvordan
eleverne viser overblik og strukturerer deres arbejde samt,
hvordan de er i stand til at frembringe en løsningsstrategi på
eksperimenterne.
I den psykodynamiske dimension vil jeg fokusere på, hvordan
elevernes ambition, motivation og lyst samt om der viser sig
elementer af konkurrence i deres indbyrdes arbejde og dialog.
I den relationelle dimension observerer jeg, hvordan eleverne er aktive med, arbejder med dialog, at
lytte/spørge, om alle eller kun få er med i arbejdet samt om samarbejdet foregår inkluderende og deltagende.
Fokusområdet for elevernes arbejde er ”det indre af trekanten” i ovenstående figur - processen. Eksperimen-
terne og min lærerrolle i forhold til elevarbejdet er tilrettelagt med henblik på en læringsproces, hvor jeg ser
på hvordan læringselementerne (hjørnerne) har indflydelse på: arbejder eleverne undersøgende / eksperimen-
11

12. terende? Ser de mønstre og muligheder? Kan de opstille en regel/regler? Er de bevidste om at afprøve reglen
og kan anvende dette i en generaliseret betragtning med henblik på at frembringe et matematisk udtryk, der
endeligt kan kontrolleres? Jeg vil senere i rapporten analysere, hvordan jeg har oplevet fokuspunkternes
indflydelse på disse spørgsmål.
5.0 Undervisningsforløbet.
Undervisningsforløbet er bygget op over fem moduler à to lektioner. Jeg har valgt overvejende at observere en
gruppe af gangen pr. modul.
Modul 1: Jeg havde som mål, at sætte den overordnede ramme for generaliseringsbegrebet samt at eleverne
skulle opleve, hvad det vil sige at arbejde med en generalisering.
Jeg havde på forhånd inddelt de 18 elever i fire grupper med fire eller fem i hver gruppe. Jeg introducerede
forløbets overordnede mål og indhold i form af at præsentere og beskrive, hvordan et (matematikholdigt)
problem i virkelighedens verden kan transformeres og omformes til en model / formel, der kan løse det
virkelige problem samt kan generaliseres til en løsningsmodel for andre problemer af samme art og indhold.
Elevernes forståelse af ordet ”generalisere” vakte til min undren nogle forståelsesmæssige spørgsmål. Det
viste sig allerede her, at jeg stødte på en sproglig abstraktion som til en vis grad foruroligede mig. Jeg valgte at
lade eksemplet illustrere forståelsen. Eleverne afprøvede den indledende opgave omkring forskellige figurer
(bilag 5), hvor det nu blev tydeligt for dem, hvad begrebet ”at generalisere” kunne betyde. Vi havde derefter
opnået en tilsyneladende fælles forståelse.
Modulets anden del bestod i et arbejde med fire korte tekstopgaver, der kan omformes til en ligning (bilag 6).
Grupperne skulle opskrive et matematisk udtryk, en ligning, der kunne beskrive situationen i teksten. Denne
type problemløsning viste sig at være relativ nem for størstedelen af eleverne. Grupperne fik én opgave ad
gangen, 8 min til at diskutere den i gruppen, og derefter fremlægge og argumentere for deres forslag. Mine
observationer var, at eleverne havde nemt ved at afkode tekstens indhold i form af de uligheder/ligheder,
konstanter, variable og koefficienter, der var lagt op til. Tilbagemeldingerne i plenum var korte, klare og
rigtige. Umiddelbart udviste flere elever en mindre utålmodighed gående på, om det virkelig ”skulle være så
nemt”?!
Jeg kunne samle op på modulets mål og indhold: Vi havde en fælles forståelse af, at situationer kan skrives i et
matematisk udtryk, der kan transformeres og generaliseres til andre lignende situationer – vi har fundet
formler eller modeller, der beskriver en del af en virkelighed. Denne konklusion var de tilfredse med. De mente
således at ”have lært noget vigtigt … jeg vil jo gerne blive bedre til det her fag”, som en dreng konkluderede.
Slutevalueringen på skalaen 1-3 gav et billede af, at dialog samt dét at nå frem til løsninger, ved at samtale om
indholdet, havde været den dominerende oplevelse af læring.
12

13. Modul 2: Målet med dette modul var at observere og finde tegn på elevernes evne til dels at kommunikere om
en måde at løse problemet på samt observere, hvordan de mere eller mindre bevidst er i stand til at anlægge
en brugbar løsningsstrategi. Vægten i dette modul var derfor arbejdet med opgaven ”to lige høje tårne”.
Eleverne skulle finde ud af; A) Hvis man har et antal tårne fra 1x1 cm. til 1x10 cm., kan man så bygge to lige
høje tårne heraf? B) Kan I lave en regel, der fortæller hvornår man kan og hvornår man ikke kan? Jeg introdu-
cerede formålet med opgaven på tavlen (anvendte eks. med 1x1, 1x2 og 1x3 cm), og sikrede mig, at eleverne
havde en forståelse af, hvad opgaven gik ud på. Optimismen og troen på deres egne evner var intakt, og alle
gav udtryk for at have forstået opgaven. Materialerne de havde til rådighed var et sæt af udklippede karton-
stave, som jeg havde forberedt (mål på 1x1 op til 1x20 cm) og medbragt. Jeg gav også eleverne muligheden, at
de kunne anvende kvadreret papir eller de kunne anvende det ene sættet af cuisenaire stave vi havde på
skolen. Opgaven var stillet så åben som muligt.
Grupperne kastede sig over denne opgave med en iver, der overraskede mig. ”Det er da nemt nok …” var der
flere, der udtrykte. Stavene blev lagt op, og der blev afprøvet, men efter ca. 10 min. blev der en dialog, hvor en
blanding af irritation over ikke bare lige at kunne løse opgaven samt en undren over, hvad problemet egentlig
bestod i, meldte sig.
Jeg observerede specifikt gruppe 1 i dette modul, og havde et øre med på de andre gruppers dialoger:
Julie: ”Skal det kun være to tårne?” … de andre ”ja!”
Kasper: ”Skal vi anvende alle stavene?”
Julie: ”Må tårnene ikke bare være næsten lige høje?”
Nina: ”Jeg forstår altså ikke opgaven … hvad er det egentlig man skal finde ud af?”
Elevernes ambition om at finde løsningen (som de var vant til fra dagligdagen – tænker jeg) stødte på en
vanskelighed. Jeg lod dem blive i frustrationen, undlod at give dem hints eller mulige veje at undersøge, for at
kunne observere, hvad deres samarbejde og strategi nu kunne udvikle sig til?
Kamilla: ”Prøv at høre … vi må starte forfra … se her … vi kan godt med de første tre! Hvis vi starter med at
skrive tallene op så vi kan se, hvornår vi kan og hvornår vi ikke kan?!”
Julie: ”Lad os prøve …! Er det ikke noget med … hver anden gang kan man og hver anden gang kan man ikke?”
Simone: ”Jo!! Det skal være et lige tal!!”
Kasper: ”Hvad skal være et lige tal? Man kan da ikke med to!”
Simone: ”Nej nej!! Men prøv at se her … man kan med tre 1+2+3 giver et lige tal, man kan også med fire det
giver 10 … men vi kan ikke med 5 da det giver 15!”
”Jamen, det kan man da … så bliver de hver 10 høje!”… gruppen funderer over dette!
13

14. Julie: ”OK! Man kan med fire, man kan med fem … og ikke med 6 det giver 21 … man kan med 7 der giver 28”
Gruppen prøver af op til de 17. Det tager en del plads, de bruger gulvet, hvor det giver et godt overblik.
”Det har sikkert noget at gøre med, at vi skal lægge tallene sammen … altså hvor høje stavene er tænker jeg …
og så har det nok noget at gøre med, at hver anden ulige kan man med og hver anden ulige kan man ikke med.
De lige tal kan altid.” siger Nina, der tidligere gav udtryk for, at hun ikke forstod, hvad opgaven gik ud på. Hun
har fulgt de andres arbejde, og har samlet små konklusioner op. De andre er enige i, at hun har fat i en god
strategi – hvilket mønster tegner sig?
Julie: ”Kan vi ikke få noget hjælp nu? … Vi synes vi er på sporet, men vi har altså lidt svært ved at se, hvor vi …”
bliver afbrudt af, at Kamilla, der mener hun har fundet en metode. Hun har siddet de sidste par minutter med
det kvadrerede papir, hvor hun har tegnet og regnet! Hun foreslår, ”at vi jo skal se på hele figuren som en slags
trekant, der kan udregnes som et areal – den formel kender vi”. Hun foreslår, at hvis trekanten har en højde
ganget med bredden, og det tal kan deles i to hele tal, så kan man bygge de to tårne.
Modulet slutter, og jeg samler kort op. Jeg udbeder mig igen en umiddelbar evaluering på skalaen 1-3.
Evalueringen viste, at færre end sidste modul havde haft et dominerende udbytte af at tale sammen om
problemopgaven. De fleste elever havde denne gang haft størst udbytte af at tænke parallelt med gruppens
arbejde eller haft udbytte af det målrettede arbejde med forståelsen hen imod en løsning. Det gav mig en
pejling på, at modulets mål omkring elevernes arbejde med at finde en løsningsstrategi var stimuleret positivt.
Der havde været masser af samtale mellem eleverne i gruppen, og samtalerne var rettet mod at finde en
strategi, omend processen ikke altid var særlig struktureret, så tolkede jeg, at de alle var klar over, at en
strategi måtte der frembringes.
Modul 3: Målet i dette modul var fortsat at kunne observere gruppernes arbejde med at fremkomme med en
������(������+1)
løsningsstrategi. Jeg ønskede samtidig, at eleverne kunne blive præsenteret for formlen: Sn = 2
, der
udtrykker summen ”S” af de ”n” første naturlige tal, hvis de ikke var nået frem til den selv.
Grupperne genoptager arbejdet fra sidste modul. De har taget nogle notater sidst, og kommer overraskende
godt fra start. De starter ikke forfra, de kan huske opgavens mål, og de ved, hvordan de skal gå i gang.
Grupperne virker motiverede og opsatte på, at NU skal det løses! ”Kom så … nu skal vi have det her løst!”.
Jeg observerer specifikt gruppe 2 i dette modul. Det viser sig, at denne gruppe har haft en mere struktureret
fremgangsmåde i deres undersøgende arbejde, og de har en strategi fra første modul, som de genoptager og
forfølger.
Gruppen synes at være klar over, at de skal gå systematisk frem for at finde et system, og at der er flere måder
at illustrere systemet på. De har undersøgt på meget konkret vis i to undergrupper; én undergruppe på to
elever arbejdede med kvadreret papir, og én undergruppe på tre elever, der havde kartonstavene at prøve af
14

15. med. Undervejs konsulterede de hinandens arbejde. I dette modul er deres udgangspunkt godt funderet på
flere konklusioner fra første modul. De har noteret sig, at de kan bygge to lige høje tårne på flere forskellige
måder. De har endvidere fundet ud af, at de har at gøre med noget, der ligner halvdelen af et firkant (et
kvadrat) – kommer fra undergruppen, der arbejder på kvadreret papir. Endelig har de konkluderet, at de kan
bygge to lige høje tårne, når de har 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 20. ”Man kan ikke med de øvrige” konkluderer
de. De kommer frem til, at det har noget at gøre med, at de ikke kan bygge to lige høje tårne med ”hvert andet
ulige tal efter 5” som en elev udtrykker det.
Det er tydeligt at se, at de føler en sejr ved sammen at have fundet noget, der minder om en løsning – et
system. ”Hvad er systemet i den løsning I har fundet? Kan i opskrive en regel for, hvornår det kan lade sig
gøre?” spørger jeg gruppen. De leder efter, hvordan systemet i talrækken kan skrives på en anden måde? De
har ikke forfulgt deres observation vedrørende halvdelen af et kvadrats areal! Dette undrer mig! Gruppernes
arbejde har nu foregået i ca. 30 min.. De kører lidt i ring om deres foreløbige konklusioner og jeg beslutter at
bryde ind for at samle op på, hvor langt klassen som helhed er. Jeg noterer i plenum de enkelte gruppers
������ 2 ������ ������ ∙(������+1)
”resultater” på tavlen. Ved fælles hjælp når vi frem til et brugbart slutresultat: 2
+ 2
= 2
, og når
dette resultat giver et lige tal så kan vi bygge to lige høje tårne. Eleverne føler selv en stor del af æren for dette
slutresultat.
Dagens næstsidste punkt er en opsamling på elevernes bud på, hvad er det de gør, når de arbejder. Følgende
punkter fremkom som elevernes konkluderende beskrivelse:
Jeg spørger: ”Kan vi opstille en fremgangsmåde, en metode eller en strategi og beskrive vores måde at løse
eksperimentet på?” Flere elever svarer: ”Ja, det kan vi vel godt …?!”
Resultatet af den fælles opsamling på elevernes regelsæt/fremgangsmåde bliver følgende:
- ”Vi finder blik for, hvad vi opdager og ser …” (det undersøgende element)
- ”Hvad kan vi umiddelbart forestille os af regler, der gælder her?” (ser efter mønstre …?)
- ”Afprøver så regler på små tal og derefter på lidt større tal, og finder ud af, hvordan reglen passer med
dem …”.
Jeg spørger: ”Hvad hvis vi erstatter tal-eksempler med et vilkårligt tal ”n”?”
- ”Det har vi jo lige fundet en formel til.” Vi taler kort om det generelle i formlen. Det er stadig lige svært
at forstå ”n-tal”.
- ”Vi kontrollerer og efterprøver den generelle formel på de kendte eksempler fra før.” Det virker, og
passer med deres egne resultater af undersøgelserne!
Eleverne har stadig lidt svært ved at forstå ”vilkårligt tal” og tallet ”n”. Jeg oplever, at vi er i grænsen mellem
en erkendelse af, at det jo er rigtigt … men hvordan er det alligevel vi skal forstå det? De er lige ved at have fat
15

16. i en abstraktion og et overblik … og så ikke helt alligevel. De er trætte, og har brugt meget mental energi på at
ville løse opgaven!
Efter en kort pause præsenteres eksperimentet med ”kryds og bolle, der skal bytte plads”. Jeg introducerer og
beskriver, hvad opgaven går ud på med henblik på, at vi næste gang kan igangsætte arbejdet i de samme
grupper. Opsamlingen i forhold til elevernes umiddelbare udbytte var, at samtalen i grupperne havde givet
dem det dominerende udbytte.
Modul 4: Jeg indleder med en kort repetition af dagens opgave. Grupperne har fået et ark som et værktøj til at
arbejde med ”kryds og bolle” eksperimentet – bilag … Grupperne starter med et 2x2 eksperiment.
Gruppe tres arbejde har i dag mit fokus. Jeg vurderer, at dette eksperiment er lidt sværere at danne sig
overblik over, og jeg er spændt på, om gruppen har lært sig, at de kan have hjælp af at blive enige om at
arbejde med en løsningsstrategi.
Det er tydeligt, at de er lidt mere ydmyge over for, hvor nem eller svær opgaven muligvis er. Martin: ”Vi må
lige have fat på, hvad vi skal nå frem til! Hvis vi nu lige prøver nogle gange, og så tæller – kan vi ikke dele os
lidt, så nogen prøver og nogen skriver ned, hvad vi gør?!” De andre er ikke helt med … Samantha: ”Hvad mener
du?! Vi kan jo bare tælle på arket!”. Samantha er hurtigt i gang med at skrive sine træk ned. Gruppen arbejde
ikke i takt. De taler ikke helt så meget sammen, og der er forskellige udtryk, der tyder på, at gruppen mere
arbejder som fire individualister end som én gruppe. Efter ca. 10 minutters mere eller mindre individuelt
arbejde prøver de sig spørgende og konsulterende hos hinanden. ”Hvad har du fået?”. De har fire forskellige
resultater. Eleverne synes det er svært! De samler sig igen ved, at Samantha tager initiativet: ”Nu starter vi
altså forfra!”. I gennem tre forsøg kommer gruppen ved fælles hjælp frem til, at de mindst skal flytte 19 gange
som bedste resultat. ”Er det godt nok?”, henvender de sig spørgende til mig. Jeg roser dem for deres
ihærdighed med at forbedre løsningsforslaget. Jeg udfordrer dem efterfølgende på, om de kan se et mønster i,
hvordan de flytter eller hopper med krydserne og bollerne? Samantha er igen den første med en lang
forklaring: ” at man ganger med 2 efter man har lagt 2 til antallet af krydser … ”. De andre kan ikke følge
hendes forklaring, men hendes energi i forklaringen tyder på, at hun har fat i en tankerække, som peger i den
rigtige retning. I den afsluttende gennemgang med alle gruppernes konklusioner kommer vi frem til følgende:
 Tre af grupperne havde set et mønster i de enkelte linjer af forsøg i skemaet.
 Jesper i gruppe 4 havde fundet resultatet n(n+2). Han kunne resonere, men kunne ikke argumentere.
 De finder et system i 7, 9, 11.
 De finder et system i 2 gange 4, 3 gange 5, 4 gange 6.
 De finder et system i 2 gange 2+2, 3 gange 3+2, 4 gange 4+2.
 Ledes med min hjælp frem til n gange n+2.
16

17. Vi får afsluttet modulet med en opsamling, hvor størstedelen af eleverne denne gang vurderede, at de havde
haft mest ud at finde løsningen – de havde ambitionen som det umiddelbart mest styrende for deres arbejde.
Modul 5: I dette sidste modul er jeg interesseret i at observere, om eleverne har opnået en mere tydelig
bevidsthed omkring deres arbejde og fremgangsmåde i arbejdet. Jeg har denne gang særlig fokus på gruppe 4.
Endelig ønsker jeg have mulighed for at kunne indsamle en samlet evaluering af forløbet. Jeg kan allerede nu
forudse, at vi ikke når hele vejen gennem arbejde med ”Penge og rente” eksperimentet.
Opgaven i grupperne er, at eleverne arbejder med at sende ”penge” videre med en rente på. Modtager skal
notere ”udregningen” for, hvilken kapital, der nu er i puljen – ”det jeg skylder den forrige”. Jeg har valgt
renten til 5 %. Inden eksperimentet starter er der en kort ordveksling om, hvordan de regner med procent.
Eleverne er egentlig ikke i tvivl, men de har tilsyneladende behov for at blive bekræftet – at de forstår det
samme i opgaven. I de første runder går det fint i gruppen. Der regnes, nedskrives og beløbet vokser. Efter fire
runder melder spørgsmålet sig: ”Det er da kedeligt det her … kan vi ikke bare prøve at skrive udregningen op …
vi kan jo sagtens se, at beløbet hele tiden bliver større?!” De andre er enige i, at eksperimentet er kedeligt og
lidt trivielt. Men de har svært ved, at samles om at skrive udregningen ned – indtil Jesper viser det på et stykke
papir midt på bordet. ”Vi starter eksempelvis med 1000 kroner, plus 5 % giver 1050 kroner … vi lægger 5 % til
igen … det giver 52,50 kroner som vi lægger til 1050 kroner …” De fortsætter udregningerne. Nu sidder de med
en masse tal – igen. De prøver ihærdigt at finde et mønster, som vi tidligere har talt om. Men tallene skifter jo
hele tiden!? De kan godt se, at der er tale om kapital plus en rente plus rentes rente etc.. Disse begreber
kender de tilsyneladende, men de får ikke omsat virkeligheden (pengestørrelserne) til generelle symboler og
matematiske udtryk. Jeg vælger at stoppe arbejdet efter der er gået ca. 30 min. hvorefter jeg foreslår, at vi
samler op og konkluderer på opgaven i plenum.
På spørgsmålet, om eleverne kan prøve at beskrive, hvad de gør og, hvad de tænker for at løse denne opgave
kommer følgende frem:
 Det handler om …:
o ”At finde én løsning”
o ”At finde alle løsninger” tilføjer flere andre.
o ”At bruge sine tanker!” – dette er flere meget enige i.
o ”At tænke i et system” – bliver ikke nærmere beskrevet.
o ”At finde en regel … eller måske flere regler, der kan sættes sammen”
o ”At finde et system eller en regel som sådan gælder hele vejen igennem” – bliver deres konklusion.
I den afsluttende evaluering af dette modul har eleverne overvejende haft mest ud af at tale sammen.
Den samlede evaluering af hele undervisningsforløbet igangsættes ved, at eleverne først nedskriver deres
oplevelse – ganske kortfattet – af forløbet på et stykke papir. De skal ikke være påvirket af andres udtalelser.
Derefter har vi en afsluttende løs snak om, hvordan de synes det har været: ”Det har været sjovt …
17

18. Anderledes… Har lært noget andet … Kan sagtens gentages … Hvis man nu kan have en lille smule af det hele
tiden … Det er godt … Man kan få tid til at tænke og blive udfordret … ”.
5.1 Afsluttende kommentar på UV-forløbet:
Min egen oplevelse af forløbet er, at der i alle modulerne har været en behagelig ro og koncentration i
gruppernes arbejde. Disciplinen med at møde til tiden har været der, der har været en flot udholdenhed i
arbejdet idet eleverne næsten ingen pauser har haft, eleverne har taget imod opgaven med løbende at
evaluere, seriøst. Jeg kan også se tilbage på, at jeg har glædet mig til de enkelte moduler.
Elevernes egen konklusion på forløbet er udtrykt i flere forskellige udsagn, som resultatarket i bilag … viser.
Stort set alle eleverne har haft en positiv oplevelse. De giver udtryk for, at det har været sjovt (fagligt som
socialt), anderledes og udfordrende grænsende til, at det har været svært!
6.0 Analyse af undervisningsforløbet.
Med udgangspunkt i Knud Illeris´ læringstrekant vil jeg analyse det observerede undervisningsforløb ud fra de
tre dimensioner: den kognitive dimension, den psykodynamiske dimension samt den relationelle dimension
eller samspilsdimensionen.
Den psykodynamiske dimension: Det er helt tydeligt, at den sociale konstruktion, som undervisningsforløbet
danner, har bidraget til et læringsrum, hvor den faglige optagethed, motivation samt lysten til at være
sammen med andre dygtige matematikelever har været til stede. Det første interessepunkt er, om eleverne
har lært noget ved dette forløb. Jeg havde en intension om, at arbejdet i mindre grupper, hvor eleverne
arbejder med problemopgaver, stillet i en åben form, skulle give mulighed for, at der kunne arbejdes
eksperimenterende og afprøvende. Eleverne skulle gennem denne erfaringspædagogiske tilgang samt gennem
undervisningsforløbets moduler, opnå en oplevelse og erkendelse af, at måden hvorpå de arbejder kræver
nogle overvejelser og en bevidst fremgangsmåde.
Den kognitive dimension: I den åbne form, som opgaverne er stillet i samt ved opgavernes problemløsende
karakter, virker det naturligt for eleverne, at de må prøve sig frem, lege, og langsomt se, om de kan blive enige
i nogle deres observationer og betragtninger af eksperimentet. Cand. Pæd. Psyk. Kirsten Baltzer siger: ”Når
skolen har tilbud, der stiller store faglige krav, ser det ud til, at børn med særlige forudsætninger identificerer
sig selv.” (KVAN nr. 75, s.53). Eleverne har som helhed forstået opgaverne, og hvad de skulle finde ud af. De
mindre forståelsesproblemer blev mange gange løst inden for gruppen, hvor eleverne havde nemt ved at tale
om, hvad de ikke forstod eller forklare, hvad der skulle forstås. I arbejdet har den løbende arbejdssamtale
være fokuseret, de har haft en koncentration om en fælles opgave, og har udvist gode samarbejde evner. Én af
grupperne (gruppe 3) havde en udfordring. Denne gruppe arbejdede ikke sammen, hvilket umiddelbart
bevirkede, at én elev tog føringen og bestemte, hvad der skulle ske. Hun var samtidig ikke optaget af, at resten
18

19. af gruppen måske også kunne bidrage. Et tegn på en individuel motivationel drivkraft og personlig ambition i
den psykodynamiske dimension.
Jeg har derimod ikke observeret tydelige tegn på, at de er bevidste om, at det undersøgende arbejde med
fordel kan struktureres. Det begrænsede overblik, hvor eleverne flere gange er forskellige steder i deres
betragtninger, hvad de prøver at få system i samt deres tankeproces, gør det svært for gruppen som helhed at
samle op og blive enige om konklusioner, der kan føre videre i en proces. Jeg kan observere delvise elementer
af, at de forsøger med delkonklusioner og et arbejde med mulighederne, men elevernes fokus på enkelte
detaljer og stræben efter ”at finde en løsning” tyder på, at de bliver forstyrret.
Jeg kan derfor ikke konstatere, at deres umiddelbare kognitive overskudskapacitet udmønter sig i, at de
derved samarbejder efter en bevidst strategi. Der har endvidere også været tegn på, at flere elever havde
svært ved at forstå nogle af ordene eller udtrykkene: ”at generalisere”, ”at finde et matematisk udtryk” som
eksempler. Illeris taler om læringens entydighed (assimilation) samt om læringens flertydighed
(akkomodation) i den kognitive dimension. At eleverne er kompetente på læringens entydighed – at de forstår
opgaven og ved fælles opsamling kan forstå løsningen – har ikke i dette undervisningsforløb kunne overføres til
flertydigheden, hvor elevernes akkomoderede læring skulle komme til udtryk ved, at de har lært, det vil sige
tilegnet sig en bevidsthed om, at udarbejdelsen af en samarbejds- og løsningsstrategi er befordrende for
gruppens arbejde.
Med reference til Blooms taksonomi er jeg overrasket over, at jeg ikke har observeret, at det generelle
kognitive niveau er repræsenteret på niveau 3 – anvendelse: ”Benyttelse af generelle ideer, teorier, principper,
procedurer og metoder i konkrete (nye) (problem) situationer”.
Den relationelle dimension: Eleverne har haft et godt fremmøde samt en deltagende og disciplineret adfærd i
forløbet – det har været tydeligt, at lysten til at være sammen om, tale med hinanden, lytte på hinandens
synspunkter, input med mere har været til stede. Dette har medvirket til og understreget den positive
motivation og det ihærdige arbejde, som alle grupperne har præsteret. Den vedholdende, og nogle gange lidt
stædige adfærd i gruppens eller enkelte elevers arbejde, understreger, at elevernes læringsproces dog har en
betydelig tilstedeværelse af den psykodynamiske dimension i samarbejdet. Et egentlig konkurrenceelement har
jeg ikke observeret, som noget udtalt. Der har været en generel og umiddelbar harmonisk stemning i arbejdet,
hvor behovet for at demonstrere sin stærke faglighed ikke har vist sig i dialogen. Eleverne har i stedet netop
brugt deres stærke faglighed til at forstå hinandens spørgsmål eller kommentarer.
Det generelle indtryk er, at eleverne i såvel gruppearbejdet såvel som i plenumdialog har udvist en evne til at
kunne sprogliggøre deres observationer fra gruppeeksperimenterne. De har i gruppearbejdet vist en udpræget
virksomhed og deltagende adfærd, hvor det at lytte har været mindst lige så dominerende som det at kunne
19

20. kommentere med en individuel vinkel eller holdning. Der har i de fleste tilfælde kunne observeres en relativ
naturlig accept af samt respekt for hinanden, som ligeværdige samarbejdspartnere.
6.1 En diskussion og refleksion over undervisningsforløbet.
Det er indledningsvis relevant at spørge til, hvad de dygtigste elever i matematik egentlig er dygtigst til eller
om det kan være deres almene skolemotivation og sociale forudsætninger, der er stærkere, og således også
træder frem i faget matematik. Jeg har ikke i forløbet undersøgt disse forhold omkring eleverne, men alene
koncentreret mig om udgangspunktet: at de med en god selverkendelse vurderer deres faglige niveau i forhold
til klassekammeraterne som bedre samt at de har foretaget et positivt tilvalg til forløbet.
Min intension har været at bringe klassen ud i et problemløsningsområde – med de valgte eksperimenter –
hvor eleverne har haft mulighed for på en selvstændig arbejdsform at finde sammen om problemforståelse,
elementer i problemet, sammenhænge og mønstre, overføring af mønstre til generelle symboler, der kan
sammensættes i et generelt matematisk udtryk.
Det har umiddelbart ikke været begrænsende, at klassen har arbejdet uden et bogsystem, men kun med de
ark, materialer m.v. som jeg forelagde dem.
Min diskussion er sat i forhold følgende didaktiske relationer:
 Forløbets mål i forhold til læreprocessen,
 Indholdet i forhold til læringsforudsætningerne,
 Indholdet i forhold til læreprocessen samt
 Min lærerrolle i forhold til processen.
Forløbets mål i forhold til læreprocessen: Jeg er bevidst om, at det har været et ambitiøst mål, at eleverne i
løbet af 10 lektioner, på baggrund af en refleksiv proces skulle tilegne sig en bevidst konklusion på deres
individuelle tankeproces samt deres deltagelse i gruppens virksomhed og samarbejde. Eksperimenterne og
elevernes øvelser har været velvalgte og levet op til mine kriterier, og eleverne har vist tegn, der peger i den
retning jeg havde håbet at kunne få frem. Men dels har eleverne haft en lyst og ambition om at ville løse
opgaven, og dels har forskellige – om end mindre – samarbejdsudfordringer ikke givet overskud til, at eleverne
kunne forholde sig tilstrækkelig refleksivt til processen.
Jeg er efterfølgende stadig af den opfattelse, at elevernes udbytte har været positivt – de har opnået en
erfaringsbaseret læring med problemorienterede opgaver, hvor det har været deres egen tænkning, struktur
og overblik, der skulle anvendes i en virksomhed med de øvrige deltagere i gruppen. Endvidere har klassens
plenumdiskussion vist, at de og jeg ved fælles hjælp, og netop på baggrund af deres afprøvede erfaringer,
kunne opsamle en forståelse og en læring.
20

21. Indholdet i forhold til læringsforudsætningerne: Eksperimenternes grad af abstraktion satte flere elever på
prøve. De blev udfordret, men udfordringen viste sig for mange elever at række længere end deres daglige
matematikfaglighed har givet dem. Jeg mener ikke at have observeret elever, der har taget det som et ”fagligt
nederlag”. Netop fordi de valgte eksperimenter har ligget uden for et ”normalpensum”, kan oplevelsen have
været noget særligt, som de har haft lejlighed til at deltage i. Slutevalueringerne og udtalelserne viser stadig, at
forløbet i flere tilfælde har været positivt stimulerende.
Gruppen af de bedste matematikelever i udskolingen har oplevet et forløb, hvor der er taget hensyn til deres
særlige evner og forudsætninger. Eleverne er selvbevidste om deres læringsforudsætninger, de ved, de er
sammen med andre elever med de (næsten) samme forudsætninger. Dette kombineret med, at eleverne
mødes omkring de svære opgaver, tyder på etableringen af en befordrende proces for et fagligt, socialt og
respektfuldt samarbejde.
Indholdet i forhold til læreprocessen: Indholdet har lagt op til kognitive, psykodynamiske såvel som
samspilsmæssige forhold i læreprocessen. I et alternativt forløb kunne opgavernes krav til samarbejde og
dialog skærpes yderligere. De enkelte eksperimenter i dette forløb kan løses individuelt.
Min lærerrolle i forhold til processen: Jeg er efterfølgende i tvivl, om jeg skulle have interveneret mere i
gruppernes arbejde. I de fire forskellige grupper jeg fulgte, var der situationer, hvor jeg muligvis kunne have
hjulpet dem videre i en retning eller fastholdt deres arbejde. Omvendt havde jeg lagt mig fast på kun at ville
blande mig på en direkte opfordring om processtøtte. Min overvejelse har grund i, at jeg mistænker flere
elevers individuelle ambitionsfokus på en løsning, kan have virket forstyrrende på opmærksomheden i
dialogen og samarbejdsprocessen.
7.0 Konklusion.
I baggrunden for opgaven samt i problemformuleringen beskrev jeg, at jeg ville undersøge, hvordan de bedste
elever i en udskolingsgruppe arbejder med problemorienteret matematik samt, hvilke særlige tegn, der kan
observeres og beskrives.
Undervisningsforløbet har vist, at de bedste matematikelever i udskolingsgruppen:
1. Forholdsvis let forstår at læse og afkode en relativ abstrakt opgave.
2. Der er en naturlig respekt for hinanden som ligeværdige samarbejdspartnere, og de forstår at tale om,
hvad opgaven handler om. Eleverne er åbne om deres tanker og forslag og er åbne for at diskutere
mulighederne.
3. Der er en tydelig energi og ambition om at ville forstå og ville lykkes.
4. Og eleverne har en optimistisk og selvtillidsfuld tiltro til egne matematikfaglige evner og bidrag i
samarbejdsprocessen.
21

22. 5. Det ligger naturligt for dem, at de skal starte op med at foretage undersøgelser af problemstillingen, og
hvordan en løsningsvej kan se ud. De har en fornemmelse af, at arbejdet og processen skal organiseres.
6. Eleverne har en kreativ indgang illustreret ved, at de bruger forskellige former for undersøgelser og
materialer i undersøgelsen – teoretiske på papir, centikubes, papstavene etc.
7. De har behov at holde abstraktionen i små / mindre bidder. Dette giver sig udtryk i, at eleverne har brug
for at få tydeliggjort delvise konklusioner i et forsøg på at bevare et overblik. Alligevel tabes denne indsats
efterfølgende i andre detaljer. Det er overraskende, at de ikke fastholder delkonklusionerne, og det er lidt
uklart, om eleverne har en helt klar ide om, at de er nødt til at have en struktur for deres arbejde, at de er
nødt til at udvikle en strategi.
8. Eleverne arbejder mindst lige så procesorienteret som resultatorienteret.
9. Eleverne er bevidste om, hvornår de behøver hjælp i undersøgelses- og arbejdsprocessen, og de har
tydeligvis et udbytte af at sprogliggøre deres tanker og forslag, men også behov for at få en klarere
struktur og retning på processen.
Jeg mener, at jeg kan konkludere, at der har vist sig en tydelig adfærd omkring, hvordan den bedste
matematikelever i udskolingen arbejder samt, at disse tegn giver sig udtryk i dels kognitive færdigheder
omkring deres tænkning i at finde strukturer og arbejde på at finde en strategi dels i den psykodynamiske
dimension ved, at eleverne har helt tydelige motivationer og ambitioner om at ville lykkes samt ikke mindst i
den samspilsmæssige dimension, hvor sprogligheden og det respektfulde og ligeværdige samarbejde har
domineret.
Der har samtidig vist sig nogle udfordringer ved at kunne løfte en assimilativ læring til en akkomoderet læring.
Det er forventeligt, at min lærerrolle skal bidrage til denne proces, og at eleverne ikke selvstændigt kan
reflektere og stille de nødvendige udfordrende spørgsmål.
8.0 Afrunding og perspektivering.
Jeg har i indledningen været inde på, at et intentionelt undervisningsdifferentieringsprincip kan tilgodese de
bedste elever i normalklasserne. Samtidig viser ovenstående forløb, at disse elevers udbytte kommer til sin ret
i et særskilt forløb, hvor deres kognitive evner, sproglighed, matematikfaglighed samt lyst og ambition kan
mødes i en demokratisk dannende proces.
Fra politisk side bliver der sat fokus på eliteklasser /-skoler. Hvordan udfordrer dette enhedsskolens ideal, og
den demokratisk dannelsesproces – i det senmoderne? Muligheden for en ændret holddannelse tilgodeser
forskellige homogene elevgruppers behov, og er umiddelbart inden for lovens rammer og intensioner; men vil
dette bidrage til skabe en eliteorientering, og i stigende grad en generel orientering mod at sortere, opdele,
disciplinere og individualisere eleverne?
22

23. 9.0 Kilder.
1. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen. Teori og praksis – en fagdidaktik.” Gyldendal
2005.
2. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen 1 – Kultur, kundskab og kompetence”. Gyldendal
2006.
3. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen 2 – Kultur, kundskab og kompetence”. Gyldendal
2006.
4. Christensen, Hans Jørgen: ”Didaktik og pædagogik. At navigere i skolen – teori og praksis.” Gyldendals
Lærerbibliotek 2007.
5. Collin, Finn: ”Socialkonstruktivismen – et erkendelsesteoretisk og ontologisk standpunkt.” Kvan, nr. 54,
august 1999.
6. Fælles Mål, Faghæfte nr. 12 – Matematik. Undervisningsministeriet 2003.
7. Illeris, Knud: ”Læring”. Roskilde universitetsforlag 2007.
8. Kristensen, Hans Jørgen Didaktik og pædagogik – at navigere i skolen. Gyldendals Lærerbibliotek 2007.
9. Kompetencer og matematiklæring. Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark
Pixi-udgave - KOM-arbejdsgruppen. IMFUFA, RUC Juni 2002.
10. Nordahl, Thomas: Eleven som aktør. Hans Reitzels forlag, 2002.
11. Lov om folkeskolen (LBK nr. 1049 af 28/08/2007).
12. Tønnesvang, Jan: Relationer i skolen, 2006: ”Selvet og den psykologiske ilt i undervisningens relationer.”
13. Rasmussen, Jens: Modernitetsforståelse, s. 13 – 30. ”Socialisering og læring i det refleksivt moderne”.
Unge pædagoger, 1996.
14. Winsløw, Carl: ”Didaktiske elementer – en indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik.”
15. Skovmose, Ole og Blomhøj, Morten (red): ”Kan det virkelig passe?”
16. KVAN, nr. 75, august 2006: ”Undervisningsdifferentiering.”
17. Krogh-Jespersen, Kirsten: Om undervisning – en bog til almen didaktik. Forlaget Klim, 2006.
23

24. 10.0 Bilagsoversigt.
Bilag 1:
Invitationsbrevet til eleverne inden forløbet startede.
Bilag 2:
Resultatark over elevernes egen forventning inden forløbet startede, vurdering af de enkelte moduler samt
slutvurdering.
Bilag 3:
Teksten som oplæg til, at eleverne kan evaluere de enkelte moduler.
Bilag 4:
Skematisk oversigt over undervisningsforløbet.
Bilag 5:
Indledende figurøvelse.
Bilag 6:
Omformning af tekstproblem til matematisk udtryk.
Bilag 7:
Hjælpearket i forbindelse med ”Kryds og bolle” eksperimentet.
24

25. Bilag 1: Invitationsbrev
Valgfag: Matematikgrublerier.
Hvad handler disse grublerier om?
I har sikkert en god fornemmelse af, hvad matematik går ud på. På Præstemoseskolen undervises der i faget
matematik efter et bogsystem, der hedder Matematiktak.
Når jeg taler om matematikgrublerier handler det stadig om matematik. Men i stedet for, at vi skal ”regne”
matematik, så skal vi også bruge meget af tiden på at kommunikere om matematik. Hvad vil det egentlig sige?
Når vi/I står med en opgave, en problemstilling, en slags gåde eller andet, hvor der er et indhold af matematisk
tænkning, så er vi nødt til at tænke os godt om. Vi er også ofte nødt til at spørge andre, hvad de mon tænker.
Når vi hører deres svar, så giver det en mulighed for at tænke over sit eget svar igen … og så videre!
”Kan jeg lære matematik på denne måde?”
Der er meget, der tyder på det! Vi har mulighed for at lære mere eller lære bedre ved at tale om det vi tænker,
det vi vil forstå og lære eller det vi ønsker at lære.
”Hvilken matematik og hvilke grublerier skal vi så arbejde med?”
Man kunne fristes til at blive nervøs for, at ens evner ikke slår til, at man ikke kan matematik nok, at man ikke
tror på, at man kan ”tale” matematik samt andre forbehold. Hele øvelsen i valgfaget går ud på, at vi skal øve os
i det. Det går ud på, at vi skal præsenteres for, tænke over, skrive om, fortælle om samt blive enige om,
hvordan et problem eller en opgave kan løses eller kan forstås. Lyder det indviklet? Måske en smule. Det kan
du gruble videre over til vi mødes den første gang.
Hvad mere …?
Nu har jeg beskrevet lidt indledende. Jeg har samtidig nogle forventninger. Mine forventninger til, at I får et
godt forløb i valgfaget er:
 I møder til tiden. Vi har kun 10 lektioner i alt, og de små forsinkelser vil være unødigt forstyrrende.
 Da I selv har valgt dette valgfag, har jeg en forventning om, at I ønsker at lære samt er motiveret.
 At vi får det sjovt!
Inden valgfaget starter!
Jeg har en interesse i at lære noget af dette valgfagsforløb sammen med jer. Til støtte for dette arbejde har jeg
brug for, at I svarer på et par spørgsmål. Spørgsmålene er ikke en test eller prøve. Det vigtige er dels, at du
svarer på spørgsmålene, og at du svarer så ærligt som muligt – altså uden at give svar, som du egentlig godt
ved ikke holder …! Dine svar holdes anonyme og skal kun bruges af mig.
På forhånd tak for din besvarelse, og velkommen til valgfaget Matematikgrublerier efter nytår!
Bedste hilsner Klavs
25

26. Spørgsmål i forbindelse med valgfaget:
1. Hvis du skal formulere en (eller et par) kort sætning om, hvorfor du har valgt
netop dette valgfag, hvad vil du så skrive?:
2. Hvis du kort skal angive dit faglige niveau i matematik, er du så:
a. Under middel i forhold til dine klassekammerater? ______
b. Omkring middel i forhold til dine klassekammerater? ______
c. Over middel i forhold til dine klassekammerater? ______
26

27. Bilag 2: Resultatark Hvad betød mest for dig i disse lektioner?
1) tænke? 2) snakke sammen? 3) forståelse?
Slutevaluering (skriftkort + mundtlig
Årsag til valg (kort skriftligt inden start) U2 U3 U4 U5 U6
fremlæggelse)
Forventer at det kan blive sjovt at møde Det har været skægt. Vidste ikke, at matematik
2 3 2 2 2
nogle andre matematikproblemer også kunne være sjovt!
Mangler udfordring i Tiktak … det er nogle OK … det her var lidt sværere, og det var fint.
2 3 1 1 -
gange for nemt (opsøgt efter forløbet sluttede)
Det var anderledes end jeg havde forestillet
Det der grubleri lyder spændende … kan
2 3 2 2 - mig, men det var sjovt! (opsøgt efter forløbet
godt lide sudoku
sluttede)
Man kan aldrig blive klog nok … og Det var lige lidt svært i starten, og jeg er ikke
2 3 3 3 3
matematik er spændende helt sikker på, at jeg forstod opgaven …
Ikke sikker … men tror det bliver Det har været anderledes, men også svært
2 1 2 1 2
anderledes spændende nogle gange
Jeg vil bare være god til matematik! 2 1 1 - 1 Godt! Noget af det var lidt svært …
Håber jeg også kan lære noget af de andre
2 2 2 2 2 Jeg har lært nogle nye ord og spil
på holdet!
Ikke noget specielt …! Det bliver godt tror Bedre end forventet. Specielt det med
2 3 3 3 2
jeg! papirtårnene.
Sjovt og godt! … lærte mest i gruppen med de
Udfordring! Håber at lære noget! 1 1 1 2 2
andre
Man kan ikke mærke forskel på 7. eller 8.
Jeg synes ikke man kan blive for god til
klasse. Vi er lige gode ... synes jeg. Der har
matematik … og så tror jeg det er vigtigt at 2 2 2 3 2
været mindre udenomssnak end i de andre
kunne lære noget fra 8. klasserne
matematiktimer.
Sjov måde at lære matematik på - vi har også
Jeg synes bare det er sjovt! 2 2 2 3 2
brugt meget tid på gruppearbejde
Ja … jeg vil bare gerne være dygtig … og Jeg ved ikke om jeg har lært mere … jeg har nok
2 3 2 3 2
det tror jeg, at dette hold kan hjælpe med lært noget … altså noget andet …
Jeg vil bare lære noget mere matematik! 1 3 2 3 2 Jeg er blevet bedre til at forstå en formel
Ikke nogen speciel årsag … lød spændende
2 1 2 3 2 Det har været godt … det har været anderledes
ift det andet
Kunne godt bruge mere tid på noget af det …
Nye måder at lære matematik på 2 1 1 - 2
du kommer for hurtigt med resultatet …
Jeg synes matematik er sjovt! Jeg kan også Det kunne være fint hvis man havde sådan
2 3 3 2 2
lide at løse problemer! noget en gang imellem synes jeg
Jeg synes altid det er spændende at løse et Måske ikke så meget grubleri … det var mere
problem, og det lyder "grublerier" til at 2 2 3 3 2 formler og ligninger vi fandt … godt at kunne
indeholde tale sammen om de ting vi fandt i spillene …
Jeg savner bare noget mere udfordring i Det var sjovt … jeg kan godt se, at det handler
matematiktimerne. Det her kan måske - 3 3 1 1 om matematik … men hvad skal vi bruge det
give noget?! til?
Samlet med "1". pr modul 2 5 4 3 2 16
Samlet med "2" pr. modul 15 4 9 5 13 46
Samlet med "3" pr. modul 0 9 5 8 1 23
27

28. Bilag 3: Evalueringstekst i forbindelse med de enkelte moduler
Evalueringspunkter 1-3:
Hvordan er lektionerne gået i dag?
Hvad mener du har været dominerende eller betydet mest for dig i disse
lektioner:
1) Har du haft mest ud af at kunne sidde ”for dig selv” i gruppen og
tænke problemet, løsningen eller andet igennem?
2) Har du haft mest ud samarbejdet samt at kunne tale med de andre i
gruppen, lytte til deres svar og så videre?
3) Har du haft mest ud af, at du eller gruppen fandt ud af resultatet,
løste problemet eller opgaven?
28

29. Bilag 4: Undervisningsforløbet i skematisk form
UV forløb: Matematikgrublerier
Tidspunkt: Uge 2 – 6 i 2009.
Målgruppe: 18 elever i et valgfag for 7.kl. – 8.kl.
CKF´er: Kommunikation og problemløsning: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har
tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at:
 forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk
 problemformulere, beskrive fremgangsmåder og angive løsninger på forståelig vis, såvel
skriftligt som mundtligt
 benytte eksperimenterende og undersøgende arbejdsformer og formulere resultater af den
faglige indsigt, der er opnået
 vælge hensigtsmæssig faglig metode, arbejdsform og redskab ved løsning af
problemstillinger af tværgående art
 samarbejde med andre om at løse problemer ved hjælp af matematik
 anvende systematiseringer og matematiske ræsonnementer
 benytte variable og symboler, når regler og sammenhænge skal bevises
 benytte geometrisk tegning til at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer
 forstå, at valget af en matematisk model kan afspejle en bestemt værdinorm
 veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske
problemstillinger.
Materialer: Uden bogsystem. Eget materiale medbragt.
 Indledende indbydelse fra brochuren over valgfag.
 Invitationsbrev samt spørgsmål.
 Ark med figurer til indledende arbejde.
 Cuisenaire stave, udklippede ”stave” i karton fra 1cm til 20cm,
o Alternativt at bede eleverne om at tegne stave i et skema
o Alternativt at de selv udklipper stavene i karton.
 Kassen med centikubes.
 Excel ark til ”kryds- og bolle”.
29

30. Modulplan: Arbejdsform / hvordan: Indhold: Evaluering:
Modul 1 (uge 2): Lærer: Kort læreroplæg om det Individ- og gruppe-
Dannelse af 4-5 grupper generelt anvendelige i fokus.
MÅL: med blandede matematik som et værktøj
Etablering af sam- elevforudsætninger. til at forstå samt kunne Afsluttende individuel
arbejdsform som et deltage i en generel debat. vurdering (1-3).
middel til en forståelse og Frie gruppediskussioner,
indsigt i en demokratisk hvor undersøgende, Teori: ”Model af Tegn der observeres:
dannelse. konstruerende og virkeligheden”. - God stemning, grin,
argumenterende arbejde i samtale.
 Samarbejde med grupperne er det styrende. Kort fagligt oplæg på - Alle elever i en
andre om at løse modulets opgaver. gruppe deltager.
tekst-problemer ved Opsamlende plenumdialog - Frustrationer, og
hjælp af matematik. med gruppernes enige Geometriske figurer på ark. spørgsmål mellem
forslag. elever.
Tekststykker m.h.p.
opstilling af ligning. Rettighed og pligt til at
delagtiggøre gruppen i
Eleverne og grupperne sine tanker og fore-
arbejder ud fra udleverede stillinger om mulig-
materialer. heder for løsning.
Arbejde med former,
geometriske figurer samt
forholde sig kritisk til
tekster med informationer,
som indeholder og kan
udtrykkes matematikfagl.
Modul 2 (uge 3): Lærerintroduktion om Opsamling fra sidst – kort. Individ- og gruppe-
dagens formål samt ”Vi ser noget af det fokus.
MÅL: øvelsen. samme, men hvad?”
Udvikling af elevens Mønstre, det palindrome! Afsluttende individuel
indsigt i samt synliggøre Gruppernes eksperi- (eks. kvadratet på 11, 111, vurdering (1-3).
værdi af et ligeværdigt menterende arbejde med 1111, etc.)
samarbejde. øvelsen. Lav grad af Observation af, hvordan
Styrke den personlige lærerinvolvering. Lærer: arbejder eleverne samt
integritet gennem To lige høje tårne øvelsen hele gruppen i en
udvikling og brug af en Eleverne skal afprøve introduceres. procesorienteret form
dialogisk kompetence. enighed og uenighed med at anlægge en
gennem at lytte og Afkodning af mønstre, strategi samt at
 Anvende systematise- argumentere for egne gentagelser, sammen- fastholde et overblik.
ringer og matema- fortolkninger. hænge samt, hvordan
tiske ræsonnementer. gruppen kan se det samme
 Benytte eksperimen- Plenumdialog og samt blive enige om at
terende og under- opsamling. Optag af udtrykke dette mundtligt
søgende arbejds- elevudtryk samt brug af og matematisk.
former og formulere deres formuleringer.
opnåede resultatet.
Modul 3 (uge 4): Gruppearbejder, hvor Opsamling på To-lige-høje- Individ- og gruppe-
eleverne fra at afprøve skal tårne øvelsen fra sidst. fokus.
30

31. MÅL: fremkomme med Hvordan kommer vi
Eleverne skal erfare og systematiseringer og en videre?! Afsluttende individuel
udvikle arbejdsmetoder / mulig formelskrivning.  Hvad forstår vi nu med vurdering (1-3).
en strategi så de gennem at kunne skrive noget
erkendelse og fantasi får Gruppediskussioner på en generel form i
tillid til egne muligheder, opsamles i en plenum- matematik?
stillingtagen og handlen. diskussion. Grupperne skal
forelægge deres Flytninger og Hop eksem-
 Veksler mellem prak- tanker/forslag/ plet startes op (”Kryds og
tiske og teoretiske ideer/løsninger. bolle bytter plads”).
overvejelser, ved løs-
ningen af matema- Lektie: hvordan kan vi finde
tisk problemstilling. mønster i 3, 4, 5 kryds/
 Eksperimenterende bolle?
og undersøgende
arbejde frem mod Udvide den strukturelle
formulering af et tankegang i forhold til at nå
resultat frem til et generelt udtryk.
Modul 4 (uge 5): Plenumdialog vedrørende Afrunding af kryds/bolle - Individ- og gruppe-
afrunding fra sidst. Optag hvad handler det om? fokus.
MÅL: af elevudtryk samt brug af
Afprøvning af og deres formuleringer. Plenumoplæg: Afsluttende individuel
anvendelse af elevens ”Renter og penge” begreb vurdering (1-3).
erfarede handlekompe- Elevernes argumentation introduceres.
tence samt bidrag til om afkodning af mønstre,
demokratiske processer, gentagelser, sammen-
hænge samt, hvordan
 Benytter variable og eleven kan udtrykke dette
symboler regler og mundtligt eller matema-
sammenhænge skal tisk, og få resten af
bevises. gruppen overbevist.
Modul 5 (uge 6): Gruppeaktivitet med Renteformlen afsluttes og Individ- og gruppe-
videreforsendelse af konkretiseres ud fra fokus.
MÅL: ”kapital + rente”. gruppernes egne
Fremme en elevforståelse observationer. Afsluttende individuel
af, hvordan ”kommuni- Hvilken struktur udvikles vurdering (1-3).
kation og problem- renten efter? Afsluttende opsamling på
løsning” både har en Kan vi opskrive det? UV-forløbet og koblingen Samlet vurdering af UV-
matematikfaglig Husk tid til opsamling og mellem matematik og forløbet i få ord.
anvendelse i en og har en slutevaluering. virkelighed.
generel betydning for en
udviklingsorienteret og Afsluttende evaluering.
demokratisk dannelses-
proces.
31

32. Bilag 5: Øvelse – geometriske figurer
Matematikgrublerier – øvelse 1:
1. Hvilke af ovenstående figurer kender I en skrivemåde at udregne et areal eller en omkreds på?
2. Hvis vi ikke en skrivemåde, kan vi så formulere en – og hvilken?
32

33. Bilag 6: Øvelse - omskrive tekster til matematisk udtryk
Matematikgrublerier: Kan vi skrive tekst til matematik? Hvordan?
1. En dreng er x år gammel. Hans søster er 5 år ældre. Til sammen er de 35 år. Hvor gammel er drengen?
Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?
2. Eleverne fra 7.b skal på klasse tur. De deles om at bære maden, sodavand samt forskelligt udstyr. Eleverne
bærer 2 kg hver, og klasselæreren bærer 3 kg. I alt har de 45 kg med at bære på. Hvor mange elever er der
i 7.b? Hvordan kan I opskrive udregningen matematisk?
3. Cecilies kat har fået unger hele to gange i år. Hun har valgt at forære 4 unger væk i alt. De resterende
unger solgte hun for 10 kr. stykket. Cecilie fik i alt 30 kr. ved salget. Hvor mange unger fik Cecilies kat dette
år? Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?
4. Jesper kender et taltrick: Jesper tænker på et tal. Hvilket tal tænker Jesper på, hvis det dobbelte af tallet er
7 større end 13? Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?
Nedskriv kort, hvad du synes var nemt i denne øvelse samt, hvad du synes var svært ved disse øvelser?
33

34. Bilag 7: Øvelse – ”Kryds og bolle” skal bytte plads
Matematikgrublerier: Kryds og bolle skal bytte pladser.
O O O X X X
34