Chương 1.pdf

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Số tiết: 30 tiết = 2 tín chỉ
PHÂN PHỐI CHƢƠNG TRÌNH
Giảng viên: PGS. TS. Nguyễn Văn Kính
Email: nguyenvankinh58@gmail.com
ĐT: 0914164046
Chương 1: Ma trận – Định thức (9t)
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính (5t)
Chương 3: Không gian vectơ (9t)
Chương 4. Ánh xạ tuyến tính (7t)

ĐÁNH GIÁ HỌC PHẦN
1 – Đánh giá quá trình: 30%
a. Chuyên cần + tham gia giải bài tập trên lớp.
b. Tiểu luận: Tên đề tài “Hệ thống Bài tập Đại số
tuyến tính”. Thực hiện như sau:
Mỗi nhóm phân công các thành viên giải các bài
tập từ Chương 1- 4, nộp cho GV một quyển, vào
tuần áp chót của HK 2.
Bảng phân công làm tiểu luận
2 – Đánh giá cuối kỳ: Thi trắc nghiệm (Tỉ lệ: 70%)
TT Họ và tên
SV
Mã số
SV
Ch 1 … Ch 4 NX
1 Nguyễn A … 1.1 4.2 100%

TÀI LIỆU THAM KHẢO
• Tài liệu chính:
• 1. Nguyễn Văn Kính, Bài giảng Đại số tuyến tính, 2023
(photo)
• 2. Nguyễn Văn Kính (chủ biên), Toán cao cấp A2/C2, Trường
ĐH Công nghiệp Thực phẩm TP. HCM, 2021
• Tài liệu tham khảo khác:
• 3. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp, Tập 1,
NXBGDVN, 2012 (TV)
• 4. Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán cao cấp, Tập 1,
NXBGDVN, 2012 (TV)
• 5. Nguyễn Văn Kính, Hướng dẫn giải bài tập Đại số tuyến tính
• 6. Nguyễn Quốc Tiến (chủ biên), Bài tập Toán cao cấp A2/C2
(TV).

NỘI DUNG CHÍNH
1.1. Ma trận
1.1.1. Các định nghĩa
1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1.1.3. Một số tính chất của các phép toán trên
ma trận
1.1.4. Phép biến đổi sơ cấp ma trận
1.1.5. Ma trận bậc thang
1.1.6. Hạng của ma trận
Chương 1.
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

Chương 1.
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
1.2. Định thức
1.2.2. Một số tính chất của định thức
1.3. Ma trận nghịch đảo
1.3.1. Ma trận nghịch đảo
1.3.2. Một số tính chất của ma trận khả nghịch
1.3.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biên đổi sơ
cấp
1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp
định thức

 Chƣơng 1. Ma Trận – Định Thức
1.1. Ma trận
Định nghĩa 1.1.1. Ma trận A cấp m n trên tập số thực (hoặc
tập số phức ) là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng (hoặc
dòng) và n cột được biểu diễn như sau
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
1,
...
( ) , 1, ;
n
n
m n
m m mn
ij
a a a
a a a
A i j n
a a a
a m
trong đó ij
a (hoặc ij
a ) là phần tử của ma trận A nằm ở giao
điểm dòng i và cột .
j

 Chƣơng 1. Ma trận – Định thức
Khi ,
m n ta nói A là ma trận vuông cấp .
n
Vậy ma trận vuông cấp n có dạng
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
( )
...
n
n
ij n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a

+ Ma trận chỉ có một dòng và n cột được gọi là ma
trận dòng.
+ Ma trận có m dòng và một cột được gọi là ma trận
cột.
+ Ma trận không cấp m n là ma trận cấp m n , có tất
cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu là O . Khi cần chỉ rõ
cấp của ma trận ta kí hiệu .
m n
O
+ Tập hợp các ma trận cấp m n trên , kí hiệu là
( ).
m n
M
+ Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên , kí hiệu ( ).
n
M
+ Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các ma trận trên tập số thực
.

Ví dụ 1.1.1. Ma trận
1 0 2
1 2 0
B có cấp là 2 3.
Ví dụ 1.1.2. 3 2 2 2
0 0
0 0
0 0 ;
0 0
0 0
O O lần lượt là ma trận không cấp
3 2 và ma trận không vuông cấp 2.

Định nghĩa 1.1.2. Cho ma trận vuông ( ) .
ij n
a
Đường thẳng đi qua các phần tử
11 22 33
, , , ..., nn
a a a a được gọi là đường chéo
chính của ma trận .
A Đường thẳng đi qua các phần
tử 1 2( 1) 3( 2) 1
, , , ...,
n n n n
a a a a được gọi là đường
chéo phụ của ma trận A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a

1 1 7
6 2 0
4 0 3
A
là ma trận vuông cấp 3. Đường thẳng đi qua các phần tử 1, 2, 3 là
đường chéo chính. Đường thẳng đi qua các phần tử 7, 2, 4 là
đường chéo phụ của .
A

Định nghĩa 1.1.3. a) Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông
có các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.
b) Ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới được gọi chung
là ma trận tam giác.
c) Một ma trận vuông vừa là tam giác trên và vừa là tam giác dưới
được gọi là ma trận chéo. Nói cách khác, ma trận chéo là ma trận
vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng 0.
Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị cấp
n
được kí hiệu là
d) Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1
được gọi là ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là .
n
I

Ví dụ 1.1.4.
1 2 3
0 2 4
0 0 1
A là ma trận tam giác trên.
1 0 0
0 2 0
5 4 1
B là ma trận tam giác dưới.
Ví dụ 1.1.5.
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A là ma trận chéo.

Ví dụ 1.1.6.
Các ma trận
2
1 0
,
0 1
I 3
1 0 0
0 1 0 ,
0 0 1
I 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
lần lượt là ma trận đơn vị cấp 2, 3, 4.

Định nghĩa 1.1.4. Ma trận vuông ( )
ij n
A a được gọi là ma trận đối
xứng nếu
, , 1, .
ij ji
a a i j n
Như vậy, ma trận đối xứng có các phần tử đối xứng qua đường
chéo chính đều bằng nhau.
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
là ma trận đối xứng.

1.1.2. Các phép toán trên ma trận
1.1.2.1. Ma trận bằng nhau
Định nghĩa 1.1.5. Hai ma trận cùng cấp ( )
ij m n
A a và
( )
ij m n
B b được gọi là bằng nhau nếu các phần tử cùng vị trí bằng
nhau và kí hiệu là .
A B
Vậy
, 1, ; 1, .
ij ij
A B a b i m j n
Ví dụ 1.1.8. Cho
1 2 1 2
, .
2 1
A B
a a b
Khi đó, A=B khi và chỉ khi hay
2, 1
a a b 2, 1.
a b

1.1.2.2. Phép nhân một số với ma trận
Định nghĩa 1.1.6. Cho và ma trận ( ) .
ij m n
A a Tích của
số với ma trận A là một ma trận, kí hiệu ,
A được xác định bởi
( ) .
ij m n
A a
Ma trận 1A được viết gọn là A và được gọi là ma trận đối của
.
A
Ví dụ 1.1.9. Cho
1 2 3
2 1 0
A . Khi đó, ta có
1 2 3 2 4 6
2 2
2 1 0 4 2 0
A và
3 6 9
3 .
6 3 0
A

1.1.2.3. Phép cộng, trừ hai ma trận
Định nghĩa 1.1.7. Cho hai ma trận cùng cấp
( )
ij m n
A a và ( ) .
ij m n
B b
a) Tổng của A và B là một ma trận ( ) ,
ij m n
C c kí hiệu ,
A B được
xác định bởi
, 1, , 1, .
ij ij ij
c a b i m j n
b) Hiệu của A và B là một ma trận ( ) ,
ij m n
D d kí hiệu ,
A B
được xác định bởi
, 1, , 1, .
ij ij ij
d a b i m j n

Ví dụ 1.1.10. Cho các ma trận
1 2 3 1 1 1
,
2 3 1 0 1 0
A B và
1 3 1
.
0 4 0
C Khi đó, ta có
0 3 4
;
2 4 1
A B
2 3 2
2 .
2 4 1
A B C

1.1.2.4. Phép nhân hai ma trận
Định nghĩa 1.1.8. Cho ( )
ij m n
A a và ( ) .
ij n p
B b Tích của hai
ma trậnA và B là một ma trận ( ) ,
ij m p
C c kí hiệu ,
AB được xác
định bởi
1 1 2 2
... , 1, , 1, .
i i j i j in nj
j
c a b a b a b i m j p
Cách xác định ij
c có thể hình dung bởi sơ đồ
1
2
1 2 ...
j
j
ij i i in
nj
b
b
c a a a
b
,
Nhận xét : Để thực hiện được tích AB phải có số cột của A bằng
số hàng của B.

Khi A là ma trận vuông, luỹ thừa n của A là
tích của n lần ma trận A và kí hiệu là .
n
A Ta quy
ước 0
.
n
A I
Ví dụ 1.1.11. Cho
1 2
3 0 ,
2 4
A
1 2 3 4
.
2 1 0 3
B
Khi đó, ta có
3 2 2 4 3 4
( ) ,
ij
A B C c
với các phần tử ij
c được xác định như sau

11
1
1 2 1.1 2( 2) 3.
2
c 12
2
1 2 1.2 2.1 4.
1
c
Thực hiện tương tự như trên, ta có
13
3
1 2 1.3 2.0 3.
0
c 14
4
1 2 1.4 2.3 10.
3
c
21
1
3 0 ( 3).1 0.( 2) 3
2
c
22 23 24 31 32 33 34
6, 9, 12, 6, 8, 6, 20.
c c c c c c c
Vậy
3 4 3 10
3 6 9 12 .
6 8 6 20
AB

1 5 2
1 2 3
, 0 1 0 .
3 1 0
3 2 4
A B
8 1 14
3 14 6
AB
Khi đó, ta có
Nhưng không tồn tại BA

Nhận xét 1.1.1. + Phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực
hiện được khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B.
+ Nói chung, AB BA.
+ Nếu ,
AB BA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán với
nhau.
1 0
1 1
A và
1 2
.
0 1
B Khi đó, ta có
1 2 3 2
1 3 1 1
.
AB BA

SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx-570ES ĐỂ TÍNH TOÁN
TRÊN MA TRẬN – ĐỊNH THỨC.
1:Tính ma trận
Nhập ma trận: Mode 6(matrix) 1(mat A), sau đó bạn
chọn số dòng, số cột cho ma trận A rồi nhập hệ số cho
ma trận. Nếu các bạn thao tác trên 2 ma trận (như cộng,
trừ, nhân ma trận chẳng hạn),thì sau khi nhập ma trận A
xong, các bạn tắt bằng phím on hoặc AC. Tiếp tục
nhập ma trận B bằng phím Shift 4(matrix) 1(dim)
2(mat B) và cứ lần lượt như trên…xong được bước
nhập ma trận.
Giờ chỉ còn là nhận kết quả thôi.

Cộng, trừ, nhân, các bạn cũng chỉ cần gọi tên ma trận
như trên (Shift 4(matrix) rồi chọn 3(matA), hoặc
4(matB), hay 5(matC)) rồi sử dụng các phép tính như
toán bình thường)
Ví dụ: Giải phương trình AX=B.
Các bạn sẽ nhập ma trận A, ma trận B, sau đó chỉ cần
bấm phép tính matA x-1
x matB = là có được kq X

1.1.2.5. Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 1.1.9. Chuyển vị của ma trận A là
ma trận có được từ A bằng cách viết các dòng của
ma trận A theo thứ tự thành cột. Ký hiệu chuyển vị
của ma trận A là t
A hoặc .
T
A
1 1 4
.
1 2 1
A Khi đó,
1 1
1 2 .
4 1
t
A

1.1.3. Một số tính chất của các phép toán trên ma trận
Định lí 1.1.1. Cho , ( )
m n
A B M và , . Khi đó, ta có
1) .
A B B A
2) ( ) ( ).
A B C A B C
3) .
m n m n
O A A O A
4) ( ) .
m n
A A O
5) ( ) ( ).
A A
6) ( ) .
A B A B
7) ( ) .
A A A
8) 1 , 0. .
m n
A A A O

Định lí 1.1.2. Giả sử các phép nhân và phép cộng hai ma trận thực
hiện được. Khi đó, ta có
1) ( ) .
A B C AB AC
2) ( ) ( ) .
A BC AB C
3) ( ) .
t t t
AB B A
4) ( ) ( ) ( ), .
AB A B A B
Chứng minh. Ta chứng minh 3) các nội dung còn lại dành cho bạn
đọc (xem như bài tập).
Giả sử ( ) , ( ) .
ij m n ij n p
A a B b Khi đó ( ) ,
ij m p
AB C c
trong đó
1
.
n
ij ik kj
k
c a b

Mặt khác ta có
( ) , ( ) , ( ) .
t t t
ij n m ij p n ij n m
A a B b C c
Bây giờ thực hiện phép nhân
( ) ,
t t
ij p m
B A D d với
1
.
n
ij ik kj
k
d b a
Chú ý rằng
1
, , ,
n
ij ji ij ji ij ji jk ki
k
a a b b c c a b thay tất cả vào
ij
d ta được
1 1 1
.
n n n
ij ik kj ki jk jk ki ji ij
k k k
d b a b a a b c c
Vậy
( ) .
t t t t
B A C AB

1.1.4. Phép biến đổi sơ cấp ma trận
1.1.4.1. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Loại 1: Đổi chỗ hai dòng cho nhau, kí hiệu:
.
i j
d d
A A
Loại 2: Thay dòng i bằng c lần dòng ( 0),
i c
kí hiệu:
.
i i
d cd
A A
Loại 3: Thay dòng i bằng dòng i cộng c lần
dòng j ( 0, ),
c i j kí hiệu:
.
i i j
d d cd
A A

Ví dụ 1.1.15. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A . Khi đó,
2 2
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 8 10 12 .
7 8 9 7 8 9
d d
A A
2 2 1
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 6 9 12 .
7 8 9 7 8 9
d d d
A A
2 1
1 2 3 4 5 6
4 5 6 1 2 3 .
7 8 9 7 8 9
d d
A A

1.1.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp trên cột
Tương tự như phép biến đổi sơ cấp dòng, ta
cũng có phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma
trận, bằng cách chỉ việc thay chữ ‘‘dòng’’ bởi chữ
‘‘cột’’ ở phép biến đổi sơ cấp dòng. Dễ thấy, biến
đổi sơ cấp cột ma trận A chính là biến đổi sơ cấp
dòng trên ma trận .
t
A

1.1.5. Ma trận bậc thang
Định nghĩa 1.1.10. Ma trận ( ) ( , 2)
m n
A M m n
được gọi là ma trận bậc thang dòng nếu:
i) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với
dòng khác 0;
ii) Trên hai dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu
tiên (tính từ bên trái sang) của dòng dưới nằm vào
bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng
trên.
Nhận xét: Mọi ma trận đều có thể được biến
đổi sơ cấp dòng để đưa về ma trận bậc thang.

Ví dụ 1.1.16. 1) Các ma trận sau đây là ma trận
bậc thang
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3
0 1 4 5 0 3 6
0 5 6 ; ; .
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
A B C
2) Biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng
bậc thang
2 2 1 3 3 2
3 3 1 4 4 2
4 2
7 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
.
7 8 9 0 6 12 0 0 0
0 1 2 0 1 2 0 0 0
d d d d d d
d d d d d d
A

1.1.6. Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.1.11. Cho ( )
m n
A M và B là ma trận bậc thang
nhận được từ A bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi
đó, số dòng khác không của B được gọi là hạng của ,
A kí hiệu là
( )
rank A hoặc ( ).
r A
Ví dụ 1.1.18. Tìm hạng của ma trận
1 2 3
4 5 6 .
3 3 9
A
Giải. Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A
về dạng bậc thang

2 2 1
3 3 1
3 3 2
4
3
3
1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18
1 2 3
0 3 6 .
0 0 0
d d d
d d d
d d d
A
A
Ma trận bậc thang có hai dòng khác 0 nên
A ( ) 2.
rank A

1.2. Định thức
Định nghĩa 1.2.1. Cho 11 12
21 22
a a
A
a a
là ma trận vuông cấp 2.
Định thức của A là một số thực, được kí hiệu và xác định như sau
11 12
11 22 12 21
21 22
.
a a
A a a a a
a a

Định nghĩa 1.2.2. Cho ma trận vuông cấp 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
.
A
a a a
a a a
a a a
Định thức của A là một số thực, được kí hiệu và xác định như sau
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 1 2 1 3
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( ).
a a a
A a a a
a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a

Định nghĩa 1.2.3. Cho A là ma trận vuông cấp n
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Định thức của ma trận A là một số thực, được kí hiệu và xác
định như sau
11 12 1
21 22 2
1 1
1 2
1
...
...
,
...
n
n
n
j j
n n nn
j
a a a
a a a
A a A
a a a
trong đó 1
1
( 1) (1, ) ,
j
j
A A j với (1, )
A j là ma trận có được từ A
bằng cách bỏ dòng 1 và cột .
j Giá trị 1j
A được gọi là phần phụ đại
số của phần tử 1
.
j
a

Ta thường gọi định thức của ma trận cấp n là định thức cấp .
n
Nếu 11
( )
A a là ma trận chỉ có một dòng và một cột thì người ta
quy ước
11
.
A a
Định thức của ma trận A còn được kí hiệu là det .
A Khi đó, ta có
1
1
1
det ( 1) det (1, ).
n
j
j
j
A a A j
Ví dụ 1.2.1. 1) Cho
1 2
.
3 1
A Khi đó
1 2
det 1 1 2 ( 3) 7.
3 1
A

Ví dụ 1.2.2. Cho
1 1 2 2
1 2 1 2
.
2 1 2 1
2 2 2 1
A Tính det .
A
Giải. Ta có các phần phụ đại số là
1 1
11
2 1 2
( 1) 1 2 1 3,
2 2 1
A 1 2
12
1 1 2
( 1) 2 2 1 0,
2 2 1
A
1 3
13
1 2 2
( 1) 2 1 1 3,
2 2 1
A 1 4
14
1 2 1
( 1) 2 1 2 0.
2 2 2
A
Theo định nghĩa định thức, ta được
4
1 1
1
det 1.( 3) 1.0 2.3 2.0 3.
j j
j
A a A

Định lí 1.2.1. Cho A là ma trận vuông cấp n
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
.
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Khi đó, ta có
11 12 1
21 22 2
1 2
1
...
...
...
n
n
n
ij ij
n n nn
j
a a a
a a a
A a A
a a a
(khai triển theo dòng i ) (1.1)

Chương 1. Ma trận – Định thức
hoặc
11 12 1
21 22 2
1 2
1
...
...
...
n
n
n
ij ij
n n nn
i
a a a
a a a
A a A
a a a
(khai triển theo cột j ), (1.2)
trong đó ( 1) ( , ) ,
i j
i j
A A i j với ( , )
A i j là ma trận có được từ A
bằng cách bỏ dòng i và cột .
j
Nhận xét 1.2.1. 1) Để tính định thức của ma trận A ta có thể khai
triển theo một dòng hoặc một cột bất kì theo các công thức (1.1) hoặc
(1.2) và nên chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0.

2) Để tính định thức cấp 3 ta có thể dùng quy tắc Sarrus như sau:
Viết cột 1 và cột 2 vào tiếp sau cột 3 của định thức. Khi đó, A
bằng tổng các tích trên các đường chéo chính trừ đi tổng các tích trên
các đường chéo phụ
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
Theo quy tắc Sarrus ta được
11 22 33 12 23 31 13 21 32
31 22 13 32 23 11 33 21 12
( )
( ).
A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
Các đường chéo chính
Các đường chéo phụ

Ví dụ 1.2.3. Tính
1 2 3
0 1 2 .
1 2 1
A
Giải. Áp dụng quy tắc Sarrus ta làm như sau:
1 2 3 1 2
0 1 2 0 1
1 2 1 1 2
Vậy
5 ( 7) 12.
A
(-3).1.1+(-2).2.1+0 = -7 1.1.1+2.2.1+0 = 5

1.2.2. Một số tính chất của định thức
Định thức của ma trận vuông có một số tính chất sau đây:
1) det det .
t
A A
2) Nếu đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau thì định thức đổi
dấu.
3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác)
sau khi nhân một số 0
c thì định thức không đổi, tức là
Nếu i i j
d d cd
A A thì det( ) det( ).
A A
4) Ta có thể đưa thừa số chung 0
c ra ngoài định thức, tức là
Nếu i i
d cd
A A thì det( ) det( ).
A c A

5) Cho , ( ).
n
A B M Khi đó det( ) det .det .
AB A B
6) Cho ( ).
n
A M Khi đó, ( ) det 0.
rank A n A
Nhận xét 1.2.2. Từ các tính chất trên ta có nhận xét sau đây:
1) Ma trận có một dòng (hoặc một cột) bằng 0 thì định thức của nó
bằng không.
2) Ma trận có hai dòng hoặc hai cột tỷ lệ nhau thì định thức bằng
không.

Ví dụ 1.2.4. Tính định thức
3 1 1 1
1 3 1 1
.
1 1 3 1
1 1 1 3
Giải. Ta có
1 1 2 3 4
1 1
6 6 6 6
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
1 1 1 1
1 3 1 1 1
6
1 1 3 1 6
1 1 1 3
d d d d d
d d

1 1
2 2 1
3 3 1
4 4 1
1 1 1 1
1 3 1 1 1
6
1 1 3 1 6
1 1 1 3
1 1 1 1
0 2 0 0
6
0 0 2 0
0 0 0 2
2 0 0
6.1. 0 2 0 6.1.2.2.2 48.
0 0 2
d d
d d d
d d d
d d d

Ví dụ 1.2.5. Cho ma trận
1 2 3
4 5 6 .
3 3
A
m
Tùy theo giá trị của
,
m hãy xác định hạng của ma trận .
A
Giải. Ta có
det 1.5. 4.3.3 ( 3).2.6 3.5.( 3) 6.3.1 .4.2
3 27.
A m m
m
 Nếu 9
m thì
1 2 3
4 5 6 .
3 3 9
A

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên A như sau
2 2 1
3 3 1
3 3 2
4
3
3
1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18
1 2 3
0 3 6 .
0 0 0
d d d
d d d
d d d
A
Ma trận cuối cùng trong phép biến đổi đã có dạng bậc thang và có
hai dòng khác không.
Vậy
( ) 2.
rank A
 Nếu 9
m thì ( ) 3.
rank A

Định thức: Ví dụ như các bạn muốn tính định thức ma
trận A, chúng ta sẽ thao tác như sau: Shift 4(matrix)
7(det) Shift 4(matrix) 3(matA) =
Chúng ta sẽ được kết quả định thức ma trận A.

VINACAL 570ES PHUS II (Nhập ma trận vuông cấp 4)
+ Tạo ma trận cấp 4: MODE 6 →1→1: 4x4 NHẬP→ AC
+ Tính định thức cấp 4: SHIFT 4 →7→SHIFT 4 →3→=
+ Tính ma trận nghịch đảo: SHIFT 4 →3→X-1→=
+ Tìm ma trận chuyển vị: SHIFT 4 →7→shift 4→3 7 =

1.3. Ma trận nghịch đảo
1.3.1. Ma trận khả nghịch
Định nghĩa 1.3.1. Cho ma trận ( ).
n
A M Ta nói ma trận A là
khả nghịch nếu tồn tại ( )
n
B M sao cho
.
n
BA AB I
Khi đó, ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của .
A
Định lí 1.3.1. Cho A là ma trận vuông cấp .
n Ma trận nghịch đảo
của A nếu có là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận A được kí hiệu là 1
.
A

1.3.2. Một số tính chất của ma trận khả nghịch
Định lí 1.3.2. Nếu , ( )
n
A B M là hai ma trận khả nghịch thì
1) 1 1
( ) ;
A A
2) 1 1 1
( ) ;
AB B A
3) 1 1
( ) ( ) ;
t t
A A
4) 1 1
1
( ) ,
cA A
c
với 0 .
c

1.3.3. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Định lí 1.3.3. Cho ( )
n
A M là ma trận khả nghịch. Khi đó,
những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành n
I thì chúng
cũng biến n
I (theo thứ tự đó) thành 1
.
A
Theo định lý trên, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
ta tiến hành các bước như sau:

Bước 1: Lập ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
... 1 0 ... 0
... 0 1 ... 0
( | ) .
... 0 0 ... 1
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A I
a a a
Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với ( | )
n
A I để biến
A thành ,
n
I đồng thời khi đó n
I biến thành 1
.
A
Ví dụ 1.1.5.
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A là ma trận chéo.

Giải. Ta có
2 2 1
3 3 1 1 1 3
1 1 2
2d
3
3d 1
3
1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0
1 4 2 0 1 0 0 1 0 1 1 0
1 3 3 0 0 1 0 0 1 1 0 1
1 3 0 3 0 2 1 0 0 6 3 2
0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
d d d
d d d d d
d d
A I
I A
Theo định lí 1.3.3., ma trận nghịch đảo của A là
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A

1.3.4. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp định thức
Định lí sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông là
khả nghịch.
Định lí 1.3.4. Cho A là ma trận vuông cấp .
n Khi đó, A khả
nghịch khi và chỉ khi 0.
A
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử A khả nghịch và ma trận
nghịch đảo của nó là 1
.
A Theo tính chất của định thức ta có
1 1
1.
n
A A AA I
Điều này có nghĩa là 0.
A
Điều kiện đủ: Giả sử 0.
A Đặt ( 1) ( , ) ,
i j
ij
c A i j khi đó
1
A được xác định theo công thức sau đây

11 21 1
1 12 22 2
1 2
1 1 1
( ) .
n
t t
n
ij
n n nn
c c c
c c c
A c C
A A A
c c c
Thật vậy, trước hết vì định thức có hai dòng hoặc hai cột giống nhau
thì bằng 0 nên ta suy ra hai đẳng thức sau:
1 1 2 2
1 1 2 2
,
...
0,
,
...
0,
k i k i kn in
k j k j nk nj
A k i
a c a c a c
k i
A k j
a c a c a c
k j
Do đó
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
0 ... 0
... ...
... ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... 0 0 0
n n
t n n
n n nn n n nn
A
a a a c c c
a a a c c c A
AC
a a a c c c A
.

Tương tự ta cũng có
11 21 1 11 12 1
12 22 2 21 22 2
1 2 1 2
0 ... 0
... ...
... ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
... 0 0 0
n n
t n n
n n nn n n nn
A
c c c a a a
c c c a a a A
C A
c c c a a a A
Vậy
1 1
( ) ,
1 1
( ) .
t t
n
t t
n
C A C A I
A A
A C AC I
A A
hay 1 1
.
t
A C
A

Như vậy, để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A ta có
thể làm theo các bước sau.
Bước 1: Tính det .
A
+ Nếu det 0
A thì ma trận A không khả nghịch.
+ Nếu det 0
A thì ta chuyển sang bước hai.
Bước 2: Tính các giá trị ij
c theo công thức
( 1) ( , ) .
i j
ij
c A i j
Bước 3: Viết ma trận nghịch đảo
1 1
( ) .
T
ij
A c
A

Ví dụ 1.3.1. Dùng phương pháp định thức tìm 1
A của ma trận
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A .
Giải. Ta có det 1
A và
1 1 1 2
11 12
4 2 1 2
( 1) 6; ( 1) 1;
3 3 1 3
c c
1 3
13
1 4
( 1) 1;
1 3
c 2 1
21
3 2
( 1) 3;
3 3
c
2 2 2 3
22 23
1 2 1 3
( 1) 1; ( 1) 0;
1 3 1 3
c c

3 1 3 2
31 32
3 2 1 2
( 1) 2; ( 1) 0;
4 2 1 2
c c .
3 3
33
1 3
( 1) 1.
1 4
c
Do đó
1
6 3 2 6 3 2
1 1
( ) 1 1 0 1 1 0 .
det( ) 1
1 0 1 1 0 1
T
ij
A c
A

Định thức: Ví dụ như các bạn muốn tính định thức ma
trận A, chúng ta sẽ thao tác như sau: Shift 4(matrix)
7(det) Shift 4(matrix) 3(matA) =
Chúng ta sẽ được kết quả định thức ma trận A.
2) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A: trên máy
tính fx-570ES chúng ta chỉ thao tác đơn giản như sau:
Shift 4(matrix) 3(matA) x-1
là có kết quả ngay.

Ngoài ra, cộng, trừ, nhân, chia (nhân với ma trận nghịch
đảo), các bạn cũng chỉ cần gọi tên ma trận như trên
(Shift 4(matrix) rồi chọn 3(matA), hoặc 4(matB),
hay 5(matC)) rồi sử dụng các phép tính như toán bình
thường)
Ví dụ: Giải phương trình AX=B.
Các bạn sẽ nhập ma trận A, ma trận B, sau đó chỉ cần
bấm phép tính matA x-1
x matB = là có được kq X

Chương 1.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Chương 1.pdf

Similar to Chương 1.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

Chương 1.pdf