1. Нахождение наибольшего иНахождение наибольшего и
наименьшего значения функциинаименьшего значения функции
(при решении задач прикладного(при решении задач прикладного
характера).характера).
Через математические знанияЧерез математические знания
лежит широкая дорога клежит широкая дорога к
огромным, почти необозримымогромным, почти необозримым
областям труда и открытий.областям труда и открытий.
Маркушевич А.И.Маркушевич А.И.
Презентацию подготовила преподаватель 1 категории
Керченского профессионального строительного лицея
Селиванова Ирина Викторовна
3. АЛГОРИТМАЛГОРИТМ
Найти точки экстремума функции, т. е.Найти точки экстремума функции, т. е.
точки в которых производная равна нулюточки в которых производная равна нулю
и меняет свой знак.и меняет свой знак.
Вычислить значение функции в этихВычислить значение функции в этих
точках и на концах отрезка, гдеточках и на концах отрезка, где
определена функция.определена функция.
Выбрать из полученных значенийВыбрать из полученных значений
оптимальное.оптимальное.
Перевести задачу на язык математики,Перевести задачу на язык математики,
т. е. выразить искомую величину черезт. е. выразить искомую величину через
функцию от некоторой переменной ифункцию от некоторой переменной и
найти область её определения.найти область её определения.
4. Выполните задание:Выполните задание:
1. Найти промежутки возрастания и убывания
функции.
2. Найти экстремумы функции.
3. Найти наибольшее и наименьшее значение
функции на отрезке [-1;2]
Y = N · x³ - 2·N · x² + 3·N
3
Y = N · x² - 2·N · x + 8
5. Легенда об основании Карфагена гласит, чтоЛегенда об основании Карфагена гласит, что
когда финикийский корабль пристал к берегу,когда финикийский корабль пристал к берегу,
местные жители согласились продатьместные жители согласились продать
прибывшим столько земли, сколько можноприбывшим столько земли, сколько можно
огородить её одной бычьей шкурой. Но хитраяогородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая
царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки,царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки,
связала их и огородила полученным ремнёмсвязала их и огородила полученным ремнём
большой участок земли, примыкавший кбольшой участок земли, примыкавший к
побережью.побережью.
Вопрос: какую наибольшую площадь земли моглиВопрос: какую наибольшую площадь земли могли
купить финикийцы?купить финикийцы?
6. A B
C D
AC+CD+DB=L xx
L - 2x
Переведём задачу на языкПереведём задачу на язык
математики.математики.
S = x(L-2x)
7. Y = x(L-2x) → max
1. Y′ = L – 4x
0,25L
+ —
max
Данный
прямоугольник
является
половиной
квадрата,
длинной
стороной
примыкающей к
берегу моря.
2. Y′ = 0 ; L = 4x
x = 0,25L
3.
4. AC = 0,25L ;DC = 0,5L
Y = Lx – 2x²
8. Стоимость (за один час перевозки) содержания баржиСтоимость (за один час перевозки) содержания баржи
состоит из двух частей: стоимости топлива,состоит из двух частей: стоимости топлива,
пропорциональной кубу скорости баржи, и стоимостипропорциональной кубу скорости баржи, и стоимости
амортизации баржи ( зарплата команды, стоимостьамортизации баржи ( зарплата команды, стоимость
оборудования и т. д.). Общая стоимость содержания баржиоборудования и т. д.). Общая стоимость содержания баржи
за час выражается формулой:за час выражается формулой: S = avS = av³ + b³ + b, где, где vv- скорость- скорость
судна в км/ч,судна в км/ч, aa ии bb – коэффициенты, заданные для каждого– коэффициенты, заданные для каждого
судна (для нашего а=0,005,судна (для нашего а=0,005, bb=40).=40).
Ясно, что расходы на топливо будут тем больше, чемЯсно, что расходы на топливо будут тем больше, чем
быстрее движется корабль, остальные расходы отбыстрее движется корабль, остальные расходы от
скорости не зависят.скорости не зависят.
Казалось бы, чем медленнее движется корабль,Казалось бы, чем медленнее движется корабль,
тем дешевле его эксплуатация. Так ли это?тем дешевле его эксплуатация. Так ли это?
9. S/v = 0,005v² + 40/v → min
1.Y′ = 0,005·2v – 40/v²
—
16
+
min
Оптимальная
скорость
катера для
минимальных
затрат равна
16 км/ч
2.Y′ = 0 ; 0,01v – 40/v² = 0
0,01v = 40/v²
0,01v³ = 40
v³ = 4000
v ≈ 16 км/ч
3.
10. Печатный текст (вместе сПечатный текст (вместе с
промежутками между строками) однойпромежутками между строками) одной
страницы книги должен занимать 400 смстраницы книги должен занимать 400 см²²..
Верхние и нижние поля страницы должныВерхние и нижние поля страницы должны
иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.
Вопрос: каковы самые выгодные размерыВопрос: каковы самые выгодные размеры
страницы, исходя только из экономии бумаги?страницы, исходя только из экономии бумаги?
11. A
B C
D
K L
MN
4 4
2
2
S = 400 см²
х
400/х
AB = x
BC = 400/x KL = 400/x + 8
KN = x + 4
S = (x + 4)·(400/x + 8) =
= 1600/x + 8x + 432
12. S = 1600/x + 8x + 432 → min
1. S′ = -1600/x² + 8
2. S′ = 0; -1600/x² + 8 = 0
1600/x² = 8
x² = 1600/8
x ≈ 14
3. — +
min
14
Оптимальные
размеры страницы
18х36,5 см.
4. KN = х + 4=18
KL = 400/x + 8≈36,5
13. Вывод:Вывод:
Производная функцииПроизводная функции
успешно применяется приуспешно применяется при
решении оптимальных задачрешении оптимальных задач
в различных сферахв различных сферах
деятельности человека.деятельности человека.
Д/з решить задачу:Д/з решить задачу: Рекламный щит имеет форму
прямоугольника S = 9 м². Изготовьте щит в виде
прямоугольника с наименьшим периметром. Определите его
стоимость, если суммарная цена материалов и работ по
изготовлению за 1 м² составляет 200 грн + 25 грн за погонный
метр длины щита.
