1. TAREA
HUMBERTO ROMERO RUBIO
November 18, 2016
1- Dada la matriz
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−217 106 19 −6
35 −17 −3 1
hallar su inversa por
medio de su adjunta.
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−217 106 19 −6
35 −17 −3 1
F3 = F3 + 6F4
−−−−−−−−−−→
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−7 4 1 0
35 −17 −3 1
−95
1328 −648 −116
−7 4 1
35 −17 −3
+37
3240 −1669 −299
−7 4 1
35 −17 −3
+1
3240 −1669 −299
1328 −648 −116
−7 4 1
1328 −648 −116
−7 4 1
35 −17 −3
= (−15936 − 13804 − 22680)−(−16240 − 22576 − 13608) ⇐⇒ 4
3240 −1669 −299
−7 4 1
35 −17 −3
= (−38880 − 35581 − 58415)−(−41860 − 55080 − 33049) ⇐⇒ −887
3240 −1669 −299
1328 −648 −116
−7 4 1
= (−2099520 − 1588288 − 1355228)−(−1356264 − 1503366 − 2216432) ⇐⇒ 33020
Resolvemos las matrices de 3x3
−95 (4) + 37 (−887) + 33020 = −719
Se procede a hallar los valores de la matriz adjunta:
1
2. C11 =
−648 −116 37
106 19 −6
−17 −3 1
⇐⇒ 1
C12 =
1328 −116 37
−217 19 −6
35 −3 1
⇐⇒ −2
C13 =
1328 −648 37
−217 106 −6
35 −17 1
⇐⇒ −1
C14 =
1328 −648 −116
−217 106 19
35 −17 −3
⇐⇒ 4
C21 =
−1669 −299 95
106 19 −6
−17 −3 1
⇐⇒ 2
C22 =
3240 −299 95
−217 19 −6
35 −3 1
⇐⇒ −183
C23 =
3240 −1669 95
−217 106 −6
35 −17 1
⇐⇒ −718
C24 =
3240 −1669 −299
−217 106 19
35 −17 −3
⇐⇒ −887
C31 =
−1669 −299 95
−648 −116 37
−17 −3 1
⇐⇒ 4
C32 =
3240 −299 95
1328 −116 37
35 −3 1
⇐⇒ 887
C33 =
3240 −1669 95
1328 −648 37
35 −17 1
⇐⇒ 3397
C34 =
3240 −1669 −299
1328 −648 −116
35 −17 −3
⇐⇒ 5028
2
3. C41 =
−1669 −299 95
−648 −116 37
106 19 −6
⇐⇒ −3
C42 =
3240 −299 95
1328 −116 37
−217 19 −6
⇐⇒ 1259
C43 =
3240 −1669 95
1328 −648 37
−217 106 −6
⇐⇒ 6089
C44 =
3240 −1669 −299
1328 −648 −116
−217 106 19
⇐⇒ 2852
Valores de la matriz adjunta:
1 −2 −1 4
2 −183 718 −887
4 887 3397 5028
−3 1259 6089 2852
Despues haremos la traspuesta de la adjunta, que es intercambiar las por
las columnas y a estala multiplicamos por 1
−179 :
1 2 4 −3
−2 −183 887 1259
−1 718 3397 6089
4 −887 5028 2852
∗
1
−179
=
Y entonces la inversa de la matriz es:
− 1
179 − 2
179 − 4
179
3
179
2
179
183
179 −887
179 −1259
179
1
179
718
179 −3397
179 −6089
179
− 4
179
887
179 −5028
179 −2852
179
2.- Dada la matriz
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−217 106 19 −6
35 −17 −3 1
hallar su inversa por el
método de Gauss-Jordan.
3240 −1669 −299 95 1 0 0 0
1328 −648 −116 37 0 1 0 0
−217 106 19 −6 0 0 1 0
35 −17 −3 1 0 0 0 1
3
4.
3240 −1669 −299 95 1 0 0 0
1328 −648 −116 37 0 1 0 0
−217 106 19 −6 0 0 1 0
35 −17 −3 1 0 0 0 1
F1 = F1 ∗
1
3240−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
1328 −648 −116 37 0 1 0 0
−217 106 19 −6 0 0 1 0
35 −17 −3 1 0 0 0 1
F2 = F1 ∗ −1328
−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 14614
405
2654
405 −157
81 −166
405 1 0 0
−217 106 19 −6 0 0 1 0
35 −17 −3 1 0 0 0 1
F3 = F3 − (−217) F3
−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 14614
405
2654
405 −157
81 −166
405 1 0 0
0 −18733
3240 −3323
3240
235
648
217
3240 0 1 0
35 −17 −3 1 0 0 0 1
F4 = F4 − 35F4
−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 14614
405
2654
405 −157
81 −166
405 1 0 0
0 −18733
3240 −3323
3240
235
648
217
3240 0 1 0
0 667
648
149
648 − 17
648 − 7
648 0 0 1
F2 = F2/
14614
405−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 −18733
3240 −3323
3240
235
648
217
3240 0 1 0
0 667
648
149
648 − 17
648 − 7
648 0 0 1
F3 = F3 − −
18733
3240
F2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 713
29228
6089
116912
19
14614
18733
116912 1 0
0 0 1257
29228
3397
116912
13
14614 − 3335
11692 0 1
F4 = F4 −
667
648
F2
−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 713
29228
6089
116912
19
14614
18733
116912 1 0
0 0 1257
29228
3397
116912
13
14614 − 3335
11692 0 1
F3 = F3/
713
29228
−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 1 6089
2852
38
713
18733
2852
29228
713 0
0 0 1257
29228
3397
116912
13
14614 − 3335
116912 0 1
F4 = F4 −
1257
29228
F3
−−−−−−−−−−−−−−−−−→
4
5.
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 1 6089
2852
38
713
18733
2852
29228
713 0
0 0 0 − 179
2852 − 1
713 − 887
2852 −1257
713 1
F4 = F4/ −
179
2852
−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 1 0 38
713
18733
2852
29228
713 0
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F3 = F3 −
6089
2822
F4
−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 − 785
14614 − 83
7307
405
14614 0 0
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F2 = F2 − −
785
14614
F4
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240
19
3240
1
3240 0 0 0
0 1 1327
7307 0 − 13287
1307953
384395
1307953
1973490
1307953 −1119410
1307953
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F1 = F1 −
19
648
F4
−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240 0 − 67
193320 − 16853
115952 −7961
9666
13547
28998
0 1 1327
7307 0 − 13287
1307953
384395
1307953
1973490
1307953 −1119410
1307953
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F2 = F2 −
1327
7307
F3
−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 − 299
3240 0 − 67
193320 − 16853
115952 −7961
9666
13547
28998
0 1 0 0 − 2
179
183
179
887
179 −1259
179
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F1 = F1 − −
299
3240
F3
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 −1669
3240 0 0 49
289980 − 99649
193320 −1493363
579960
2091551
579960
0 1 0 0 − 2
179
183
179
887
179 −1259
179
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F1 = F1 − −
1669
3240
F2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
1 0 0 0 − 1
179
2
179 − 4
179
−3
179
0 1 0 0 − 2
179
183
179
887
179 −1259
179
0 0 1 0 1
179 −718
179 −3397
179
6089
179
0 0 0 1 4
179
887
179
5028
179 −2852
179
F1 = F1 − −
1669
3240
F2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
− 1
179 − 2
179 − 4
179
3
179
2
179
183
179 −887
179 −1259
179
1
179
718
179 −3397
179 −6089
179
− 4
179
887
179 −5028
179 −2852
179
5
6. 3.- Dada la matriz
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−217 106 19 −6
35 −17 −3 1
hallar su determinante
por medio de expansión de cofactores.
Realizamos algunas operaciones para reducir las matrices de 3x3 que re-
alizaremos para encontrar el determinante de la matriz.
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−217 106 19 −6
35 −17 −3 1
F3 = F3 + 6F4
−−−−−−−−−−→
3240 −1669 −299 95
1328 −648 −116 37
−7 4 1 0
35 −17 −3 1
−95
1328 −648 −116
−7 4 1
35 −17 −3
+37
3240 −1669 −299
−7 4 1
35 −17 −3
+1
3240 −1669 −299
1328 −648 −116
−7 4 1
Resolvemos las matrices de 3x3 y tenemos:
−95 (4) + 37 (−887) + 33020 = −179
Así que−179 es la determinante de nuestra matriz 4x4
Dada la matriz A =
1
4 0 1
4
0 1 0
1
4 0 1
4
hallar An
donde n ∈ N.
A1
=
1
4 0 1
4
0 1 0
1
4 0 1
4
A2
=
1
4 0 1
4
0 1 0
1
4 0 1
4
∗
1
4 0 1
4
0 1 0
1
4 0 1
4
⇐⇒
1
8 0 1
8
0 1 0
1
8 0 1
8
A2
∗ A1
= A3
⇐⇒
1
4 0 1
4
0 1 0
1
4 0 1
4
∗
1
8 0 1
8
0 1 0
1
8 0 1
8
=
1
16 0 1
16
0 1 0
1
16 0 1
16
Vemos que 5 terminos son iguales a la matriz original cuando la elevamos a
una potencia y que ademas los que no son iguales a los terminos de la matriz
original van cambiando constantemente al ser elevados.
Cuando A1
= 1
4
Cuando A2
= 1
8
6
7. Cuando A3
= 1
16
Debemos encontrar el termino enesimo de la sucesion:
Encontramos que
1
2n+1 es por la que debemos elevar a la matriz
A
4.- DADA LA MATRIZ A=
3 −1
7 2
HALLAR LA MATRIZ PORLA QUE
HAY MULTIPLICAR A PARA OBTENERLA MATRIZ B =
41 8
19 4
3 −1
7 2
.
A C
B D
=
41 8
19 4
3a − b = 41
7a + 2b = 19
3c − d = 8
7c + 2d = 4
3 −1
7 2
s = 6 − (−7) = 13
41 −1
14 2
a = 82 − (−14) = 10
3 41
7 19
b = 57 − 287 = −320
−→ a =
101
13
−→ b = −
230
13
3c − d = 8
7c + 2d = 4
3 −1
7 2
s = 6 − (−7) = 13
8 −1
4 2
c = 16 − (−4) = 20
7
8. 3 8
7 4
d = 12 − 56 = −44
−→ c =
20
13
−→ d = −
44
13
−→=
3 −1
7 2
.
101
13
20
13
−230
13 −44
13
=
41 8
17 4
8
