代数幾何で可換環論が役立つというけれど，よく意味がわからん. そんなあなたに，このメモはやくだつかも・・・・？

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Hanpen Robot の代数幾何メモ 2014/12/23 (Tuesday)
～クリスマス前に気づいたこと～
カギはイデアルの対応定理にあり
ℂは複素数体(複素数体が代数的閉体であることに注意！)
■ Theorem 0 イデアルの対応定理
𝐼 ⊂ 𝑃 ∈ 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙(𝑅) ⇔ 𝑃̃ ∈ 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙(𝑅/𝐼)
特に以下の 2 つに注意！
𝐼 ⊂ 𝑃 ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑅) ⇔ 𝑃̃ ∈ 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑅/𝐼)
𝐼 ⊂ 𝑃 ∈ 𝑆𝑝𝑚(𝑅) ⇔ 𝑃̃ ∈ 𝑆𝑝𝑚(𝑅/𝐼)
■ Theorem 1 ヒルベルトの弱零点定理
ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]の極大イデアル𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛])は次のようになる.
𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]) = {(𝑥1 − 𝑎1, … , 𝑥 𝑛 − 𝑎 𝑛) | ∀ (𝑎1, … , 𝑎 𝑛) ∈ ℂ 𝑛}
Theorem 1 ヒルベルトの弱零点定理 から次のことがいえる.
・ℂ 𝑛
と𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛])は同一視できる.つまり，ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]の極大イデアルがℂ 𝑛
の点に対応する.
さて，多項式𝑓1(𝑥1, . . , 𝑥 𝑛), … , 𝑓𝑚(𝑥1, . . , 𝑥 𝑛)の零点集合𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)を考えてみる.
𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚) = {𝑃 ∈ ℂ 𝑛 | ∀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚) 𝑓𝑖(𝑃) = 0 }
𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)の点 P をとってみる.
𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚) ∋ 𝑃 ↦ 𝕞(𝑃) ∈ 𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛])
(以下では 𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)を𝑉と略して書く)
零点集合𝑉の定義イデアル𝐼(𝑉)を考える. 𝑉の定義イデアル𝐼(𝑉)とは，𝑉上で消え
る多項式関数のイデアルを意味する. 𝐼(𝑉)がℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]のイデアルであることに
注意する.
𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)の点 P に対応する極大イデアル𝕞(𝑃)は当然，𝐼(𝑉) ⊂ 𝕞(𝑃)となる.
(極大イデアルは，集合の包含関係で一番大きいから)
零点集合𝑉の各点 P の極大イデアル𝕞(𝑃)は必ず，𝐼(𝑉) ⊂ 𝕞(𝑃)となる.(定義イデ
アルの素因子！？)
さて，Theorem 0 イデアルの対応定理 から次のことが分かる.
なお，ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]/𝐼(𝑉)は，代数多様体𝑉の座標環とよばれる.

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結論 01
𝐼(𝑉) ⊂ 𝕞(𝑃) ∈ 𝑆𝑝𝑚(ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]) ⇔ 𝕞(𝑃)̃ ∈ 𝑆𝑝𝑚 {
ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]
𝐼(𝑉)
}
結論 01 から，代数多様体の点と，座標環の極大イデアルが同一視できることが
分かった.これは，超重要な結論である.
ℂ[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]はネーター環，ゆえに定義イデアル𝐼(𝑉)は有限生成.つまり，
𝐼(𝑉) = (𝑔1, … , 𝑔 𝑜)
★ふと思ったこと
𝐼(𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)) = (𝑓1, … , 𝑓𝑚) (1)
じゃないとダメじゃね・・・・？
ピーン!!ときたこと，上野健爾の代数幾何 1 には，以下の記述があった！
ヒルベルトの零点定理：代数的閉体𝑘上の多項式環𝑘[𝑥1, . . , 𝑥 𝑛]の任意のイデアル
𝐽 = (𝑓1, … , 𝑓𝑚)に対して，以下が成立！
𝐼(𝑉(𝑓1, … , 𝑓𝑚)) = √(𝑓1, … , 𝑓𝑚)
というコトはっ！ 𝐽が根基イデアル(𝐽 = √𝐽を満たすイデアル)ならば，(1)成立
すんじゃね！あ～なるほどね！
I understand !
代数多様体の定義？
・代数多様体の定義の変化の流れ