1PORTFÖY OPTİMİZASYONU     Habip TAYLAN  Abdülfettah UYGUR      Danışman:Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU    KÜTAHYA-2012
2              T.C.  DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ    MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ    İSTATİKSEL ANALİZ PRO...
3                                                             KABUL ve ONAY SAYFASI          Bu tez, ................ tari...
4                                                                                            i                            ...
ii                                                                                    5                                   ...
6iiiİÇİNDEKİLER              Sayfa
7iv
v 8           TABLOLAR DİZİNİ                             SayfaTablolar
9                                     vi           ŞEKİLLER DİZİNİŞekiller                     Sayfa
10vii                                            KISALTMALAR DİZİNİKısaltmalar :                                          ...
11                                                                                                                        ...
121.GİRİŞ       Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeliDoğrusal olmayan programlama (DOP...
13üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarınınalım satım maliyetleri, borçlanara...
14başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan VonHohenbalken (1975) algoritmas...
15      Standart ortalama varyans portföy seçim modeli      Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli   ...
16       Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık bazaindirgenir. Getirileri yıllık ...
17         Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuzsayıda küçük zaman dilimlerine böl...
18                                   N             E[G1  G 2 ]   (O1i .G1i  O2i .G2i )                                ...
19ii. Varyans ve Standart Sapma:       Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ilehesaplana...
20iii. Yarı Varyans:        Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleritoplamı ile...
21          İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyanslarıve aralarındaki kovaryansı...
223.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ        Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen ...
23iv.     Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri        düzeyinde, ulaşabileceği min...
24        N        x .        i 1               i       i   R    [7],[8],[9]       Burada;i     : i varlığının beklen...
25R         : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi        : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,...
26          Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen        =formülü ile elde edilmeli, ardından ...
27Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.Kovaryans            Hisse 1         Hisse 2         Hisse 3         ...
28Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi        B                   C         D         E         F   ...
29          C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik...
30Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüllerHücre         FormülC17           =(C5-C4)/C4              C17:G25 aralığına ko...
31Şekil 3.1. Solver parametreleri       “Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazır...
32Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü          B             C         D          E           F    ...
33Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıklarıHedeflenen   Portföy      Hisselerin Portföydeki Ağı...
34   H   e   %14.0   d   e   %12.0   f   l                               C   e   %10.0                 B   n   e   %8.0   ...
35       Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyigözlemlemek için tesadüfi bir portföy ...
36                                                                         X1=0.0   H                                     ...
373.4. LINGO ile Modelleme:          Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyansportföy se...
383.5.Model ile İlgili Açıklamalar:       Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelenHISS...
394. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANSPORTFÖY SEÇİM MODELİ       Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de sta...
40       xi  bi  x ai  x si  0                                                            [20], [21]       i  1,..., ...
414.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği:         Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentler...
42      Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelininExcel’de gösterimi     B                     ...
43alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise...
44Şekil 4.1. Solver parametreleri       “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazır...
45Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü     B                               C      ...
46MODEL:! Standart Markowitz Portföy Modeli;SETS:HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X;KOVMAT(HISSE,HISSE): V;ENDSETSD...
47HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kov...
485. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSKÖLÇÜTLERİ       Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması...
495.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu:        Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda ...
50       Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı daaşağıdaki şekilde oluşturulur.    ...
51          x i  0,             i = 1,…,N         d j , sınırsız        j = 1,…,MBurada,N      mevcut varlık sayısı,M    ...
52            Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,senaryoların                hedeflenen     ...
53d 4 - r4 = -0.10d 5 - r5 = -0.10d 6 - r6 = -0.10d 7 - r7 = -0.10d 8 - r8 = -0.10d 9 - r9 = -0.10x1    +   x2   +    x3  ...
54 13 14   Portföy             Hisse 1      Hisse 2   Hisse 3   Hisse 4    Hisse 5     Toplam 15   Ağırlıkları            ...
55Şekil 5.2. Solver parametreleri       “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazır...
56       Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşitalındığı için modelin çözümü standart...
57                M       Min.    p      j   .( d   d  ) 2                                j     j               [19]  ...
58                                M      Min.                   p        j   .( d  ) 2                                  ...
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Tez
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Tez

1,972 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Tez

  1. 1. 1PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman:Doç. Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  2. 2. 2 T.C. DUMLUPINAR ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ İSTATİKSEL ANALİZ PROJESİ PORTFÖY OPTİMİZASYONU Habip TAYLAN Abdülfettah UYGUR Danışman: Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU KÜTAHYA-2012
  3. 3. 3 KABUL ve ONAY SAYFASI Bu tez, ................ tarihinde yapılan sözlü savunma ve değerlendirme sonucunda 100tam not üzerinden .......... ile Başarılı / Başarısız bulunmuştur.Danışman : ..................................................................................Jüri Üyesi : ...................................................................................Jüri Üyesi : ....................................................................................
  4. 4. 4 i PORTFÖY OPTİMİZASYONU ÖZET Paraları yastığın, altınları toprağın altında saklama devrinin sona ermesiylebirlikte insanlar mal varlıklarını rasyonel olarak kullanma ihtiyacı hissetmişlerdir. Bunaenflasyonla iç içe yaşayan ülkelerde paranın satın alma gücünü koruma problemi deeklenince alternatif yatırım araçları önem kazanmıştır. Yatırımcılar farklı yatırımaraçları arasından banka faizi, bono, tahvil repo gibi risksiz yatırım araçlarıseçebilecekleri gibi, döviz, hisse senedi gibi riskli yatırım araçlarını da seçebilirler. Hisse senedine yatırım yapmak isteyen yatırımcının, çok sayıda hissesenedinden hangisine ya da hangilerine yatırım yapacağı belirlemesi gerekir. Bubelirlemede yatırımcının riske bakış açısı çok önemli rol oynar. Daha fazla getiri içindaha fazla riske katlanmak gerektiğinden, yatırımcı kendisi için en uygun risk-getiridengesini belirlemelidir. Bir tek hisse senedine yatırım yapmak yerine, çok sayıda hissesenedinden oluşan bir portföye yatırım yapmak riski büyük ölçüde azaltacaktır. Portföyseçim problemi yardımıyla farklı getiri ve risk düzeylerinde çok sayıda portföyoluşturulabilir. Böylece, yatırımcıya kendi risk tercihine uygun portföyü seçme şansıverilir. Anahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyonu, Optimizasyon, İstatiksel YöntemlerlePortföy Optimizasyon
  5. 5. ii 5 TEŞEKKÜR Bu çalışmada bize yardımcı olan danışmanımız Doç.Dr. Sema BEHDİOĞLU ’na, hiç birzaman desteğini esirgemeyen Bölüm Başkanımız Yar.Doç.Dr. Özden ÜSTÜN ’e, her zaman herkonuda bize destek ve yardımcı olan ailelerimize teşekkürü bir borç biliriz.
  6. 6. 6iiiİÇİNDEKİLER Sayfa
  7. 7. 7iv
  8. 8. v 8 TABLOLAR DİZİNİ SayfaTablolar
  9. 9. 9 vi ŞEKİLLER DİZİNİŞekiller Sayfa
  10. 10. 10vii KISALTMALAR DİZİNİKısaltmalar : AçıklamalarADANA .................................................................................................... Adana Çimento (A)AKENR ....................................................................................................................Ak EnerjiATEKS ................................................................................................................ Akın TekstilAKSA .............................................................................................................................. AksaALARK .......................................................................................................... Alarko HoldingALCTL .................................................................................................. Alkatel Lucent TeltaşANACM ............................................................................................................ Anadolu CamAYEN ................................................................................................................... Ayen EnerjiBANVT ........................................................................................................................ BanvitBOYNR ..................................................................................................... Boyner MağzacılıkBURVA ............................................................................................................ Burçelik VanaBUCIM ............................................................................................................ Bursa ÇimentoCRDFA ................................................................................................... Creditwest FactoringCELHA .................................................................................................................. Çelik HalatDERİM ...................................................................................................................... DerimodDITAS ................................................................................................................. Ditaş DoğanDGZTE ....................................................................................................... Doğan GazetecilikECYAP ........................................................................................................... Eczacıbaşı YapıESCOM ......................................................................................................... Escort TeknolojiFFKRL ........................................................................................................... Finans. Fin. Kir.IHGZT ........................................................................................................... İhlas GazetecilikIZMDC ....................................................................................................... İzmir Demir ÇelikKLMSN ..............................................................................................................Klima SanayiKORDS ............................................................................................................. Kordsa Glabol
  11. 11. 11 viiiKOZAA ........................................................................................................ Koza MadencilikLINK................................................................................................................ Link BilgisayarMUTLU .................................................................................................................. Mutlu AküPINSU........................................................................................................................ Pınar SuPIMAS ........................................................................................................................... PimaşSANKO ........................................................................................................ Sanko Pazarlama
  12. 12. 121.GİRİŞ Modern finansman teorisinin temel modellerinden olan portföy seçim modeliDoğrusal olmayan programlama (DOP) problemlerinin de başarılı uygulamalarındanbirisidir. Bu modeli 1952 yılında gerçekleştiren Hanry Markowitz, bu çalışmasıylaNobel ödülü kazanmıştır. Model en basit haliyle yatırımcının hedeflediği getiri düzeyineulaşabilmek için üstlenmesi gereken minimum risk düzeyini ve bu risk düzeyindekiportföyün yapısını belirler. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyinikarşılayacak minimum varyanslı ( minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Günümüzde finansal piyasalar ülke sınırlarını aşarak global bir yapıya bürünmüşve yatırım yaparak elindeki kaynağı en iyi şekilde değerlendirmek isteyen milyonlarcakişinin beslediği canlı bir organizma haline gelmiştir. Bu piyasalar insanlara çok cazipgelmektedir; çünkü rasyonel kararlar doğrultusunda yatırım yaparak çok büyük gelirlerelde eden yatırımcılar örnek teşkil etmektedirler. Piyasada yer alan yatırımcı sayısıkadar, piyasada yatırım yapabilecek yatırım enstrümanının sayısı da çok fazladır. Ekolarak, her gününü sonunda o günkü Pazar koşullarına göre yatırım enstrümanlarınınfiyatları da değişmektedir. Yukarıda verilenler özetlendiğinde, milyonlarca kişinin, binlerce yatırımenstrümanı arasından, her gün yeniden oluşan fiyatlar doğrultusunda en iyi yatırımyapma çabası içinde olduğu sonucu rahatlıkla çıkartılabilir. Sözü edilen, “en iyi yatımıyapma çabası” daha genel bir ifadeyle eldeki kaynakların ulaşılmak istenen hedeflerdoğrultusunda yönlendirilmesi için gerçekleştirilen finansal planlar bütünüdür. En iyi yatırım portföyüne sahip olmak için, portföyde yer alabilecek yatırımaraçlarının getiri ve risklerine bakılarak portföy seçimi yapma çalışmaları 1950 liyıllarda Markowizt’le başlamıştır. Gönümüzde de artan bir ivmeyle, yeni bir teoriler vebilgisayar teknolojisini de kullanarak devam etmektedir. En iyi portföyü oluşturmada karşılaşılan temel problem çok fazla yatırımenstrümanı arasından seçim yapmak gerektiğinde oluşturulan matematiksel modellerinçözüme ulaşamamaları ya da çözüme ulaşma yolu ve sürelerinin istenen sınırlarının çok
  13. 13. 13üzerinde olmasıdır. Uygulama ile ilgili diğer bir problem de, yatırım enstrümanlarınınalım satım maliyetleri, borçlanarak yatım yapabilme, alım satımlarda azami ve asgarisınırlar, yasal zorunluluklar gibi ülkesel, bölgesel hatta çoğu zamanda kurumsalkısıtların modellerde içerilememesidir. Markowitz’in 1952 makalesinde ilk defa yayınlayıp, daha sonra kitap halinegetirdiği (Markowitz 1959) ortalama-varyans optimizasyonu modern portföy teorisininbaşlangıcı olarak kabul edilir. Bu ilk model, ortalamalar vektörü µ ve kovaryanslarmatrisi C ye sahip n adet menkul kıymet içeriyordu. Modelin içerdiği x portföyü iseelde tutulan menkul kıymetlerin vektörüdür ve vektörün bileşenleri toplamı bire eşittir.Menkul kıymetlerin beklenen getiri ve varyansları,  T x ve  T Cx olarak ifade edilir.Doğrusal kayıtlamalar kümesi altında, etkin sınırlar maksimum beklenen getirisi veminimum varyansı olan portföyler kümesidir. Ayrıca, bu model sıfırdan sonsuzadeğişen bir parametresine bağlı olarak parametrik yapıda da ifade edilmiştir. Dahasonraki formülasyonlara, işlem maliyetlerinide içermesi için x doğrusal ifadesi deeklenmiştir.(Pogue 1970) N adet beklenen getiri ve n(n+1)/2 adet varyans-kovaryansı hesaplamak buanalizin en güç yanlarından birisidir. Bu nedenle, faktör ve/veya indeks modellerideğiştirilmiştir.( Sharpe 1970, Cohen ve Pogue 1967, Rosenberg 1974). Ayarıcasenaryo modelleri ( Markowitz ve Perold 1981) ve çoklu grup modelleri (Elton veGruber 1973) üzerinde çalışılan konular olmuştur. Markowitz’in portföy seçim modeli, pratikte uygulanabilir olması için gerçekhayat koşullarına kapsayacak şekilde geliştirilmiştir. Bu alanda Pogue’nin ( Pogue1970) işlem maliyetleri, kısa satışlar borçlanma politikaları ve vergileride kapsayançalışması, modelin gerçekçi yapıya sokulmasını iyi ifade ettiği için önemlidir. YineFrancis’in (Francis 1978) bankaların aktif-pasif yönetiminde portföy analizini incelediğimakaleside, Markowitz portföy analizinin banka sistemi içinde uygulanabilirliği üzerineanlamlı bir çalışmadır. Modelin çözümü için gerekli algoritmalar ise, parametrik olarak etkin sınırıbulan Markowitz (1956) ve Wolfe (1959)’un “bütünleştirici pivot” algoritmalarıyla
  14. 14. 14başlamıştır. Modeli basitleştirip çözen algoritmalardan birisi, iteratif bir metod olan VonHohenbalken (1975) algoritmasıdır. Ancak bu algoritma ve bundan türetilmiş diğeralgoritmalar ( Rudd ve Rusenberg 1979) oldukça iyi yaklaşık sonuç vermesine karşınoptimum çözüme ulaşmada çok yavaş kalmaktadırlar ve parametrik değildirler.Markowitz ve Perold’un (1981) ve ve Perold’un (1984) algoritmaları ise kovaryansmatrisinde faktör ve senaryo modelleri kullanır, işlem maliyetleri ve sınırları içerir,ayrıca parametrik çözüme, imkan tanır bir yapıdadır. Ancak bu çözüm tekniklerinintümü simpleks kökenli algoritmalardır. Üzerinden 50 yıla yakın süre geçmesine rağmen portföy oluşturmada kullanılanen kullanışlı ve popüler sayısal yöntemlerden birisi Markowitz’in ortalama varyansmodelidir. Bu metodoloji uygulamada ve teoride hala geliştirilmektedir ( King 1993,Konno ve Yamazaki 1991, markowitz ve diğerleri 1993 ). Gelişmeler gerçek hayatıdaha iyi ifade eden yeni kayıtlamaların eklenmesi şeklinde ve bunun yanı sıra , çokönemli optimizasyon ve simetrik olmayan risklerin modele eklenmesi şeklinde deyapılmaktadır. Çalışmada kullanılacak portföy optimizasyonu ile alakalı önemli temel kavramlarıaçıklayarak, bu kavramlar;  Dönemlik simetri  Beklenen getiri  Varyans  Standart sapma  Yarı varyans  Kovaryans  Korelasyon  Vektör ve Matris gösterimleri  Portföyün beklenen getirisi  Portföy varyansı sayılabilirDaha sonra ise problemi çözmek için modeller açılanmıştır, bu modeller;
  15. 15. 15  Standart ortalama varyans portföy seçim modeli  Yatırım üst sınırlı ortalama varyans portföy seçim modeli  Risksiz yatırım enstrümanını içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Alım – satım maliyetlerini içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Kredi işlemleri ve açığa satışı içeren ortalama varyans portföy seçim modeli  Portföydeki maksimum varlık sayısını içeren tam sayı değişkenli ortalama varyans portföy seçim modeli  Ortalama varyans portföy seçim modeli ile portföy eşleştirilmesi  Senaryo tabanlı portföy optimizasyonu ve farklı risk ölçütleri  Riskteki değere göre portföy seçim modeli şeklinde modellerin ararsından biz üç tanesini seçerek açıklayacak, modeller daha iyi anlaşılması için hem Excel hem de lingoda çözümler yapılacaktır.2.PORTFÖY OPTİMİZASYONU İLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde portföy optimizasyonu modellerinde kullanılacak temel kavaramlaraçıklanacaktır. Bu kavramlar ;2.1.Dönemlik Getiri: Dönemlik yatırımın belli bir zaman dilimi içerisinde toplam getirisini tanımlar DSD  KP  DBD GD  [ 1],[ 2 ] DBDGD : Dönemlik Getiri,DBD : Yatırım dönem başı değeri,DSD : Yatırımın dönem sonu değeri,KP : Dönem içerisinde yatırımdan sağlanan nakit akışı ( kar payı dağıtımı )
  16. 16. 16 Farklı dönemlerdeki getirileri karşılaştırmak için genellikle getiriler yıllık bazaindirgenir. Getirileri yıllık bazda ifade etmenin farklı yolları vardır. Getiriler basit,bileşik yada sürekli bileşik getiri hesaplamaları ile yıllık baza indirgenebilir.2.2.Basit getiri hesaplaması: Elde bulundurma dönemi boyunca her gün aynı getirinin elde edildiğinivarsayar. 1  DSD  KP  DBD  GD basit   .  [ 1],[ 2 ] t  DBD GD basit  : Basit getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,T : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,2.3.Bileşik getiri hesaplanması: Elde bulundurma dönemi sonunda elde edilen getiri ve ana paranın tekraryatırıma dönüştürülerek yıllık bazda büyüdüğünü varsayar. 1 t. N  DSD  KP  DBD  G D bileşil   N .  [ 1],[2 ]  DBD G bileşik : Bileşik getiri ile yıllık baza indirgenmiş dönemlik getiri,t : Elde bulundurma döneminin yıl biriminde uzunluğu,N : Bir yıl içindeki dönem sayısı
  17. 17. 17 Sürekli bileşik getiri hesaplama yöntemi ise elde bulundurma döneminin sonsuzsayıda küçük zaman dilimlerine bölünerek, her bir dilimde getirisinin hesaplanarak, anapara ile birlikte bir sonraki küçük zaman dilimine aktarılması esasına göre çalışır. 1  DSD  KP  GD sürekli  ln . [ 1],[2 ] t  DBD  2.4.Beklenen Getiri: Bir varlığın beklenen getirisi şu şekilde formülize edilir; N   E[G ]   O .G i 1 i i [ 1],[2]µ : Beklenen getiri, E[G],Oi : i senaryosunun gerçekleşme olasılığı,Gi : i senaryosunun beklenen getirisi,N : olası senaryo sayısı, Bir varlığın getiri dağılımının Tablo 2.1’de verildiği gibi varsayarsak, buvarlığın beklenen getirisi şu şekilde hesaplanır. Tablo 2.1. Bir varlığın getiri dağılımı Senaryo Olasılık Getiri 1 1/3 50% 2 1/3 30% 3 1/3 16% E[G]  %50x 1/3 + %30x 1/3 + %16x1/3 = %32 Beklenen getirinin iki önemli özelliğini hatırlamak önemlidir. Birinci özellik; ikigetirinin toplamının beklenen değerinin, iki getirinin beklenen değerleri toplamına eşitolmasıdır.
  18. 18. 18 N E[G1  G 2 ]   (O1i .G1i  O2i .G2i ) i 1 N N [ 3],[4]   (O1i .G1i )   (O2i .G 2i )  1   2 i 1 i 1 İkinci özellik ise; bir getirinin bir sabitle çarpımın beklenen değerinin, getirininbeklenen değerinin sabitle çarpımına eşit olmasıdır. N N E[s.G]   (Oi .Gi )  s. (Oi .Gi )  s. [ 3],[4] i 1 i 12.5. Sapma Ölçütleri:i. Ortalama mutlak sapma: Beklenen getiriden sapmanın mutlak değerini ölçer. Analitik hesaplamalar içinçok uygun bir hesaplama değildir. N OMS   (Oi . Gi   ) [3],[4] i 1 Tablo 2.2 de örnek için ortalama mutlak sapma şu şekilde hesaplanır.Tablo 2.2. Bir varlığın getiri dağılımıSenaryo Olasılık Getiri1 1/3 50%2 1/3 30%3 1/3 16% OMS  1/3x|0.50 − 0.32| + 1/3x |0.30 − 0.32| + 1/3x |0.16 − 0.32|= . . . = 0.12
  19. 19. 19ii. Varyans ve Standart Sapma: Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farklarının kareleri toplamı ilehesaplanan bir risk ölçütüdür. Portföy optimizasyonu modellerinde risk ölçütü olarakgenellikle varyanstan yararlanılır. Varyansın karekökü de standart sapmadır. N 2 Var (G)   2   Oi .Gi    [ 3],[4] i 1 Yukarıdaki örnek için varyans değeri şu şekilde hesaplanır.  2  1/3x(0.50 - 0.32)² + 1/3x(0.30 - 0.32)² + 1/3x(0.16 - 0.32)² = 0.0195 Bir varlığın getirilerinin bir sabit değerle toplanmasıyla elde edilen getiriserisinin varyansı, varlığın varyansına eşittir. Var( s  G)  var(G) [ 3],[4] Bir varlığın getirinin bir sabit değerle çarpılmasıyla elde edilen getiri serininvaryansı, varlığın varyansı ile sabitin karesinin çarpımına eşittir. Var ( s.G )  s 2 . var(G ) [ 3],[4 ]
  20. 20. 20iii. Yarı Varyans: Yarı- Varyans, getiriler ile beklenen getirinin farkları negatif olanların kareleritoplamı ile hesaplanan bir risk ölçütüdür. Simetrik getiri dağılımları için varyanslaorantılıdır. N 2 Yarı var(G)   Oi .min0, Gi    [ 4],[5] i 1 Yukarıda ki örnek için yarı –varyans değeri şu şekilde hesaplanır. Yarı var(G)= 1/3x0 + 1/3x(0.30 – 0.32)² + 1/3x ( 0.16 – 0.32)² = 0.00872.6. Varlıkların Birlikte Hareket Ölçütelri:i. Kovaryans: İki tesadüfi getirinin göreli hareketlerinin anlamlılığının istatistiksel ölçütükovaryanstır. İki varlık arasındaki kovaryans değeri aşağıdaki formülle elde edilir. N  1, 2   Oi .G1i  1 G2i   2  . [ 3],[4] i 1 Eğer varlıkların ortalamalarından sapmaları aynı zaman dilimlerinde aynı yöndeolursa, varlıklar arasındaki kovaryans pozitif bir değer alacaktır. Öte yandan, varlıklarınortalamalarından sapmaları aynı zaman diliminde farklı yönde olursa, varlıklararasındaki kovaryans negatif bir değer alacaktır. Varlıkların ortalamalarından sapma değerleri arasında anlamlı bir ilişki yoksada, kovaryans değeri sıfıra yaklaşacaktır.
  21. 21. 21 İki varlığın getirilerinin toplamlarının varyansı, varlıkların ayrı ayrı varyanslarıve aralarındaki kovaryansın iki katının toplamına eşittir. Var (G1  G 2 )  var G1   var G 2   2.ko var G1 , G 2  [ 3],[4]2.7. Varlıkların Kombinasyonlarının Varyansı: Yatırım yapılabilecek varlıkların farklı kombinasyonlarla bir araya getirilmesisonucu daha düşük riskli portföyler oluşturulabilir. Farklı varlıklar birlikte hareketetmiyorlarsa, diğer bir ifadeyle aralarından tam bir korelasyon mevcut değilse,çeşitlendirme yoluyla risk azaltılabilir. Varlıklardan kaynaklanan bu risk, sistematikolmayan ya da çeşitlendirilebilir risk olarak adlandırılır. Aşağıdaki tabloda iki varlıktanoluşan bir yatırım kümesi verilmiştir. Bu varlıkların üç dönemlik getirileri, varlıklarınortalama getiri, varyans ve standart sapmaları hesaplanmıştır. Tablo 2.3’de görüldüğügibi %80 A, %20 B varlıklarında oluşan bir portföyün getirisi, tek tek varlıklarıngetirileri ile aynı olmasına karşın varyans sıfıra düşmüştür. Görüldüğü gibi varlıklarkombinasyonunun riski, varlıkların risklerinin ağırlıklı ortalaması değildir. Tablo 2.3. İki varlıkla oluşturulan portföy kombinasyonuDönem (Senaryo) Varlık A Varlık B Portföy (%80 A, %20 B)1 14 -11 92 9 9 93 4 29 9Ortalama Getiri 9 9 9Varyans 25 400 0Standart sapma 5 20 0
  22. 22. 223.STANDART ORTALAMA-VARYANS PORTFÖY SEÇİM MODELİ Bu bölümde Modern Portföy Teorisinin temeli olarak kabul edilen Ortalama-Varyans portföy seçimi optimizasyonu modeli sunulacaktır. En basit ifade ile etkinvarlık kombinasyonlarının belirlenmesi olarak açıklanabilecek teori Markowitz’inçalışmaları ile başlamıştır. (Markowitz: 1952, 1959). Bu bölümde sırasıyla Markowitz modeli ve dayandığı varsayımlar açıklanacak,ardından etkin sınır kavramı sunulacaktır. Açıklanan kavramlar doğrultusundaoluşturulan model farklı çözüm platformlarında çözülebilecek şekilde yapılandırılacakve uygulanacaktır. Çözüm sürecinde iki farklı platformun kullanımı açıklanmıştır.Bunlar Excel ve eklentisi olan Solver ile Lingo modelleme dilidir. Optimizasyonmodellerinin çözümüne yönelik olarak geliştirilmiş algoritmalara da bu bölümdedeğinilecektir.3.1. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli: Markowitz tarafından geliştirilen ortalama-varyans optimizasyon modeli,oluşturulacak portföyün riskini minimize etmeyi hedeflemiştir. Kurulan modelde eldekifonun tümünü yatırım enstrümanlarına dağıtılması ve hedeflenen getiri seviyesineulaşılması kısıtlardır. Markowitz portföy seçim modeli şu varsayımlara dayanmaktadır:i. Yatırımların getirileri yatırımların çıktısı olarak ifade edilebilir.ii. Yatırımcının risk tahmini, varlıkların ya da portföyün getirilerinin varyansı ile orantılıdır.iii. Yatırımcılar kararlarını verirken sadece beklenen getiri ve getirinin varyansını model parametreleri olarak kullanmaya razıdırlar.
  23. 23. 23iv. Yatırımcı riskten kaçma eğilimi göstermektedir. Herhangi bir beklenen getiri düzeyinde, ulaşabileceği minimum riski, herhangi bir risk düzeyinde de ulaşabileceği maksimum getiriyi seçecektir. Markowitz modeli, hedeflenen beklenen getiri düzeyini karşılayacak minimumvaryanslı (minimum riskli) portföyü bulmaya çalışır. Modelde amaç fonksiyonuyukarıdaki ifade de belirtildiği gibi minimize edilecek portföy varyansıdır ve şu şekildegösterilir. N N Min.  x i x j  ij [ 7],[8],[9] i 1 j 1 Bu matematiksel ifadede,N : Mevcut varlık sayısını, ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i = 1,…,N), (j = 1,...,N),xi , x j : Karar değişkenlerini, göstermek için kullanılmıştır. Bir önceki bölümde anlatılan varyans ve kovaryans kavramları hatırlanacakolursa, (3.1)’deki amaç fonksiyonu ifadesi aşağıda gösterildiği gibi iki parça halindedaha rahat yorumlanabilir. N N 1 N 2 2 Min. xi . i  2 x x  i j ij [7],[8],[9] i 1 i 1 j  i 1 Bu ifadenin ilk kısmında varlıkların varyansları, ikinci kısmında da varlıklararası ilişkinin ölçütü olan kovaryans değerleri gösterilmiştir. Böylece amaçfonksiyonunda, portföyün riski minimize edilirken, varlıkların içsel riski yanı sıra,birlikte hareket edip etmedikleri de göz önünde bulundurularak çeşitlendirmeye degidilmektedir. Standart Markowitz modelinde iki temel kısıt vardır. Bunlardan birincisi,hedeflenen beklenen getiri düzeyinin karşılanmasını sağlayacak aşağıdaki matematikselifadedir.
  24. 24. 24 N  x . i 1 i i R [7],[8],[9] Burada;i : i varlığının beklenen getirisini (i = 1,…,N),R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi, göstermek için kullanılmıştır. Modeldeki ikinci temel kısıt ise, portföy de bulunan varlıkların ağırlıklarıtoplamının 1 olmasını sağlayan aşağıdaki ifadedir. N x i 1 i 1 [7],[8],[9] Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genelmodel elde edilir. N N Min. x i .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [8],[9] N x i 1 i 1 0  xi  1, Burada,N : Mevcut varlık sayısı,i : i varlığının beklenen getirisi (i = 1,…,N), ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,…,N), (j = 1,…,N), : i=j için i varlığının varyans değeri,
  25. 25. 25R : Hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi : i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N), Yukarıda elde edilen matematiksel programlama modeli kuadratik programlamaformundadır. Amaç fonksiyonun kuadratik kısıtların ise doğrusal olduğu bu tiptekimodellerin çözümü için pek çok etkin algoritma geliştirilmiştir. Wolfe tarafındangeliştirilen (Wolfe:1959) algoritma halen pek çok çözücü yazılımda kullanılmaktadır.Bu algoritma yukarıdaki modelin doğrusal eşdeğeri bir model oluşturup çözülmesinitemel almaktadır. Doğrusal eşdeğer model ise Kuhn-Tucker optimallik koşullarını temelelde etmektedir.3.2. Markowitz Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda 5 adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için Markowitzportföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel veçözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Tablo 3.1’de 5 hisse senedi için 10dönem boyunca dönem sonu kapanış fiyatları verilmiştir. Tablo 3.1. 5 hisse senedinin 10 dönemlik kapanış verisi.Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Dönem 1 5000 2000 3000 7000 4000Dönem 2 5500 2400 3300 7100 4800Dönem 3 5700 2750 3800 6600 4300Dönem 4 6500 2000 3300 7700 5000Dönem 5 6000 2950 4000 8000 6400Dönem 6 6700 3200 4300 7500 5500Dönem 7 6500 3700 3800 9500 5300Dönem 8 7500 3000 4900 11000 5900Dönem 9 7000 4200 5500 12000 8500Dönem 10 7700 5000 6700 13500 8500
  26. 26. 26 Öncelikle varlıkların dönemlik getirileri, ikinci bölümde verilen =formülü ile elde edilmeli, ardından her bir varlık için, ikinci bölümde verilen N  E G    Oi .Gi formülü kullanılarak beklenen getiriler elde edilmelidir. Bu i 1hesaplamalar Tablo 3.2’de görülmektedir. Tablo 3.2. Varlıkların dönemlik ve beklenen getirileri. Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Dönem 1Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0Beklenen Getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.2 Modelde, amaç fonksiyonunda risk ölçütü olarak kullanılacak varyans değerleri N 2ikinci bölümde verilen varG    2   Oi .Gi    formülü ile ve kovaryans i 1 Ndeğerleri de yine ikinci bölümde verilen  1, 2   Oi .G1,i  1 G2,i   2  [10] formülü i 1kullanılarak Tablo 3.3’de hesaplanmıştır.
  27. 27. 27Tablo 3.3. Varlıkların varyans-kovaryans değerleri.Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.0144Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 Varyans-kovaryans matrisinin diagonalindeki değerler varlıkların varyanslarını,diğer değerler ise varlıklar arasındaki kovaryans değerlerini vermektedir. Matrisindiagonale göre sağ üst ve sol alt kısımlarının simetrik olduğu unutulmamalıdır.Markowitz portföy seçim modelinin iki temel parametresi olan beklenen getiri vevaryans-kovaryans değerleri yukarıdaki gibi hesaplandıktan sonra hedeflenen %10’lukgetiri düzeyi için modelin açık formu aşağıda oluşturulmuştur.Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X X + 0.0006 X X – 0.0008 X X – 0.0128 X X + 0.0519 X ² + 0.0180 X X – 0.0142X X + 0.0288 X X + 0.0185 X ² - 0.0108 X X + 0.0064 X X + 0.0111 X ² + 0.0070 X X + 0.0323 X ²Kısıtlar, 0.053 X + 0.132 X + 0.102 X + 0.081 X + 0.102 X ≥ 0.10X +X + X +X +X =1X , X ,X ,X ,X ≥ 0 Buradaki Xi’ler modelin karar değişkenleridir ve varlığın portföy içindekioranını ifade etmektedir. Amaç fonksiyonu varyans-kovaryans matrisindenoluşturulmuştur ve riski minimize etmektedir. İlk kısıt en azından hedeflenen getirikadar getiriye ulaşılmasını, ikinci kısıtta tüm fonun varlıklar arasında dağıtılmasınısağlamaktadır. Son olarak da karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtları modeleklenerek model tamamlanmıştır. Tablo 3.4’te Standart Ortalama-Varyans portföy seçim modeli Excel’demodellenmiştir.
  28. 28. 28Tablo 3.4. Standart Markowitz modelinin Excel’de gösterimi B C D E F G H23 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 54 Dönem 1 5000 2000 3000 7000 40005 Dönem 2 5500 2400 3300 7100 48006 Dönem 3 5700 2750 3800 6600 43007 Dönem 4 6500 2000 3300 7700 50008 Dönem 5 6000 2950 4000 8000 64009 Dönem 6 6700 3200 4300 7500 550010 Dönem 7 6500 3700 3800 9500 530011 Dönem 8 7500 3000 4900 11000 590012 Dönem 9 7000 4200 5500 12000 850013 Dönem 10 7700 5000 6700 13500 85001415 Getiriler Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Dönem 117 Dönem 2 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.018 Dönem 3 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.419 Dönem 4 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.320 Dönem 5 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.021 Dönem 6 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.122 Dönem 7 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.623 Dönem 8 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.324 Dönem 9 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.125 Dönem 10 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.026 Ortalama %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.22728 Kovaryans Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 529 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.006430 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.014431 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.003232 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.003533 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.032334 Toplam35 Portföy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 03637 Portföy Getirisi %0.0 Portföy Varyansı 038 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 039
  29. 29. 29 C17:G25 aralığında dönemlik getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C17 hücresinde=(C5-C4)/C4 formülü ile dönemlik getiri elde edildikten sonra tüm dönemler ve tümyatırım enstrümanları için bu formül C17:G25 aralığına kopyalanmıştır. C26:G26 aralığında beklenen getiriler hesaplanmıştır. Öncelikle C26 hücresinde=AVERAGE(C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı için beklenen getiri eldeedildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C26:G26 aralığınakopyalanmıştır. C29:G33 aralığında varyans-kovaryans değerleri hesaplanmıştır. Öncelikle C29hücresinde =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) formülü ile ilk yatırım enstrümanı içinbeklenen getiri elde edildikten sonra tüm yatırım enstrümanları için bu formül C29:G29satırına kopyalanmıştır. Aynı işlem sırasıyla 30-33. satırlara da kovaryans formülükullanılarak yapılmıştır. Modeldeki, C35:G35 aralığı, yatırım enstrümanlarına yatırılacak miktarlarınhesaplanması için ayrılmıştır. Modelin karar değişkenleri olan bu aralık, Solver ileoptimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Tüm enstrümanlara yatırılacak oranın 1’eeşit olmasını sağlayacak kısıtı hazırlamak için öncelikle H35 hücresine=SUM(C35:G35) formülü yazılmıştır. Bu toplamın 1’e eşit olmasını sağlayacak kısıtda, Solver ile optimizasyon aşamasında tanımlanacaktır. Portföyden elde edilecek toplam beklenen getirinin D38 hücresinde kihedeflenen getiri değerine eşit olmasını sağlayacak formülde D37 hücresine=SUMPRODUCT(C26:G26:C35:G35) ifadesi ile yazılmıştır. Bu fonksiyon iki ayrıvektörün karşılıklı elemanları çarpıp, bunun da toplamını bulur.Tablo 3.5. Modeldeki alan tanımlamalarıAralık TanımC4:G13 Kapanış DeğerleriC17:G25 Aylık GetirilerC26:G26 Ortalama GetirilerC29:G33 Varyans-Kovaryans MatrisiC35:G35 Karar Değişkenleri, Varlıkların Portföydeki PayıH35 Portföy Payları ToplamıD37 Portföy GetirisiD38 Hedeflenen GetiriH37 Portföy VaryansıH38 Portföy Standart Sapması
  30. 30. 30Tablo 3.6. Modeldeki kullanılan formüllerHücre FormülC17 =(C5-C4)/C4 C17:G25 aralığına kopyalanmıştır.C26 =AVERAGE(C17:C25) C26:G26 aralığına kopyalanmıştır.C29 =COVAR($C$17:$C$25;C17:C25) C29:G29 aralığına kopyalanmıştır.C30 =COVAR($D$17:$D$25;C17:C25) C30:G30 aralığına kopyalanmıştır.C31 =COVAR($E$17:$E$25;C17:C25) C31:G31 aralığına kopyalanmıştır.C32 =COVAR($F$17:$F$25;C17:C25) C32:G32 aralığına kopyalanmıştır.C33 =COVAR($G$17:$G$25;C17:C25) C33:G33 aralığına kopyalanmıştır.H35 =SUM(C35:G35)D37 =SUMPRODUCT(C26:G26;C35:G35)H37 =SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35)H38 =SQRT(H37) Tüm bu açıklanan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 3.5. ve 3.6.’degörülmektedir.Modelin minimize edilecek olan amaç fonksiyonu da H37 hücresinde,=SUMPRODUCT(MMULT(C35:G35;C29:G33);C35:G35) formülü ile gösterilmiştir.Bu ifade portföyün varyansını hesaplamaktadır. Portföyün standart sapması da H38hücresinde,=SQRT(H37) formülüyle hesaplanmıştır. Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 3.2.’de Solver parametreleri görülmektedir.
  31. 31. 31Şekil 3.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücrey, Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırladığı H37 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonun tipimaksimizasyon ya da minimizasyon olarak belirtilir. Bizim uygulamamızda riskminimize edilmektedir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinindeğerinin hesaplanması için belirlenen C35:G35 alanı girilir. “Subject to the Constraints(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacakkısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayanH35=1, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D37 = D38 ve karardeğişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C35:G35 ≥ 0 kısıtlarıdır. ModelSolver’da tanımlandıktan sonra “Solve(Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçimmodeli optimize edilir. Tablo 3.7’de standart Markowitz portföy seçim modelinin %10hedeflenen getiri düzeyi için çözüm sonuçları görülmektedir.
  32. 32. 32Tablo 3.7. Standart portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H3 Kapanış Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 534 Toplam35 Portföy - %23.5 %32.9 %43.6 - %1003637 Portföy Getirisi %10.0 Portföy Varyansı 0.00535438 Hedeflenen Getiri %10.0 Standart Sapma 0.073172 Model sonuçlarına göre %10 getiri hedefleyen bir yatırımcı, elindeki fonun%23.5’ini 2. yatırım enstrümanına, %32.9’unu 3. yatırım enstrümanına, %43.6’sını da4. yatrırım enstrümanına yatırmalıdır. Bu yatırımcı 1. ve 5. enstrümanlara yatırımyapmayacaktır. Bu şekilde oluşacak olan portföyün varyansı da 0.005354 olarakminimize edilmiştir. 3.3. Etkin Sınır: Karar verici farklı beklenen getiri düzeyleri için yukarıda oluşturulan modeliçözdüğünde, her biri o getiri düzeyi için etkin olan portföyler elde edecektir.Hedeflenen getiri düzeyleri ve o getiri düzeyinde elde edilen etkin portföylerinvaryansları beklenen getiri-varyans grafiği üzerinde gösterildiğinde, bu etkin portföyleribirleştiren eğri etkin sınır olarak adlandırılır. Bir önceki kısımda modellenen örneğinfarklı getiri düzeyleri için etkin portföy kombinasyonları ve portföy varyansları Tablo3.6’de görülmektedir. Bu tablodaki veri kullanılarak elde edilen etkin sınır Şekil 3.4’deoluşturulmuştur.
  33. 33. 33Tablo 3.8. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföy ağırlıklarıHedeflenen Portföy Hisselerin Portföydeki AğırlıklarıGetiri Varyansı Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5%5.3 0.007179 1.000%5.5 0.005889 0.970 0.030%6.0 0.003642 0.879 0.077 0.045%6.5 0.002010 0.782 0.119 0.095 0.004%7.0 0.000989 0.685 0.161 0.144 0.010%7.5 0.000580 0.588 0.203 0.193 0.016%8.0 0.000749 0.477 0.222 0.041 0.246 0.015%8.5 0.001324 0.352 0.222 0.117 0.301 0.008%9.0 0.002280 0.228 0.222 0.192 0.356 0.001%9.5 0.003618 0.104 0.221 0.267 0.408%10.0 0.005354 0.235 0.329 0.436%10.5 0.008169 0.333 0.328 0.339%11.0 0.012440 0.428 0.326 0.238 0.008%11.5 0.018167 0.522 0.323 0.137 0.017 0.036 0.027%12.0 0.025349 0.617 0.320%12.5 0.034189 0.757 0.243%13.0 0.045745 0.924 0.076%13.2 0.051944 0.998
  34. 34. 34 H e %14.0 d e %12.0 f l C e %10.0 B n e %8.0 A n G %6.0 e Risk (Portföy Varyansı) t %4.0 i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Şekil 3.2. Farklı beklenen getiri düzeyleri için portföylerin risk-getiri grafiği Tablo 3.6 incelendiğinde, tahmin edileceği gibi hedeflenen getiri düzeyiazaldıkça portföy varyansı da azalmaktadır. Ancak %7.5 getiri düzeyinin altında portföyvaryansı tekrar artmaktadır. Bu durum Şekil 3.4’de de etkin sınırın B noktasından Anoktasına kadar olan bölümünde de gözlenebilir. Açıktır ki, yatırımcı her zaman için Cnoktasındaki etkin portföyü A noktasındakine tercih edecektir. Çünkü aynı riskdüzeyinde daha fazla getiri elde edebilecektir. Etkin sınırdaki bu istenmeyen sapmanınnedeni, standart ortalama-varyans portföy seçim modelindeki N  x . i 1 i i R [13] Kısıttır. Bu kısıt (7)’de görüldüğü gibi düzenlendiğinde artık etkin sınırdaistenmeyen B-A bölümü olmayacaktır. Çalışmanın bundan sonraki kısımlarında buyaklaşım izlenmiştir. N  x . i 1 i i R [13],
  35. 35. 35 Etkin sınır üzerindeki portföylerle diğerlerinin karşılaştırmasını daha iyigözlemlemek için tesadüfi bir portföy oluşturup, bu portföye risk ve getiri düzeylerindekarşılık gelen etkin portföyleri belirleyelim. Şekil 3.5’de %50 Hisse 1 ve %50 Hisse5’den oluşan bir A portföyü bir önceki kısımda oluşturulan Excel modeline girilmiş veportföyün varyansı 0.006651, beklenen getirisi de %7.7 olarak bulunmuştur.Tablo 3.9. Tesadüfi oluşturulmuş bir portföyün verisi34 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam35 Portföy 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 13637 Portföy Getirisi %7.7 Portföy Varyansı 0.00665138 Hedeflenen Getiri Standart Sapma 0.08155239 %7.7 getiriye sahip ve A portföyüne göre daha düşük riskli etkin portföyübelirlemek için modelde hedeflenen getiri değeri olarak %7.7 girilmiş ve modelçözülmüştür. Bu çözüme göre Şekil 3.7’de görülen 0.000588 varyanslı C portföyübelirlenmiştir. 0.006651 varyansına sahip olan ve A portföyüne göre daha yüksekgetirili etkin portföyü belirlemek için standart model biraz değiştirilmiştir. Varyans belliolduğu için amaç fonksiyonu bu varyans değerine eşitlenerek modelde bir kısıt olarakyer almış, buna karşın hedeflenen getiri belli olmadığı için de getiri kısıtı maksimizeedilecek amaç fonksiyonu olarak tanımlanmıştır. Bu şekilde oluşturulan modelçözüldüğünde Şekil 3.7’de görülen %10.3 getiriye sahip B portföyü belirlenmiştir. Buportföy A ile aynı varyansa sahiptir.
  36. 36. 36 X1=0.0 H X2=0.29 e X3=0.33 X4=0.38 d 0.14 B X5=0.0 e f 10.3 l 0.12 e X1=0.5 n 0.1 X2=0.0 e 7.7 A X3=0.0 X4=0.0 n 0.08 G C X5=0.5 X1=0.55 e 0.06 X2=0.22 0.0066 t X3=0.0 Risk (Portföy Varyansı) i 0.04 X4=0.21 0.000588 X5=0.02 r i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Şekil 3.3. Tesadüfi oluşturulmuş portföy ile etkin sınırın karşılaştırılması. H e 0.14 d e 0.12 f l 0.1 Hisse 2 e Hisse 5 n 0.08 Hisse 3 e n 0.06 Hisse 4 G Hisse 1 e 0.04 t i -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 r i Risk (Portföy Varyansı) Şekil 3.4. Tek tek hisseler ile etkin sınırın karşılaştırılması Şekil 3.7’de ise hisseler tek tek beklenen getiri ve varyansları etkin sınır ilekarşılaştırılmıştır. Görüldüğü gibi çeşitleme yatırımın etkinliğini bariz olarakarttırmaktadır.
  37. 37. 373.4. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformundada modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyükölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin desteksağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dilikullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföyseçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yeralan bileşenler açıklanmıştır.MODEL:! Standart Markowitz Portföy Modeli;SETS:HISSE/1..5/: ORT, X;KOVMAT(HISSE,HISSE): V;ENDSETSDATA:! Veri Setleri;! Hisse senetlerinin beklenen getirisi;ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;! Kovaryans matrisi;V=0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.01440.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;! Portföyün hedeflenen getirisi;GETIRI = 0.10;ENDDATA! Model; ! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT * X) >= GETIRI;! Portföydeki Hisselerin Ağırlıkları Toplamı 1 Olmalı Kısıtı;[YUZDEYUZ] @SUM( HISSE: X) = 1; END
  38. 38. 383.5.Model ile İlgili Açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelenHISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde üç öznitelik tanımlanmıştır. ORT hissesenetlerinin beklenen getirilerini, V’de kovaryans matrisini içermektedir. X ise modelinkarar değişkenlerini oluşturmak için tanımlanmıştır. Kolaylıkla anlaşılacağı gibi, X(i), ihisse senedine yapılacak yatırım yüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Portföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaçfonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM( KOVMAT( I,J ): V( I,J ) * X( I ) * X( J )); [15],[18]Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtı aşağıdakigibi gösterilmiştir. @SUM( HISSE: ORT * X ) >= GETIRI; [15], [18] Bu kısıtın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydekiağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde etmektedir. İkinci kısıt ise hisse senetlerininportföydeki ağırlıkları toplamının 1 olmasını sağlayan kısıttır. @SUM( HISSE: X ) = 1; [15],[18] Bu kısıt eklenmezse, model daha düşük bir varyans elde etmek için bazı hissesenetlerine daha çok yatırım yaparak, hisse senetlerinin ağırlıkları toplamı da %100’ünüzerine çıkacaktır. Modelin çözümü ektedir.
  39. 39. 394. ALIM-SATIM MALİYETLERİNİ İÇEREN ORTALAMA-VARYANSPORTFÖY SEÇİM MODELİ Doğrusal yapıdaki işlem maliyetleri de standart Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeline dahil edilebilir. Bu durumda işlem maliyetleri yapılan işleminbelli bir yüzdesi olarak modelde yer alır. İşlem maliyetini içeren modellerdeyatırımcının portföyüne varlık alma ya da portföyünden varlık satmasını göstermek içinmodel bir başlangıç portföyü ile oluşturulur. Bu bölümde işlem maliyetlerini içerenmodel tartışılacaktır. 3. bölümdeki örnek modifiye edilerek, işlem maliyetlerini deiçerecek şekilde çözülecektir.4.1. İşlem Maliyetlerinin Modele Dahil Edilmesi: Portföye alınan ve portföyden satılan varlıkları ifade etmek üzere iki yenideğişken modele eklenecektir. Xsi, portföyden satılan i varlığı oranını, Xai’de portföyealınan i varlığı oranını gösterecektir. i varlığının alım satımdaki işlem maliyeti oranlarıda modelde mi ile gösterilecektir. İki temel kısıt model eklenecektir. Bunlardan birincisi portföyden satılanvarlıklardan elde edilen gelirin, portföye alınacak varlıklara ödenecek gideri karşılamasıkısıtıdır. Portföyden satılan varlıkların getirisi işlem maliyeti düşülerek elde edilirken,portföye alınan varlıkların giderine işlem maliyeti eklenmektedir. Bu gelir-giderkorunumu kısıtı aşağıda gösterilmiştir. N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i [20], [21] Kısıtın ilk kısmında satımların işlem maliyeti düşüldükten sonraki geliri eldeedilirken, ikinci kısmında da alımların işlem maliyeti eklenmiş giderleri elde edilmiş vebunların farkının sıfırdan büyük olması sağlanmıştır. İkinci grup kısıt ise aşağıdagörülen ve her bir varlık için hazırlanacak, işlem akışının korunması kısıtlarıdır.
  40. 40. 40 xi  bi  x ai  x si  0 [20], [21] i  1,..., N Bu kısıttaki bi sabiti her bir varlığın başlangıçta elde bulunan oranını,şlemlerden sonra elde kalan oranını, ve ’de i varlığından alınan ve satılanlarınoranını göstermektedir. Bu kısıtların eklenmesi ile aşağıdaki genel model elde edilir. N N Min. xi .x j . ij i 1 j 1 s.t. N  x . i 1 i i R [20], [21] N N  x .1  m    x .1  m   0 i 1 si i i 1 ai i xi  bi  x ai  x si  0 xi  0 Burada,N : mevcut varlık sayısı,µ i : i varlığın beklenen getirisi (i = 1,..,N), ij : i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değeri (i = 1,..,N), (j = 1,..,N), : i = j için i varlığının varyans değeri,R : hedeflenen beklenen getiri düzeyi,bi : i varlığının başlangıçta portföydeki oranıdır. (0 ≤ b ≤ 1), (i = 1,..,N),xi : karar değişkenleri, : i varlığının portföy içindeki oranıdır. (0 ≤ X ≤ 1), (i = 1,..,N),xsi : karar değişkenleri, : i varlığının portföyden satılan oranıdır. (0 ≤ xsi ≤ 1), (i = 1,..,N),x ai : karar değişkenleri, i varlığının portföye yeni alınan oranıdır. (0 ≤ x ai ≤ 1), (i = 1,..,N),mi : i varlığının alım ve satımdaki işlem maliyeti oranı (i = 1,..,N),
  41. 41. 414.2. İşlem Maliyetlerini İçeren Ortalama-Varyans Modeli Örneği: Bu kısımda, ele alınacak problemde hisse sentleri modellenecektir. Problemde, 5adet hisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için işlem maliyetlerini içeren Markowitzportföy seçim modeli oluşturulacak ve çözülecektir. Çözüm ortamı olarak Excel veçözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır. Yatırımcının başlangıç portföyü 5hisse için sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10, 0.20, 0.30 oranlarında dağılmıştır. İşlem maliyetleriyapılan işlem hacminin %1’i dir. Bu kısıtlar altında oluşturulan modelin açık haliaşağıda görülmektedir. Min. 0.0072 X ² - 0.0320 X .X + 0.0006 X .X – 0.0008 X .X – 0.0128 X .X + 0.0519 X ² +0.0180X .X – 0.0142 X .X + 0.0288X .X + 0.0185 X ² x3² - 0.0108X .X + 0.0064X .X + 0.0111 X ² +0.0070 X .X + 0.0323 X ² Kısıtlar, 0.053X + 0.132X + 0.102 X + 0.081X + 0.102X = 0.10 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99X + 0.99 X – 1.01 X – 1.01X – 1.01X – 1.01 X –1.01X ≥0 X – 0.30 - X + X =0 X – 0.10 –X +X =0 X – 0.10 – X +X =0 X – 0.20 – X +X =0 X – 0.30 –X +X =0 X , X , X , X , X ≥ 0 Tablo 4.1’de işlem maliyetlerini de içeren Ortalama-Varyans portföy seçimmodeli Excel’de modellenmiştir. Modelin 5 ve 6. satırlarında standart modelden farklıolarak işlem maliyet yüzdeleri ve başlangıç portföyü dağılımı modele parametre olarakeklenmiştir. Ayrıca 17 ve 18. satırlarda portföyden satılan ve portföye alınan varlıklarınoranına karşılık gelen yeni karar değişkenleri de tanımlanmıştır.
  42. 42. 42 Tablo 4.1. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelininExcel’de gösterimi B C D E F G23 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 54 Ortalama getiri %5.3 %13.2 %10.2 %8.1 %10.25 İşlem Maliyeti %1.0 %1.0 %1.0 %1.0 %1.06 Başlangıç Portföyü %30.0 %10.0 %10.0 %20.0 %30.089 Kovaryans Matrisi Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 510 Hisse 1 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.006411 Hisse 2 -0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.014412 Hisse 3 0.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.003213 Hisse 4 -0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.003514 Hisse 5 -0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.032315 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.317 Portföyden Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.018 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.719 Denge %0.0 %0.0 %0.0 %0.0 %0.02021 Portföy Getirisi %10.022 Hedeflenen Getiri %10.02324 Portföyden Satışlar %58.7 Portföy Varyansı 0.005825 Portföyden Alımlar %58.7 Standart Sapma 0.075926 Nakit Akış Dengesi %-0.0 C19:G19 aralığında işlem akışının korunması kısıtları tanımlanmıştır. Örneğin1.hisse için bu korunum, =C18-C6-C17+C16 formülüyle sağlanmıştır. Böylece hisse1’in yeni portföydeki ağırlığının başlangıç portföyündeki ağırlığı eksi başlangıçportföyünden satılan ağırlığı ve başlangıç portföyüne eklenen ağırlıkları toplamına eşitolması sağlanmıştır. C26 hücresinde ise portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyealınacak varlıklara ödenecek gideri karşılaması kısıtı tanımlanmıştır. C24 hücresindeportföyden yapılan satışların getirisi işlem maliyeti düşülerek =SUMPRODUCT((1-C5:G5),C16:G16) formülüyle hesaplanmıştır. C25 hücresinde ise portföye yapılan
  43. 43. 43alımların gideri işlem maliyeti de eklenerek =SUMPRODUCT((1+C5:G5),C17:G17)formülüyle hesaplanmıştır. C26 hücresinde ise gelir ve giderlerin farkı =C24-C25formülüyle elde edilmiştir. Modelde kullanılan tüm formüller ve alan tanımlamaları tablo 4.2’degörülmektedir.Tablo 4.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüllerAralık Tanım Hücre FormülC4:G4 Ortalama Getiriler C19 =C18-C6-C17+C16 C19:G19 aralığına kopyalanmıştır.C5:G5 İşlem Maliyetleri C21 =SUMPRODUCT(C4:G4;C18:G18)C6:G6 Başlangıç Portföy C24 =SUMPRODUCT((1-C5:G5);C16:G16) YapısıC10:G14 Kovaryans Matrisi C25 =SUMPRODUCT((1+C5:G5);C17:G17)C16:G16 Portföyden C26 =C24-C25 Çıkanlar (Karar D.)C17:G17 Portföye Alınanlar G24 =SUMPRODUCT (Karar D.) (MMULT(C18:G18;C9:G13);C18:G18)C18:G18 Yeni G25 =SQRT(G24) Portföy (Karar D.)C19:G19 Denge EşitlikleriC21 Portföy GetisiC22 Hedeflenen GetiriC24:C26 Nakit Akış DengesiG24 Portföy VaryansıG25 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 4.2’de solver parametresi görülmektedir.
  44. 44. 44Şekil 4.1. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırladığı G24 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipiminimizasyon olarak belirtilir. “By Cahnging Cells (Hücreleri değiştirerek)” bölümünde karar değişkenlerinindeğerinin hesaplanması için belirlenen C16:G18 alanı girilir. “Subject to the Constraints(Kısıtlar Altında)” bölümünde ise optimizasyon sürecinde gözününde bulundurulacakkısıtlar tanımlanır. Bu kısıtlar sırasıyla, işlem akışının korunmasını sağlayan C19:G19=0,portföyden satılan varlıklardan elde edilen gelirin, portföyde alınacak varlıklaraödenecek gideri karşılamasını sağlayan C26 ≥ 0, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasınısağlayan C21 ≥ C22 ve karar değişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayanC16:G18 ≥ 0 kısıtlarıdır. Model Solver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarakportföy seçim modeli optimize edilir. Tablo 4.3’de işlem maliyetlerini de içerenMarkowitz portföy seçim modelinin %1 işlem maliyeti ve sırasıyla 0.30, 0.10, 0.10,0.20, 0.30 oranlarındaki başlangıç portföyü için çözümünün sonuçları görülmektedir.
  45. 45. 45Tablo 4.3. İşlem maliyetlerini içeren portföy optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G15 Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 516 Portföyden Satılan %30.0 %0.0 %0.0 %0.0 %29.317 Portföye Alınan %0.0 %15.3 %22.4 %20.4 %0.018 Yeni Portföy Ağırlıkları %0.0 %25.3 %32.4 %40.4 %0.7 Çözüm sonuçları incelendiğinde hisse 1’de başlangıçta %30 olan oranı tamamensatılarak, yeni portföyde yer almadığı görülmektedir. Hisse 2’nin %10 olan ağırlığı%15.3’lük eklemeyle %25.3’e yükselmiştir. Aynı şekilde Hisse 3’te 0.224’lük artışla%32.4 ağırlığa sahip olmuştur. Hisse 4’de %20.4’lük artışla %40.4 ağırlığa sahipolmuştur. Hisse 5’ten ise başlangıçtaki %29.3’lük ağırlığı satılarak tüm portföyiçerisindeki ağırlığı %0.7’ye gerilemiştir. Dikkat edilirse yeni portföy ağırlıkları toplamının 1’den biraz daha az olduğufark edilecektir (0.981). Bunun nedeni portföyün belli bir yüzdesinin işlem maliyetlerinedeniyle yok olmasıdır.4.3. LINGO ile Modelleme: Çalışmanın bu kısmında önceki kısımlarda kurulan Markowitz ortalama-varyansportföy seçim modeli LINGO doğrusal-doğrusal olmayan programlama platformundada modellenecektir. Bu kısmı çalışmaya eklemekteki temel motivasyonumuz büyükölçekli modellerin kurulması sürecinde bu platformun daha etkin desteksağlayabilmesidir. LINGO ile optimizasyon modelleri oluşturulurken yazılımın modelleme dilikullanılmaktadır. Bu kısımda öncelikle standart Markowitz ortalama-varyans portföyseçim modeli LINGO modelleme platformunda oluşturulmuş, ardından da modelde yeralan bileşenler açıklanmıştır.
  46. 46. 46MODEL:! Standart Markowitz Portföy Modeli;SETS:HISSE/1..5/: START, AL, SAT, ORT, MLYT, X;KOVMAT(HISSE,HISSE): V;ENDSETSDATA:! Veri Setleri;! Hisse senetlerinin 1 dönem sonraki beklenen getirisi;ORT = 0.053 0.132 0.102 0.081 0.102 ;! Kovaryans matrisi;V= 0.0072 -0.0160 0.0003 -0.0004 -0.0064-0.0160 0.0519 0.0090 -0.0071 0.01440.0003 0.0090 0.0185 -0.0054 0.0032-0.0004 -0.0071 -0.0054 0.0111 0.0035-0.0064 0.0144 0.0032 0.0035 0.0323 ;! İşlem maliyetleri; MLYT = 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01;! Portföyün başlangıç durumu;START = 0.30 0.10 0.10 0.20 0.30;! Portföyün hedeflenen getirisi;GETIRI = 0.10;ENDDATA! Model;! Amaç: Portföy Varyansı Minimizasyonu;[VAR] MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J) * X(I) * X(J));! Hedeflenen Portföy Getirisi Kısıtı;[KAZANC] @SUM ( HISSE: ORT(ı) * X(ı)) >= GETIRI;! Bütçe Kısıtı: Satislar, alimlar ve islem maliyetlerini karsilamali;@SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) >= 0;!Her hisse icin denge esitlikleri;@FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I););END4.4.Model ile ilgili açıklamalar: Kümeler (SETS): Modelde, yatırım yapabilecek 5 hisse senedine karşılık gelenHISSE adlı bir basit küme (primitive set) tanımlanmıştır. HISSE kümesinden,
  47. 47. 47HISSE’nin kendisi ile çarpımıyla elde edilen KOVMAT türetilmiş kümesi (dense set)elde edilmiştir. Bu türetilmiş küme kovaryans matrisini tanımlamaktadır. Öznitelikler (ATTRIBUTES): Modelde yedi öznitelik tanımlanmıştır. STARTbaşlangıç portföyünü , AL, portföye alınan hisse ağırlıklarını gösteren karadeğişkenlerini, SAT, portföyden satılan hisse ağırlıklarını gösteren karardeğişkenlerini, MLYT, işlem maliyet oranlarının, ORT, hisse senetlerinin beklenengetirilerini, X, ise portföyün nihai ağırlıklarını gösteren karar değişkenlerini oluşturmakiçin tanımlanmıştır. Anlaşılacağı üzere X(i), i hisse senedine yapılacak yatırımyüzdesine karşılık gelmektedir. Amaç Fonksiyonu: Prtföy varyansını minimize etmek üzere tasarlanan amaçfonksşyonu aşağıdaki gibi ifade edilmiştir. MIN = @SUM(KOVMAT(I,J): V(I,J)*X(I)*X(J)); [ 24], [25] Kısıtlar: Modeldeki ilk kısıt olan, hedeflenen getiri düzeyine ulaşılması kısıtıaşağıdaki gibi gösterilmiştir. @SUM(HISSE: ORT*X) ≥ GETİRİ; [24], [25] Bu kıstın sol tarafı hisse senetlerinin beklenen getirileri ile portföydekiağırlıklarını çarparak portföy getirisi elde edilmektedir. İkinci kısıt ise satışların,alımları ve işlem maliyetlerini karşılamasını sağlayan bütçe kısıtıdır. @SUM(HISSE(I): SAT(I)*(1-MLYT(I))) - @SUM(HISSE(I): AL(I)*(1+MLYT(I))) ≥ 0; [24], [25]Üçüncü grup kısıt ise her hisse için akış korunumunu sağlayan denge eşitlikleridir. @FOR(HISSE(I): X(I) = START(I) + AL(I) – SAT(I); ); [24], [25] Tüm hisseler için kısıtın yazılması @FOR ifadesi ile mümkün olmaktadır.Modelin çözümü ektedir.
  48. 48. 485. SENARYO TABANLI PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE FARKLI RİSKÖLÇÜTLERİ Portföy oluşturulması sürecinde, gelecekte olması düşünülen senaryoları gözönünde bulundurarak portföy seçimi yapan modeller de geliştirilebilir. Bir senaryo (si),yatırım yapabilecek varlıklar kümesindeki n enstrümanın bir dönem sonraki getirilistesidir. Her bir senaryonun gerçekleşme olasılığı da pi olarak tanımlanırsa, m adetsenaryo için bir dönemlik rassal getiri oluşum grafiği Şekil 5.1’de gösterilmiştir. Fiyat Düzeyi Rassal Getiriler Portföy Senaryo 1 kararı Senaryo 2 Senaryo 3 t t +1 Senaryo m DönemŞekil 5.1. Senaryolara göre portföy getirilerinin oluşumu. Yatırımcının senaryo optimizasyonu yapmadan önce, olası senaryolarıbelirlemesi gerekmektedir. Her bir s j senaryosu n adet enstrümanın o senaryodoğrultusundaki getirilerini içermektedir. Dolayısıyla rij i varlığının j senaryosuna göregetirisidir. Senaryolar, geçmiş getiriler, uzman görüşleri, finansal modeller ya dabunların kombinasyonlarından türetilebilir. Bu bölümde senaryo tabanlı portföyoptimizasyonu modeli oluşturulacak ve çözülecektir.
  49. 49. 495.1. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu: Öncelikle her bir senaryo için, o senaryonun gerçekleşmesi durumunda portföygetirisinin ne olacağı tanımlanmalıdır. Bir s j senaryosunun gerçekleşmesi sonucu eldeedilecek portföy getirisi, r j , o senaryo altında varlıkların getirileri, rij , ile varlıklarınportföy ağırlıklarının x i çarpımlarının toplamı sonucu aşağıdaki gibi elde edilir. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) [26] Bu ifade ile modelde senaryo sayısı kadar kısıt oluşacaktır. Karar verici,gerçekleşen senaryo sonucunda ulaştığı getirinin, hedeflediği getiriden farkını birdeğişken olarak modele dahil etmelidir. Bu d j değişkenlerinin her bir senaryo içinsenaryo getirisi ile hedeflenen getirinin farkı olduğunu gösteren M adet kısıt aşağıdakigibi oluşturulur. d j = rj – R (j = 1,…,M) [26] Senaryo getirisinin hedeflenen getirinin altında kalması durumunda d j negatifdeğer alacaktır. Aynı şekilde üstünde oluşması durumunda ise pozitif değer alacaktır.Bu nedenle d j değişkenleri modelde sınırsız değişkenler olarak tanımlanmalıdır.Beklenen getiriyi veren, senaryoların getirileri, r j , ile gerçekleşme olasılıklarının, p j ,çarpımları toplamının hedeflenen getirinin altında kalmaması da aşağıda görülen birdiğer kısıttır. M p j 1 j .r j  R [26]
  50. 50. 50 Portföyde yer alan varlıkların ağırlıkları toplamının 1’e eşit olması kısıtı daaşağıdaki şekilde oluşturulur. N x i 1 i =1 [26] Modelin amaç fonksiyonu ise toplam beklenen sapmanın minimize edilmesiolarak tanımlanacaktır. Toplam beklenen sapma ise her bir senaryonun hedeflenengetiriden sapmasını gösteren dj değişkenleri ile senaryoların gerçekleşmeolasılıklarının, p j , çarpımlarının toplamı aşağıdaki gibi minimize edilecek amaçfonksiyonu olarak gösterilebilir. M Min. p j .( d j ) 2 [26] j 1 Karar değişkenlerinin negatif olamama kısıtı da eklendiğinde aşağıdaki genelmodel elde edilir. M Min.  p .(d j j )2 j 1 s.t. N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d j = rj – R (j = 1,…,M) N x i 1 i =1 [26], [27] M p j 1 j .r j  R
  51. 51. 51 x i  0, i = 1,…,N d j , sınırsız j = 1,…,MBurada,N mevcut varlık sayısı,M senaryo sayısı,pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),dj senaryo getirisinin hedeflenen getiriden sapma miktarı, (karar değişkeni) (j =1,…,N) Yukarıda görülen senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinde amaçfonksiyonunda varyans-kovaryans matrisi bulunmamaktadır. Varlıkların birbirleri ilekolerasyonu dolaylı olarak kısıtlarda gösterilmektedir. Geçmiş dönem getirilerinin herbiri eşit olasılığa sahip bir senaryo olarak alınırsa, senaryo tabanlı portföyoptimizasyonu modelinin çözümü, standart Markowitz portföy seçim modeli ile aynıçıkacaktır. Dolayısıyla, senaryo tabanlı portföy optimizasyonu, Markowitz portföyseçim modelinin farklı bir gösterimdir.5.2. Senaryo Tabanlı Portföy Optimizasyonu Örneği: Bu kısımda, kısım 3.3’de oluşturulan örnek modellenecektir. Problemde, 5 adethisse senedinden oluşan bir yatırım uzayı için geçmiş dokuz dönemlik getirilerin herbiri, gerçekleşme olasılığı 1/9 olan bir senaryo olarak alınacaktır. Çözüm ortamı olarakExcel ve çözücü olarak da Solver eklentisi kullanılacaktır.
  52. 52. 52 Aşağıda örnek için açık formu görülen modelin amaç fonksiyonunda,senaryoların hedeflenen getiriden sapmalarının kareleri toplamı, senaryolarıngerçekleşme olasılıkları ile ağırlıklandırılarak minimize edilmiştir. İlk dokuz kısıt herbir senaryo getirisinin o senaryonun varlık getirileri ile portföy ağırlıklarınınçarpımlarının toplamına eşit olmasını sağlayan kısıtlardır. Modeldeki ikinci dokuz kısıtise her biri senaryonun sapmasının, senaryonun getirisi ile hedeflenen getiri arasındakifark olmasını sağlayan kısıtlardır. Bir sonraki kısıt portföy ağırlıkları toplamının 1olmasını sağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı toplamının 1 olmasınısağlayan kısıttır. Son kısıt ise senaryoların ağırlıklı getirileri toplamının hedeflenengetirinin altında kalmamasını sağlayan kısıttır. Modelde sapma değişkenleri sınırsızolarak tanımlanmıştır. Görüldüğü gibi standart portföy seçim modeline ek olarak her bir varlık için üstsınır kısıtı olarak 5 yeni kısıt modele eklenmiştir. 2 2 2 2 2 2 2Min. 0.111 d1 + 0.111 d2 + 0.111 d3 + 0.111 d4 + 0.111 d5 + 0.111 d6 + 0.111 d7 + 0.111 2 2d8 + 0.111 d9Kısıtlar,r1 – ( 0.10 x1 + 0.20 x 2 + 0.10 x3 + 0.014 x 4 + 0.20 x5 ) =0r2 – ( 0.036 x1 + 0.146 x 2 + 0.152 x3 – 0.07 x 4 – 0.104 x5 ) =0r3 – ( 0.14 x1 - 0.273 x 2 - 0.132 x3 + 0.167 x 4 + 0.163 x5 ) =0r4 – ( -0.077 x1 + 0.475 x 2 + 0.212 x3 + 0.039 x 4 + 0.28 x5 ) =0r5 – ( 0.117 x1 + 0.085 x 2 + 0.075 x3 – 0.063 x 4 – 0.141 x5 ) =0r6 – ( -0.03 x1 + 0.156 x 2 – 0.116 x3 + 0.267 x 4 – 0.036 x5 ) =0r7 – ( 0.154 x1 - 0.189 x 2 + 0.289 x3 + 0.158 x 4 + 0.113 x5 ) =0r8 – ( -0.067 x1 + 0.40 x 2 + 0.122 x3 + 0.091 x 4 + 0.441 x5 ) =0r9 – ( 0.10 x1 + 0.19 x 2 + 0.218 x3 + 0.125 x 4 + 0.00 x5 ) =0d 1 - r1 = -0.10d 2 - r2 = -0.10d 3 - r3 = -0.10
  53. 53. 53d 4 - r4 = -0.10d 5 - r5 = -0.10d 6 - r6 = -0.10d 7 - r7 = -0.10d 8 - r8 = -0.10d 9 - r9 = -0.10x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =10.111 r1 + 0.111 r2 + 0.111 r3 + 0.111 r4 + 0.111 r5 + 0.111 r6 + 0.111 r7 + 0.111 r8 + 0.111 r9  0.10x1 , x2 , x3 , x4 , x5  0r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9  0d 1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 , d 7 , d 8 , d 9 , sınırsız Tablo 5.1’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modeli Excel’demodellenmiştir.Tablo 5.1. Senaryo optimizasyon modelinin Excel’de gösteri B C D E F G H I J K 2 Senaryo Senaryo Hedeften Denge Kısıtlar 3 Senaryolar Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Olasılığı Getirisi Fark ı 4 S1 %10.0 %20.0 %10.0 %1.4 %20.0 %11.1 %8.6 %-1.4 0% 5 S2 %3.6 %14.6 %15.2 %-7.0 %-10.4 %11.1 %5.3 %-4.7 0% 6 S3 %14.0 %-27.3 %-13.2 %16.7 %16.3 %11.1 %-3.5 %-13.5 0% 7 S4 %-7.7 %47.5 %21.2 %3.9 %28.0 %11.1 %19.9 %9.9 0% 8 S5 %11.7 %8.5 %7.5 %-6.3 %-14.1 %11.1 %1.7 %-8.3 0% 9 S6 %-3.0 %15.6 %-11.6 %26.7 %-3.6 %11.1 %11.5 %1.5 0% 10 S7 %15.4 %-18.9 %28.9 %15.8 %11.3 %11.1 %12.0 %2.0 0% 11 S8 %-6.7 %40.0 %12.2 %9.1 %44.1 %11.1 %17.4 %7.4 0% 12 S9 %10.0 %19.0 %21.8 %12.5 %0.0 %11.1 %17.1 %7.1 0%
  54. 54. 54 13 14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam 15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100% 16 17 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.00535 18 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317 Modelde kullanılan formüller ve alan tanımlamaları Tablo 5.2’de görülmektedir.Tablo 5.2. Modeldeki alan tanımlamaları ve kullanılan formüllerAralık Tanım Hücre FormülC4:G12 Senaryolara Göre Getiriler H4 =1/9 H4:H12 aralığına kopyalanmıştır.H4:H12 Senaryo Olasılıkları I4 =SUMPRODUCT(C4:G4;$C$15:$G$15) I4:I12 aralığına kopyalanmıştırI4:I12 Senaryo Getirileri K4 =I4-$D$18-J4 K4:K12 aralığına kopyalanmıştırJ4:J12 Senaryo Getirilerinin Hedeflenen H15 =SUM(C15:G15) Getiriden Sapma Miktarı (Karar Değişkeni)K4:K12 Denge Kısıtları D17 =SUMPRODUCT(H4:H12;I4:I12)C15:G15 Varlıkların Portföydeki Payı (Karar K17 =SUMPRODUCT((J4:J12)^2;H4:H12) Değişkeni)H15 Portföy Payları Toplamı K18 =SQRT(K17)D17 Portföy GetirisiD18 Hedeflenen GetiriK17 Portföy VaryansıK18 Portföy Standart Sapması Excel’de oluşturulan model, Solver eklentisi kullanılarak optimize edilmeyehazırdır. Şekil 5.2’de Solver parametreleri görülmektedir.
  55. 55. 55Şekil 5.2. Solver parametreleri “Set Target Cell (Hedef Hücreyi Belirle)” bölümüne amaç fonksiyonu ifadesininhazırlandığı K17 hücresi girilir. “Equal to (Eşit)” bölümünde amaç fonksiyonunun tipiminimizasyon olarak belirtilir. “By Changing Cells (Hücreleri değiştirerek)” kısmına portföy ağırlıklarınınhesaplanacağı karar değişkenleri için belirlenen C15:G15 alanı ve sapmalarınhesaplanacağı J4:J12 aralığı girilir. “Subject to the Constraints (Kısıtlat Altında)”bölümünde ise optimizasyon sürecinde göz önünde bulundurulacak kısıtlar tanımlanır.Bu kısıtlar sırasıyla, tüm fonun yatırım enstrümanlarına dağıtılmasını sağlayan H15 = 1,hedeflenen getiri düzeyine ulaşılmasını sağlayan D17 ≥ D18, senaryo sapmalarını,senaryo getirisi ve hedeflenen getiri ile ilişkilendiren K4:K12 = 0 ve karardeğişkenlerinin negatif değer almamasını sağlayan C15:G15 ≥ 0 kısıtlarıdır. ModelSolver’da tanımlandıktan sonra “Solve (Çöz)” düğmesine basılarak portföy seçimmodeli optimize edilir. Tablo 5.3’de senaryo tabanlı portföy optimizasyonu modelinin%10 hedeflenen getiri düzeyi için çözümünün sonuçları görülmektedir.Tablo 5.3. Senaryo optimizasyonu modelinin çözümü B C D E F G H I J K14 Portföy Hisse 1 Hisse 2 Hisse 3 Hisse 4 Hisse 5 Toplam15 Ağırlıkları - %23.5 %32.9 %43.6 - 100%1617 Portföy Getirisi 10% Portföy Varyansı 0.0053518 Hedeflenen Getiri 10% Standart Sapma 0.07317
  56. 56. 56 Örnekteki senaryolar geçmiş dönem getirileri ve senaryo olasılıkları da eşitalındığı için modelin çözümü standart Markowitz portföy seçim modelinin çözümü ileaynıdır.5.3. Farklı Risk Ölçütleri – Yarı Varyans ve Alt Taraf Riski: Varyansın risk ölçütü olarak amaç fonksiyonunda yer alması ile senaryolarınbeklenen getirilerinden negatif ve pozitif yöndeki sapmalar minimize edilir. Oysasenaryo getirisinin beklenen getirinin üstünde kalması yatırımcı açısından bir riskunsuru değildir. Hatta tercih edilir. Yatırımcı sadece senaryo getirisinin beklenengetirinin altında kalmasını gösteren sapmayı minimize etmek isteyecektir. Bu kısımdaamaç fonksiyonunu oluşturmak üzere, negatif yöndeki sapmayı minimize edecek ikiölçüt sunulacaktır. Bunlardan birincisi yarı varyans (semi-variance), ikincisi de alt taraf(downside) riskidir. Öncelikle bu bölümün önceki kısımlarında tanımlanan d j sapma değişkeni,hedeflten pozitif ve negatif yönde sapmaları gösteren iki değişkene ayrıştırılacaktır. d  jhedeften pozitif yönde sapmayı, d  ise hedeften negatif yönde sapmayı gösterecektir. jDolayısıyla toplam sapma miktarı şu şekilde ifade edilecektir. d j = d+ d j j [19] Bir önceki kısımda gösterilen varyansın minimize edildiği portföy seçimmodelinin amacı şu şekilde dönüşecektir.
  57. 57. 57 M Min. p j .( d   d  ) 2 j j [19] j 1 Yarı varyansa göre oluşturulan amaç fonksiyonunda ise sadece ortalamanınaltındaki sapmalar aşağıda görüldüğü gibi minimize edilecektir. M Min. p j .( d  ) 2 j [19] j 1 Alt taraf riskini içeren amaç fonksiyonunda sapmada kare ifadesi yoktur.Dolayısıyla aşağıda görülen bu model doğrusal yapıdadır. M Min. p j .d  j [19] j 1 Sapma değişkenlerinin her bir senaryo için senaryo getirisi ile hedeflenengetirinin farkı olduğunu gösteren d j = r j - R kısıtı da aşağıdaki gibi değiştirilmelidir. d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) [19] Sapma değişkeni iki ayrı değişkenle ifade edildiğinden dolayı artık sınırsızolarak tanımlanması gerekmektedir. Bu değişikliklerin yapılması ile elde edilen farklı risk ölçütleri ile senaryotabanlı portföy optimizasyonu modeli aşağıda görülmektedir. Karar verici modeliistediği risk ölçütünü amaç fonksiyonu olarak belirleyip çözebilir. M Min. p j .( d   d  ) 2 j j ya da j 1
  58. 58. 58 M Min. p j .( d  ) 2 j ya da j 1 M Min. p j .d  j j 1 [20],[23], [24] kısıtlar N rj =  r .x i 1 ij i (j = 1,…,M) d   d  = rj - R j j (j=1,…,M) N x i 1 i =1 M p j .r j  R j 1 [20],[23], [24] x i  0, i = 1,…,N d j  0, i = 1,…,MBurada,N mevcut varlık sayısı,M senaryo sayısı,pj j senaryosunun gerçekleşme olasılığı (j = 1,…,M),rj r senaryosunun portföy ağırlıkları doğrultusunda getirisi (j = 1,…,M),rij i varlığının j senaryosunda getiri verisi (i = 1,…,N), (j = 1,…,N),R hedeflenen beklenen getiri düzeyi,xi i varlığının portföy içindeki oranı, (karar değişkeni) (i = 1,…,N),d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden pozitif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)d j senaryo getirisinin hedeflenen getiriden negatif sapma miktarı, (karar değişkeni) (j = 1,…,N)

×