опора по кутам

1. Кути, вписані в коло
Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається плоским кутом.
Плоскі кути із спільними сторонами називаються доповняльними. Якщо плоский кут є
частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута
з тими самими сторонами.
Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у його центрі кола.
Частина кола, розміщена всередині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає
цьому центральному куту. Градусною мірою дуги кола називається градусна міра
відповідного центрального кута.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у
коло. Точки, у яких сторони вписаного кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги.
Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину кута,
називається центральним кутом, який відповідає даному вписаному куту.
На рисунку:
— вписаний;
— спирається на хорду BC;
— спирається на дугу BC;
— центральний кут, відповідний вписаному куту AВC.
Теорема 1. Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.
Теорема 2. Вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні (рисунок нижче зліва).
Вписані кути, які спираються на одну й ту саму хорду та вершини яких лежать по різні боки
від хорди, у сумі дорівнюють (рисунок справа).
Теорема 3. Вписані кути, що спираються на діаметр, прямі.
І навпаки, якщо вписаний кут прямий, він спирається на діаметр (див. рисунок нижче).
Теорема 4. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, — середина гіпо-
тенузи.
І навпаки, якщо центр описаного навколо трикутника кола — середина сторони, то цей
трикутник — прямокутний, а діаметр кола — його гіпотенуза.

2. Теорема 5. У прямокутному трикутнику медіана, що проведена до гіпотенузи, дорівнює
половині гіпотенузи й розбиває трикутник на два рівнобедрені трикутники (див. рисунок).
І навпаки, якщо медіана трикутника дорівнює половинійого сторони, то цей трикутник —
прямокутний, а медіану проведено з вершини прямого кута.
На рисунках наведені деякі види кутів, пов’язаних з колом.
Розглянемо, як знаходити їх градусні міри.

3. Пропорційність відрізків хорд і січних кола
Теорема 1. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то (рисунок 1).
Теорема 2. Якщо з точки P до кола проведені дві січні, що перетинають коло відповідно в
точках A, B, C, D, то (рисунок 2).
Тобто добуток січної, проведеної до кола з даної точки на її зовнішню частину, є число
незмінне.
Теорема 3. Якщо з точки P до кола проведені дотична, яка проходить через точку дотику A, і
січна, яка перетинає коло в точках B і C, то (рисунок 3).
Рис. 1
Рис. 2 Рис. 3
Тобто для січної і дотичної, що проведені до кола з однієї точки, квадрат дотичної дорівнює
добутку січної на її зовнішню частину.
Теорема 4. Хорди, що з’єднують кінці паралельних хорд, рівні.
Вписані й описані чотирикутники
Теорема 1. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його
протилежнихкутів дорівнює .
На рисунку .
Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва),
зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей.
Радіус — половина діагоналі.
Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див.
рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо
паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба
не можна описати коло.)
Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його

4. протилежнихсторін дорівнюють одна одній.
На рисунку .
Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або
паралелограм загального виду.
Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус
кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половиністорони (рисунок справа).
Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного
трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти
прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута.
Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ
дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину
бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половинівисоти трапеції. У випадку рівнобічної
трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через
середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її
середній лінії.