Margoth intro

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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER:3 - VIGENTE: 19-05-2016
UTEPSA – Guía MAAP
INTRODUCCION A LAS
MATEMATICAS I
Versión: 3 Edición: 1 Año: 2017
Modalidad Presencial
CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

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Misión de UTEPSA:
“Lograr que cada estudiante desarrolle una
experienciaacadémicade calidad,excelencia,con
valores, responsabilidad social, innovación,
competitividad, y habilidades emprendedoras
durante su formación integral para satisfacer las
demandasde unmercadoglobalizado.”
Esto se sintetizaen:
“Educar para emprender y servir”
Visión de UTEPSA:
“Ser una universidad referente y reconocida por
sucalidadacadémica,investigaciónycompromiso
con la comunidad, en la formación de
profesionales íntegros, emprendedores e
innovadores, según parámetros y normativas
nacionalese internacionales”.”

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¿Qué es la Guía MAAP?
Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos,
orienta los esfuerzos del estudiante para garantizarun exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento.
Esta herramienta, otorga autoestudio y autoaprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras actividades
que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar diferentes
competencias.
I. Recordatorios y Recomendaciones
A su servicio
Aunque las normas generales están claramente
establecidas, si a usted se le presenta una situación
particular o si tiene algún problema en el aula, o en
otra instancia de la Universidad, el Gabinete
Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para
ayudarlo.
Asistenciay puntualidad
Su asistencia es importante en TODAS las clases.
Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el
Reglamentode laUniversidadse contemplantres
faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del
Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted
sobrepasaesta cantidadde faltasREPROBARÁ LA
ASIGNATURA.
Se considera“asistencia”estaral inicio,durante y
al final de la clase. Si llega más de 10 minutos
tarde o si se retira de la clase antes de que esta
termine, no se considera que haya asistido a
clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y
la puntualidadlosdías de evaluación.
Comportamientoen clases
Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna
circunstanciacomeno bebendentro
el aulay tampoco organizanfestejos
u otro tipode agasajosen estosespacios,
para este finestáel Patiode Comidas.
Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los
espaciosidentificadosparafumadores.
También se debe evitar la desconcentración o
interrupciones molestas por el uso indebido de
equiposelectrónicoscomoteléfonosytablets.
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al
docente, al personal de apoyo o al personal
administrativo, será sancionada de acuerdo al
Reglamentode laUniversidad.

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II. Orientaciones para el aprendizaje
La Guía MAAP, contiene diferentesactividades de aprendizaje que han sido clasificadasy marcadas con
algunossímbolos.
La tablaa continuación,le permitirácomprenderyfamiliarizarse concadauna de estasactividades:
Símbolo Actividad Descripción
Preguntas
A travésde cuestionarios,se repasan
lasbasesteóricasgeneralesparauna
mejorcomprensiónde lostemas.
Prácticos y/o
Laboratorios
Los prácticos permiten una
experiencia activa; a través, de la
puestaen prácticade loaprendido las
cuales según la carrera, pueden
desarrollarse enlaboratorios.
Casos de Estudio
y ABP
Son planteamientos de situaciones
reales, en los que se aplica los
conocimientos adquiridos de manera
analíticay propositiva.
Investigación
Las actividadesde investigación,
generannuevosconocimientosy
aportesa lo aprendido.
Innovación y/o
Emprendimiento
A travésde estaactividad,se agrega
una novedadalo aprendido,conel fin
de desarrollarhabilidades
emprendedoras.
Aplicación
Al final de cada unidady despuésde
haberconcluidocontodas las
actividades,se debe indicar,cómolos
nuevosconocimientosse pueden
aplicary utilizarala vidaprofesional y
a las actividadescotidianas.
Ética
Responsabilidad Social
Formación Internacional
Idioma Ingles
Serán actividades transversales que
pueden ser definidas en cualquiera
de las anterioresactividades.

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III. Datos Generales
ASIGNATURA:INTRODUCCION A LASMATEMATICAS
SIGLA: BMS-300
PRERREQUISITO: NINGUNO
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:
 El estudiante podrá Comprender los temas básicos de Aritmética, Álgebra, Trigonometría y
GeometríaAnalítica,utilizandosusconocimientos matemáticosysu capacidadde razonamiento
enun ambiente próximoala vidacotidiana,pararesolversituacionesyproblemasreales.
TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas
Teóricas
Horas
Prácticas
# de
Clases
UnidadI Introducciónala lógicasimbólica 8 15 5
UnidadII Conjuntos 6 15 5
UnidadIII Operacionesconnúmerosreales 6 15 5
UnidadIV Logaritmos 5 15 5
UnidadV Fundamentosde algebra 5 15 5
UnidadVI Ecuaciones 5 15 3
UnidadVII Inecuaciones 5 10 3
UnidadVIII Trigonometría 5 10 3
UnidadIX GeometríaAnalítica 5 10 3
TOTAL 50 120 40
ESTRUCTURA TEMÁTICA
Contenido por unidades
1. Introducción a la lógica simbólica
1.1. Introducción
1.2. Lógica de proposiciones
1.2.1 Proposición
1.2.2 Clasificación delas proposiciones.
1.2.3 Conectivos lógicos
1.3. Operaciones Proposiciones
1.3.1. Negación
1.3.2. Conjunción
1.3.3. Disyunción
1.3.4. Implicación
1.3.5. Doble implicación
1.3.6. Disyunción exclusiva
1.3.7. Valor de verdad de proposiciones compuestas

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1.4 Tablas deverdad
1.4.1. Clasificaciónde lasformulasproposicionales
1.5. Algebra proposicional
1.5.1. Leyes lógicas
1.6. Circuitos lógicos
2. Introducción a la lógica simbólica
2.1 Introducción.
2.2 Teoría de conjuntos
2.2.1. Conjunto
2.2.2. Elemento
2.2.3. Pertenencia
2.3 Conjuntos numéricos
2.4 Diagramas deVenn – Euler:
2.5 Clases deconjuntos
2.6 Inclusión deconjunto
2.7 Determinación de un conjunto
2.8 Operaciones con conjuntos
2.8.1. Unión de conjuntos
2.8.2. Intersección de conjuntos
2.8.3. Diferencia de conjuntos
2.8.4. Diferencia simétrica deconjuntos
2.8.5. Complemento de un conjunto
2.9 Leyes de operaciones entre conjuntos
2.10 Operaciones con tres conjuntos
2.11 Cardinalidad deun conjunto
2.12 Intervalos
1.12.1. Clases deintervalos
1.12.2. Operaciones con intervalos
3. Operacionescon númerosreales
3.1 Introducción.
3.2 Operaciones básicasdela aritmética
3.2.1. Suma o Adición
3.2.2. Resta o sustracción
3.2.3. Multiplicación o producto
3.2.4. División o cociente
3.3 Signos de agrupación
3.4 Conceptos básicos
3.5 Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
3.6 Fracciones
3.6.1. Clasificación delas fracciones
3.6.2. Simplificación defracciones
3.7 Operaciones con fracciones.

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3.7.1. Suma y resta
3.7.2. Multiplicación
3.7.3. División
3.7.4. Fracciones complejas
3.8. Regla de tres
3.8.1. Regla de tres simpledirecta
3.8.2. Regla de tres simpleinversa
3.9. Porcentaje
3.10. Potenciación
3.10.1. Propiedades dela potenciación
3.10.2. Notación científica
3.11. Radicación
3.11.1. Propiedades de la radicación
3.11.2. Operaciones con radicales
3.11.3. Racionalización deradicales
4. Logaritmos
4.1.Introducción
4.2.Definición delogaritmo
4.3. Sistemas de logaritmos
4.3.1. Logaritmo decimal
4.3.2. Logaritmo neperiano
4.4.Propiedades de los logaritmos
4.5.Cambio de base
4.6.Aplicaciones
5. Fundamentosde Algebra
5.1. Conceptos básicos.
5.1.1. Termino algebraico
5.1.2. Expresión algebraica
5.1.3. Términos semejantes
5.1.4. Reducción de términos semejantes
5.1.5. polinomio
5.1.6. Grado de un polinomio
5.1.7. Valor numérico de un polinomio
5.2. Operaciones con polinomios
5.2.1. Suma
5.2.2. Resta
5.2.3. Multiplicación
5.2.4. División
5.3. Productos notables
5.3.1. Cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidades
5.3.2. Cubo de la suma o diferencia de dos cantidades
5.3.3. Suma por la diferencia de dos cantidades

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5.4. Binomio de Newton
5.5. Descomposición factorial
5.5.1. Factor común
5.5.2. Trinomio cuadrado perfecto
5.5.3. Diferencia de cuadrados
5.5.4. Trinomio de la forma x2+ bx + c
5.5.5. Trinomio de la forma ax2+ bx + c
5.5.6. Factorización por Ruffini
5.6. Operaciones con fracciones algebraicas
5.6.1. Simplificación
5.6.2. Mínimo común múltiplo
5.6.3. Suma y resta
5.6.4. Multiplicación y división
5.6.5. Potenciación y radicación
6. Ecuaciones
6.1 Definición
6.2 Ecuación lineal
6.3 Ecuación cuadrática
6.3.1. Resolución por factorización
6.3.2. Resolución por fórmula general
6.4 Ecuación racional
6.5 Ecuación irracional
6.6 Ecuación logarítmica
6.7 Ecuación exponencial
6.8 Ecuación con valor absoluto
6.9 Sistemas de ecuaciones lineales
6.1.1. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
6.1.2. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas
7. Inecuaciones
7.1. Concepto
7.2. Inecuación lineal
7.3. Inecuación cuadrática.
7.4. Inecuación fraccionaria
7.5. Inecuación con valor absoluto
8. Trigonometría
8.1 Introducción
8.2 Ángulos
8.3 Triángulos
8.4 Relación entre radianes y grado sexagesimal
8.5 Triángulos rectángulos
8.5.1. Relación entre lados y ángulos deun triángulo rectángulo
8.6 Triángulos oblicuángulos
8.7 Identidades trigonométricas.

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9. GeometríaAnalítica
9.1. Introducción
9.2. Conceptos básicos
9.2.1 Sistema de coordenadas rectangulares
9.2.2 Par ordenado
9.2.3 Distanciaentre dos puntos
9.2.4 Punto medio
9.2.5 Punto de división
9.3. La Recta
9.3.1 Inclinación y pendiente
9.3.2 Formas de la ecuación deuna recta
9.3.3 Rectas paralelasy perpendiculares
9.4. La circunferencia
9.5. La parábola
9.6. La elipse
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
 Lazo Q., S.(2010). Álgebra con Trigonometría y Geometría Analítica. Bolivia:EdicionesPopulares.
 Swokiwski, E.W. y Cole, J.A. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México:
Cengage Learning.
COMPLEMENTARIA
 Zill.D.(2012).Álgebra y Trigonometría.3eraEdición.México.McGraw-Hill/Interamericana.
 Larson R. y otros(2008). Cálculo.México:McGraw-Hill/Interamericana.
 Larson,R; Hostetler,R.(2006) Cálculo y Geometría Analítica. Colombia.MacGraw Hill.
PÁGINAS WEB:
 http://www.manfredohurtado.jimdo.com
 Videos: http://julioprofe.net/courses_group/calculo/
 http://www.escolar.com/matem/25potenc.htm
 http://www.geocities.com/aritmeticarecreativa/
 http://www.sapiens.ya.com/geolay/aritmetica.htm
 http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/de
partamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/index.php
 http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/natalia/Ñatex/nocle4.html
 http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html#ecua
 http://www.unlu.edu.ar/mapco/apuntes/230/mapco/230.html
 http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Inecuaciones/inecindex.html
 http://www.cnice.mecd.es/Descartes/4b_eso/La_circunferencia/circunfe2.htm

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4. Sistema de Evaluación
A continuación, se presentael sistemade evaluaciónsugeridoparalaasignatura:
NÚM.
TIPO DE
EVALUACIÓN
UNIDADES A EVALUAR
PUNTOS SOBRE
100
1 PRUEBA PARCIAL Unidades (1 a 4) 20
2 PRUEBA PARCIAL Unidades (5 a 8) 20
3
TRABAJOS PRÁCTICOS
(PROBLEMAS ABP-
EJERCICIOS)
Ejercicios propuestos en la guía MAAP,
Problemas ABP. Realizados en clases y en
su domicilio.
20
4 EVALUACIÓN FINAL
Todos los temas de forma integral desde
la Unidad1 hastala 9
40
Descripciónde las características generalesde las evaluaciones:
PRUEBA
PARCIAL1
La primera evaluación está referida a ejercicios prácticos y problemas ABP de las
unidades(1a 4). En las cualesse tomarán2 evaluaciones.
PRUEBA
PARCIAL2
La segundaevaluaciónestáreferidaa ejerciciosy problemasABPde aplicaciónde las
unidades(5A 8). En lascualesse tomarán 2 evaluaciones.
TRABAJOS
PRÁCTICOS
Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje, como ejercicios y
problemas ABP propuestos en la guía MAAP, que los estudiantes realizarán durante
la materia,yasea enformaindividual ogrupal.
EVALUACIÓN
FINAL
La evaluación final está dada por el 40% directa a través de ejercicios y problemas
ABP.Del total del avance (9 unidades).

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5. Objetivos y Actividades de cada Unidad
UnidadNo 1
INTRODUCCIONA LA LOGICASIMBOLICA
OBJETIVOS:
 Traducir proposicionesverbalesdellenguaje usualal simbólico yviceversa.
 Valorarproposicioneslógicas.
 Simplificarproposicionales.
Actividades:
1. ¿Qué esla lógicasimbólicayqué estudia?
2. ¿Qué esuna proposiciónycomose clasifica?
3. ¿Qué son losconectivoslógicos,cuálesson?
4. ¿Qué característica tienenlosconectivoslógicosycuálessonsusvaloresde verdad?
5. ¿Qué son losvaloresde verdadde proposicionescompuestas?
6. ¿Qué son lastablasde verdady como se clasifican?
Definalasproposicionessimplesysimbolice el siguiente enunciado:
“La decisióndependerádel juicioolaintuición,ynode quiénpagó más”
Solución
p: La decisión dependerádel juicio. (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑟
q: La decisióndependeráde laintuición
r: La decisióndependeráde quiénpagomas
Hallar el valorde verdadde la siguiente proposición:
[(𝑝 ∨ ~𝑞)] ∧ 𝑠 → ~ (~ 𝑟 ∨𝑠)
Sabiendoque
( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )
v p V v q F v r F v s V
    :
[(𝒑 ∨ ~ 𝒒) ∧ 𝒔] → ~(~𝒓 ∨ 𝒔)
[(𝑽 ∨ ~ 𝑭)∧ 𝑽] → ~(~𝑭 ∨ 𝑽)

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[(𝑽 ∨ 𝑽) ∧ 𝑽] → ~(𝑽 ∨ 𝑽)
[𝑽 ∧ 𝑽] → ~(𝑽)
𝑽 → 𝑭
𝑭
Hallar el valorde verdadde las proposicionesp,q,r y s, sabiendoque
~(𝑟 → ~ 𝑝) ∧ (~ 𝑞 ∧ 𝑠) esV
~(𝑟 → ~ 𝑝) ∧ (~ 𝑞 ∧ 𝑠)
V ∧ V
~(F) ∧ (V ∧ V)
~ (V →F) ∧ (~ F ∧ V)
~ (V → ~ V) ∧ (~F ∧ V)
Entonces: v(p) = V; v(q) =F; v® = V; v(s) = V
Construirla tablade verdadde la proposición: ~ 𝑝 → (𝑞 ∨ ~ 𝑟)
p q r ~ p ~ r q ∨ ~ r ~p → (q∨ ~ r)
V V V F F V V
V V F F V V V
V F V F F F V
V F F F V V V
F V V V F V V
F V F V V V V
F F V V F F F
F F F V V V V
Otro método:
p q r ~ P → ( q ∨ ~ r )
V V V F V V V F
V V F F V V V V
V F V F V F F F
V F F F V F V V

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F V V V V V V F
F V F V V V V V
F F V V F F F F
F F F V V F V V
LEYES LÓGICAS
1. Leyesde Idempotencia:
p p p
p p p
 
 
2. Leyesconmutativas:
p q q p
p q q p
  
  
3. Leyesasociativas:
   
   
p q r p q r
p q r p q r
    
    
4. Ley de doble negación: ~ (~ 𝑝)
5. Leyesde negación(tercioexcluido): 𝑝 ∧ ~ 𝑝 = 𝐹
𝑝 ∨ ~ 𝑝 = 𝑉
6. Leyesde identidad(neutro): 𝑝 ∧ 𝑉 = 𝑝
𝑝 ∨ 𝐹 = 𝑝
7. Leyesde Morgan: ~ (𝑝 ∧ 𝑞) = ~ 𝑝 ∨ ~ 𝑞
~ (𝑝 ∨ 𝑞) = ~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞
8. Definiciónde implicación: 𝑝 → 𝑞 = ~ 𝑝 ∨ 𝑞
9. Definiciónde doble implicación: 𝑝 ↔ 𝑞 = (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝) = ~ (𝑝 ∨ 𝑞)
10. Leyesdistributivas:
     
     
p q r p q p r
p q r p q p r
     
     
11. Leyesde absorción:
 
 
p p q p
p p q p
  
  
12. Leyesde dominación:
p F F
p V V
 
 

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Simplificarusandoleyeslógicas: [(𝑝 ∧ ~ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)] → (~ 𝑝 ∧ ~𝑞)
[(𝑝 ∧ ~ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞)] → (~ 𝑝 ∧ ~𝑞)
[𝑝 ∧ (~𝑞 ∨ 𝑞) ] → (~ 𝑝 ∧ ~𝑞) Leydistributiva
[𝑝 ∧ (𝑞 ∨ ~𝑞) ] → (~ 𝑝 ∧ ~𝑞) Leyconmutativa
[𝑝 ∧ 𝑉] → (~𝑝 ∧ ~𝑞) Leyde negociación
𝑝 → (~𝑝 ∧ ~𝑞) Leyde identidad
~𝑝 ∨ (~ 𝑝 ∧ ~ 𝑞) Definiciónde implicación
~ 𝑝 Leyde Absorción

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Practico # 1
Tema: Lógica Simbólica
1. Dadoslossiguientesenunciados,indiquecuálessonproposicionesycuálesno.Determineel valorde
verdadde las proposicionesencontradas.
a) 3+2=6
b) 1 esun numeroentero,pero2no lo es.
c) Compracinco azulesycuatro rojas.
d) x = 2
e) ¿Cuál estu nombre?
f) ¡¡¡VivaSantaCruz!!!
g)
h) Pitágorasesfamosopor su teorema.
i) Si terminode resolverel práctico,podré rendirexamen.
j) Todoslos númerosnaturalessonpositivos
k) No esverdadque tressea unnumeropar.
2. Seanp,q yr lasproposiciones“El numeroN esimpar”,“Lasalidavaalaimpresora”y“Losresultados
salen del CPU”, respectivamente. Traduzca cada una de las siguientes proposiciones en lenguaje
corriente.
a) 𝑝 → ~𝑞 b) q r
 c) 𝑟 → (𝑝 ∨ ~ 𝑞)
3. Seanp,q,rlosenunciadossiguientes:p:“Estudiaré matemáticas”, q:“Iré ami clase decomputación”,
r: Estoy de buenhumor”.Traduzca cada una de lassiguientesproposicionesenlenguajecorriente
a) ~ 𝑝 ∧𝑞 b)  
r p q
  c) ~𝑟 → (𝑝 ∨ ~𝑞) d) (~𝑝 ∧ 𝑞) ↔ 𝑟
4. De lassiguientesproposicionescompuestasestablecer cuálessonlasproposicionessimplesy
simbolizar:
a) Si esta plantano crece,entoncesnecesita másaguao necesitamejorabono.
b) Si está nevandoyla lunanoestá brillando,entoncesFelipe nosaldráadar un paseo.
c) Si una sustanciaorgánicase descompone,entoncessuscomponentesse transformanen
abonoy fertilizanal suelo.
5. Seanlas proposiciones:p:“Estanevando”, q:“Iré a la ciudad”y r: Tengotiempo. Escribir,usando
conectivoslógicos,unaproposiciónque simbolice lasafirmacionessiguientes:
a) No estánevando.
b) Si está nevandoentoncesnotendré tiempo ynoiré a la ciudad.
6. Encuentre las proposiciones simples participantes, simbolice y proponga en lenguaje común una
expresiónequivalentealaoriginal.

 10

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a. Si Carlos viene conSebastiánytrae sucamionetairemostodosal campo.
b. Si la materiano se crea ni se destruye ysolose transforma,el universosiempre haexistido
c. Un númeroesprimo,si es divisible soloporsi mismooporla unidad.
d. Si Joaquín contestaestapreguntaaprobara.
e. Que el acusado hayaestadopresente ala hora del crimenimplicaque esculpable.
f. El policíame multódebidoaque circulabacon excesode velocidad.
7. Sabiendo que ( ) )
~ (~
p q r s

  es Falsa, encuentre el valor de verdad de las siguientes
fórmulasproposicionales:
a. ~ ~ ) ~
( p q q

b. ( ) [(~ ) ]
~ r q q r s

 

c. ( ) ( ) ]
~
[
p q p q q

 

8. Sabiendoque pesVerdadera,yque qyr sonproposicionescualesquiera,halleelvalorde verdadde:
a. (𝑝 → 𝑞) → [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ~𝑞]
b. [( ) ( )]
~
r p q p r
 
 
c. [𝑞 ↔ (𝑝 ∧ 𝑞)] ↔ (𝑞 ∧ ~𝑝)
9. Si las simplificaciones y son verdaderas, ¿Cuál es el valor de verdad
de p y de r?
10. Hallarel valor de verdadde lasproposicionesp, q,r y s,sabiendoque:
a) (~𝑝 → 𝑞) ∨ ~ (𝑟 ∧ ~𝑠) esfalsa
b) ~( 𝑟 → ~𝑝) ∧ (~𝑞 ∧ 𝑠) esverdadera
c) (~𝑝 ∧ 𝑞) → (~ 𝑟 → 𝑠) esfalsa
d) ~(𝑝 ∨ ~𝑟) ∧ ~(𝑞 → ~𝑠) esverdadera
11. Dadas lasfórmulasproposicionalessiguientes,
i. Construyalacorrespondientetablade verdad.
ii. Simplifiqueaplicandoleyeslógicas.
iii. ClasifiqueenTautología,ContradicciónoContingencia.
a) [~𝑝 ∧ 𝑞) →∧( 𝑟 ∧ ~ 𝑟)] ∧ ~𝑞
b) ~ [(~p q) p] q
c) [(~p q) (q r)] ~(p ~r)
    
d) [(~p q) ~r] [ ~(p ~q)]
r
    
e) [( ~p) ( ~q)] [~p ) (~q )]
r p r p
      
f) ~p {(~q r) [(~q r) s]}
12. Dados losenunciadossiguientes,
i. Simbolizar,
q
p 
 q)
~
( r
~
)
( 
 q
p
  
    

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ii. Negarlo simbolizado,
iii. Traducir al lenguaje normal lonegado,enunciándolode lamejormanera posible (utilice
leyeslógicasde sernecesario).
a) Esta proposiciónesatómicaomolecular
b) O el profesorestáenfermoonotiene ganasde trabajar.
c) Si es el sábadoo el domingo,Gabrielavaal concierto.
d) Estoy enla clase de Lógica si y solosi soy alumnode primeraño.
e) Atiendolasexplicaciones,peronoentiendo.
f) Cuandoesde día hay luz;sinembargo,lalunaha desaparecidoynohay luz
g) No esciertoque,si reprueboel parcial,pierdoestaasignaturaolaabandono.
h) Si AndreadesafinaoJosé se equivocaal piano,Silverse enfada.
i) Si Gualbertoviajaa Sucre,se encontrarácon suhermana;y ademáscon sus tías.
13. Construirel circuitológicoque representa acada una de las proposicionessiguientes:
a)  
r s t
 
b) (~𝑞 → ~𝑝) → [𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)]
c) {(𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ [~𝑞 ∨(~ 𝑝 ∧ 𝑞)]} ∧ (𝑝 ∨ 𝑞)

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Unidad No 2
CONJUNTO
OBJETIVOS:
 Identificar a que conjunto pertenece cualquier número real.
 Realizar operaciones con conjuntos.
 Aplicar la teoría de conjuntos para resolver problemas de aplicación.
 Realizar operaciones con intervalos
Actividades:
2.1. Introducción:
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que nos permite agrupar elementos que
presenten características similares para realizar diferentes operaciones entre ellos, con el
objetivo de utilizarse en estudios estadísticos y otras disciplinas.
2.2. Teoría de conjuntos:
2.2.1. Conjunto: Colección, agrupamiento o reunión
de objetos llamados elementos, generalmente se
representan con letras mayúsculas del alfabeto.
2.2.2. Elemento es cada uno de los objetos que
constituyen un conjunto, se representan con letras
minúsculas o números.
2.2.3. Pertenencia (): El símbolo  nos permite
relacionar cada uno de los elementos con el conjunto
que los contiene.
Si un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza
el símbolo . Ejemplo:
D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo} martes D
A = {1, 2, 3, 4, 5} – 3 A
M = {x/x es un mes del año} Agosto M

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2.3. Conjuntos numéricos: Los números son todas las expresiones que representan valores
determinados. Por ejemplo: el número 5, expresa un solo valor, cinco. Hay muchos conjuntos de
números y se clasifican en:
 Números naturales (N): Son todos los números que se utilizan para contar y ordenar.
 
0, 1, 2, ... ,
  
 Números enteros (Z): Son todos los números naturales, el cero, y los opuestos a los
naturales.
 
, ... , 2, 1, 0, 1, 2, ... ,
      
 Números racionales (Q): Son todos los números que se pueden expresar como el cociente
de dos números enteros. También se denominan números fraccionarios.
1 1 5
Q ... 3, , 0, , , ...
2 3 2
 
   
 
 
 Números irracionales (QI): Son números que tienen infinitas cifras decimales no periódicas,
no se pueden expresar en forma de fracción.
i
1
Q ... 3, , 0, 2 , log3, , ...
2

 
  
 
 
 Números reales (R): Están formados por los racionales (Q) e irracionales (Qi)
1
... 3, , 0, 2 , log3, , ...
2
R 
 
  
 
 
 Números imaginarios (I): Son los números que resultan de calcular la raíz par de cantidades
negativas en el radicando. Se expresan en forma general de la siguiente manera: 1
 
i
 Números complejos (C): Son aquellos números que están formado por una parte real y otra
imaginaria. Se representa de la forma: a b
   i . Ejemplo. 3 2
 i
Gráficamente los números están relacionados de la siguiente manera:
2.4. Diagramas de Venn – Euler:
Complejos
C
Reales
R
Imaginarios
i
Racionales
Q
Enteros
Z
Naturales
N
Irracionales
QI

20
 Los conjuntos se representan gráficamente por una curva simple cerrada.
 Los elementos que pertenecen al conjunto se representan en el interior de la curva.
 Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan en el exterior de la curva.
 Ningún elemento puede representarse sobre la curva.
2.5. Clases de conjuntos:
 Conjunto Finito: Son aquellos conjuntos que tiene un número definido de elementos
Resolver:  
/ 2 5
A x N x
     
3,6,9,12,15,18,21,24,27
W 
 Conjunto Infinito: Son aquellos conjuntos que tienen un número infinito de elementos
Resolver:  
0,1,2,3,4,5,6,7,8,...
B   
/ es numero par
A x x

 Conjunto Vacío: Es un conjunto que carece de elementos. También se le llama conjunto
nulo, y se le denota por el símbolo Ø ó { }.
Resolver:
 
/ es persona que vuela
A x x
 A = { } ó A = Ø
 
/ es numero racional e irracional
B x x
 B = { } ó B = Ø
 
2
/ es solucion real de x 1 0
C x x
   C = { } ó C = Ø
 Conjunto Unitario: Es todo conjunto que está formado por sólo un elemento.
Resolver:
 
6
A 
 
2
/ es solución de x +1= 0
B x x
 B = {– 1}

21
 
/ es numero par y 2 < x < 6
C x x
 C = {4}
 Conjunto Universo: Es el conjunto que contiene a todos los
elementos que son motivo de estudio. Se le denota por la letra U.
Resolver:  
/ es letra del alfabeto
U x x

 
/ es una consonante
A x x

 Conjuntos disjuntos y no disjuntos:
 Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.
 Si dos conjuntos A y B tienen algún elemento común entonces A y B no son disjuntos.
Resolver: ¿Los siguientes conjuntos son disjuntos?
   
2,3,4 1,3,5
A B
     
, , , , , , ,
M o p q r s N s t v u
 
A y B son disjuntos. M y N no son disjuntos.
2.6. Inclusión o subconjunto (Si dados dos conjuntos A y B, todos los elementos del
conjunto A pertenecen al conjunto B, se dice que:
 El conjunto A está incluido en el conjunto B.
 El conjunto A es subconjunto del conjunto B.
/ ,
A B x x A x B
     
A está incluido en B si y sólo si para todo x tal que x
pertenece a A implica que x pertenece a B.
Observación:
 La pertenencia relaciona un elemento con un conjunto.
 La inclusión relaciona dos conjuntos. De acuerdo a la definición de inclusión, pueden darse
los siguientes casos:
 Inclusión del conjunto vacío: El conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
 Inclusión doble: Si todos los elementos de B pertenecen a A. También se llama doble
inclusión igualdad de conjuntos.
2.7. Determinación de un conjunto:

22
 Por Extensión: Cuando se enumeran todos los elementos del conjunto.
 Por Comprensión: Cuando los elementos se expresan por medio de una propiedad que
los caracteriza.
POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN
 
, , , ,
A a e i o u
  
/ es vocal
A x x

 
0,1,2,3,4,5
B   
/ 5
B x N x
  
 
1,3,5,7,9
C   
/ es numero impar menor que 10
C x x

2.8. Operaciones con conjuntos: Las operaciones entre conjuntos determinan a su vez
otros conjuntos, de acuerdo con sus respectivas definiciones.
 Complemento Ac
 Unión 
 Intersección 
 Diferencia 
 Diferencia simétrica 
1.8.1. Unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, la unión de
los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B (o a ambos a la vez). Se
denota: A B y se define como:
 
/
A B x x A x B
    
Dado los conjs. :  
0,1,2,3,4,5
A   
0,2,4
B  ; y  
5,6,8
C 
Efectuar las operaciones y construir los diagramas
respectivos:
a) A C b) B C c) A B
 
 
0,1,2,3,4,5
5,6,8
A
C


 
0,1,2,3,4,5,6,7,8
A C
 
b)
 
 
0,2,4
5,6,8
B
C


 
0,2,4,5,6,8
B C
 
c)
 
 
0,1,2,3,4,5
0,2,4
A
B


 
0,1,2,3,4,5
A B
 

23
1.8.2. Intersección de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección del
conjunto A con el conjunto B al conjunto formado por todos los
elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B. Se denota por
A B, se lee: A intersección B, y se define:
 
/
A B x x A x B
    
Dado los conjuntos:  
0,1,2,3,4,5
A  
3,5,7
B  ; y
 
2,4
C  , efectuar las operaciones y construir los
diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
a)
 
 
0,1,2,3,4,5
2,4
A
C


 
2,4
A C
 
b)
 
 
3,5,7
2,4
B
C


B
 
B C
 
c)
 
 
0,1,2,3,4,5
3,5,7
A
B


 
3,5
A B
 
1.8.3. Diferencia de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre el
conjunto A y el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos pertenecientes al conjunto
A que no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A – B, se lee: A diferencia B ó A menos B y
se define como:
 
/
A B x x A x B
    
Dados los conjuntos:  
, , , ,
A a b c d e
  
,
B a e
 ; y  
, ,
C d f g
 , efectuar y
construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
a)
 
 
, , , ,
, ,
A a b c d e
C d g f


b)
 
 
,
, ,
B a e
C d g f


c)
 
 
, , , ,
,
A a b c d e
B a e


C
3
5
7
2
4

24
 
, , ,
A C a b c e
   
,
B C a e
 
 
, ,
A B b c d
 
1.8.4. Diferencia simétrica de conjuntos: Se llama
diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B, al conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al
conjunto B, pero no ambos. Se denota por: A B , se lee: A
diferencia simétrica B y se define como:
 
 
/
A B x x A x B x A B
      
Dados los conjuntos:  
, , , ,
A a b c d e
  
,
B a e
 ; y
 
, ,
C d f g
 , efectuar y construir los diagramas respectivos:
a) A C b) B C c) A B
a)
 
 
, , , ,
, ,
A a b c d e
C d g f


 
, , , , ,
A C a b c e f g

b)
 
 
,
, ,
B a e
C d g f


 
, , , ,
B C a e d f g

c)
 
 
, , , ,
,
A a b c d e
B a e


 
, ,
A B b c d

1.8.5. Complemento de un conjunto: Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto
universal U, se llama complemento de A con respecto a U al conjunto AC
formado por todos los
elementos de U pero no de A. Simbólicamente se expresa:
 
/
C
A x x U x A
   
Resolver:
a) Sean
 
 
, , , ,
,
U m a r t e y
A t e


b) Sean
 
 
, , , , , ,
/ es vocal de la palabra vida
U a r i t m e c y
B x x



25
 
, ,
C
A m a r
  
, , , ,
C
B t r e c m

1.9. Leyes de operaciones entre conjuntos
a) Leyes de idempotencia b) Leyes asociativas
 AA A ABC AB C
AA A ABC AB C
c) Leyes conmutativas d) Leyes distributivas
AB B A AB CABAC
AB B A AB CABAC
e) Leyes de identidad
A U U y AU A
A A y A
f) Leyes del complemento
AAC
U y AAC

Ac
 C
A y UC
  C
U
g) Leyes de Morgan
A C
A C
B C
A C
A C
B C
Sea el conjunto U xN /1x 9y los conjuntos A 1,2,3,4, B 3,4,5,6
Hallar:
1) AB 2) B A 3) AC
4) BC 5) ABC
6) ABC
Solución:
U 1,2,3,4,5,6,7,8,9  A 1,2,3,4   B 3,4,5,6

26
1.10. Operaciones con tres conjuntos: En cada uno de los diagramas de Venn se identifican
las áreas sombreadas de algunas operaciones con tres conjuntos.

27
1.11. Cardinalidad de un conjunto: Queda determinada por el número de elementos que
tiene el conjunto. Se denota (A) que representa la cardinalidad de A.
Si    
1,2,3,4 4
A A

  
Si    
x/x es dia de la semana 7
D D

  
 Propiedades de la Cardinalidad de Conjuntos:
Sean A, B, C tres conjuntos en un universo U:
1)      
c
A U A
  
 
2)      
A B A A B
  
   
3)      
A B A B A B
  
    
4)        
A B A B A B
   
    
5)                
A B C A B C A B A C B C A B C
       
             
Sean los conjuntos:
U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {-1, 0, 1}; B = { x / x2 U} ; C = {xU / 0 x <
7}
Hallar: a) (A - B) b) (A B) c) (BC CC) d) (A B C)
Solución:
A = {-1, 0, 1} (A) = 3 B = {– 2, – 1, 0, 1, 2, 3} (B) = 6
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} (C) = 7 A C = {0, 1} (A C) = 2
BC = {4, 5, 6, 7, 8, 9} (BC) = 6 B C = {0, 1, 2, 3} (B C) = 4
CC = {– 2, – 1, 7, 8, 9} (CC) = 5 BC CC = {7, 8, 9} (BC CC) = 3
A B = {– 1, 0, 1} (A B) = 3 A B C = {0, 1} (A B C) = 2
Por tanto, se tiene:
(A - B) = (A) – (A B) = 3 – 3 = 0
(A B) = (A B) – (A B) = (A) + (B) – 2(A B)= 3 + 6 – 2(3) = 3
(BC CC) = (BC CC) – (BC CC) = (BC) + (CC) – 2(BC CC) = 6 + 5 – 2(3) = 5
(A B C) = (A) + (B) + (C) – (A B) - (A C) – (B C) + (A B C) =

28
3 + 6 + 7 – 3 – 2 – 4 + 2 = 9
Estos resultados se muestran en el siguiente
diagrama:
En un universo de 26 elementos se tienen 3 conjuntos A, B y C. Tenemos que:
       
     
6 8 8 7
13 8 15
c
A B c A B B C A C
C A B B
   
  
        
   
Determine:      
) ) )
a A b C B c A C
  
 
a)
     
 
 
8 = 8
16
A B A A B
A
A
  


   


b)
     
 
= 13 8
5
C B C C B
C B
  

   

 
c)
     
 
= 16 7
9
A C A A C
A C
  

   

 
1.12. Intervalos: Es un subconjunto de los números reales. Gráficamente se representan
sombreando una parte del “eje” que es una recta horizontal en cuyo centro está el número “0”,
donde los números positivos están a la derecha y los números negativos están a la izquierda.
–  …. ….. + 
2.12.1. Clases de intervalos: Sean a y b dos elementos de R, tal que a < b.
a) Intervalo Abierto: ] a ; b [ = { x / a < x < b}
–  a 0 b + 
Ejemplo: ] – 5; 4 [ = { x / – 5 < x < 4}
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2

29
–  – 5 0 4 + 
b) Intervalo Cerrado: [a; b ] = { x / a  x  b}
–  a 0 b + 
Ejemplo: [– 5; 4 ] = { x / – 5  x  4}
–  – 5 0 4 + 
c) Intervalo Infinito: [a;+  ] = { x / x ≥ a}
–  a 0 + 
Intervalo infinito: ] –  ; b ] = { x / x < b}
–  0 b + 
Ejemplo: [– 5;+  ] = { x / x ≥-5}
–  – 5 0 + 
Ejemplo: ]– ; 4 [ = { x / x < 4}
–  0 4 + 
Graficar los siguientes intervalos
a) ] – 5; +  [ = { x / x > – 5}
–  – 5 0 + 
b) ]– ; 4 ] = { x / x  4}

30
–  0 4 + 
c) [– 5; +  [ = { x / x ≥ – 5}
–  – 5 0 + 
d) ]– 5; 4 ] = { x /– 5 < x  4}
–  – 5 0 4 + 
2.12.2. Operaciones con intervalos: Sean los intervalos I1 = – 4; 3 y I2 = 1; 6 [.
Hallar: a) I2
C
b) I1  I2 c) I1  I2, d)I2  I1, e)I1  I2
Solución:
I1 =  -4; 3 = { x  Z / -4< x  3 }
I2 = 1; 6 [ = { x  Z / 1  x < 6 }
a) I2
C
= – ; 1[  [ 6; +  [ = { x  Z / –  < x < – 1  6  x < +  }
I2
I2
C
b) I1  I2 = ] -4; 6[ = { x  Z / – 4 < x < 6 }
I1
–  -4 0 1 3 6 +

–  – 4 0 3 +
–  -4 0 1 3 6 +

–  -4 0 1 3 6 + 
–  -4 0 1 3 6 +

–  – 4 0 6 + 
–  – 4 0 3 + 

31
I2
I1  I2
c) I1  I2= 1; 3 ] = { x  Z / 1  x  3 }
I1
I2
I1  I2
d) I2  I1 = ] 3; 6 [ = { x  Z / 3 < x < 6 }
I1
I2
I2  I1
e) I1  I2 = ]-4; 1[  ] 3; 6 [ = { x  Z / 3 < x < 6 }
I1
I2
I1  I2
–  – 4 0 3 + 
–  -4 0 1 3 6 +
–  – 4 1 3 3 +

–  – 4 0 3 + 
- -4 0 1 3 6 + 
–  – 4 0 0 3 6 + 
–  – 4 0 3 + 
–  -4 0 1 3 6 + 
–  – 4 0 0 1 3 3 6 + 

32
Practico # 1
Tema: Clasificación y Determinación de conjuntos
1. Determinar por extensión ó comprensión o ambos las siguientes expresiones, según
sea el caso:
a) Días de la semana; b) A xZ / 1x 4; c) C= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
d) Números impares menores que 11 y mayores que 0 ; e) E xZ / x 2
f) F= {primavera, verano, otoño, invierno}; g) D xZ / x 1

2. Indicar para cada inciso a qué clase de conjunto obedece:
a) M = {x / x es día de la semana} b) P = {vocales de la palabra vals}
c) R = {1, 3, 5, 7, 9,..} d) S = {x N / x < 15}
e) T = {x / x es presidente del Océano Pacífico}
3. Determinar si la afirmación es verdadera o falsa:
a) 6 A A = { 2, 4, 5, 6, 9 } b) x M M = { o, p, q, y }
INVESTIGACION
Investigar cómo se clasifican los números con decimales. Dé 10 ejemplos de cada clase.
Practico # 2
Tema: Operaciones entre conjuntos
Encontrar la solución por extensión y en diagramas de Venn para cada operación:
1. Dados los conjuntos:
U 1, 2, 3, 4, 5, ..............15 A = {x / x es múltiplo de 3 }
B = {x / x es múltiplo de 4 } C = {x / x es un número primo menor que 13 }
Hallar: a) A B b) (C – A ) B c) Ac
d) B C e) ( A B ) C
U xZ / 4 x 18  A xN / x es número primo
B xU / es divisor de 40  C 2, 0, 2, 4, 8, 10, 12, 14
Hallar: a) A CB b) C A c) ABC
U 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20  A 4, 6, 8, 10
B xU / es múltiplo de 3   C 0, 2, 4, 6, 8

33
Hallar: a) C BAC
b) AC
B c) C AB
U 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 A xU / x es número divisible entre 5
B xU / es múltiplo de 3   C 0, 2, 4, 6
Hallar: a) A CB b) ABCC
c) ABC
5. Dado los conjuntos: U = x Z/ – 4 x 8 A = x N/ x = 2n – 1, n < 4, n N
B = x N/ x = 3n, n < 3, n N  C = x Z/ x = n – 1, n < 6, n N 
Determinar: a) Expresar por extensión U, A, B, C y representar gráficamente los 4 conjuntos
b) (B AC
)B C  c) (C B) AC


6) Representar en Diagramas de Venn
a) A BCC
b) A BC
 c) A CC
B
7) Si U = x / xx Z / - 2 x 8  A = x N / x 4 
B = x N / x 3n - 2,n 3  C = x N / x 3k, k 3 
Encuentra analíticamente:
a) Determinar por extensión y Graficar los 3 conjuntos
b) (B Δ C)  A c) (B – C)C
– A
Practico # 3
Tema: Problemas ABP
1. Para realizar sus trabajos, en una biblioteca durante cierto día. 40 lectores piden el libro A; 30 el
libro B; 35 el libro C; 10 los A y B; 7 los B y C; 9 los C y A; 4 los libros A y B y C. Calcular a cuántos
lectores piden:
a) Sólo el libro A. b) Cuántos A o B.
c) Cuántos A o B pero no el C. d) Cuántos él A y C pero no el B.
e) Cuántos no piden el A. f) Cuántos un sólo libro.
g) Cuántos dos libros. h) Cuántos lectores piden los libros A o B o C.
2. Entre los 205 concurrentes a un restaurante: 100 piden el plato A; 85 el plato B; 90 el plato C; 35
piden los platos A y B; 15 los platos B y C; 25 los platos A y C; 5 piden los tres platos. Calcular,
cuántos piden:
a) Sólo el plato B. b) Los platos B o C.
c) Los platos A y B pero no el C. d) Los platos B o C pero no el A.
e) Un sólo plato. f) Dos platos.

34
g) No el plato C.
3. Para vacunarlos sorpresivamente se llevan 64 niños a un Centro de Salud. A 24 niños se les Aplica
la vacuna X; a 22 niños la vacuna Y; a 26 niños la vacuna Z; a 7 niños la X y la Y; a 8 la Y y la Z; a 9
la X y la Z; 3 niños reciben las tres vacunas. Calcular a cuántos niños se les aplicó:
a) Sólo la vacuna X. b) La X y Y pero no la Z.
c) La X o Y. d) La X o Y pero no la Z.
e) Dos vacunas. f) No le aplicó la X.
g) Ninguna vacuna.
4. En una encuesta a 2 000 personas, que escuchan Radio, se obtuvieron los datos siguientes sobre
las radios: Metropolitana (M); Panamericana (P); FIDES (F): 580 escuchan M; 840 escuchan P; 920
escuchan F; 260 escuchan M y P; 220 escuchan M y F; 300 escuchan P y F; 100 escuchan M y P y
F. Calcular:
a) El número que escucha sólo M. b) El número que escucha P o M.
c) El número que escucha P o F pero no M. d) El número que escucha M y P pero no F.
e) El número que escucha una sola radio. f) El número que escucha dos radios.
g) El número que no escucha ninguna radio.
5. De 250 personas de un vecindario, para enterarse de las noticias, se obtiene que: 140 ven Tv, 50
escuchan radio y ven Tv. Hallar el número de personas que escuchan radio y el número de personas
que solo escuchan radio.
6. Un estudio de mercado dio como resultado la siguiente información: 29 estudiantes les gusta el
jazz, 23 estudiantes les gusta el rock, 40 estudiantes les gusta la música clásica, 10 estudiantes les
gusta la música clásica y el jazz, 13 estudiantes les gusta la música clásica y el rock, 5 estudiantes
les gusta el jazz y el rock, 3 estudiantes les gusta el jazz, el rock y la música clásica. Si en total fueron
70 estudiantes encuestados calcular:
a. El número de estudiantes a quienes sólo les gusta la música clásica.
b. El número de estudiantes a quienes les agrada el jazz y el rock, pero no la música clásica.
c. El número de estudiantes a quienes no les gusta el jazz, ni el rock, ni la música clásica.
7. Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales
abiertaspara visitas: la pajarera yla cueva delleón. Ocho estudiantesvisitan la pajarera,de los cuales
seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva del león?
¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?
8. Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena, y todos se van a vestir en forma especial para ir a una
fiesta. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. Si 30 niños
fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron únicamente al baile,
¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos fueron únicamente al
concurso de disfraz?
9. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no estudian Sociología y 53 no estudian Filosofía. Si 27
estudiantes no estudian Filosofía ni Sociología, ¿Cuántos estudiantes estudian exactamente uno de
los cursos mencionados?
10. Efectuando una consulta política a 100 personas, se sabe que 50 apoyan al candidato A, 60 al B
y 20 apoyan a ambos. Calcular: a) Cuántos apoyan sólo a A; b) Cuántos a A o B; c) Cuántos a
ninguno; d) Cuántos no apoyan a B; e) Cuántos apoyan a un sólo candidato.

35
11. Al consultar la preferencia de los televidentes sobre los canales A y B, se obtuvo que: 120
observan el canal A; 110 el canal B; 200 observan A o B. Calcular: a) Cuántos observan A y B; b)
Cuántos sólo A; c) Cuántos no observan A.
12. De un total de 24 fanáticos de la música, 12 gustan del artista A; 14 del artista B; 3 de ninguno de
ellos. Calcular: a) Cuántos gustan de A y B; b) Cuántos de sólo B; c) Cuántos no gustan de B; d)
Cuántos gustan de un sólo artista.
13. Se hizo una encuesta a 160 alumnos de un internado sobre las preferencias de cuatro
carreras profesionales: Secretariado Internacional (S), Enfermería (E), Computación (C ) y
Biología, obteniéndose los siguientes datos: ninguno de los que prefieren (C) simpatizancon (B),
22 sólo con (S), 20 sólo con (E), 20 sólo con (C), 20 con (S) y (B) pero no con (E), 6 sólo con
(C) y (E), 4 con (S) y (C), 24 con (B) y (E), 28 sólo con (B). ¿Cuántos prefieren sólo (S) y (E), si
a todos les gusta por lo menos una de esas tres carreras?
14. La empresa Kia Motors Bolivia ha decidido aumentar su producción de coches, por lo que
saca a concurso 22 plazas de trabajo para titulados en ingeniería. Los aspirantes deben ser
ingenieros mecánicos, ingenieros en electricidad o ingenieros químicos. El requerimiento es de:
11 ingenieros en mecánica,12ingenieros en electricidad y 10 en química. Algunos puestos deben
ser ocupados por ingenieros con doble titulación, en concreto, 5 ingenieros mecánicos y
eléctricos, 4 ingenieros en mecánica y en química, y 4 en electricidad y química. Algunas de las
plazas ofrecidas deben ser ocupadas por ingenieros con triple titulación. ¿Cuántos ingenieros
han de poseer triple titulación? ¿Cuántos puestos hay para ingenieros que tengan únicamente
la especialidad en electricidad? ¿Cuántas plazas se ofrecen para ingenieros especializados en
electricidad y química pero no en mecánica?
15. Un club consta de 78 personas, de las cuales 50 juegan al fútbol, 32 al baloncesto y 23 al
voleibol. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. ¿Cuántas personas
practican sólo un deporte? ¿cuántas practican sólo dos deportes? ¿Cuántas practican al menos
dos deportes? ¿Cuántas practican a lo sumo dos deportes?
16. Se encuesta a 150 familias consultando por el nivel educacional actual de sus hijos.
Los resultados obtenidos son: 10 familias tienen hijos en Enseñanza Básica, Enseñanza Media
y Universitaria. 16 familias tienen hijos en Enseñanza Básica y Universitaria. 30 familias tienen
hijos en Enseñanza Media y Enseñanza Básica. 27 familias tienen hijos menores de 1 año.78 no
tienen hijos en EnseñanzaMedia. 72 familias tienen hijos en Enseñanza Media. 71 familias tienen
hijos en Enseñanza Básica. 38 familias tienen hijos en Enseñanza Universitaria.
Cuántas familias tienen: a) Solo hijos universitarios. b) Hijos en nivel básico de estudio. c) Hijos
solo en dos niveles de estudio. d) Hijos en por lo menos un nivel de estudio?
Practico # 4
Tema: Operaciones entre intervalos
1) Representar los conjuntos sobre la recta real y escribirlos en notación de intervalos
A = { x / x 3 } B = { x / x – 1} C = { x / x 12}
D = { x / x – 8} R = { x / 0< x 2} ; S = { x / 1< x < 3} ;
T = { x / – 4 x < – 3}

36
2. Representar sobre la recta real los siguientes intervalos y después escribir en notación
conjuntista.
A = -3, 1; B = 1, 2; C = -1, 3; D = -4, 2

3) Dados los siguientes intervalos:
C = 3; 7 ; D = – 2 ; 1 ; E = – 3, + B = 0; 4 
Resolver las siguientes operaciones y escribir en notación de conjuntos e intervalos los resultados.
a) CC
E b) DB c) E B d) C B
e) (C Δ E)  D f) (B – C)C
D g) C BEC
4. Sean los intervalos: A = – 4; 2 ; B = – 1; 6 ; C = – ; 1 
Realizar las siguientes operaciones mediante la representación en la recta real.
i) (A B)C
ii) B C iii) A C iv) A B v) B C vi) A C

37
Unidad No 3
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
OBJETIVOS:
 Conocer y aplicar las propiedades de los números reales, potencias y radicales.
 Operar correctamente con números reales.
 Reducir expresiones combinadas con números enteros, fracciones, radicales y potencias
Actividades:
3.1. Introducción: Medir y contar fueron probablemente las primeras actividades de tipo
matemático que realizó el hombre. Tuvieron que pasar muchos siglos para que él obtuviera un
concepto abstracto de número y realizára operaciones matemáticas.
3.2. Operaciones básicas de la aritmética:
3.2.1. Suma o adición (+): La sumaes una operación binaria, en la que a partir de dos números
cualesquiera a, b se encuentran un tercer número c a b c
  . Para todo , ,
a b c R
 , se cumplen
las siguientes propiedades:
 Conmutativa : a b b a
 Asociativa : a (b c) (a b) c
 Elemento neutro : a 0 a
 Inverso aditivo : a (a) 0
3.2.2. Resta o sustracción ( – ): Es la operación inversa a la adición, que consiste en hallar la
diferencia entre dos cantidades a, b. a b c
  . donde , ,
a b c R
 . La resta no tiene propiedades.
3.2.3. Multiplicación o producto ( , ,
  ): Operación que consisteen sumarrepetidamente una
cantidad a sí misma. Es decir que el producto de a b
 es una suma de a veces b.
a veces Para todo a,b,c R se cumplen las propiedades:
 Conmutativa : a b b c
 Asociativa : a b ca bc
 Neutro multiplicativo : a1a
 Inverso multiplicativo de a :
 Distributiva respecto a la suma:  
a b c a b a c
    
3.2.4. División o cociente (÷, / ): La división es la operación inversa de la multiplicación, en la
que dados dos números a,b se encuentra un tercero c . Se distinguen 2 casos de división, exacta
e inexacta.
b
b
b
b
b
a 



 ...
.
1
1
. 
a
a

38
 División exacta: a ÷ b c
 División inexacta: a ÷ b
3.3. Signos de agrupación y jerarquía de operaciones:Existen tres tipos fundamentales de
signos de agrupamiento:       , indican que primero se debe realizar cualquier
operación matemática o algebraica dentro de ellos. Para resolver una expresión aritmética
se deben seguir las siguientes reglas:
 Primero se resuelven las expresiones que se encuentran más adentro de los signos de
agrupación
 Se procede aplicando la jerarquía de operadores:
 Potenciación y radicación
 Multiplicación y división
 Suma y resta
 Al evaluar una expresión, si hay dos operadores con la misma jerarquía, se procede a
evaluar de izquierda a derecha.
Resolver:
a) 45 9 12 20 5 3 2 5 12 4 6 19
          
b)
1 3 5 1 6 3 6 27 7
(3 5) ( 2) 2
2 2 4 2 5 2 5 10 10
       
              
   
   
       
3.4.Conceptos básicos
 Numero primo: Es un numero natural, mayor que uno, que sólo es divisible por sí mismo y
por la unidad. Ejemplos: 3, 7, 17, 31.
 Número compuesto: Es un numero natural que además de ser divisible por sí mismo y
por la unidad, también es divisible por otro factor. Ejemplos: 4, 9, 16, 48.
 Divisibilidad:
 Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2, cuando termina en un número par o
cero.
 Divisibilidad por 3: Un número divisible por 3, cuando la suma de sus cifras es un
múltiplo de 3
 Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5, cuando termina en cinco o cero.
 Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7, si al separar la primera cifra de la
derecha multiplicando por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda, y
así sucesivamente da cero ó un múltiplo de 7.
 Divisibilidad por 11. Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de
sus cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras que ocupan los lugares
impares es cero o múltiplo de 11.
r
c
b
a
b
r
c 



 .

39
Resolver las siguientes divisibilidades:
 238 es divisible por 2, porque la última cifra es par.
 432 es divisible entre 3, porque: 4+3+2 = 9 y 9 es múltiplo de 3.
 4610 es divisible entre 5, porque la última cifra es 0.
 3423 3 x 2 = 6 342 – 6 = 336 6 x 2 = 12 33 – 12 = 21. Como 21 es
múltiplo de 7, entonces 3423 es divisible por 7.
 5 038. Sumando las cifras del lugar par (CP) y del lugar impar (Ci) tenemos:
CP = 3 + 5 = 8 Ci = 8 + 0 = 8
CP - Ci = 8 – 8 = 0 entonces 5 038 es divisible entre 11.
3.5.Determinación de Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
 Descomponer un número en factores primos: es anotarlo como un producto donde cada
factor sea un número primo
 Máximo común divisor (M.C.D.): El máximo común divisor de de dos o más números
naturales es el número natural más grande que divide a todos estos en forma exacta. Hay
dos métodos para el cálculo del máximo común divisor:
Método I: Por descomposición en factores primos: Descomponer los números en factores
primos. El M.C.D. es el producto de los factores primos comunes de menor exponente.
Calcular el máximo común divisor de 2 100, 2 772, 1 820
2 100
1 050
525
175
35
7
1
2
2
3
5
5
7
2 772
1 386
693
231
77
11
1
2
2
3
3
7
11
1 820
910
455
91
13
1
2
2
5
7
13
2 100 22 352 7 2 772 22 32 7 11 1 820 22 5713
M.C.D.( 2 100, 2 772, 1 820 ) 22
7 47 28
Método II: Por descomposición simultanea: Se colocan los números en forma horizontal y a
la derecha se traza una recta en la cual se colocan los factores primos comunes, cuando se
agoten los factores primos comunes se detiene el proceso y la multiplicación de factores que
están en la recta nos dará el M.C.D.
Calcular el máximo común divisor de 2 100, 2 772, 1 820

40
2 100
1 050
525
75
2 772
1 386
693
99
1 820
910
455
65
2
2
7
M.C.D.( 2100, 2772, 1820 ) 22 7 4 7 28
 Mínimo común múltiplo (M.C.M.): El M.C.M. de dos o más números naturales, es el
número natural más pequeño que es múltiplo de todos estos números al mismo tiempo.
Hay dos métodos para su cálculo:
Método I: Por descomposición en factores primos: Descomponer los números en factores
primos. El M.C.M. es el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados con
su mayor exponente.
Calcular el mínimo común múltiplo de 2100, 2772, 1820
2 100
1 050
525
175
35
7
1
2
2
3
5
5
7
2 772
1 386
693
231
77
11
1
2
2
3
3
7
11
1 820
910
455
91
13
1
2
2
5
7
13
2100 223 527 2772 22327 11 1820 22 57 13
M.C.M. ( 2 100, 2 772, 1 820 ) 22 3252 71113 900 900
Método II: Por descomposición simultanea: Se colocan los números en forma horizontal y a
la derecha se traza una recta en la cual se colocan los factores primos comunes hasta su
agotamiento. El mínimo común múltiplo es el producto de estos factores.
Calcular el mínimo común múltiplo de 2 100, 2 772, 1 820
2 100
1 050
525
175
175
35
7
1
2 772
1 386
693
231
77
77
77
11
1
1 820
910
455
455
455
91
91
13
13
1
2
2
3
3
5
5
7
11
13
M.C.M. 2 100, 2 772, 1 820 22325271113 900 900

41
3.6. Fracciones: Una fracción o número racional (Q) tiene la forma , donde y son nros.
enteros y .
El número o denominador indica el número de partes en que se ha
dividido la unidad, y el número o numerador indica la cantidad que se
ha tomado de esas partes.
Resolver:
1) Dividimos la unidad en 6 partes, cada una de ellas
representa .
2) Interpretación gráfica de fracciones: (tomamos la parte sombreada como el
numerador.)
a) b) c) d) e)
3.6.1. Clasificación de las fracciones:
a) Fracción Propia: Es aquel cuyo numerador es menor que el denominador. En la gráfica
anterior corresponde a los incisos a) y b)
b) Fracción Impropia: Es aquel cuyo numerador es mayor que el denominador. Toda fracción
impropia es mayor que la unidad. En la gráfica anterior corresponde a los incisos c), d) y e)
c) Fracción igual a la unidad: Es aquel cuyo numerador es igual al denominador.
d) Fracciones equivalentes:Dos fracciones son equivalentes
cuando representan la misma cantidad. Para obtener las
fracciones equivalentes debemos multiplicar el numerador y el
denominador de la fracción por el mismo número.
3.6.2. Simplificación de fracciones: Se dividen sus dos
términos sucesivamente por los factores comunes que tengan, hasta convertirla en una fracción
equivalente cuyos términos sean menores
.
b
a
a b
0

b
b
a
6
1
5
2
5
2
3
7
2
5
5
7

42
 Número mixto: Consta de un entero y una fracción. Ejemplos: , Para convertir a
fracción se multiplica el entero con el denominador, al producto se añade el numerador y esta
suma se parte por el denominador. Ejemplo:
 Reducción de fracciones al Mínimo Común Denominador (m.c.m.): Se simplifican las
fracciones dadas. Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores y éste será el
denominador común.Para hallar los numeradores se divide el m.c.m.entre cada denominador
y el cociente se multiplica por el numerador respectivo.
El resultado de esa simplificación puede ser:
 Número entero: Ocurre cuando el numerador es múltiplo del denominador.
 Decimal exacto: Tiene un número finito de decimales. Ocurre cuando en una fracción
irreducible los factores primos del denominador sólo son el 2 y el 5.
 Decimal periódico puro: Tiene infinitas cifras decimales periódicas. Un grupo de cifras
se repite desde la coma. En el denominador hay otros factores que no son el 2 ó el 5.
 Decimal periódico mixto: Tiene infinitas cifras decimales periódicos, pero tiene algunas
cifras decimales que no se repiten. En el denominador hay otros factores que no son el 2
ó el 5.
3.7. Operaciones con fracciones
3.7.1. Suma y resta
 Fracciones homogéneas: Se suman o restan los numeradores y esta suma se parte por el
denominador común. Se simplifica el resultado y se hallan los enteros si los hay.
 Fracciones heterogéneas: Se simplifican las fracciones dadas si es posible. Después se
reducen al mínimo común denominador y se procede como en el caso anterior.
Resolver:
a)
7 3 7 3 1 5
1 1
2
2 2 2 2 2 2
 
    
b)
4
3
14 1 5 14 8 4
1 5 1
1
6 6 6 6 6 3 3
  
        

c)
3 1 7 3 1 7 (12) 3 (3) 1 (4) 84 9 4 71 11
7 5
4 3 1 4 3 12 12 12 2
        
            
3.7.2. Multiplicación: Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí. El resultado
se simplifica y se hallan los enteros si los hay. El signo del producto de una fracción está dado
por la ley de signos. Antes de realizar la operación si es posible se simplifican numeradores y
denominadores que tienen un factor común
Resolver: a)
2
1
5
,
5
3
2
5
13
5
3
)
5
.(
2
5
3
2 


6
1
1
6
7
2
3
7
1
2
7
0
1
1
2
5
3
4
1
2
1
1
1
2















43
b)
3.7.3. División: Para dividir dos fracciones se multiplica el dividendo por el divisor invertido.
También puede usarse la regla de extremos con extremos y medios con medios. El signo de la
fracción resultante está dado por la ley de signos.
Resolver: a)
2
3
3 4 4 2
1 1
2 4 2 3 6 3

    

b)
12 1
1
5
144
144 12 ( 144) ( 7) 12
35
35 7 12 35 12 5
7
 
   
     




3.7.4. Fracciones complejas: Una fracción compleja es aquella cuyo numerador o
denominador, o ambos, son fracciones. Para reducirla se efectúa la división del numerador entre
el denominador hasta convertirla en una sola fracción (simple).
Resolver:
a)
 
 
 
   
1
2
1
3
4
3 1
9 5 14
3 1 1 3 5 1 1 3 1
4 5 3
1
14( 10) 28
4 5 3 4 5 3 1
5 3 15 15 9
1 1 1 15 3 3
1 1 1 1 2 1 1
1
10 10 10
5 2 5 2 5 2
 

 
  
   
       
 
         

   
    
b)
 
   
   
 
   
2 10 3 4 3
3 1 3
7 7 7 6
1
10 3 2 10 6 30
10 6 10 7 5 6
1 1 5
1 4 1 4 5 1 1
1
10 10
2 5 2 5 2 5
 
     
     
     
     
        
 
 
3.8. Regla de Tres.
 Razón: Una razón es la comparación por división de dos cantidades expresadas en las
mismas unidades. El simbolismo para la razón de un número “ ” y otro número “ ” es que
equivale decir . Una razón se expresa a menudo como una fracción “ ”. Las dos
cantidades en la razón se llaman sus “términos”. Una razón no cambia de valor si sus dos
términos se multiplican o dividen por el mismo número. Las magnitudes de las dos cantidades
físicas se deben expresar en las mismas unidades si se quiere que su razón tenga significado.
Resolver el siguiente problema ABP:
En un aula, por cada 4 alumnos hay 7 alumnas. Si el número de alumnos es 16
¿Cuántas alumnas tiene el aula?
Solución
La razón es 4:7 y se lee 4 es a 7, entonces
si los alumnos son 16, entonces las alumnas serán 28
 Proporción: Es la igualdad entre dos razones.
2
1
10
2
21
2
1
1
)
7
(
3
1
6
4
1
3
5
1
0
1
9
2
7
1
3
1
2
1
3


































a b b
a :
b
a  b
a/
28
16
21
12
14
8
7
4




44
Resolver: Tenemos las razones 2 es a 5 y 6 es a 15
Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones
2:5 = 0,4 y 6:15 = 0,4
Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas.
Así: 2:5 = 6:15
Para verificar esta proporción efectuamos el producto de los extremos 2·15 y el producto de los
medios 5·6, como ambos dan 30 entonces la proporción es correcta.
 Regla de tres Simple: Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de
una proporción, cuando se conocen tres. En la regla de tres el supuesto está constituido por los
datos de la parte del problema que ya se conoce y la pregunta por los datos de la parte del
problema que contiene la incógnita. Cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes se le
llama regla de tres simple. Esta puede ser:
3.8.1. Regla de Tres simple directa:
Resolver el siguiente problema ABP: Si 4 libros cuestan Bs 8, ¿Cuánto costarán 15
libros?
Supuesto................... 4 libros .............. Bs 8
Pregunta ................. 15 libros .............. Bs x
Entonces decimos:a más libros, más dinero, estas cantidades son directamente proporcionales,
entonces la proporción se forma igualando las razones directas:
3.8.2. Regla de Tres simple inversa:
Resolver el siguiente problema ABP: Si 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En
cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres?
Supuesto................... 4 hombres .............. 12 días
Pregunta ................. 7 hombres .............. x días
Como a más hombres, menos días, estas cantidades son inversamente proporcionales,
entonces la proporción se forma igualando la razón directa de las dos primeras con la razón
inversa de las dos últimas o viceversa:
7 12 4 12 48 6
6
4 7 7 7
x dias
x

    
3.9. Porcentaje ( % ): Es el resultado de tomar un tanto por ciento especificado de una cantidad.
El número del cual se calcula un tanto por ciento dados se llama base. Es la cantidad que se
30
.
4
15
8
8
15
4
Bs
x
x






45
divide en 100 partes iguales. El símbolo utilizado para representarlo es % y se le llama tanto por
ciento o porcentaje.
a) b)
Resolver los siguientes problemas ABP:
a) Hallar el 15% de 32.
Diremos: El 100% de 32 es 32; el 15% de 32, que es lo que buscamos, será x. Formamos una
regla de tres simple con estas cantidades y despejamos la x.
100% .............. 32
35% .............. x
32 15
4.8
100
x

   Luego el 15% de 32 es 4.8
b) Un artículo se compra a Bs. 826 000. ¿Cuánto cuesta sin IVA? (IVA = 12%)
En este problema se debe considerar que la cantidad dada ya está con el IVA incorporado, o
sea lo hacemos equivalente al 112% y establecemos la proporción siguiente:
112% .............. Bs 826 000
12% .............. x
826 000 12
8 8500
112
x

  
En conclusión, el artículo cuesta Bs. 826 000 - Bs 88 500 = Bs 737 500.
3.10. Potenciación: Es una multiplicación de varios factores iguales, se denota por: ;
donde es un número entero (base) , es un número natural (exponente) y P es el resultado
(potencia).
Resolver:
a) b) c)
3.10.1. Propiedades de potenciación:
PROPIEDAD EJEMPLOS
58
.
0
100
58
%
58 
 %
427
100
427
27
.
4 

P
an

a n
P
a
a
a
a
a
veces
n
n





 

 ...
8
2
2
2
2
2
3
3



 


veces
81
3
3
3
3
3
3
4
4




 




veces
125
)
5
(
)
5
(
)
5
(
)
5
(
5
3
3











 

 

veces

46
Producto de potencia de bases
iguales
Se mantiene la misma base y se
suman los exponentes.
a) 2 3 2 3 5
2 2 2 2

  
b) 3 2 3 2 5
4 4 4 4 1 024

   
Cociente de potencia de bases
iguales
Se mantiene la misma base y se
restan los exponentes.
a)
5
5 3 2
3
3
3 3
3

 
b)
5
5 8 3
8 3
2 1 1
2 2
8
2 2
 
   
Producto de Potencias de bases
distintas y exponentes iguales
Se multiplican las bases y se anota
el exponente
a)  
3
3 3
2 3 2 3
  
b)  
3
3
5 27 5 3
  
Cociente de potencias de bases
distintas y exponentes iguales
Se dividen las bases y se anota el
exponente.
a)  
2
2
2
2 2
3
3

b)  
2
2
2
8 8
9
9

Potencias de potencia
Se anota la base y se multiplican los
exponentes
a)  
3
2 2 3 6
3 3 3

 
b)
3
2 2 3 6 6
6
2 2 2 2 64
3 3 3 729
3

 
     
   
 
     
     
 
Exponente cero
Cualquier base elevada a una
potencia de cero, el resultado
siempre será la unidad, donde
a)
b)  
0
1 2
2 3 1
 
Exponente negativo
y
a) 2
2
1 1
2
4
2

 
b)
3
3
1 1
3
27
3

 
Para realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división con potenciación se aplican
las propiedades vistas en el anterior inciso.
Resolver:
a)    
1 1
2
2
4 1 16 17
1 1 1
2 3 1 4 4
4 4 1 4 4
2
 
         
b)
 
     
 
 
3
1 2 3
4
2 4
2 256
1 3 1 2 1 6 1 7 1 1 7 1 63 4 252
2 9 16
2 4 2 3 2 4 4 1 4 16 4 16 16
2
1
9
3
  

 
                
c)
2 2
2 2
2 2 3 1 1
3 2
3 1
9 2 9 11
1 9 1 2 1 1 1 1
1 1
4 3 2 2 2 2 2
8 2 9 3 3 2 4 2 4 4 4
2 2
2 2 9
3
 
 
  
   

   
   
                  
   
   
     
   
     
 
m
n
m
n
a
a
a 


m
n
m
n
a
a
a 

n
n
n
b
a
b
a )
( 


n
n
n
b
a
b
a







m
n
m
n
a
a 

)
(
0

a
1
0

a 1
50

0

n 0

a n
n
a
a
1



47
3.10.2. Notación científica: Es una manera simple de representar números grandes o
pequeños; el exponente sobre el 10 nos dice cuántos lugares hay que mover la coma
decimal del coeficiente para obtener el número original. Se escribe en la forma ,
donde , y .
Potencias en base 10 y exponente entero:
 Las potencias de base 10 y exponente entero positivo permiten expresar abreviadamente las
unidades enteras del sistema de numeración: unidades, decenas, centenas, miles, etc.
Resolver:
0
10 1
 ; 1
10 10
 ; 2
10 100
 ; 3
10 1 000

 Si la base es 10 y el exponente entero es negativo, tenemos: décimas,centésimas,milésimas,
etc.
Resolver:
1 1
10 0,1
10

  ; 2 1
10 0,01
100

  ; 2 1
10 0,001
1 000

 
Regla para convertir un número entero o decimal en notación científica:
1. Primero localizamos la comadecimalpara moverlo hacia la derecha o hacia la izquierda, hasta
que a la izquierda de la coma decimal haya un solo dígito diferente de cero. Este digito origina
la expresión estándar de la notación científica.
2. Si el desplazamiento es a la izquierda, entonces el número de espacios que desplazó la coma
decimal hacia la izquierda determina el valor del exponente.
3. Si el desplazamiento es a la derecha, el número de espacios que desplazó la coma decimal
hacia la derecha determina el valor del exponente pero con signo negativo.
Escribir en Notación Científica las siguientes cantidades:
a) 4 142 618; b) 0,00058
a) 6
4 142 618 4,142618 10
  b) 4
0,00058 5,8 10
 
Regla para convertir un número en notación científica a entero o decimal:
1. Si el exponente n es positivo, se debe mover la coma decimal hacia la derecha n posiciones,
es decir las veces que indica el exponente.
2. Si el exponente n es negativo, se debe mover la comadecimal hacia la izquierda n posiciones.
Resolver:
a) 6
3,12 10 3,12 1 000 000 3 120 000
   
b) 2 1
1,891 10 1,891 0,01891
100

   
n
a 10

R
a 10
1 
 a Z
n

48
Operaciones con notación científica
Suma y resta: Se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Cuando se mueve la coma decimal en el coeficiente una posición a la izquierda, tiene que
sumar uno al exponente.
Resolver:
a) 6 6 1 7
42 10 4,2 10 4,2 10

    
b) 6 6 1 7
4,2 10 0,42 10 0,42 10

    
c) 6 6 3 9
4200 10 4,2 10 4,2 10

    
d) -6 -6 1 -5
42 10 4,2 10 4,2 10

    
2. Cuando se mueve la coma decimal en el coeficiente una posición a la derecha, tiene que
restar uno al exponente.
Resolver:
a) 6 6-1 5
0,42 10 4,2 10 4,2 10
    
b) 6 6-1 5
4,2 10 42 10 42 10
    
c) 6 6-5 1
0,000042 10 4,2 10 4,2 10
    
d) -6 -6-1 -7
0,42 10 4,2 10 4,2 10
    
Para sumaro restar dos números en notación científica, primero se deben igualar los exponentes
de ambas cantidades (aplicando las reglas anteriores) y luego se suman los coeficientes,
manteniendo el exponente igualado.
Resolver:
a) 6 5 6 6 6
4,2 10 6,4 10 4,2 10 0,64 10 4,84 10
        
b) 6 5 5 5 5
4,2 10 6,4 10 42 10 6,4 10 48,4 10
        
c) -6 -4 -4 -4 -4
4,2 10 6,4 10 0,042 10 6,4 10 6,442 10
        
d) 3 -2 3 3 3
9,2 10 - 2,8 10 9,2 10 - 0,000028 10 9,199972 10
      
Multiplicación y división: Se deben aplicar las leyes de las potencias (exponentes), en este caso
base 10.
Resolver:
a) 2 5 2 5 7
(3 10 ) (6,4 10 ) 19,2 10 19,2 10

      
b) 6 -2 6-2 4
(8,2 10 ) (2 ,25 10 ) 18,45 10 18,45 10
      
c)
6
6 - 2 4
2
8,2 10
(8,2) (2 ,25) 10 3,64 10
2 ,25 10

    

d)
8
8 -5 8 5 13 12
-5
5,91 10
5,91 10 32,7 10 (5,91) (32,7) 10 0,1807 10 1,807 10
32,7 10
x


         


49
3.11. Radicación: La operación inversa de la potenciación se denomina radicación. Llamamos
raíz n-ésima de un número dado al número que elevado a nos da y se define
como:
3.11.1. Propiedades de radicación: Todas las propiedades de potenciación se cumplen con los
exponentes fraccionarios.
PROPIEDAD EJEMPLOS
Distributiva con respecto al producto.
a) 4 2 4 2
4 4 4 4
3 2 3 2 3 4
   
Distributiva con respecto al cociente.
b) 2
2
2
2
2
4 2 1
25 5
5 5
  
Raíz de una raíz
c) 6 7 6
6
3 6
128 2 2 2 2 2
   
d)
e)    
2
3 3
2
2
4 3
4 4 2
8 2 2 2
 
  
 
 
f)
 
2
2 4 2
4 4 4
4 4
8 8 64 2 2 2 4
     
g)
2
2
3 3 3
9 3 3
 
Resolver:
a)
b) b)
a b n a
n
n
n
b
a
b
a 


0
, 
 b
b
a
b
a
n
n
n
n
m
m n
a
a 

0
, 

 
k
a
a n m
k
n k
m
4 3
2
4 2
3
8 6
3
3
3
3 

  
a
a
n n

  n m
m
n
a
a 
n
n
a
a
1


3 4
2 3
3 3
2
2
2
.
2 

3
.
2
4
1

 
6 2
3
3
2
3
2
2
2 6
2
Dónde: ; es el índice del radical;
; es el subradical o radicando y
el símbolo se llama signo radical
R
b
a 
, n
2


 n
N
n a
n
n
b
a
b
a 



50
Simplificación de radicales:
Resolver:
a)
b) b)
3.11.2. Operaciones con radicales:
Radicales semejantes: Son los radicales reducidos a su forma más simple y que sólo son
diferentes en sus coeficientes.
Resolver:
a) b)
Suma y resta de radicales:
 Expresar en su forma más simple cada uno de los radicales.
 Reducir radicales semejantes.
Resolver:
a) 2 2 2 2
  b)  
1 3 1 3 2
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
      
c)
3 3
2 3 2 3
3 3
3 3
3 3
3
2 48 375 4 147 27 2 3 4 3 5 4 3 7 3
2 4 3 5 3 4 7 3 3 8 3 5 3 28 3 3
8 3 28 3 5 3 3 (8 28) 3 5 3 3
20 3 5 3 3
         
         
       
   
Multiplicación de radicales:
 Del mismo índice: Para multiplicar dos o más radicales del mismo índice se multiplican los
coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, y el productos de las cantidades
subradicales se coloca bajo el signo radical común.
Resolver:
a) b)
 De distinto índice: Reducimos cada uno de los radicales a índice común
y aplicamos la regla anterior.

6
81
)
c 3
3 2
2
.
3 2
2
2
.
3 4
9
3
3
3
3
3 

 

3
64 
3 6
2 4
2
2
.
2 2
3 3
3



4
243
3 4
4
4 1
4
3
9
3
3
.
3
3
.
3
3 

;
2
3 ;
2 2
2
 ;
4
3
;
4
33 3
4
5
2
8
2
4
2
4
2
2
4 2




 3
3
3
3
6
6
3
2
6
3
2
2
3 





51
Resolver: a) 3 1
3 4 2
2
 
b).
1 5
1
3 5
6
3 6
2
3 2 4 2 12 2 2 12 2 12 2
   
       
   
   
 Divisiónde radicales: Para dividir radicales del mismoíndice se dividen los coeficientes entre
sí y las cantidades subradicales entre sí y el cociente de las cantidades subradicales se coloca
bajo el signo radical común.
Resolver:
a) 10
10 10 5 2 10 2 2 5
5
   
b)
4
4 4 4
4
4
3 9 3 9 3
3 9 5 3 3
5 3 5
5 3
   
   
   
3.11.3. Racionalización de radicales: Cuando tenemos fracciones con radicales en el
denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el
denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los
denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el
denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar los siguientes casos:
 CASO I: Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz
cuadrada, se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz cuadrada.
Resolver:
a)
b)
2 2
2 3 2 3 2 3 2 6 2 6 6
2
3 2 3
18 3 2 2
2.3 3 2
     

c)
3
2
6
2 3 2 3 2 3 18 2 54 2 54 54 2 3 3 2 3
18 9 9 9 3
18 18 18 18 18
 
        
 CASO II: Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n,
se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia
de exponente n.
6
6 7
6
6
3
6
3
2 3
6
2
3 2
3
2
2
.
2
3
2
2
3
8
2
1
16
3
2
2
1
4
3
8
2
1
2
2
1
2
2
1
;
16
3
4
3
4
3
:








 

tenemos:
común
índice
les de
s a radica
convertimo
2
2
5
2
2
5
2
2
2
5
2
5
2





52
Resolver:
a)
3 3
3
3 3
3 3 3
2 2 3
5 5
5
1 1 1
5
25 5
5 5 5
     
b)
4 4
3 3 4
4
4 4 4 4
3 4
2 8
2 2 2 2 2
8
2
2 2 2 2
    
 CASO III: Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales
o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa. En
el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea
una expresión del tipo.
Resolver:
a)
 
 
 
 
   
   
2 2
5 3 7 5 3 7 5 3 7 5 3
7 7
5 3 2
5 3 5 3 5 3 5 3
   
    

   
b)
 
 
 
 
   
   
2
2
3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7
2 2
3 7
9 7 2
3 7 3 7 3 7 3 7
   
      

   

53
Practico # 1
Tema: Operaciones con números enteros
1. Realizar las siguientes operaciones
       
 
   
       
     
 
     
     
    
 
) 46 38 2 9 42 18 15 7
) 30 12 9 3 3 12 3 2
) 36 8 5 3 12 2 2 4 3 8 3 12 5 2
) 45 2 12 7 3 12 24 3 5 7 5
) 4 5 2 15 5 4 2
) 4 14 2 9 3 2 2
) 1 3 8 8 6 8 4
) 1 5 3 2 5 6 3
a
b
c
d
e
f
g
h
         
       
 
 
                  
 
 
             
 
 
        
        
      
 
 
     
 
 
     
       
 
 
     
1 2
) 3 12 3 18 12 6 8
) 42 12 36 6 8 5 3
) 5 2 5 3 2 2 2 32 9 4
) 66 4 17 4 4 3 5
) 3 8 3 4 3 4 7 5 1 2 3 1 9
i
j
k
l
m
 
 
 
      
       
 
 
          
 
 
     
               
 
 
Resultados
)-1 )-5 )-36 )5 )2 )-54 )-58 )-2
)-30 )126 ) 228 )67 )10
a b c d e f g h
i j k l m

Resolver los siguientes problemas ABP:
a) Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años
vivió?
b) Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito
situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?
c) ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación
de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y
si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

54
d) La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300
metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
e) El termómetro marca ahora 7ºC después de haber subido 15ºC. ¿Cuál era la temperatura
inicial?
f) Hace una hora el termómetro marcaba –2ºC y ahora marca 2ºC. LA temperatura ¿ha
aumentado o ha disminuido? ¿Cuánto ha variado?
g) Por la mañana un termómetro marcaba 9º bajo cero. La temperatura baja 12º C a lo largo de
la mañana. ¿Qué temperatura marca al mediodía?
h) El ascensor de un edifico está en el sótano 1 y sube 5 pisos hasta que se para. ¿A qué planta
ha llegado?
Practico # 2
Tema: Operaciones con numeros racionales
1. Hallar M.C.M. y MCD de:
2. Resolver las siguientes operaciones

55
   
1
1 3 1 2
1
4 1
1
1 5 5
4 3 5
2 1
3 1
4 3 4 7 2 3
5
2 1 3 1
1
2 5 12 5 5
2 2
) ) )
1 5 2 4 5 3 1 2 7
9
1 3
2 6 5 5 2 2 7 3 2
7
1 1
1 5 3 3 1 8 9
1 1 1 1
4 2 7 5 5 5
3
u v w
    
 

    
  

    
  
   

   

 
     

 
  
 
     
 
 

56
Resultados
41 6 41 29 7 251 11
) ) ) - ) ) ) )7 )
12 5 60 10 6 1440 2
31 9 13 153 4025 33 19
) - ) ) )19 ) ) ) )
42 8 240 40 36 4 28
7 78 5 113 130
) ) 6 ) ) ) )20 )
12 55 9 16 23
a b c d e f g h
i j k l m n o p
q r s t u v w

 
Resolver los siguientes problemas ABP
a) Hay 4 envases de dulce de leche. El más grande contiene 1500g., el segundo contiene 1/2
del más grande, el tercero contiene 1/4 del más grande y el más chico contiene 1/5 del más
grande ¿Cuánto contiene cada envase de dulce de leche?
b) En una carrera de 600 m., en equipos, Felipe corrió 1/4 del total, Jack corrió 2/3 del total y
Tomi corrió el resto. ¿Cuántos metros corrió Tomi?
c) ¿Cuánto le falta a 3/4 para llegar a 5 enteros y 1/4?. ¿Cuánto le falta a 1/4 para llegar a 9/4?.
¿Cuánto le falta a 1/8 para llegar a 8/4?
d) Joaquina festejó su cumpleaños y su mamá había preparado una torta para todos los chicos.
El día del cumpleaños comieron 2/10 de la torta y, al día siguiente, comieron 3/5 del total.
¿Sobró torta? ¿Cuánto?
e) Guardé 5/12 de mis lápices en un cajón y 7/15 en mi cartuchera. El resto se los regalaré a mi
hermanito. ¿Qué fracción de lápices regalaré?
f) Manuel separó $ 35 para su fin de semana. El sábado gastó 2/5 de esa cantidad y el domingo
3/7.
 ¿Qué fracción del dinero gastó?
 ¿Cuánto dinero gastó cada día?
 ¿Cuánto dinero le queda?
g) En un grupo hay 96 personas. 1/4 de ellos son rubios y 3/8 son morochos. El resto son
castaños. ¿Cuántos son castaños?
h) Una caja tenía 20 caramelos. Juan comió 1/5 y Tomás 1/2.
 ¿Qué fracción de los caramelos comieron entre los dos?
 ¿Cuántos caramelos más comió Tomás que Juan?
Resultados
18 8 15
)750,375,300 ) :150, : 400, :50 ) , ,
4 4 8
1 7 29 7
) ) ) ,$14 $15,$6 )36 ) ,6
5 60 35 10
a b Felipe Jack Tomi c
d e f y g h

57
INVESTIGACION
Investigar las reglas que se aplican para transformar números decimales a fracción. Dé 10
ejemplos de cada clase.
Practico # 3
Regla de Tres y Porcentaje: Problemas ABP
1. Un repostero hizo 2 tortas, luego vendió 1/3 a un cliente, más tarde vendió 3/8, y al final de
la tarde regalo 1/4. ¿Cuánta torta le queda? Si el precio unitario de la torta es de 36 Bs
¿Cuánto dinero se hizo el panadero?
2. Un vendedor gana un salario fijo de 600 $ por mes y una comisión del 10%. Descubre en
promedio le toma una hora y media realizar ventas por un valor de 100 $ ¿Cuántas horas
deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de 2 000 $?
3. Dos ciudades se encuentran a 240 Km de distancia. Un caminante recorre un día 1/6 de esa
distancia, otro día ¼ y un tercero día 1/8 de la misma ¿A qué distancia se encuentra del
punto de llegada después del tercer día?
4. En un estudio, se obtiene la siguiente información, 1/3 de la población mira Unitel, 1/5 de la
población miran Giga visión. ¿Cuánta población mira red Noctovisión? Si la población total
de televidentes es de 800 000 usuarios.
5. Después de cobrar el sueldo mensual un señor paga una deuda de $ 2 00, presta a un amigo
$ 50 y todavía le quedan $ 440. ¿A cuánto asciende su paga mensual?
6. Dos personas alquilan una estancia. El primero ocupa los 5/11 de la estancia y paga Bs.
6000, de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo? Sol: Bs. 7200
7. Si un avión puede viajar
3
5,6 10
 Km en 6,2 horas. ¿Cuántos Km podrá viajar en 35
minutos?
8. Si un tren viaja 150 km en 3,5 horas ¿Cuántos Km. podrá viajar en 7 horas?
9. Si 25 cajas de manzanas son 50 BS. ¿Cuántas costará 15 cajas de manzanas?
10. Si 150 resistencias de 120 Ω, tienen un valor de 45Bs$ ¿Cuánto costará 65 resistencias?
11. La longitud de una barra de bronce es 5,842 mts. Si la barra se expendiera un 0.03% ¿Cuál
sería el incremento de su longitud?
12. El máximo error posible al hacer una medida de 48 mts es 0.8 mts. ¿Cuál es el mayor error
porcentual posible?
13. Una resistencia eléctrica disminuye el 2%. Si el valor de la resistencia después de la
reducción es 74.8 Ω. ¿Cuál es su valor antes que el cambio tuviera lugar?
14. Una cinta métrica se compara con el metro patrón, la cinta es
2
6 10
 mm. más corta. ¿Cuál
es el error porcentual?
15. Un grifo vierte 15 litros de agua por minuto, y tarda 24 minutos en llenar un depósito.
¿Cuánto tardará otro grifo que da 40 litros por minuto?

58
Practico # 4
Tema: Potenciacion
Realizar las siguientes operaciones:

59
     
 
 
9 6 1 1
2 2
5
9
Resultados
1
) 2 )2 ) 2 )2 )2 ) 2 ) 2 )
2 3 5
9 1 2 2 15 3
) ) )11 ) )27 )0 ) ) )
25 4 3 3 8 28
1 1 39 37 3
) ) ) ) )1 )16 ) )256 )1
36 4 10 50 4
a b c d e f g h
i j k l m n o p q
r s t u v w x y z
 
   
 
 

Practico # 5
Tema: Notacion cientifica
Expresa ennotacion cientifica:

60
Practico # 6
Tema: Radicacion
Simplificar los siguientes radicales:

61
      
1 1 3
) 5 2 1 16 36 1 2
8 2 4
i          
Resultados
49 1 1 103 1 4 1
) ) 6 ) ) ) ) ) )2 )1
25 5 30 20 3 3 6
a b c d e f g h i
 

62
Practico # 7
Tema: Racionalización

63
Unidad No 4
LOGARITMOS
OBJETIVOS:
 Relacionar un logaritmo con una potencia.
 Conocer y aplicar las propiedades de logaritmos en la resolución de expresiones logarítmicas.
 Aplicar la definición de logaritmos para hallar un logaritmo.
 Reducir expresiones combinadas con radicales, potencias y logaritmos.
Actividades:
4.1. Introducción: Los logaritmos nacen como una necesidad de resolver, facilitar y simplificar
el cálculo de ecuaciones algebraicas de la forma x
a b
 , logrando obtener resultados mas
simples de expresiones exponenciales que expresan situaciones reales, como ser el cálculo de
la intensidad del sonido, las vibraciones sonoras, la magnitud de los terremotos, el interés
compuesto, el crecimiento poblacional y otros.
4.2. Definición de logaritmo: Se llama logaritmo en base del número , al exponente
al que se debe elevar la base para obtener dicho número ; es decir:
Se lee: " el logaritmo en base del número , es ”, o también: " el número es el logaritmo
del número respecto a la base ”. El logaritmo no es otra cosa que el exponente de una
potencia cuya base es .
Resolver aplicando definición de logaritmos:
a) 3
2
log 9 3 9 3 3 2 ( bases iguales, se igualan los exponentes)
x x
x x
      
b) 3
5
log 125 5 125 5 5 3
x x
x x
      
c) 10
2
log 100 10 100 10 10 2
x x
x x
      
Logaritmo Exponente
Número Potencia
Base del Base de la
Logaritmo la potencia
0
1
; 

 a
a
log x
a
b
x b
a 



64
d)
2
10
log 0 01 10 0 01 10 10 2
x x
. x . x

       
Nota: Si 0 1
a a
 
 entonces:
1
log 1
a a a a
   ; Cualquier número elevado a uno es el mismo número
0
log 1 0 1
a a
   : Cualquier número elevado a cero es uno
De la relación:
log
log x
x a
a x b a b a x
    
Observación: No existe logaritmo de números negativos
4.3. Sistemas de logaritmos:
4.3.1. Logaritmos decimales: Conocidos también como logaritmos en base 10 o logaritmos
vulgares y se denotan:
4.3.2. Logaritmos neperianos: Conocidos también como logaritmos naturales, cuya base es el
número irracional , denotándose:
4.4. Propiedades de logaritmos:
PROPIEDAD EJEMPLOS
El logaritmo de un producto de dos
cantidades, es igual a la suma de sus
logaritmos:
a)  
3 3 3
3
2
3
log 3 9 log 3 log 9
1 2 3
resolviendo por definicion:
log 3 1 (log 1)
log 9 3 9 3 3 2
a
x x
a
x x
  
  
 
      
El logaritmo del cociente de dos cantidades,
es igual a la diferencia entre el logaritmo del
numerador y el logaritmo del denominador:
b)
2 2 2
5
2
3
2
32
log log 32 log 8
8
5 3 2
resolviendo por definicion:
log 32 2 32 2 2 5
log 8 2 8 2 2 3
y
x x
y
x x
y y
 
 
 
 
  
      
      
  B
A
B
A a
a
a log
log
log 


B
A
B
A
a
a
a log
log
log 








65
El logaritmo de una potencia, es igual al
producto de su exponente por el logaritmo de
su base:
c)
4
2
4
4
log 16 log 4
2 log 4 2 1 2

    
Aplicando propiedades de potencia:
i) Logaritmo de una raíz d) 1
4 4
2 2 2
3
2
1
log 8 log 8 log 8
4
1 1 3
log 2 3
4 4 4
  
    
ii)
e)
3
5 5 5
3
5
1 1
log log log 5
125 5
3 log 5 3 1 3

  
       
Caso especial:
f) 2
3
4 2
3
log 8 log 2
2
 
2
1
4
5
5
4
4 1
log 625 log 5 8
1 1
2 2
   
Resolver:
1)
2)
3)
4)
4.5. Cambio de base: Para un mismo número existen infinitos logaritmos, dependiendo de la
base que se tome. Es posible pasar del logaritmo de un número en una base determinada al
logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:
A
n
A a
n
a log
log 

A
n
A
A a
n
a
n
a log
1
log
log
1



b
n
b
b
a
n
a
n
a log
log
1
log 


 
A
m
n
A a
n
am log
.
log 
2
3
3
3
log
3
1
log
9
1
log 2
2
3
2
3
3 








 

x
x
x
x x
2
2
3
log
2
3
log
0
9
log
1
log
9
1
log 3
2
3
3
3
3 















 x
x
x
x
x
x
  4
2
2
1
2
2
4
2
4
log 2
2
1
2








 x
x
x
x
x
x
a
2
1
2
10
2
0
2
log
0
0
0
1
0
5
log
0
100
log
)
50
log(
0
100
log
50
log
log
0
2
1





































x
x
x
x
x
x
x

66
Resolver:
a)
5
2 2
8 3
2 2
log 32 log 2 5
log 32
log 8 3
log 2
  
b)
10
2
10
log 3 0.477
log 3 1.58
log 2 0.301
  
c) Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8  2
16
2
log 8 3
log 8 0,75
log 16 4
  
d) Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27 
3
9
3
log 27 3
log 27 1,5
log 9 2
  
e) Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.
7
log2 0,301030
log 2 0,356207
log7 0,845096
  
4.6. Aplicaciones: Los logaritmos tienen un amplio espectro de aplicación en las ciencias:
Resolver el siguiente problema ABP:
La intensidad del sonido y logaritmos: La diferencia en nivel de intensidad de los
sonidos se mide en decibeles (dB) de acuerdo a la ecuación , donde e
son las intensidades de los dos sonidos.
R.- Para calcular la diferencia de intensidad entre dos sonidos generados por dos instrumentos
de percusión cuando y ; remplazamos estos valores en la
ecuación anterior y tendremos que:
Interpretación: Analizando el resultado obtenido podemos concluir que la diferencia de
intensidad del sonido entre los elementos considerados es de 70 decibeles, siendo este muy
elevado.










1
2
log
10
I
I
dB 2
I
1
I






 
2
16
1 10
cm
watt
I 





 
2
9
2 10
cm
watt
I
dB
cm
watt
cm
watt
dB 70
10
log
10
10
10
log
10 7
2
16
2
9































a
x
x
b
b
a
log
log
log 

67
Practico # 1
Tema: Logaritmos por definición
Practico # 2
Tema: Logaritmos por propiedades

68
Practico # 3
problemas ABP: Aplicación de logaritmos
1) La diferencia en nivel de intensidad de los sonidos se mide en decibeles (dB) de acuerdo a la
Ecuación donde I2 e I1 son las intensidades de los dos sonidos. Calcular la
diferencia del nivel de intensidad cuando y
1) Tenemos un tanque con una solución al 25% de ácido y resto de agua. Para limpiar el tanque,
introducimos por arriba un caudal de agua a 3 galones por segundo. El tanque evacua similar
cantidad por el grifo de abajo. Mediante técnicas matemáticas,sepuede determinar que dicho
porcentaje viene expresado por la ecuación [ ] 0
a) ¿Qué porcentaje de ácido quedará en la solución a los cinco minutos de iniciarse la
limpieza?
b) ¿Qué tiempo transcurrirá para que el porcentaje ácido sea de 5 %?
2) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica
basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca
mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3 – t
es la fórmula que se
utiliza, donde C (x) representa la concentración del material radiactivo X, t el tiempo
transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de
formarse la roca. Si k = 4500
a. ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?
b. ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?
c. ¿En qué tiempo se acabaría este material?
3) La ley del enfriamiento de los cuerpos establece que el enfriamiento de un cuerpo es
proporcional, en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley
dice que si T0 es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente a una
temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es:
, donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento,
particular de cada cuerpo y tiene el valor constante de e = 2,71. William Dunhan, en su libro
El universode las matemáticas,nos cuenta cómoClara, la novia de Edu el comadreja, se libró
de la acusación por el asesinato de éste: Clara pasó la tarde en el bar de Luisa, bebiendo
mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto de la noche salió del local ebria y









1
2
10
.
10
I
I
Log
dB






 
2
10
1 10
cm
watt
I 





 
2
3
2 10
cm
watt
I
 
%
25
)
( 03
.
0 t
e
t
P 
kt
a
a e
T
T
T
t
T 


 )
(
)
( 0

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