แบบฝึกหัดท้ายบท2

1. แบบฝึกหัดท้ายบท
1. จงใช้พิกัดทรงกระบอกหาพื้นที่ของกรายตรง รัศมี a สูง h )2( ah
2. จงหาค่า   sdr

บนพื้นที่ผิวปิดรูปลูกบาศก์ เมื่อ 10,11  yx และ 10  z เมื่อ r

เป็นเวกเตอร์บอกตาแหน่งที่จุดใด ๆ บนผิวของลูกบาศก์ )3(
3. จงใช้นิยามของเวกเตอร์บอกตาแหน่ง r

ในระบบพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม แสดงว่า
rr ˆ
4. ถ้า F

= kxzjyzxixy ˆˆ3ˆ 32
 จงหา F

 ที่จุด )2,1,1( P
5. ให้ F

= )(ˆ)(ˆ)(ˆ 222
xyzkzxyjyzxi 
ก. จงหา F


ข. จงหา F


6. จงแสดงว่าไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ มีค่าเป็นศูนย์ 0)(  F

7. จงใช้ทฤษฎีบทของสโตกส์บนผิวของครึ่งทรงกลม (hemisphere) ถ้าสนามเวกเตอร์ เป็น
 ˆsin10ˆcos10  rF

8. จากนิยามของไดเวอร์เจนซ์ จงแสดงค่าไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ F

ในพิกัดทรงกระบอก
9. ถ้า r

เป็นเวกเตอร์จากจากจุดออริจินไปยังจุด ),,( zyx จงพิสูจน์ว่า
ก. r

 = 3
ข. r

 = 0
ค. ra

)(  = a

เมื่อ a

เป็นปริมาณเวกเตอร์ใด ๆ
10. ถ้า A

เป็นเวกเตอร์มีค่าคงที่ จงแสดงว่า )( rA

 = A

11. ถ้า r เป็นขนาดของเวกเตอร์จากจุดออริจิน ไปยังจุด ),,( zyx และ )(rf เป็นฟังก์ชันของ r จง
พิสูจน์ว่า
ก. )(rf

=
dr
df
r
r

ข. ])([ rrf

 = 0
12. จงพิสูจน์ว่า )(rF

 =
dr
Fd
r
r


13. ถ้า  = rA

 จงพิสูจน์ว่า )( =


d
d
A
