Фрактали - це наукова краса або красива наука , якою насолоджуються у всьому світі у різних сферах життя.

2. “Математика, якщо на неї
правильно подивитися,
відображає не тільки істину,
але і незрівнянну красу”
Бертран Рассел

3. Бенуа Мандельброт
(Benoit Mandelbrot)
математик- батько
сучасної фрактальної
геометрії, який і
запропонував термін
“фрактал”
В 1975 році він видав книгу
“The Fraktal Geomery of Nature”
про самоподібні структури.
1924 - 2010

4. Слово «фрактал» утворено
від латинського «fractus»
і в перекладі означає
« той, що складений
із фрагментів».

5. Одною з основних
властивостей
фрактала є
самоподібність
Фрактус –
складений з
фрагментів

6. (лат. Fractus –подроблений,
зламаний, розбитий) –
складна геометрична фігура
з властивостями
самоподібності,
тобто складається з частин,
які подібні всій фігурі в цілому.

7. –
нескінчена самоподібна геометрична
фігура, кожний фрагмент якої
повторюється при зменшенні
масштабу.

9. В математиці розрізняють три основніВ математиці розрізняють три основні
види фракталів:види фракталів:
 1. Геометричні1. Геометричні
 2. Алгебраїчні2. Алгебраїчні
 3. Стохастичні3. Стохастичні
ВИДИ ФРАКТАЛІВ

10. Геометричні фракталиГеометричні фрактали
 Саме з них і почалася історія фракталів.Саме з них і почалася історія фракталів.
Цей тип фракталів отримуємо шляхомЦей тип фракталів отримуємо шляхом
простих геометричних побудов. Припростих геометричних побудов. При
побудові цих фракталів беретьсяпобудові цих фракталів береться
"затравка" - набір відрізків, на основі яких"затравка" - набір відрізків, на основі яких
буде будуватися фрактал. Далі до цієїбуде будуватися фрактал. Далі до цієї
"затравки" застосовують набір правил,"затравки" застосовують набір правил,
який перетворить її в яку-небудьякий перетворить її в яку-небудь
геометричну фігуру. Потім до кожної згеометричну фігуру. Потім до кожної з
цих фігур знову застосовують цей жецих фігур знову застосовують цей же
набір правил. З кожним кроком фігуранабір правил. З кожним кроком фігура
стає все складнішою. І якщо ми проведемостає все складнішою. І якщо ми проведемо
достатньо велику кількість перетворень –достатньо велику кількість перетворень –
отримаємо геометричний фрактал.отримаємо геометричний фрактал.

11.  1. Крива Коха. Сніжинка Коха
 2. Трикутник Серпинського .
«Килим Серпинського».
 3. Фрактальна крива Д. Пеано
 4. “Крива дракона” Е. Хейтуея.
 5. Крива Леві
 5. Піфагорове дерево.
ГЕОМЕТРИЧНІ ФРАКТАЛИ

12. Крива КохаКрива Коха
 Крива Коха є типовим
геометричним фракталом.
Процес її побудови виглядає
наступним чином: беремо
одиничний відрізок, ділимо
його на три рівні частини і
замінюємо середній інтервал
рівностороннім трикутником
без цього сегменту. В
результаті утворюється
ломана, яка складається із
чотирьох ланок довжиною 1/3.
На наступному кроці
повторюємо операцію для
кожної із чотирьох ланок і т.
д… Гранична крива і є крива
Коха.

13. Сніжинка КохаСніжинка Коха
(з трикутників)(з трикутників)

14. Сніжинка Коха (з квадрата)Сніжинка Коха (з квадрата)

15. Сніжинка КохаСніжинка Коха
(із шестикутника і кола)(із шестикутника і кола)

18.  Для побудови з центраДля побудови з центра
рівносторонньогорівностороннього
трикутника «виріжемо»трикутника «виріжемо»
трикутник. Повторимотрикутник. Повторимо
цю з трьомацю з трьома
утворенимиутвореними
трикутниками ( крімтрикутниками ( крім
центрального) і так доцентрального) і так до
нескінченності.нескінченності.
 Якщо взяти один ізЯкщо взяти один із
утворених трикутників іутворених трикутників і
збільшити його, тозбільшити його, то
отримаємо точну копіюотримаємо точну копію
цілого.цілого.
Трикутник Серпинського

19.  Рівносторонній
трикутник ділиться прямими,
які паралельні до його сторін,
на 4 рівних рівностороніх
трикутники. Із трикутника
видаляється центральний
трикутник. Отримуємо
множину, яка складається із 3
трикутників «першого рангу».
Якщо провести таку операцію з
кожним трикутником першого
рангу, отримаємо множину, яка
складається із 9 рівносторонніх
трикутників другого рангу.
Продовжуючи цей процес
нескінченно, отримаємо
трикутник Серпинського.
Трикутник Серпинського

21. Фрактал Вацлава Серпинського («КилимФрактал Вацлава Серпинського («Килим
Серпинського»)Серпинського»)

23. Фрактальна крива Д. ПеаноФрактальна крива Д. Пеано

24. ““Крива дракона” Э. ХейтуеяКрива дракона” Э. Хейтуея

25. Дракон Хартера був
вперше досліджений
фізиками NASA.
Описано його в 1967
році Мартином
Гарднером (Martin
Gardner) в колонці
«Математичні ігри»
журналу «Scientific
American».

26. Ідею самоподібних
кривих було далі
розвинено Полєм
П'єром Леві, який у
своїй роботі «Криві та
поверхні на площині
та у просторі, які
складаються із частин,
схожих на ціле»,
виданій 1938 році,
описав нову
фрактальну криву,
відому тепер як Крива
Леві.

32. Алгебраїчні фракталиАлгебраїчні фрактали
Друга велика група фракталів –Друга велика група фракталів –
алгебраїчні. Свою назву вониалгебраїчні. Свою назву вони
отримали за те, що їх будують на основіотримали за те, що їх будують на основі
алгебраїчних формул.алгебраїчних формул.
Лінійні НелінійніЛінійні Нелінійні

33. ЛінійніЛінійні фракталифрактали --
це фрактали, якіце фрактали, які
визначаються ліійнимивизначаються ліійними
функціями, тобтофункціями, тобто
рівняннями першогорівняннями першого
порядку.порядку.
Більш різноманітні нелінійні
фрактали - це фрактали, які
визначаються нелінійними
функціями.

34. Алгебраїчні фракталиАлгебраїчні фрактали
МножинаМножина
МандельбротаМандельброта
Множина ЖюліяМножина Жюлія

35. АлгебраическиеАлгебраические
фракталыфракталы

37. .

38. Стохастичні фракталиСтохастичні фрактали
Ще одним відомим класомЩе одним відомим класом
фракталів єфракталів є стохастичністохастичні
фрактали,фрактали, які отримуємо тоді,які отримуємо тоді,
коли в ітераційному процесіколи в ітераційному процесі
випадково змінено які-небудьвипадково змінено які-небудь
його параметри. Отримані обєктийого параметри. Отримані обєкти
дуже подібні до природних -дуже подібні до природних -
несиметричні дерева, порізанінесиметричні дерева, порізані
берегові лінії тощо. Типовимберегові лінії тощо. Типовим
представником цієї групипредставником цієї групи
фракталів єфракталів є «плазма».«плазма».

39. Комп’ютерна графіка
Фрактали широко застосовуються в
компютерній графіці для побудови
зображень природних об’єктів, таких
як дерева, кущі, гірські ландшафти,
поверхні морів тощо.
Математичною основою фрактальної
графіки є і фрактальна геометрія

40. Компю’терна графіка
Найпростіший фрактальний малюнок

41. Фрактальне деревоФрактальне дерево
Кожна гілочка дерева розділяється на дві, щоби в
результаті створити фрактальний купол. На
малюнку зліва зображено шість ітерацій, а справа -
тринадцять. Таке рекурсивне моделювання може
генерувати різні різновидності дерев за допомогою
зміни фрактального числа.

42. Фрактальна графікаФрактальна графіка

43. Шотландський лазерний фізик,
художник і веб-розробчик
Том Беддар створив декілька
шедеврів-геометричних форм,
які назвав «Фаберже фрактали».
Завдяки використанню формул
для генерації дизайна роботи
виглядають натурально і природно
, як і оригінальні яйця Фаберже

45. Фрактали в природіФрактали в природі
Природа частоПрирода часто
створює чудові істворює чудові і
прекрасні фрактали, зпрекрасні фрактали, з
ідеальною геометрією іідеальною геометрією і
такою гармонією, щотакою гармонією, що
просто завмираєш відпросто завмираєш від
захоплення.захоплення.

46. Фрактали в природіФрактали в природі
• БлискавкиБлискавки
• Лід, морозні візерунки на вікнахЛід, морозні візерунки на вікнах

48. Листя
папоротника

49. Цей фрактал росте в Новій Зеландії

50. Фрактал на підвіконнику

51. Фрактали морського царства

52. Фрактали на кухні

53. Фрактальна рибалкаФрактальна рибалка

54. Фрактали в декоративномуФрактали в декоративному
мистецтвімистецтві
Фрактали в квіллінгу
В техніці квіллінгу ми
бачимо повторення одних і
тих же елементів в різних
розмірах - це принцип
фрактальності.
Техніка орігамі

55. Фрактали в дизайні меблівФрактали в дизайні меблів

57. БЕЗКОНЕЧНА
ПІСЕНЬКА
( Олени Пчілки)
Був собі журавель
та журавочка,
наносили сінця
повні ясельця.
Наша пісня гарна й
нова,—
починаймо її знову:
був собі журавель
та журавочка...
(і так далі без кінця).
Літературні фрактали
Із народної творчості
У попа була собака, він її любив
Вона зїла кусок сала, він її убив.
У садочку поховав і на гробі написав:
“У попа була собака………”
(і так далі без кінця)

58. КРАСОТА ФРАКТАЛІВ

68. Значення відкриттів фракталів
для науки важко переоцінити.
Створення практично точних
моделей оточуючого середовища
дозволить точніше розглянути і
оцінити фактори , які впливають
на його стан і розвиток.
ВИСНОВКИ

69. Відкриття фракталів спричинило
революцію не тільки в геометрії,
але і фізиці, хімії, біології.
Фрактальні алгоритми знайшли
застосування і в інформаційних
технологіях.

70. Фрактали – це наукова краса
або красива наука, якою
насолоджуються у всьому світі
у різних сферах життя.

71. ТеорТеоріія фракталя фракталіівв використовуєтьсявикористовується
при вивченні структури Всесвіту.при вивченні структури Всесвіту.
Появляється теорія про те, щоПоявляється теорія про те, що
Наш Всесвіт – фрактал.Наш Всесвіт – фрактал.
Можливо, саме фрактали розкриютьМожливо, саме фрактали розкриють
тайну нескінченності нашого Всесвітутайну нескінченності нашого Всесвіту