matematica finanziaria: regime semplice ecomposto

1. MATEMATICA FINANZIARIA
La matematica finanziaria si occupa delle operazioni
finanziarie, le quali consistono nello scambio di importi
monetari tra soggetti diversi, in tempi diversi.
Le operazioni finanziarie elementari si possono classificare in
due categorie:
• Operazione di prestito: Un soggetto cede a un altro una
somma di denaro, che gli verrà restituita in un tempo futuro,
aumentata di un importo pattuito, detto interesse.
• Operazione di sconto. Un soggetto gravato dell’impegno a
pagare a un altro una determinata somma di denaro in un
determinato momento futuro estingue anticipatamente il
suo debito in un momento antecedente la scadenza
pattuita, ottenendo in cambio una riduzione dell’importo da
pagare, detta sconto.

2. • Nell’operazione di prestito, l’importo C ceduto dal creditore
si chiama Capitale; l’importo M > C ricevuto in restituzione si
chiama Montante;
la differenza I = M − C si chiama Interesse.
(LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE)
• Nell’operazione di sconto si chiama Capitale l’importo D
dovuto al tempo stabilito; si chiama Valore attuale di D al
tempo t (precedente la scadenza del debito) l’importo V <
D con cui il debitore può estinguere anticipatamente il suo
debito;
la differenza S = D −V si chiama Sconto.
(LEGGE DI ATTUALIZZAZIONE)

3. REGIMI FINANZIARI
• Regimi di capitalizzazione
• Regime dell’interesse semplice
• Regime dell’interesse composto
• Regime dell’interesse anticipato
• Regimi di attualizzazione
• Regime dello sconto semplice
• Regime dello sconto composto
• Regime dello sconto commerciale

4. REGIME DI
CAPITALIZZAZIONE A
INTERESSE SEMPLICE
I = Ci t
M = C + I = C + Cit = C (1 + it)
• I è proporzionale a:
C = Capitale
t = tempo
i = tasso di interesse
• Secondo questa legge, l'interesse è proporzionale
sia al capitale che al tempo, secondo un fattore di
proporzionalità costituito dal tasso di interesse.

5. Grafico di M = C (1+it) e I = Cit
M
C
t
M(t)
I(t)
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A
INTERESSE SEMPLICE

6. FATTORE DI MONTANTE A
INTERESSE SEMPLICE
• M = C (1 + it),
• se C = 1 allora:
• M = 1 + it
• Il parametro i è il
coefficiente angolare
della retta, e
finanziariamente
caratterizza la velocità
di accrescimento di 1
euro impiegato.
M
t
1

7. ESEMPIO
C = 5 000 euro
i = 1.5 % trimestrale
t0= 0 = 1/1/2006
t = 30/6/2006
Il montante al 30/6/2006 è .........
• M = C + I
• I = Cit = 5 000  0.015  2 = 150 euro
• M = 5 000 + 150 = 5 150 euro.

8. DURATA INTERA E DURATA
FRAZIONARIA
I = Cit
• Durata Intera
La durata dell'impiego è uguale ad un numero intero di periodi.
• Durata Frazionaria
La durata dell'impiego è uguale ad una frazione (propria) di periodo.
(ex: tasso bimestrale, durata un mese)
• Durata frazionaria
Sia i il tasso di interesse annuo, allora
Mesi: se il capitale C viene impiegato per m mesi interi (m < 12), si ha:
12
m
CiI =

9. DURATA INTERA E DURATA
FRAZIONARIA
365 è il numero di giorni dell'anno civile.
Nella pratica si utilizza anche l'anno commerciale fissato
convenzionalmente in 360 giorni.
• Considerando una durata t qualsiasi, cioè espressa in (n) anni
(m) mesi, (g) giorni, si ha:
• I = Cit M = C(1+it)
Giorni: se il capitale C viene impiegato per g giorni ( g < 30)
365
g
CiI =
36512
gm
nt ++=

10. ESEMPIO
• Calcolare il montante di un capitale di 1000 euro
impiegato per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso
annuale dl 3% in capitalizzazione semplice
549,1
365
18
12
6
1 =++=t
M = C(1+it) = 1000 (1+0,03 x 1,549) = 1046,47

11. CAPITALIZZAZIONE A TASSI
VARIABILI NEL TEMPO
• Nella pratica accade molto spesso che
la capitalizzazione venga regolata,
anziché da un unico tasso costante nel
tempo, da una sequenza di tassi di
interesse diversi, ciascuno applicabile a
un determinato lasso temporale.
• Vediamo come si possa adeguare il
regime di capitalizzazione a interesse
semplice a questa circostanza, nel
rispetto della formulazione generale di
tale regime.

12. CAPITALIZZAZIONE A TASSI
VARIABILI NEL TEMPO
• Sia i1 il tasso di interesse applicabile nel periodo da 0
a t1, i2 quello da t1 a t2 e così via.
• Nel primo periodo gli interessi prodotti:
I1 =C i1 t1
• gli interessi prodotti nel secondo periodo:
I2 =C i2 (t2–t1)
• Pertanto il montante in t2, come somma di capitale
e interessi maturati sarà dato da
• M(t2)= C (1+ i1 t1+ i2 (t2–t1))
• gli interessi si rendono disponibili solo alla fine della
capitalizzazione, e quindi non producono altri
interessi.

13. ESEMPIO
• Un capitale di Euro 5 000,00 viene
impiegato in capitalizzazione a interessi
semplici al tasso trimestrale 1,5% per un
trimestre, e successivamente per tre
trimestri al tasso trimestrale 2%.
• Il montante raggiunto alla fine (dopo un
anno) risulta
M(4) = Euro 5 000 (1 + 10,015 + 30,02) =
Euro 5 375

14. REGIME A SCONTO SEMPLICE
O RAZIONALE
• V = C0=Valore attuale = Somma scontata
• Ct = Capitale disponibile in t
• Sc = Sconto
• i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione
tCit =+ )(1C0
it
C
CV t
+
==
1
0
it
itC
VCS t
tc
+
=−=
1
t=0 t
C0 Ct

15. FATTORE DI SCONTO
RAZIONALE
• g(t) è il valore attuale, in regime di sconto razionale al
tasso di interesse i, di un capitale unitario che si renderà
disponibile al tempo t.
it
tg
+
=
1
1
)(

16. ESEMPIO
• In data 1/1/2006 sottoscrivo BoT per un
valore nominale di Euro 5.200 in scadenza il
30 Giugno 2006, al tasso di interesse 3%
trimestrale. Quale è il prezzo di sottoscrizione,
calcolato in regime di sconto semplice?
• I dati sono: Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale,
t = 2 trimestri.
66,4905
03,021
2005
=
+
=V

17. REGIME DI
CAPITALIZZAZIONE A
INTERESSE COMPOSTO
• A differenza del regime di capitalizzazione a interesse
semplice, il quale prescrive che l’interesse sia sempre
direttamente proporzionale al capitale iniziale e al
tempo, il regime di capitalizzazione a interesse
composto si caratterizza per il fatto che, al termine di
ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli
interessi maturati, in modo che anche questi ultimi
producano interessi nei periodi seguenti.
• In altre parole, l’interesse che si forma in ogni istante è
ora proporzionale al montante accumulato a quel
tempo.

18. ESEMPIO
• Consideriamo la capitalizzazione raffigurata
schematicamente nel grafico
• tasso di interesse 1,5% trimestrale.
t0 t1 t2
|________________|_________________|____
t0 = 1/1/02 t1 = 31/3/02 t2 = 30/6/02
C = Euro 5 000 M = ?
Al termine del primo periodo il montante vale
M(1) = C + Ci = C (1 + i)
e l’intero importo si considera investimento iniziale per il
secondo periodo, cosicché risulta
M(2)= M(1)+ iM(1) = M(1) (1 + i)
= C (1 + i) (1 + i) = C(1+ i)2

19. ESEMPIO (CONTINUA)
• In generale, ripetendo il procedimento fino all'n-esimo
periodo:
M(n) = M(n–1) + iM(n–1) = M(n–1)(1 + i)
M(n) = C(1 + i)n
I(n) = M(n) − C = C (1 + i)n – C = C [(1 + i)n − 1]
• Si noti dall’ultima espressione che l’interesse è qui
ancora direttamente proporzionale al capitale iniziale
ma non più direttamente proporzionale al tempo (la
relazione non è lineare).

20. ESEMPIO 2
• t = sei mesi
• C = Euro 5 000,00
• tasso i = 1,5 % trimestrale
in regime di capitalizzazione a interesse composto si
ottiene un interesse di:
• I(2) = 5 000 [(1 + 0,015)2 − 1] = 151,12.

21. CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
PER TEMPI NON INTERI
Sia t la durata della capitalizzazione: indichiamo con n
la sua parte intera e con f la sua parte frazionaria (0  f
< 1), in modo che risulti t=n+f.
• Convenzione lineare
Il montante al tempo t=n+f non intero si ottiene
aggiungendo al montante calcolato per gli n periodi
interi in regime a interesse composto, l'interesse in
regime semplice maturato su tale montante per la
frazione di periodo residua.
Si avrà quindi
M(t) = C (1+i)n + if [C (1+i)n] = C (1+i)n (1+if )
I(t) = C [(1+i)n(1+if) – 1]

22. CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
PER TEMPI NON INTERI
• Convenzione esponenziale
Il montante al tempo t=n+f non intero si calcola
mediante la formula
M(t) = C(1 + i)t
M(t) = C (1+i)n(1+i)f=C (1+i)t
I(t) = C [(1+i)t – 1]
Nei tempi non interi, è verificata la seguente
disuguaglianza:
C (1 + i)n (1 + if ) > C (1 + i)n (1 + i)f.
• Perciò, a parità di tempo e di tasso, il montante
calcolato mediante la convenzione lineare è superiore
al montante in convenzione esponenziale per durate
non intere.

23. CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
PER TEMPI NON INTERI

24. ESEMPIO
C = Euro 5 000;
i= 1,5 % trimestrale
Data iniziale:1/1/2006 ; Data finale: 31/5/2006 ;
t = 1 +2/3 di periodo
• Nella convenzione lineare:
M = C(1+i)n (1 + if )
M = Euro 5000 (1 + 0,015) (1 + 0,015 2/3 ) = Euro 5125,75
• Nella convenzione esponenziale:
M = C(1+i)n+f
M = Euro 5000 (1 + 0,015)5/3 = Euro 5125,62

25. TABELLA
t = n + f M=(1+i)n (1 + if) M = C(1+i)n+f
2 mesi:
n=0, f=2/3
5050 5049,87
3 mesi:
n=1, f=0
5075 5075
5 mesi:
n=1, f=2/3
5125,75 5125,462
1 anno:
n=4, f=0
5306,81 5306,81
1 anno, 3 mesi: n=5, f=0 5386,42 5386,42

26. MONTANTE E INTERESSE NEL
REGIME A INTERESSE COMPOSTO

27. FATTORE DI MONTANTE A
INTERESSE COMPOSTO
Dalla relazione M(t) = C (1 + i)t, ponendo C=1, si ottiene
l’espressione del fattore di montante del regime di capitalizzazione
a interesse composto
f(t) = (1 + i)t
parte di curva esponenziale di intercetta 1

28. FATTORE DI MONTANTE A
INTERESSE COMPOSTO

29. CONFRONTO TRA I MONTANTI
NEI REGIMI A INTERESSE SEMPLICE E
COMPOSTO
• C = Euro 5000,
• i = 1,5 % trimestrale.
Tempo Capit. semplice Capit. Composta
2 mesi 5050 5049,87
3 mesi 5075 5075
6 mesi 5150 5151,12
Per durate maggiori di un
periodo, il montante in
capitalizzazione composta
supera il montante in
capitalizzazione semplice.
L’opposto accade per durate
di capitalizzazione inferiori a
un periodo.

30. CAPITALIZZAZIONE A TASSI
VARIABILI NEL TEMPO
• Siano ancora i1 e i2 i tassi di interesse
applicabili rispettivamente tra i tempi 0 e t1 e
fra t1 e t2.
• Al tempo t1 sarà costituito un montante pari a
M(t1)=C(1+i1)t1
• e poiché il regime a interesse composto
prevede che l’intero montante sia fruttifero di
interessi, alla fine della capitalizzazione sarà
accumulato il montante
M(t2)=C(1+i1)t1(1+i2)(t2-t1)
e così via se il tasso dovesse assumere altri
valori successivi.

31. ESEMPIO
• Un capitale di Euro 5 000,00 viene impiegato in
capitalizzazione a interessi composti al tasso trimestrale
1,5% per un trimestre, e successivamente per tre
trimestri al tasso trimestrale 2%.
• Il montante raggiunto alla fine (dopo un anno) risulta
M(4) = Euro 5 000 (1 + 0,015)(1+ 0,02)3
= Euro 5 385

32. TASSI EQUIVALENTI
• Due tassi d’interesse si dicono equivalenti
se producono, ad una data futura t e a
parità di capitale impiegato, lo stesso
montante, ovvero gli stessi interessi
• la definizione può essere applicata sia per
trovare corrispondenze tra tassi in regimi
finanziari diversi,
• oppure, nell’ambito dello stesso regime, tra
tassi che si riferiscono a periodi di durata
diversa.

33. RELAZIONE TRA TASSI
EQUIVALENTI IN REGIMI
DIFFERENTI
M(t) = C(1+it) = C(1+y)t
• due tassi unitari i e y relativi rispettivamente al regime a
interesse semplice e a quello composto:
]1)1[(
1
−+= t
y
t
i
( ) 11 −+= t ity

34. Ipotizziamo che venga impiegato denaro
per un trimestre (3 mesi). Si potrà avere, nella
frazione di periodo e se i è il tasso di interesse
annuale:
I = C i t = C i 3/12
…e nel periodo intero e se i è il tasso di
interesse trimestrale
I = C i t = C i
…e in più periodi e se i è il tasso di interesse
mensile
I = C i t = C i 3.
Relazione tra tassi equivalenti
nel regime a interesse semplice

35. RELAZIONE TRA TASSI
EQUIVALENTI NEL REGIME A
INTERESSE SEMPLICE
• Sia i il tasso annuo e ik il tasso espresso in ragione di 1/k di
anno
(per un tasso semestrale sarà k = 2).
• Osserviamo che una durata di capitalizzazione pari a t
anni corrisponderà a kt periodi
(ad es. 3 anni = 6 semestri).
M(t)= C(1+ i t) = C(1+ik tk)
i = k ik
Esempio:
Il tasso annuo 6% equivale al tasso trimestrale 1,5% (i4)
tasso mensile i12 = 0,5%, al tasso semestrale i2 = 3%

36. RELAZIONE TRA TASSI
EQUIVALENTI NEL REGIME A
INTERESSE COMPOSTO
M(t) = C(1+i)t = C(1+ik)kt
1+i = (1+ik)k
( ) 11 −+= k
k ii
Es1: Il tasso annuo equivalente al tasso
trimestrale i4 = 1,5% è i = (1 + 0,015)4 − 1 =
0,06136 = 6,136%.
Es2: Il tasso semestrale equivalente al tasso
annuo i=2% è i2=0,995%
i = (1+ik)k -1

37. RELAZIONE TRA TASSI EQUIVALENTI
NEL REGIME A INTERESSE COMPOSTO
• Es: il tasso trimestrale equivalente al tasso
quadrimestrale i3=3% è i4=2,24%
( ) 114 3
34 −+= ii
(1+ih)h = (1+ik)k
(1+i3)3 = (1+i4)4

38. TASSO ANNUO NOMINALE
CONVERTIBILE K VOLTE
ALL'ANNO (JK)
• Talvolta si preferisce, per comodità,
enunciare il tasso annuo nominale
convertibile k volte l’anno, così definito:
jk= k ik
dove ik è il tasso di periodo.
• jk è un tasso annuo fittizio, poiché è definito
come se fosse equivalente a ik nel regime a
interesse semplice. Non ha, quindi, alcun
significato finanziario e perciò nei calcoli
occorre sempre riferirsi a ik.

39. ESEMPIO
• j4 = 6% (tasso annuo nominale convertibile quattro volte
l'anno) corrisponde a un tasso trimestrale
• i4 =j4/4= 1,5%
• ma il tasso annuo equivalente, come abbiamo visto, è
6,136%.
Il tasso annuo i, detto anche tasso effettivo,
è maggiore del tasso annuo nominale
convertibile jk, ossia i > jk .

40. TAN E TAEG
• In un’operazione di finanziamento il T.A.N. (Tasso
Annuo Nominale), espresso in percentuale e su
base annua, corrisponde al tasso interno di
rendimento dell’operazione finanziaria:
• considerando gli esborsi richiesti per la restituzione
(quote capitale) e remunerazione del capitale
(quote interesse)
• non considerando le spese né altri oneri accessori.
• Pertanto il TAN fornisce una valutazione
“ottimistica” del costo reale del finanziamento.

41. TAN E TAEG
• il TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) prende invece in
considerazione tutti gli oneri accessori (spese di istruttoria
o spese di apertura pratica, commissioni) che il debitore
deve corrispondere.
• Il TAEG è il tasso annuo che rende la somma dei valori
attuali di tutti gli importi erogati verso il cliente (al netto
delle spese) uguale alla somma dei valori attuali di tutte
le rate di rimborso, ossia corrisponde al reale T.I.R.
dell’operazione finanziaria complessiva.
• La normativa relativa consente di escludere (a
determinate condizioni) dal calcolo del TAEG alcune
spese, quelle assicurative e quelle di incasso della rata

42. ES:FINANZIAMENTO A TASSO
ZERO
• TAN nullo
• TAEG positivo: il cliente deve corrispondere
al finanziatore, alle scadenze e secondo le
modalità concordate, il capitale iniziale e
le spese accessorie
• Pertanto l’apparente convenienza di tali
operazioni può venire spesso a cessare

43. ESEMPIO
( ) 365546
1
1200
1000
i+
= ( ) 2,11
365546
=+ i
Il 1° gennaio 2002 si contrae un prestito di 1000 Euro da con una sola rata di
1200 Euro da pagare il 1° luglio 2003.
Il creditore trattiene 50 Euro per le spese di istruttoria della pratica di credito.
Determinare il TAN e il TAEG del finanziamento (usare l’anno civile e il
regime di capitalizzazione composta).
Tenendo conto che dal 1/1/02 al 1/7/03 intercorrono 546 giorni, per la
determinazione del TAN si risolve la seguente equazione:
i = 0,1296204.
Perciò il Tasso annuo nominale (TAN) dell’operazione di prestito è,
arrotondato, i = 12,96%.

44. ESEMPIO
• Per trovare il taeg risolviamo:
( ) 263,11
365546
=+ i
( ) 365546
1
1200
950
i+
=
i = 0,169026.
Perciò il Tasso annuo effettivo globale (TAEG)
dell’operazione di prestito è, arrotondato, i = 16,90%.

45. REGIME A SCONTO COMPOSTO
• V = C0=Valore attuale = Somma scontata
• Ct = Capitale disponibile in t
• D = Sconto
• i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione
D = Ct – C0 =
( ) 





+
− tt
i
C
1
1
1
t
t
Ci =+ )(1C0 t
t
i
C
CV
)(1
0
+
==
t=0 t
C0 Ct

46. ESEMPIO
• Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale,
t = 2 trimestri.
• quale è il prezzo oggi del BoT se la
valutazione avviene in regime di sconto
composto?
• Applicando la formula ora vista si ottiene:
50,4901
)03.01(
2005
2
=
+
=V

47. FATTORE DI SCONTO
COMPOSTO.
è il valore attuale, con sconto composto al tasso
d’interesse i, di un capitale unitario che si renderà
disponibile al tempo t.
t
t
i
C
CV
)(1
0
+
== t
i
tg
)(1
1
)(
+
=

48. SCINDIBILITÀ
• Consideriamo ora la possibilità di interrompere
anticipatamente l’operazione di investimento
e immediatamente riprenderla, e valutiamo gli
effetti finanziari di questa strategia,
confrontandone il montante finale con quello
che si potrebbe conseguire procedendo
senza interruzioni
• Le alternative sono schematizzabili ad esempio
nel modo seguente, considerando come al
solito il tasso trimestrale 1,5%:

49. SCINDIBILITÀ
• investire Euro 5000 al tempo t0 = 1/1/2002 e
incassare M2 al tempo t = 30/6/2002.
Euro 5.000 ===================>M(2)
|________________________________|_
t0 =1/1/02 t = 30/6/02
•interrompere l’operazione in t1 = 31/5/2002 e sempre
in t1 reimpiegare il montante allora disponibile fino
all’epoca t = 30/6/2002
Euro 5.000 =======> M’ ===========> M’(2)
|____________________|____________________|_____
t0=1/1/02 t1 = 31/5/02 t = 30/6/02

50. SCINDIBILITÀ
• Una legge si dice scindibile se il montante
di un capitale C, impiegato fino a t ad un
tasso assegnato i, non varia se l’impiego
viene interrotto in t1, con 0< t1< t e il
montante ottenuto in t1 viene
immediatamente reimpiegato alle stesse
condizioni per il tempo rimanente t – t1.
• Matematicamente, una legge di
capitalizzazione è scindibile se il
corrispondente fattore di montante f(t)
soddisfa la seguente relazione:
f(t) = f(t1) f(t – t1) con 0< t1< t

51. LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
SEMPLICE: NON SCINDIBILE
• t = 6 mesi = 2 trimestri :
M(2) = 5000*(1+0,015*2)= Euro 5150
• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre :
M’ (5/3)= Euro 5125;
• reimpiegando immediatamente questo
importo, il montante in t = 2 è
M’(2) = M’ [1+i(t–t1)] = Euro 5150,62.
• non si ottiene lo stesso montante: infatti, in
caso di reimpiego si ottiene un montante
maggiore.

52. LEGGE DI CAPITALIZZAZIONE
COMPOSTA: SCINDIBILE
M = C (1+i)t
• t = 6 mesi = 2 trimestri :
M(2) = Euro 5151,12.
• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre :
M’ = C(1+i )t1 = Euro 5125,62;
• reimpiegandolo immediatamente, il montante in t è
M’(2) = M’(1+i )1/3 = Euro 5151,12.

53. ESERCIZIO 1
• Calcolare interesse e montante di un capitale di
100.000,00 Euro impiegato al tasso semestrale del 3%
per 2 anni e 5 mesi in regime di capitalizzazione
semplice e composta
CAP. SEMPLICE: I=Cit=100000*0,03*(4+5/6)=14500
M=100000+14500=114500
CAP COMPOSTA: Convenzione lineare:
M(t) = 100000 (1+0,03)4 (1+0,03(5/6))= 115364,65
I(t) = 115364,65-100000=15364,6
Convenzione esponenziale:
M(t) =100000 (1+0,03)4+(5/6) = 115357,70
I(t) =115357,70-100000=15357,70

54. ESERCIZIO 2
• Calcolare il tasso annuo equivalente al tasso
trimestrale del 3,20% e al tasso semestrale del 3,75%
in capitalizzazione semplice e composta
CAP. SEMPLICE: i=0,032*4 = 12,80%
i=0,0375*2 = 7,5%
CAP COMPOSTA:
i=(1+0,032)4 -1= 13,42%
i=(1+0,0375)2 -1 = 7,64%

55. ESERCIZIO 3
• Si determini il tasso annuo equivalente al tasso nominale
annuo convertibile mensilmente del 5%
J12=0,05
I12=0,05/12=0,0041
(1+i)=(1+i12)12
i=(1+0,0041)12-1=0,0511

56. ESERCIZIO 4
• Una cambiale del valore di 100000 Euro, che scade tra 3 mesi,
viene scontata al tasso di sconto del 4% annuo, calcolare lo
sconto e la somma scontata.
• Quale è il tasso di interesse corrispondente?
S=100000*0,04*3/12=1000
V=100000(1-0,04*3/12)=99000
i=d/(1-d)=0,04/(1-0,04)=0,0417