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1. ALGEBRA
LA REGLA DE LA COSA
DEMETRIO CCESA RAYME
ECUACIÓN CUADRÁTICA

2. PROPIEDADES DE LAS RAICES:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
Sea:
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
Suma de raíces:
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
Producto de raíces:
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales, dobles,
existe solución única:
Discriminante = ∆ = b2 − 4ac
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Ó ECUACIÓN CUADRÁTICA

3. EJEMPLOS ILUSTRATIVOS DE ECUACIÓN CUADRÁTICA

4. Solución
1.
A) 4 B) −8 C) 2 D) −4 E) 8
Hallar “m”, si una raíz es – 2.
En la ecuación: x2 + 6x – m = 0
x2 + 6x – m = 0
(– 2)2 + 6 (– 2) – m = 0
4 – 12 – m = 0
– 8 – m = 0
– 8 = m Rpta. B
Reemplazando

5. Solución
2.
Rpta. B
A) – 1 B) 2 C) 1 D) 4 E) 8
x1 + x2 = − k + 7 = − 9
Calcular k para que la suma de raíces de:
sea igual a − 9.
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0
x2
+ k + 8 x + 8 − x = 0
x2 + k + 8 − 1 x + 8 = 0
x2 + k + 7 x + 8 = 0
−k − 7 = − 9
2 = k
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎

6. Solución
3.
Rpta. D
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
x1 . x2
3 = n
Determinar n tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 6. (n − 2)x2
−5x + 2n = 0
6
2
2



n
n
12
6
2 
 n
n
(n − 2)x2−5x + 2n = 0
12= 4n
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

7. Solución
4.
Rpta. C
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
x1 . x2
m = 16
Determinar m tal que el producto de raíces de la ecuación:
sea igual a 9.
2x2 + m − 1 x + m + 2 = 0
2x2 + m − 1 x + m + 1 = −1
9
2
2



m
2x2 + m − 1 x + m + 1 = −1
18
2 

m
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

8. A) 50 B) 100 C) 150 D) 200 E) 250
5.
Rpta. D
Solución
0
1
)
600
3
(
3 2



 x
m
x
Hallar “m”, si la ecuación:
posee raíces simétricas.
0
3
600
3


m
0
600
3 

m
600
3 
m
200

m
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1 + 𝑥2 =
Raíces simétricas:

9. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
6.
Rpta. B
Solución
0
1

b
0

b
0

b
Hallar la mayor solución de la ecuación: x2 + bx + 2b - 49 = 0
si tiene raíces simétricas.
x2 − 49 = 0
(x+7)(x − 7) = 0
7


x
7

x
x2 + bx + 2b - 49 = 0
𝑥1 + 𝑥2 = 0
Raíces simétricas:

10. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
7.
Rpta. E
Solución
Hallar “k”, si la ecuación: 0
)
9
(
7
)
1
2
( 2




 k
x
x
k
posee raíces recíprocas.
1
1
2
9



k
k
1
2
9 

 k
k
k

10
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1. 𝑥2 =
0
)
9
(
7
)
1
2
( 2




 k
x
x
k

11. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8.
Rpta. A
Solución
1
2
4



a
a
2
4 

 a
a
a

1
Dada la ecuación: (a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0. Hallar el valor
de “a” si tiene raíces reciprocas.
a
2
2 
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
𝑥1. 𝑥2 =
(a+2)x2 – 10x + 4 – a = 0

12. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
9.
Rpta. C
Solución
1
4

k
4

k
4

x
Determine una raíz entera de la ecuación cuadrática:
kx2 − 17x + 4 = 0 que posee raíces reciprocas.
(x− 4)(4x − 1) = 0
4x2 − 17x + 4 = 0
4
/
1

x
𝑥1. 𝑥2 = 1
Raíces recíprocas:
kx2 − 17x + 4 = 0

13. Solución
10.
Rpta. A
A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8
Determinar el valor positivo de k de modo que las dos
raíces de la ecuación x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.
b2 − 4ac = 0
(− k)2 − 4 ·1·36 = 0
k2 =144
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:
x2 − kx + 36 = 0

14. Solución
11.
Rpta. E
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
(− 2k)2 − 4 ·1·(8k− 15) = 0
4(k2 − 8k +15) = 0
Hallar “k” si la ecuación: x2 − 15 − k 2x − 8 = 0
Tiene raíces iguales.
x2 − 15 − k 2x − 8 = 0 x2 − 15 − 2kx + 8k = 0
x2 − 2kx + 8k − 15 = 0
4k2 − 32k +60 = 0
(k − 3)(k − 5) = 0
k =3 k =5
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:

15. Solución
12.
Rpta. C
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
(− 2m)2 − 4 ·(m+3)·4 = 0
m = − 2
m = 6
Halle el mayor valor de “m” para que la ecuación:
m + 3 x2
− 2mx + 4 = 0, tenga una única solución.
4m2 − 16m − 48 = 0
4(m2 − 4m − 12) = 0
(m − 6)(m + 2) = 0
m + 3 x2 − 2mx + 4 = 0
∆= b2 − 4ac = 0
Raíces iguales:

16. Solución
13.
Rpta. D
A) 44 B) 33 C) 22 D) 11 E) 88
(− 8)2 − 4 ·1·n = 20
Para que valor de n el discriminante de la ecuación:
es igual a 20. x2 − 8x + n = 0
x2 − 8x + n = 0
∆= b2 − 4ac = 20
64− 4n = 20
44 = 4n
11 = n

17. Solución
14.
Rpta. B
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
0
1
5
2 2


 x
x
Siendo Las raíces de:
b
a
E
1
1


Hallar:
"
"
"
" b
a 
ab
b
a
E


b
a
E
1
1


2
5

 b
a
2
1
. 
b
a
5


ab
b
a

18. Solución
15.
Rpta. A
A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12
Siendo Las raíces de:
a
b
b
a
E 

Hallar:
"
"
"
" b
a 
b
a
E
1
1


3
2
6


 b
a
2
1
. 
b
a
0
1
6
2 2


 x
x
ab
b
a
E
2
2


 2 2 2
a b a b 2ab
   
16
2
2



ab
b
a
E
( 3)2 = a2 +b2 +2(1/2)
a2 +b2 = 9 −1
a2 +b2 = 8

19. MISCELANEA

20. Solución
1.
Rpta. D
A) 4/3 B) 7/4 C) 1/2 D) 4/7 E) 3/7
Si en la ecuación: x2 – 5ax + 3a = 0; una de las raíces
es 2. Indicar el valor que adopta “a”.
x2 – 5ax + 3a = 0
(2)2 – 5a(2) + 3a = 0
4 – 10a + 3a = 0
4 – 7a = 0
4/7 = a

21. Solución
2.
A) 26/9 B) 52/9 C) 6 D) 52/3 E) 26/3
Si a y b son las raíces de la ecuación : 3x2 + 2x − 4 = 0
Calcule el valor de: (a − b)2
3
2


 b
a
3
4
.


b
a
   
2 2
a b a b 4ab
   
(− 2/3)2 − (a − b)2 = 4(− 4/3)
52/9= (a − b)2
4/9 − (a − b)2 = − 16/3)
4/9 + 16/3 = (a − b)2
Rpta. B
LEGENDRE
Raíces a y b

22. Solución
3.
Rpta. D
A) 10 B) 20 C) −20 D) −15 E) 15
Si a y b son las raíces de la ecuación: x2 + mx + 36 = 0
Tal que (1/a) + (1/b) = 5/12 Calcular el valor de: “m”
b
a
1
1

12
5
 

ab
b
a
12
5

36
m

12
5

180
12 
 m
15


m
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎
36
m


23. Solución
4.
Rpta. D
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3
2
6




 b
a
2
3
. 
b
a
( a+ b)2 = a2 +b2 +2ab
( − 3)2= a2 +b2 +2(3/2)
a2 +b2 = 9 − 3
a2 +b2 = 6
Sea el conjunto solución de la ecuación: (x2 /3) + x = − 1/2
es CS = {a ; b}. Indique el valor numérico de “a2 + b2”
2x2 + 6x + 3 = 0
Multiplicando MCM=6 BINOMIO
Raíces:

24. Solución
5.
Rpta. D
A) 14/3 B) 17/4 C) 17/2 D) 35/8 E) 35/4
Si la ecuación: 𝐾𝑥2
+ 2𝐾 + 1 𝑥 + 𝐾 = 0 , tiene raíces iguales,
hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación:
4𝐾 + 3 𝑦2
+ 3𝐾𝑦 − 4𝐾2
+ 9 = 0
𝐾𝑥2
+ 2𝐾 + 1 𝑥 + 𝐾 = 0
(2k+ 1)2 − 4 ·K·K = 0
4k2 +4k +1 − 4𝑘2
= 0 k=− 1/4
4𝐾 + 3 𝑦2 + 3𝐾𝑦 − 4𝐾2 + 9 = 0
x1 . x2 =
−4𝐾2+9
4𝑘+3 x1 . x2 =
−4
1
16
+ 9
4 −
1
4
+ 3
=
35
4
2
= 35/8

25. Solución
6.
Rpta. D
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Para que valor de “k”,
las raíces de la ecuación: 1
k
1
k
2
x
5
x
3
x2





Son simétricas
1
k
1
k
2
x
5
x
3
x2





(k+1)(x2 + 3x)= (k − 1)(5x+2)
(k+1)x2 + (3k+3)x= (5k− 5)x+(2k− 2)
(k+1)x2 + (− 2k+8)x + 2− 2k = 0
0
1
8
2




k
k 0
8
2 

 K
K

4

26. A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
7.
Rpta. E
Solución
1
2
4



a
a 2
4 

 a
a
a

1
Dada la ecuación: (a+2)x2 −10x + 4 − a = 0. Hallar la
mayor raíz si tiene raíces reciprocas.
a
2
2 
3x2 − 10x + 3 = 0
(x− 3)(3x − 1) = 0
3

x
3
/
1

x

27. Solución
8.
A) 11 B) 12 C) 13 D) 16 E) 26
b
b
b
a 




1
)
(
30
1
30
. 

b
a
   
2 2
a b a b 4ab
   
(b)2 − ( 7 )2 = 4(30)
b = 13 Rpta. C
LEGENDRE
Sabiendo que las raíces de la ecuación en “x” : 𝑥2
−𝑏𝑥 + 30 = 0,
son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de “b”.
7

 b
a
b2 − 49 = 120
b2 = 169

28. Solución
9.
Rpta. A
A) – 1 B) 2 C) 1 D) –2 E) 3
En la ecuación: x2 – (m + n)x + 2m + 2 = 0 tiene por
raíces a x1 = 2 y x2 = 3 Hallar: “m – n”
m + n = x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 . x2 = 2m + 2
x1 + x2 = m + n
2m + 2 = x1 . x2 = 2.3 = 6
m + n = 5
2m + 2 = 6
m = 2
n = 3
m – n = – 1

29. Solución
10. En la siguiente ecuación:
hallar la Suma de raíces.
Rpta. D
A) 2 B) – 2 C) 4 D) – 4 E) 3
x(x + 2) + 5 = 3(2 – x) + x – 4
x(x + 2) + 5 = 3(2 – x) + x – 4
x2 + 2x + 5 = 6 – 3x + x – 4
x2 + 4x + 3 = 0
Suma de raíces = – 4

30. Solución
11.
Rpta. B
A)−1/3 B) 1/3 C) 1/2 D) − 1/2 E) 3/2
Siendo Las raíces de:
n
m
E
1
1


Hallar:
"
"
"
" n
m 
mn
n
m
E


n
m
E
1
1


2
1

 n
m
2
3
. 
n
m
3
/
1


mn
n
m
0
3
2 2


 x
x
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑥1. 𝑥2 =
𝑐
𝑎

31. Solución
12.
Rpta. B
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
b2 − 4ac = 0
(k− 2)2 − 4 ·9·1 = 0
(k− 2)2 =36
Hallar el mayor valor de “k” para que la ecuación:
9x2 + (k-2)x + 1 = 0 admita solución única.
k = − 4
k = 8

32. Solución
13.
Rpta. C
A) 4 B) 11/4 C) − 9/4 D) − 11/4 E) 9
Sea la ecuación: 2x2 +3x +5 =0, de raíces a ; b Hallar “a2 +b2”
2
3


 b
a
2
5
. 
b
a
( a+ b)2 = a2 +b2 +2ab
( − 3/2)2=a2 +b2 +2(5/2)
a2 +b2 =(9/4)− 5
a2 +b2 = − 11/4