Strength of Materials Short Instruction

1. MUKAVEMET I
SUNU DERS NOTLARI 2011
Yunus ÖZÇELĠKÖRSHakan EROL
EskiĢehir Osmangazi Üniversitesi
Mühendislik Mimarlık Fakültesi
ĠnĢaat Mühendisliği Bölümü
H. Selim ġENGEL

2. 2
MUKAVEMET I
TEMEL ĠLKELER
KESĠT ZORLAMALARI
GERĠLME
ġEKĠL DEĞĠġTĠRME VE MALZEME BAĞINTILARI
GERĠLME-ġEKĠL DEĞĠġTĠRME ANALĠZĠ
http://www2.ogu.edu.tr/~yunuso/mukavemeti.pdf

3. 3
OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ
MÜHENDĠSLĠK MĠMARLIK FAKULTESĠ
ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ BÖLÜMÜ
MUKAVEMET I DERS PLANI
DERS SAATĠ : Cuma I.Öğretim 09:00-12:00 II.Öğretim 14:00-17:00
SINIF : A 217
KREDĠSĠ : 3+0
ÖĞRETĠM ÜYESĠ : Dr. Yunus ÖZÇELĠKÖRS Oda No:311 Telefon: 3216 E-Mail: yunuso@ogu.edu.tr
GÖRÜġME SAATĠ :
ÖĞRETĠM ÜYESĠ : Dr. Selim ġENGEL Oda No:403 Telefon: 3232 E-Mail: ssengel@ogu.edu.tr
GÖRÜġME SAATĠ :
ÖĞRETĠM ÜYESĠ : Dr. Hakan EROL Oda No:411 Telefon: 3228 E-Mail: herol@ogu.edu.tr
GÖRÜġME SAATĠ :
DERSĠN AMACI :Mühendislik fakültesi öğrencilerine, yapı ve makine elemanlarında, etkisi altında oldukları dış yükler
sebebiyle oluşan gerilme ve şekil değiştirmelerin, bir matematik disiplin içinde , yapı malzemesi derslerinde yapılan deney
sonuçları, mühendislik limitleri içinde kalmak kaydıyla yapılan basitleştirici kabuller ile statik derslerinde alınan genel denge
kavramları kullanılarak hesaplanması için gerekli altyapının hazırlanmasıdır.
KONU BAġLIKLARI
1- Temel prensipler: Giriş Analiz yöntemleri, Kuvvet ye yük tipleri, Denge koşulları, İç kuvvetler (Kesit tesirleri)nin
incelenmesi, İç Kuvvet Bileşenleri Mesnet tipleri, Yük, kesme kuvveti ve moment ilişkileri Kesit tesiri diyagramları,
(integrasyon Yöntemi, Kesitler yöntemi)
2-Gerilme Kavramı : Giriş, Gerilme tahmini, Gerime bileşenleri, Gerime tansörü, Eksenel kuvvet, Ortalama kayma
gerilmesi, Basit yapı elemanlarında gerilme uygulaması, İnce cidarlı basınç kapları, Emniyet (Güvenlik) gerilmesi Emniyet
faktörü

4. 4
3-ġekil değiĢtirme, malzeme iliĢkileri : Giriş, Birim şekil değiştirme, Birim şekil değiştirme bileşenleri,şekil
değiştirme tansörü, Mühendislik malzemeleri Gerilme-birim şekil değiştirme diyagramları, Hooke Kanunu,
Poisson oranı, Genelleştirilmiş Hooke Kanunu, şekil değiştirme enerjisi.
4-Gerilme ve Ģekil değiĢtirme analizi: Giriş, Düzlem gerilme hali, Asal gerilmeler, En büyük kayma gerilmesi Mohr gerilme
dairesi, Gerilmenin değişimi ve diferansiyel denge denklemleri, Düzlem şekil değiştirme hali, şekil değiştirmenin
ölçülmesi, Gerilme-şekil değiştirme ilişkileri.
DEĞERLENDĠRME
I. Yarıyıl içi % Il. Yarıyıl içi % Bilgi Yoklamaları % Final % 50
(Sınavlar kapalı düzen olarak yapılacak, formül sayfası verilecektir)
TELAFĠ SINAVI
Sözlü ve/veya yazılı olarak yapılacaktır. (Öğrencinin hangi sınava katılmadığına bakılmaksızın tüm konular kapsanacaktır.)
DERS KĠTABI
Dr A.C, UĞURAL, Mechanics of Materials , Mc.Graw-HiIl 1991
Dr. Mustafa ĠNAN Cisimlerin Mukavemeti, ĠTÜ Vakfı Yayını,1990
YARDIMCI KAYNAKLAR
1- http://web.mst.edu/~mecmovie , http://web.mst.edu/~oci/frame1.html
2- Dr. Mehmet H. OMURTAG, Mukavemet Cilt I ve Cilt II Birsen yayınevi, 2007
3- Dr. Mehmet H. OMURTAG, Mukavemet Çözümlü Problemleri, Cilt I, Cilt II, Birsen yayınevi, 2006
4- Ferdinand P.BEER & E.Russel JOHNSTON, Mechanics of Materials, McGraw-Hill Book Comp.1981
5- R.C.HIBBELER ,Mechanics of Materials, Prentice Hall International, Inc.1997
6- Dr.N. KADIOĞLU, Dr.H. ENGĠN, Dr.M. BAKĠOĞLU ,Mukavemet Problemleri CiltI, Cilt II, Beta Basıim Yayım Dağıtım
A.~.1989
7- Dr.Uğur ERSOY & Dr.Tanvir WASTl, Introductory Mechanics of Deformable Bodies. METU1984
8- Dr.HiImi DEMĠRAY, Mukavemet,Çağlayan Kitabevi, 1997

5. 5
TEMEL ĠLKELER
GĠRĠġ
Mukavemet, yük etkisi altındaki cisimlerin gerilme ve Ģekil değiĢtirme durumunun -iç davranıĢın- incelendiği uygulamalı
mekaniğin bir dalıdır. Buradaki cisim kelimesiyle çubuklar, plak ve kabuklar, kolon ve miller ile bu elemanların
birleĢtirilmesiyle oluĢan yapı ve makineler kastedilmektedir. Cisimlerin dayanımı veya Ģekil değiĢtiren cisimler
mekaniği olarak da adlandırılan malzeme mekaniğinde öncelikle gerilme analizi ve cisimlerin mekanik özelikleri
incelenir.
Malzeme mekaniği çalıĢmaları, kuvvet etkisindeki cisimlerde denge kavramının anlaĢılmasıyla baĢlar. Statik dersinde
dengedeki katı cisimlerin dıĢ davranıĢı incelenirken mukavemette dıĢ yüklerden oluĢacak iç kuvvetler ve Ģekil
değiĢtirme araĢtırılır. Burada ilk olarak statik denge denklemleri ve yük etkisindeki bir cisimde uygulanması üzerinde
durulacaktır. Daha sonra malzeme deformasyon yasaları ve geometrik uygunluk koĢulları ele alınacaktır.
Katı cisimlerin yük etkisindeki davranıĢlarının incelenmesi Galileo Galilei (1564-1642) ile baĢlayıp kuvvet etkisindeki
cisimlerin Ģekil değiĢtireceğini ilk defa ifade eden Robert Hooke (1635-1703) la devam eder. O zamandan bu yana
pek çok mühendis, bilim adamı ve matematikçi gerilme analizine katkıda bulunarak bu gün kullandığımız yeni
yöntemlerin geliĢiminde önemli rol oynamıĢtır.
AMAÇ
Mukavemette temel amaç, cisimlerin yük taĢıma kapasitelerinin dayanım, rijitlik ve stabilite bakımlarından
araĢtırılmasıdır. Sözü edilen kavramlarla bir cismin sırasıyla sürekli Ģekil değiĢtirme veya kırılmaya karĢı direnci,
Ģekil değiĢtirme direnci ve cismin denge konumunun kararlılığı kastedilmektedir. Gerçek yapılardaki karmaĢık
gerilme durumunu deneysel olarak tespit edilen eksenel gerilmeye bağlayan kırılma teorilerinin vereceği gerilme
düzeyi, bazen dayanım için bir ölçü olarak kullanılır. Göçme veya kırılma en genel anlamıyla yapının herhangi bir
parçasının kendisinden beklenen iĢlevi yerine getirememesi olarak tanımlanacaktır.

6. 6
Örneğin eleman Ģeklindeki kalıcı deformasyon, denge konumundaki değiĢiklik ve yapı elemanının kullanımına engel
olacak Ģekil değiĢimleri bizim için ayrı ayrı birer göçme biçimidir.
Mukavemetin baĢlıca uğraĢı alanları Ģöyle özetlenebilir.
1- Yük etkisindeki cisimlerde gerilme ve Ģekil değiĢtirme durumunun araĢtırılması
2- Yapıların hasar görmeden ve/veya göçmeden ve kendisinden beklenen iĢlevi kaybetmeden taĢıyabileceği en
büyük yükün hesap yada deneyle bulunması
3- Belirli Ģartlar altında tanımlanmıĢ yüklere karĢı en etkin Ģekilde direnebilecek malzemenin seçimi ve
eleman Ģeklinin belirlenmesi –boyutlandırma-
Teknolojideki geliĢme, yapı ve makinelerin daha karmaĢık hale gelmesine yol açmaktadır. Bu durumda mühendislerin
gerilme, Ģekil değiĢtirme ve malzeme davranıĢı konularını iyi kavrayıp bu konularda ustalaĢmaları gerekmektedir. Bu
derste Ģekil değiĢtiren cisimler mekaniğinin temel kavram ve bilgilerinin verilmesi kadar uygulamadaki kullanılıĢı
hususu üzerinde de durulacaktır. Konunun tam olarak anlaĢılması yanında pratik problemlerin çözümünde kullanımını
görmek en iyi öğrenme yöntemidir.
ANALĠZ YÖNTEMLERĠ
Yüklerin Ģekil değiĢtiren cisimler üzerindeki etkisinin incelendiği a) Mukavemet b) Elastisite teorisi olmak üzere
yaygın olarak kullanılan iki farklı yaklaĢım bulunmaktadır. Bu iki yaklaĢım arasındaki temel fark, Ģekil değiĢtirmelerin
tanımından ve yapılan basitleĢtirmelerden kaynaklanmaktadır. Mukavemette, mühendislik uygulamalarıyla deneysel
çalıĢmaların sonuçlarından faydalanılarak bazı basitleĢtirici kabuller altında problemin çözümü aranır. Elastisite
Teorisinde ise her adıma matematik açıdan yaklaĢılır. Dolayısıyla yükleme ve problem Ģeklinin basit olduğu
durumlarda kesin sonuca ulaĢılır. Elastisite Teorisinde kesin sonuca ulaĢmada matematik güçlükler bulunur. Yapı
elemanlarının analizinde aĢağıda verilen hususların düĢünülmesi gerekir

7. 7
1- Statik denge: Yapı elemanının bütününde veya elemandan alınan herhangi bir parçada kuvvet denge
denklemleri sağlanmalıdır.
2- ġekil değiĢtirmeler: Yapı elemanını oluĢturan malzemenin davranıĢı gerilme-birim Ģekil değiĢtirme (σ-ε )
bağıntısına uygun olmalıdır.
3- Geometri: Yapı elemanında Ģekil değiĢtirmeden sonra herhangi bir kopma kırılma ve kütle kaybı olmamalı, yapı
elemanı bütünlüğünü korumalıdır.
Yukarıdaki ilkelerin uygulanmasıyla bulunan gerilme ve birim Ģekil değiĢtirmelerin elemanın sınır koĢullarına uygun
olması gerekir. Bu durum, sınır koĢullarının sağlanması olarak ifade edilir. Analizde her zaman yukarıdaki adımların
verilen sırayla uygulanması gerekmeyebilir. Gerilme ve Ģekil değiĢtirme analizinde, Ģekil değiĢtirme enerjisi
kavramından hareketle geliĢtirilen enerji yöntemleri, denge yöntemi yerine kullanılabilir. Her iki yöntem yükleme ve
eleman Ģeklinin düzenli olması durumunda yeterli hassaslıkta sonuç verirken karmaĢık problemlerin çözümünde de
sayısal yöntemlerin uygulanabileceği temeli oluĢtururlar.
KUVVET VE YÜKLERĠN SINIFLANDIRILMANSI
Cisme etkiyen bütün kuvvetlerle mesnetlerde oluĢan reaksiyonlar dıĢ kuvvetler olarak düĢünülür. Bu kuvvetleri yüzey
ve cisim kuvvetleri olarak sınıflandırmak mümkündür. Tekil tipteki yüzey kuvveti sonlu bir alana yada tek bir noktaya
etkirken cisim kuvvetleri, çekim kuvveti veya manyetik kuvvetler gibi cismin her bir hacim elemanına etkide bulunur.
Dünyanın cisimlere uyguladığı çekim kuvvetine ağırlık adını veriyoruz. Ġç kuvvetler ise cismin bünyesini oluĢturan
malzeme parçaları arasındaki etkileĢim kuvvetleri olarak algılanır.
Cisme etkiyen yükler tekil veya yayılı kuvvetlerle kuvvet çiftleri olabilir. Eğer kuvvetin etkidiği alan elemanın boyutları
ile kıyaslandığında küçük kalıyorsa kuvveti tekil kuvvet olarak kabul etmek mümkündür. Cisme yavaĢça etki eden
durağan yüklere statik yükler, aniden etkiyen yüklere de darbe yada çarpma yükleri denir. Yükün cisme binlerce defa
etki edip kaldırılması ise tekrarlı yükleme olarak isimlendirilir. Aksi belirtilmedikçe cismin ağırlığı ihmal edilip,
yüklemenin statik olduğu kabul edilecektir. SI birim sisteminde kuvvet birimi newton (N), uygulamada çoğu zaman
kilonewton (kN) olarak kullanılır.

8. 8
Yüklerin Sınıflandırılması :
1) ġiddeti zamanla değiĢen yükler
(Dinamik yükler)
2) ġiddeti zamanla değiĢmeyen yükler
(Statik yükler)
Etkime Biçimine Göre Yüklerin Sınıflandırılması:
1) Tekil yük
2) Yayılı yük
a) Eğri boyunca yayılı yük
b) Alana Yayılı yükler
c) Hacme yayılı yükler
L
y
x
q

L
qdxqLR
0
L
y
x

L
dx
L
x
qR
0
0 sin

 
L
x
qxq

sin0
L
y
x
  LqdxxqR
L
0
0
2
1
 
  x
L
q
xq 0

q0
Düzgün yayılı yük Üçgen yayılı yük Parabolik yayılı yük
STATĠK DENGE KOġULLARI
Yapı ve makine elemanlarının tasarımında bu elemanlarda oluĢan iç kuvvetlerin dağılımının bilinmesi gerekir. DıĢ ve iç
kuvvetlerin belirlenmesinde statiğin temel kavramları ile denge koĢulları kullanılır. Daha sonra göreceğimiz bileĢke iç
kuvvetin bileĢenlerinin –kesit zorlarının- oluĢturacağı deformasyonlar mühendisler açısından özel bir anlama sahiptir.
Cisme etkiyen kuvvet sisteminin bileĢkesi sıfırsa, cisim dengededir. Newton’un birinci yasasına göre parçacığa etkiyen
bileĢke kuvvet sıfır ise parçacık ya hareketsiz kalır yada sabit hızlı düzgün doğrusal hareket yapar. Statik adından da
anlaĢılacağı üzere temelde cisim veya parçacığın hareketsiz olma durumunu inceler. Üç boyutlu bir cismin dengesi
düĢünüldüğünde, statikçe dengenin olabilmesi için aĢağıdaki denklemlerin sağlanması gerekir.

9. 9
0 0 0 0 0 0x y z x y zF F F M M M          
Daha açık bir ifade ile cisme etkiyen kuvvetlerin herhangi bir doğrultudaki toplamı ile herhangi bir eksen etrafında
oluĢturacağı momentler toplamı sıfır olmalıdır. Eğer cisme etkiyen kuvvetler tek bir (x-y) düzlemin içinde ve dengede
ise yukarıdaki bağıntılardan üçünün otomatik olarak sağlanacağı ΣFz=0, ΣMx=0, ΣMy=0 aĢikardır. Dolayısıyla düzlem
problemlerde üç bağımsız denge denklemi bulunmaktadır.
Açıkça kuvvetlerin herhangi iki doğrultudaki (x,y) toplamı ile düzlem içindeki herhangi bir A noktasına veya z eksenine
göre bileĢke moment sıfır olmalıdır. Yukarıdaki denklemlerin yerine aĢağıdaki iki ayrı denklem takımı kullanılabilir.
0 0 0x A BF M M    
0 0 0A B CM M M    
Burada A ve B noktalarını birleĢtiren doğru x eksenine dik
olmamalıdır.
Burada da A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde
bulunmamalıdır.
Alternatif denge denklemleri, kuvvet toplamının moment toplamı ile değiĢtirilmesi yoluyla elde edilmiĢtir. Moment
alınacak noktanın dikkatlice seçilmesi durumunda alternatif denklemler cebrik hesapları önemli ölçüde basitleĢtirir.
Düzlem Hal için  000 zyx MFF

10. 10
Ġvmeli hareket eden bir cisimde statik denge denklemleri yazılırken ilave olarak atalet kuvvetlerinin de dikkate alınması
gerekir. Yapı analizi bakımından atalet kuvvetlerinin dıĢ yüklere eklenerek, cismin üzerindeki tüm kuvvetlerin etkisi
altında dengesinin incelenmesi D’Alembert ilkesi olarak adlandırılır.
Mühendislik problemlerinin büyük çoğunluğu dengedeki yapı ve makinelerle ilgilidir. Genellikle yükler adını vereceğimiz
tanımlı ve belirli kuvvetler etkisinde reaksiyonlar adını vereceğimiz yükleri dengeleyen bilinmeyen kuvvetlerin bulunması
söz konusudur. Yalnızca denge denklemleri yardımıyla bütün kuvvetlerin belirlenebildiği problemlere izostatik, denge
denklemlerinin bütün kuvvetlerin belirlenmesine yetmediği problemlere de hiperstatik denir. Hiperstatiklik derecesi,
bilinmeyen bağımsız kuvvet sayısı ile yazılabilen denge denklemi sayısı arasındaki farktır. Statikteki denge denklemleri
ile belirlenebilecek olan dıĢındaki her bir reaksiyona hiperstatik bilinmeyen (Redundant) adı verilir. Herhangi bir
sistemdeki hiperstatik bilinmeyen sayısı ile hiperstatiklik derecesi birbirine eĢittir.
ĠÇ KUVVETLER : KESĠM YÖNTEMĠ
Cisme dıĢ kuvvetler etkidiğinde, cisimde bir Ģekil değiĢimi ile
birlikte cismi oluĢturan parçacıklar arasında bu parçacıkları bir
arada tutacak iç kuvvetler ortaya çıkar. ġimdi mukavemetteki
ana konulardan biri olan iç kuvvetleri kesim yöntemi yardımıyla
incelemeye baĢlayabiliriz. Kesim yönteminin uygulanmasındaki
adımlar Ģöyle sıralanabilir.
1- Cismin, bağlı olduğu diğer cisimlerden ayrılarak mesnet
reaksiyonları da dahil olmak üzere etki eden bütün kuvvetlerin
gösterildiği çizimlere Serbest Cisim Diyagramı (SCD) adı verilir.
Uygulamada cismin yapacağı Ģekil değiĢtirmeler cismin kendi
boyutları yanında ihmal edilebilecek kadar küçük olacağından
SCD çiziminde dikkate alınmazlar.
2- Bilinmeyen dıĢ kuvvetlerin belirlenmesi amacıyla SCD
üzerindeki kuvvet sistemi için denge denklemleri yazılır.
Kesim
Düzlemi
DıĢ
Kuvvetler
Ġç
Kuvvetler

11. 11
3- Cisim herhangi bir yerden hayali bir düzlemle kesilerek ikiye ayrılır. Parçalardan biri göz önüne alınarak 2.
adımdaki iĢlemler tekrarlanır. Mademki cisim bir bütün olarak dengededir, kesimle ortadan kaldırılan iç kuvvetlerin
dikkate alınması Ģartı ile o bütünden ayrılan herhangi bir parçanın da dengede olması gerekir. Bu noktada, dıĢ
kuvvetlerin iç kuvvetlerle dengelenmekte olduğunu, diğer bir deyiĢle dıĢ kuvvetlerin, eleman boyunca –kesim düzlemine
bağlı olmak kaydıyla- iç kuvvetler Ģeklinde yayılı olarak devam ettiklerini söyleyebiliriz.
En büyük gerilmeyi oluĢturan iç kuvvetlerin bulunduğu yere elemanın kritik kesiti adı verilir. Eleman üzerinde yalnızca
tek bir kuvvet etki ediyorsa kritik kesitin yer ve doğrultusuna gözlemle karar verilebilir.
KESĠT ZOR(LAMA)LARI
Yapı elemanlarının büyük bir çoğunluğu çubuklardan meydana gelir. Bir yapı elemanının çubuk olarak isimlendirilebilmesi
için uzunluğunun, enkesit büyük kenarının 5 katından daha fazla olması gerekir. Çubukların herhangi bir kesitine etkiyen
iç kuvvetleri, enkesitin ağırlık merkezinde etkiyen bir kuvvetle bir kuvvet çifti vektörü olarak gösterebiliriz. Ġç
kuvvetlerin bileĢkesi olan bu iki vektör, enkesite dik ve teğet doğrultulardaki bileĢenlerine ayrılabilir. N, S, Mb ve Me
ile gösterilen bu bileĢenlerden yalnızca birinin bulunması haline, basit mukavemet halleri adı verilir.
F1
F2
F3
F4
F5
M
R
s
M
S
Kesme Kuvveti
Me
Mb
R
N Eksenel
kuvvet
Eğilme
Momenti
Burulma
Momenti

12. 12
EKSENEL KUVVET -Akashi-Kaikyo Bridge from the air -

13. 13
KESME KUVVETĠ

14. 14

15. 15
KESME KUVVETİ

16. 16

17. 17
y
x
z
(+) eksen
yönleri
Sağ Üçlü
Eksen
Takımı
Kuvvet çifti vektörünün yönleri daima sağ-el kuralı ile belirlenecek ve kuvvet vektörleriyle karıĢmaması için uçlarında
çift ok gösterilecektir. Dik kesitte bulunan iç kuvvetlere kesit zor(lama)ları adı verilir. Her bir kesit zoru çubukta
farklı bir Ģekil değiĢtirme meydana getirir.
Her bir bileĢen bir mukavemet halini gösterir. Bir kesitte bu tesirlerden bir kaçı bir arada bulunursa bu duruma
bileĢik mukavemet hali denir. Kullanılacak olan sağ-üçlü koordinat takımının x ekseni her zaman çubuk ekseni ile
çakıĢtırılacak, y ekseni yukarı, z ekseni ise okuyucuya doğru yönlendirilecektir.
Rx eksenel kuvveti elemanın boyunu uzatmaya yada kısaltmaya çalıĢır. Eğer bu kuvvet kesim yüzeyinden uzaklaĢıyorsa
eksenel çekme, kesim yüzeyine doğru yönlenmiĢ ise eksenel basma kuvveti adını alır.
Ry, Rz kesme kuvvetleri komĢu malzeme parçalarını keserek birbirinden ayırmaya çalıĢır. Genellikle S harfiyle
gösterilir.
Mx burulma momenti veya tork elemanı kendi ekseni etrafında döndürmeye çalıĢır ve genellikle T harfi ile gösterilir.
My, Mz eğilme momentleri ise çubuğu bükmeye çalıĢır

18. 18
y
x
z
Rz
Rx
Ry Sy (Kesme Kuvveti)
Sz (Kesme Kuvveti)
Nx (Normal Kuvvet)
BileĢke kuvvetin
eksenler
doğrultusundaki
bileĢenleri
x y z
y z
R R R
N S S
  
  
R i j k
R i j k kjiM
kjiM
zy
zyx
MMT
MMM


y
x
z
Mx
My (Eğilme Momenti)
Mz (Eğilme Momenti )
T, Mb (Burulma Momenti)
BileĢke kuvvet çiftinin
eksenler
doğrultusundaki.
bileĢenleri
Herhangi bir yapı elemanı kesit zorlarından bir veya bir kaçına veya tamamına aynı anda maruz kalabilir. Tasarımda her
bir kesit zoru ayrı olarak ele alınıp çözüm yapılır. Daha sonra bulunan sonuçların uygun Ģekilde birleĢtirilmesiyle nihai
çözüme ulaĢılır. Dolayısıyla kesit zorlarıyla kesit zorları kullanılarak bulunan gerilme ve birim Ģekil değiĢtirmelerin
hesaplanmasında kesim yöntemi ilk adım olarak karĢımıza çıkmaktadır.
Uygulamada bütün kuvvetler tek bir düzlem içinde etki ettiğinden (x-y düzlemi) problem büyük ölçüde basitleĢ-
mektedir. Düzlemsel problemlerde kesite etkiyen üç kesit zoru eksenel kuvvet N, kesme kuvveti Sy ve eğilme momenti
Mz dir. Bir düzlemin normal vektörünün koordinat ekseni ile aynı yönlü olması durumunda bu düzleme pozitif düzlem aksi
halde negatif düzlem denir. Newton’un üçüncü yasasına göre kesit zorları kesimle ayrılan parçalara eĢit ve zıt yönlü
olarak etkir.

19. 19
y
x
z
My
T
Sz
N
Sy
Mz
KESĠT TESĠRLERĠ ĠÇĠN POZĠTĠF YÖN KABULLERĠ
+
MM
+
SS
+
N N
-
MM
-
SS
-
N N
Sol kesit/
- x / - i
düzlemi
Sağ kesit/
+ x / + i
düzlemi
Düzlem çubukta +
iç kuvvetler
Düzlem çubukta –
iç kuvvetler
My
Mb
Sz
N
Sy
Mz
y
x
z
Bir düzlem, o düzlemden dıĢarıya doğru yönelen birim vektörle tarif edilir. Normalleri, koordinat eksenlerinin pozitif
yönleri ile çakıĢan düzlemlere sırasıyla +i, +j, +k düzlemleri denir. AĢağıda sol tarafta gösterilen ve normali +x ekseni
yönünde olan (+i) düzleme pozitif x düzlemi veya sağ kesit de denmektedir. Eksenel kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme
momenti için pozitif düzlemde koordinat eksenleri yönündeki, negatif düzlemde ise koordinat eksenlerine ters yönlü
kuvvetler pozitif kabul edilecektir. Bu iĢaret kabulü çubukların yük etkisi altındaki davranıĢına adapte edilebilir.
Örneğin pozitif eksenel kuvvetler çubuk boyunu uzatır.
+ y / + j
düzlemi
+ z / + k
düzlemi

20. 20
MESNET TĠPLERĠ VE GÖSTERĠM ġEKĠLLERĠ
Aynı düzlemdeki yüklerin etkisinde bulunan yapı elemanlarının mesnet tipleri aĢağıda gösterilmiĢtir. Bu gösterim Ģekilleri
yapı elemanlarının SCD çizilirken kullanılır.
Hareketli mafsal, yapı elemanının bir doğrultudaki yer değiĢtirmesine ve dönmesine izin veren ancak belirli bir
doğrultudaki yer değiĢtirmeye engel olan mesnet tipidir.
Sabit mafsal, elemanın dönmesine izin veren ancak herhangi bir doğrultudaki yer değiĢtirmesine engel olan bir mesnet
tipidir. Sabit ve hareketli mafsallara basit mesnetler denir.
Ankastre yada sabit mesnet, elemanın yer değiĢtirmesine ve dönmesine engel olan mesnet tipidir. Dolayısıyla sabit
mesnetlerde hem momente hem de herhangi bir doğrultudaki kuvvete karĢı konur. Bu kuvvet yüzeye teğet ve normal
doğrultulardaki bileĢenlerine ayrılabilir.
Serbest cisim diyagramlarında her bir mesnetteki reaksiyon kuvveti (R) ve moment (M) gösterilir. Elemandaki iç
kuvvetlerin bulunmasına reaksiyonların belirlenmesinden sonra baĢlanır.
A) Hareketli Mafsal
y
x
Ry
y
x
B) Sabit Mafsal
y
x
Ry
Rx
y
x
0zM
0
0
x
z
R
M


C) Ankastre Mesnet
x
y
Ry
Rx
Mz

21. 21
H
A
R
E
K
E
T
L
Ġ
M
A
F
S
A
L

22. 22
S
A
B
Ġ
T
M
A
F
S
A
L
Resim : inĢ. müh. Ertan Gazi Konuk
BÜKREŞ’TE BİR ALIŞ-VERİŞ MERKEZİ, TEMMUZ 2004

23. 23
TASARIMDA BAġLICA ADIMLAR
Tasarımın ana amacı, yapı elemanlarının verilen yükleri göçmeksizin taĢıyabileceği ve kendisinden beklenilen
iĢlevleri yerine getirebileceği uygun malzeme, eleman Ģekil ve boyutlarının belirlenmesidir. Bu aslında bir
optimizasyon problemidir. Yukarıda sözü edilen amaçlara ulaĢmadaki etkinlik kullanılan malzeme ve yapım
maliyetinin minimum yapılmasıyla baĢarılır. Yük etkisindeki bir elemanın tasarımında aĢağıdaki hususlar
göz önüne alınmalıdır.
1. Elemanın kendisinden beklenilen iĢlevleri hangi durum(lar)da kaybedeceği belirlenmelidir.
2. Verilen yüklemeden oluĢacak gerilme ve birim Ģekil değiĢtirme durumu tespit edilmelidir.
3. Gerilme ve birim Ģekil değiĢtirme gibi önemli büyüklüklerin elemanda göçme oluĢturmaksızın alabileceği en
büyük değerleri belirlenmelidir.
4. Güvenlik katsayıları seçilmelidir.
Yukarıdaki iĢlem adımları, verilen problemin yapısına bağlı olarak uzayıp kısalabilir. Pek çok etkinin dikkate
alınması söz konusu olduğunda çoğunlukla bir deneme-yanılma iĢlemiyle tasarım sonuçlandırılır. Bu derste
eleman malzemesi ile geometrik boyutlar önceden seçilmiĢ olduğundan tasarım sırasında yalnızca dayanım
koĢulunun sağlanması üzerinde durulacaktır. Basit mukavemet hallerinin incelendiği bölümlerde
çıkartılacak formüller, uygun eleman boyutlarının seçiminde kullanılacaktır.
Elemanların tasarımında dikkate alınması gereken diğer hususlar da yükleme sonucu elemanda oluĢacak
deformasyonun hesaplanması ve burkulmadır. Bu konulara daha sonraki bölümlerde açıklık getireceğiz.

24. 24
Kullanılan Birim Sistemi
Kuvvet F N, kN
Uzunluk L mm, m
Zaman t sn
Alan A mm2, m2
Hacim V mm3, m3
Atalet Momenti I mm4, m4
Mukavemet Momenti W mm3, m3
Moment M Nm, kNm
Gerilme ,  N/m2, N/mm2
Elastisite Modülü E GPa
Ġvme a m/sn2
ĠĢ-enerji W,U Joule
MPamNmmNmMNMPa
mNMPamNPa
Pascal


2622
262
10
1011
Faktör Hece ĠĢaret
1012 Terra T
109 Giga G
106 Mega M
103 Kilo k
102 Hekto h
10 Deka da
Faktör Hece ĠĢaret
10-1 Desi d
10-2 Santi c
10-3 Mili m
10-6 Mikro 
10-9 Nano n
10-12 Piko p
10-15 Femto f
10-18 Atto a

25. 25
ÇUBUK MUKAVEMETĠNĠN ESASLARI
Yapılar boyutları bakımından
1- Çubuklar (tel, halat, kablo, direk, kiriĢ, kemerler, Bir boyutlu taĢıyıcı cisimler
2- Levha, plak ve kabuklar (DöĢeme plakları, kubbe ve tonozlar)
3- Üç boyutlu yapılar (Ağrılık barajları)
Ģeklinde üç sınıfa ayrılabilir. Mukavemette yalnız çubuk Ģeklindeki cisimler incelenecektir. Çubuklar eksen ve dik
kesiti ile belirginleĢir. Eksen genel olarak bir uzay eğrisi olup, çubuğun büyük olan boyutunu temsil ederken dik
kesit ise kapalı bir eğri ile çevrelenmiĢ düzlem parçasıdır. Sabit kesitli, doğru eksenli çubuklara prizmatik
çubuklar denir. Çubuğa etkiyen dıĢ kuvvetler çoğu defa yayılı olup doğrultuları genellikle çubuk ekseninden geçer.
Eğer dıĢ kuvvetlerin tesir çizgileri çubuk ekseninden geçmiyorsa bu kuvvetler çubuk eksenine kuvvet çiftleri ile
birlikte taĢınır.
KESĠT ZORLARININ BULUNMASI
Kesit zorlarının bulunmasında aĢağıdaki yöntemler kullanılabilir.
1- Kesim yöntemi (STATĠK)
DıĢ kuvvetlerin etkisi altındaki sistemin mesnet tepkileri hesaplanır.
Eleman, süreksizlik gösterdiği noktalardan bölgelere ayrılır. Bu noktalar, tekil
yüklerin uygulandığı noktalar, yayılı yüklerin baĢladığı ve bittiği yerler ve çubuk
kesitinin değiĢtiği noktalardır.
Her bir bölgedeki kesit zorları yazılan denge denklemleri yardımıyla hesaplanır.
2- Ġntegrasyon yöntemi
Kesit zorlarına ait diferansiyel denge denklemleri, sınır koĢulları dikkate alınarak
çözülür.

26. 26
2 2
2 2y y
dS d dM d M d M
q q
dx dx dx dx dx
 
        
 xqy
 xqx
y
x
1 2
x dx dx
qydx
M + dM
S + dS
S
M
o
x
y
N + dNN
qxdx
 
 
0 0
0 0
0 0
2
x x
y y
z y
F N dN N q dx
F S dS S q dx
dx
M M dM M q dx Sdx
    
    
     



dM
S
dx
 y
dS
q
dx
 xq
dx
dN

YAYILI YÜKLER ETKĠSĠNDEKĠ DOĞRU EKSENLĠ BĠR KĠRĠġTE
KESĠT ZORLARININ DĠFERANSĠYEL DENGE DENKLEMLERĠ
Genellikle ekseni boyunca etkiyen yayılı yükleri eğilme dirençleri yardımıyla mesnetlerine aktaran bir boyutlu (en
kesit boyutları küçük, uzunluğu büyük olan) yapı elemanlarına kiriĢ adı verilir. ġimdi dıĢ yüklerle kesit zorları
arasındaki bağıntıları elde etmek istiyoruz. AĢağıda gösterilen basit kiriĢe x ve y eksenleri doğrultusunda qx ve
qy yayılı yükleri etkisin. qx ve qy sırasıyla x ve y eksenleri doğrultusunda etki eden yayılı yüklerin Ģiddetindeki
değiĢimi x koordinatına bağlı olarak ifade eden fonksiyonlardır. Yayılı yükler ve mesnet reaksiyonları altında
dengede olan kiriĢten dx kalınlıklı küçük bir parça çıkartılsın. Bütünü dengede olan çubuktan alınan bu küçük
parçanın da üzerine etkiyen yükler ve kesit zorları altında dengede olması gerekir. Alınan dx kalınlıklı parçanın
sağ yüzündeki zorlamaların sol yüzdeki zorlamalardan dN, dS ve dM kadar farklı olduğu kabul edilmiĢtir.
Eksenler doğrultusundaki denge denklemlerinden kiriĢe ait aĢağıdaki üç diferansiyel denklem bulunur.

27. 27
2
2 1
1
2
2 1
1
2
2 1
1
x x x
y y y
y
dN
q N N q dx YFAKA
dx
dS
q S S q dx YFAKA
dx
dM
S M M S dx KKDAKA
dx
      
      
      



Yayılı yük fonksiyonu altında kalan alan
Yayılı yük fonksiyonu altında kalan alan
Kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan
KĠRĠġE TEKĠL YÜK VE MOMENT ETKĠMESĠ HALĠ
Kesit zorlamalarına ait diferansiyel denge denklemleri
bulunurken göz önüne alınan çubuk parçası üzerinde
herhangi bir tekil kuvvet yada kuvvet çifti etkimediği
düĢünülmüĢtür. Eğer tekil kuvvet ve kuvvet çiftleri
varsa kuvvet zorlarında süreksizlik olacaktır.
Herhangi bir kesitte x ve y eksenleri doğrultusunda Px
ve Py tekil kuvvetleri ile bir M momenti etkisin.
Tekilliğin olduğu yerden alınacak bir eleman üzerinde
denge denklemleri yazıldığında yandaki bağıntılara
ulaĢılır.
Px
M
N2
M1
S2
Py
M2
S1
x
y
N1
2 1
2 1
2 1
x
y
N N P
S S P
M M
  
  
  М
KiriĢ diferansiyel denklemlerinin integrasyonu ile kesit zorları fonksiyonları belirlenebilir. Ġntegrasyon
sabitlerinin bulunmasında kesit zorlarının baĢlangıç değerlerinden yararlanılır. Ġntegrasyon yöntemi özellikle
yayılı yük fonksiyonlarının verildiği hallerde kolaylık sağlar. Önceki sayfada çıkarttığımız diferansiyel
denklemleri belirli iki nokta arasında mesela 1 ve 2 noktaları arasında integre edersek aĢağıda gösterilen
ifadeler elde edilir. Bu ifadelerin sağ taraflarındaki integrallerin fiziki anlamları sırasıyla negatif iĢaretle söz
konusu noktaların arasındaki yayılı yük fonksiyonlarının altında kalan alan ile yine negatif iĢaretle kesme kuvveti
diyagramının altında kalan alan olarak söylenebilir. Söz konusu denklemlerin sol tarafları ise sırasıyla her bir
kesit zorundaki değiĢimi vermektedir.

28. 28
ÖRNEK 1
4 m 6 m
2 m
6 kN
C B
10 kN
A
ġekildeki konsol kiriĢin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve
moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
10
10
10
6 106
20
106
20
16
100
x
[kN]
6
16
+
+
Sy
x
[kNm]
Mz
24
4
100
_
_
40  x
x
6
M
N
S
o
0 yF
 6 0yS x     6yS x kN
  06  xMx z
0 oM
  xxMz 6
104  x
10-x 16
M
N
S
100
x
o
0 yF   16yS x kN
0 oM     1001016  xxMz

29. 29
L
qy=-q
A
B
x
y
qyL
Ry
BRy
A
Rx
A
ÖRNEK 2 ġekildeki kiriĢin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment
fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
x
[kN]
+
_
Sy
2
Lqy
2
Lqy
x
[kNm]
Mz
+
8
2
Lqy
(+)
(-)
  00 A
xx RF
  qLRRF B
y
A
yy 0
  0
2
0
L
qLLRM B
y
A
z
2
L
qRB
y 
2
L
qRA
y 
   q
dx
xMd z
2
2
 
1
z
y
dM x
S qx c
dx
    
  21
2
2
cxc
x
qxMz 
Sınır ġartları (Mesnet ġartlarından)
  00 20

cxM xz
 
2
0 1
L
qcxM Lxz 
 
2
L
S x qx q    x
L
q
x
qxMz
22
2

Maksimum Moment ve Yeri
  max0S x M 
2
0
2
Lx
L
qqx 
8
2
2
max
L
qM L
x


30. 30
  2 2
1 1
1
2 2 2 4; 2 4
5
xdS
x S x x c c S x x
Sdx
 
             
  
3
2 2
2 2
3
2
4 32
2 4 4 ;
03 3
32
4
3 3
xdM x
x x M x x c c
Mdx
x
M x x
 
             
 
    
 1 10 0; 6 6; 6
dS
S c x S c S kN
dx
       
 2 26 6 0; 0 0; 6
dM
M x c x M c M xkNm
dx
           1m 3m
6kN/m
A B
x
y
4 kN11 kN
6 kN
qy=-(2x-2)
ÖRNEK 3 ġekildeki konsol kiriĢin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve
moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
x
[kN]
+
_
Sy
+
6
5
4
Teğet yatay
x
_
+
6
1,49
[kN]m
Mz
bölgesi10  x
bölgesi41  x
 
2
2
2 2y
d M
q x
dx
   
2
12
dM
x x c
dx
   
3
2
1 2
3
x
M x c x c    
2
1 1
1
2 ; 4
5
x
S x x c c
S
 
      
  
2
2 4S x x  
3
32
6
1
;4
3
22
2
3








 c
M
x
cxx
x
M
3
32
4
3
2
3
 xx
x
M
veya AB bölgesi
dM
S
dx
 

31. 31
L
B
x
y
A
R R
ġekildeki basit kiriĢin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment
fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz. Nümerik uygulama L=7 m. q0=10 kN/m
0( ) sin
x
q x q
l
 
   
 
ÖRNEK 4
0
0
0 0
1 1
0 ( ). sin
2 2
l l
y
q lx
F R q x dx q dx
l


 
     
 
 
0
0 1
0 0
1
2
0 0
22
2
0
2 2
( ) sin cos
0; 0 cos
cos sin
0; 0 0 sin
q ldS x x
q x q S c
dx l l
q l q l x
x S c S
l
q l q ldM x x
S M c
dx l l
q l x
x M c M
l
 


 
 
 


   
         
   
 
        
 
   
        
   
 
      
 
0
( ) cos
10*7
( ) cos
7
q l x
S x
l
S x x




 
   
 
 
   
 
2
0
2
2
2
( ) sin
10*7
( ) sin
7
q l x
M x
l
M x x




 
  
 
 
  
 

32. 32
10*7
( ) cos
7
S x x


 
   
 
2
2
10*7
( ) sin
7
M x x


 
  
 
x S M
0 -22,2817 0
0,5 -21,72305 11,04761
1 -20,07511 21,54125
1,5 -17,42051 30,95471
2 -13,89238 38,81597
2,5 -9,667615 44,73082
3 -4,958076 48,40267
3,5 8,18E-05 49,6474
4 4,958236 48,40259
4,5 9,667762 44,73066
5 13,8925 38,81574
5,5 17,42061 30,95442
6 20,07518 21,54092
6,5 21,72309 11,04726
7 22,2817 -0,000365
L
B
x
y
A
R R
0( ) sin
x
q x q
l
 
   
 
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Seri 1
Seri 2
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Seri 1

33. 33
ġekildeki çıkmalı kiriĢin mesnet tepkilerini
hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment
fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
Nümerik uygulama L=7 m. q0=10 kN/m
Ödev sorusunun çözümü
L
B
x
y
A
L/2
C
0
2
( ) sin
x
q x q
l
 
   
 
0 0
0 0
0
2
( ) cos
2 4
1.5
2
( ) cos
2 2
x l
q l q lx
S x
l
l x l
q l q lx
S x
l

 

 
 
 
   
 
 
 
   
 
2
0 0
2
2 2
0 0 0
2
0
2
( ) sin
4 4
1.5
2 3
( ) sin
4 2 4
x l
q l q lx
M x x
l
l x l
q l q l q lx
M x x
l

 

  
 
 
  
 
 
 
   
 
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
S
Seri 1
Seri 2
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
x
Moment
Seri 1
Seri 2

34. 34
10 m 14 m 8 m
A B
x
y 2,5
24
yq x 
2,5kN/m
11,43 kN 38,57 kN
ÖRNEK 5 ġekildeki çıkmalı kiriĢin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve
moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
+ +
-
-
5,208
6,22
18,57
20
x
[kN]Sy
--
17,36
1,42
80
x
[kNm]Mz
bölgesi100  x
bölgesi2410  x
bölgesi3224  x
2
1 1
02,5 2,5
0
024 48
y
y
y
xdS
x S x c c
Sdx
 
     
 
2 3
2 2
02,5 2,5
0
048 144
z
z
z
xdM
x M x c c
Mdx
 
       
 
 
2
19,2
y
x
S x 
 
6,57
3
x
xMz 
2
3 3
102,5 2,5
11,43
6,2224 48
y
y
y
xdS
x S x c c
Sdx
 
      
  
2 3
4
4
2,5 2,5
11,43 11,43
48 144
10
114,3
17,36
z
z
z
dM
x M x x c
dx
x
c
M
      
 
 
  
 
2
11,43
19,2
y
x
S x  
  3,11443,11
6,57
3
 x
x
xMz
5 5
24
2,5 2,5 80
20
y
y
y
xdS
S x c c
Sdx
 
      
  
1280
80
24
8025,1805,2 66
2






 c
M
x
cxxMx
dx
dM
z
z
z
  2,5 80yS x x  
  12808025,1 2
 xxxMz 
10 24
0 14,81
14,81 1,41
y
z
x
S x m
M
 
  
 

35. 35
Pozitif Y ve D
kuvveti
Y
D
N
S


Pozitif S ve N
kesit tesirleri
x
y


Yatayla herhangi bir α açısı yapan çubukta göz önüne alınan kesitin
solunda kalan parçadaki (yapıdaki) Yatay ve DüĢey doğrultudaki
bileĢke kuvvetler Y ve D olarak belirlendiğinde söz konusu
kesitteki kesme kuvveti S ve normal kuvvet N; y ve x doğrultula-
rında yazılacak toplam kuvvet sıfır denklemlerinden hesaplanabilir.
 
*sin cos
*cos *sin
S Y D
N Y D
 
 
 
  
Ġki ya da daha fazla çubuğun (kiriĢ elemanının) uçlarından rijit Ģekilde
birleĢtirilmesiyle oluĢturulan taĢıyıcı sistemlere çerçeve denir. Çerçeveyi
oluĢturan elemanlar çeĢitli doğrultularda uzanırlar. Tek katlı tek açıklıklı
çerçevelere portik adı verilmektedir. Sanayi yapılarında sıkça karĢılaĢılan
portiklerin açıklığı 26-30 metre civarındadır. Yan tarafta bir sanayi
yapısının taĢıyıcı sistemi Ģematik olarak gösterilmiĢtir. Çerçeve
elemanlarına ait kesit zorları, elemanlara ait eksen takımları kullanılarak
belirlenir. Genelde elemanlara çerçevenin içinden bakılarak elemanın sol
ucuna koordinat takımının merkezi yapıĢtırılır. x ekseni eleman ekseni ile
çakıĢtırılır. y ekseni (bakıĢ yönünde) yukarı doğru, z ekseni de kağıt
düzlemine dik doğrultuda ve okuyucuya yönelecek biçimde gösterilir. ġimdi
yatayla α açısı yapan bir elemanın herhangi bir kesitindeki Kesme kuvveti
(S) ile Normal kuvvet (N) yi kolayca hesaplamak üzere iki bağıntı çıkaralım.
x
y
xy
x
y
A
B
C
D
y
x
E
0 *sin cos 0
0 *cos *sin 0
y
x
F S Y D
F N Y D
 
 
   
   



36. 36
80 kN
4 m 2 m
40kN/m
A
B
D
C
36,8° 3 m
2,5 kN
120 kN
82,5 kN
2 m
ÖRNEK 6 ġekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti
ve moment fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
0 120x xF A kN   
0 82,5A
z yM C kN   
0 2,5C
z yM A kN   
A noktasının Sağı
120 0,6 2,5 0,8 70AS kN      
 120 0,8 2,5 0,6 97,5AN kN      
0AM
B noktasının Solu
2,5 0,8 2L
BS kN  
  kNNL
B 5,16,05,2 
kNmM L
B 17045,25,11203120 
B noktasının Sağı
2,5 1 2,5R
BS kN  
  01005,2 R
BN
kNmM R
B 170
D noktasının sağı
82,5R
DS kN
  01005,82 R
DN
kNmM R
D 16565,25.11203120 
D=-2,5 kNY=-120 kN
S N
M =0
D=-2,5 kN
Y=0
S
N
M =170
B
D=-2,5 kN
S=2,5 kN
N=0
M=170
Y=0 kN B
D=-82,5
S=82,5
N
M=165
Y=0
D
 
*sin cos
*cos *sin
S Y D
N Y D
 
 
 
  
Mesnet tepkilerini
hesaplamak için
yapının tamamında
denge denklemleri
yazılırsa,
Önceki sayfada çıkartılan iki bağıntıyı kullanarak yüklemede veya elemanların
doğrultusunda değiĢme olan kritik noktalardaki zorlamaları hesaplayalım.

37. 37
80 kN
4 m 2 m
40kN/m
A
B
D
C
36,8° 3 m
2,5 kN
120 kN
82,5 kN
2 m
xy
Bundan önceki problemlerdeki (tekil veya yayılı) yükler ya
elemanın sol ucuna yapıĢtırdığımız x, y eksenleri doğrultusundaki
bileĢenleri cinsinden verilmekteydi ya da söz konusu eksenler
doğrultusundaki bileĢenlerine kolayca ayrılabilmekteydi. Bu
problemdeki 40 kN/m lik düĢeyde düzgün yayılı yükün AB
elemanının A ucuna yapıĢtırılan x ve y eksenleri doğrultusundaki
iki bileĢene ayrılması (diğer bir ifade ile qx , qy yük fonksiyon-
larının belirlenmesi) gerekir.
170.14
Mz [kNm]
+
170
120 kN
96 kN
qy=-72/5
=-14.4 kN/m
A
72 kN
B
A
72 kN
B
96 kN
qx=96/5
=19.2 kN/m
A
B
40kN/m
x
xy y
 
 
 
1 1
2 2
2
3 3
2
0 5
19.2 19.2 0; 97.5 97.5
19.2 97.5
14.4 14.4 0; 70 70
14.4 70
14.4 70 7.2 70 0; 0 0
7.2 70
x
y
AB elemanı x m
dN dN
q N x c x N c
dx dx
N x kN
dS dS
q S x c x S c
dx dx
S x kN
dM dM
S x M x x c x M c
dx dx
M x x kNm
 
           
  
           
 
             
  
70
2
Sy [kN]
-
+
97,5
Nx [kN]
1,5
+

38. 38
BC elemanının ortasına etkiyen 80 kN lık bir tekil kuvvet bulunmaktadır.
Dolayısıyla D noktasından önceki ve sonraki kesit zoru fonksiyonları
birbirinden farklıdır. Öncelikle koordinat takımını elemanın sol ucu olan
B noktasına yapıĢtırarak, x koordinatının 0 ile 2 m. arasında değiĢtiği
BD kısmında geçerli olan kesit zorları fonksiyonlarını belirleyelim. Kesit
zorlarının x=0 daki baĢlangıç değerlerini daha önce çıkartılan S ve N
bağıntıları ile belirlemiĢtik. ġimdi aynı değerleri kesim yöntemi ile
hesaplayalım. BC elemanında qx , qy yük fonksiyonlarının her ikisi de
sıfırdır.
80 kN
4 m 2 m
40kN/m
A
B
D
C
36,8° 3 m
2,5 kN
120 kN
82,5 kN
2 m
x
y
 
 
 
1
1
2
2
3
3
0 2
0
0; 0 0 0
0
0; 2.5 2.5 2.5
2.5 2.5
0; 170 170
2.5 170
x
y
BC elemanı x m
dN dN
q N c
dx dx
x N c N kN
dS dS
q S c
dx dx
x S c S kN
dM dM
S M x c
dx dx
x M c
M x kNm
 
    
    
    
    
       
   
  
70
2
2,5
82,5
Sy [kN]
-
+
+
+
97,5
Nx [kN]
1,5
+
Sıfır
170.14
165
Mz [kNm]
+
+
170
4 m
40kN/m
A
B
N
S
36,8° 3 m
2,5 kN
120 kN
M
0 0
0 2.5
0 120*1.5 2.5*4 120*3 0
170
x
y
F N
F S kN
M M
M kNm
  
  
     




 
 
 
1
1
2
2
3
3
2 4
0
4; 0 0 0
0
4; 82.5 82.5 82.5
82.5 82.5
4; 0 330 82.5 330
x
y
BC elemanı x m
dN dN
q N c
dx dx
x N c N kN
dS dS
q S c
dx dx
x S c S kN
dM dM
S M x c
dx dx
x M c M x kNm
 
    
    
    
    
       
       

39. 39
5 m
4 m
15 m
78,8 kN
71,2 kN
78 kN
153 kN150 kN
30 kN
10kN/m
8kN/m
6 m
x
y
x
y
x
y
A
B
C
D
AB elemanı
ġekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme kuvveti ve moment
fonksiyonlarını bularak diyagramlarını çiziniz.
-
-
-
N [kN]78,8
61,03
71,2
M [kNm]
390
-
144
144
-
+-
-
390 38
S [kN]
78 + 92,567
60,43
48
+
-
-
10 78
y
y y
dS
q S c kN
dx
     
27878 cxM
dx
dM

30 cNq
dx
dN
x 
78yS kN
xM 78
kNN 8,78
BC elemanı
  110 10
y
y
dS
S x c
dx
     
2
210 92,567 5 92,567
dM
x M x x c
dx
       
30 cNq
dx
dN
x 
10 92,567yS x kN 
390567,925 2
 xxM
kNN 03,61
CD elemanı
18 8
y
y
dS
S x c
dx
   
2
2
484848 cxxMx
dx
dM

30 cNq
dx
dN
x 
8 48yS x kN 
144484 2
 xxM
kNN 2,71
78 kN
78,8 kN
Sy
B
=-92,567 kN
N =-61,03 kN
M = -390 kNm
71,2 kN
8kN/m
S=-48kN
N =-71,2 kN
M = -144 kNm
48kN
Örnek 7

40. 40
A ve B noktalarından mesnetli bir çıkmalı kiriĢin kesme kuvveti diyagramı
Ģekilde gösterilmiĢtir. Yükleme durumunu belirleyip eğilme momenti diyagra-
mını çiziniz.
Örnek 8
20 kN
- -
+
4 kN
10 kN
A B
2o Parabol
x
Sy [kN]
3 m 1 m
A‟daki teğet
yatay değil
C
2 1
2 1
0 1,5 2 3 1,5 16 24 3 0
0 1,5 3 4 34 0
A
y
M q q
F q q
          
       

 mkNq
mkNq
/67,14
/67,2
2
1


4 kN
10 kN 24 kN
A B C
05,18222324440
? 
 AM


 0424108220
?
yF
Kesme kuvveti diyagramındaki her zıplama, o noktada bir tekil kuvvetin
bulunması anlamına gelir. Dolayısı ile A mesnet reaksiyonunun 10 kN, B
deki mesnet reaksiyonunun da 24 kN olduğunu düĢünebiliriz. Ayrıca çıkma
ucunda 4 kN lık bir tekil kuvvet etkimektedir. A-B arasında kesme kuvveti
diyagramının 20 olması bu noktalar arasında 10 bir yayılı yük fonksiyonunu
akla getirmektedir. Yine kesme kuvveti diyagramının A noktasındaki
teğetinin yatay olmaması bu noktadaki yayılı yük Ģiddetinin sıfırdan farklı
olduğunu, teğet eğiminin A dan B ye gittikçe artması yayılı yük Ģiddetinin
de büyümekte olduğunu gösterir. B ve C noktaları arasında kesme kuvveti
diyagramının sabit olması (eğim sıfır) bu noktalar arasında yayılı
yüklemenin olmadığına iĢaret etmektedir. ġimdi sözünü ettiğimiz yükleme
durumunu sembolik olarak yandaki Ģekil üzerinde gösterelim.
Trapez yayılı yük, biri q1 Ģiddetinde düzgün yayılı diğeri q2 Ģiddetinde
üçgen yayılı iki ayrı yüklemeye ayrılıp kiriĢin tamamı için yazılacak iki
denge denkleminden q1 ve q2 yük Ģiddetleri kolayca hesaplanabilir.4 kN
10 kN 24 kN
q2
q1
A B
4 kN
10 kN 24 kN
22 kN
8 kN
14,67
2.67

41. 41
2.67 kN/m
14.67
kN/m
4 kN
x
y
C
B
A
bölgesi30  x
2
1
1
4,89
2,67 4,89 2,67
2
0 10 10
y
y
y
dS
x S x x c
dx
x S c
     
      
2
2,445 2,67 10yS x x  
2 3 2
2
2
2,445 2,67
2,445 2,67 10 10
3 2
0 0 0
z
z
z
dM
x x M x x x c
dx
x M c
         
    
xxxMz 10335,1815,0 23

Maksimum momentin yeri, Kesme kuvvetinin SIFIR olduğu yerdir.
2 1
2
1,55
0 2,445 2,67 10 0
-2,641m X
y
x m
S x x
x
 
    

        kNmxMz 26,955,11055,1335,155,1815,055,1
23

9,26 kNm
-
+
4 kNm
x
Mz [kNm]
20 kN
- -
+
4 kN
10 kN
A B
2o Parabol
x
Sy [kN]
3 m 1 m
A‟daki teğet
yatay değil
C
A ve B noktaları arasındaki yayılı yük fonksiyonu belirlendikten sonra
integrasyon yöntemi ile kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları
hesaplanıp diyagramları çizilir.
14.67
( ) 2.67
3
yq x x  

42. 42
18 kN
-
-
+
3 kN
12 kN
A B
2o Parabol
x
Sy [kN]
3 m 1 m
B‟deki teğet
yatay değil
C
A ve B noktalarından mesnetli bir çıkmalı kiriĢin kesme
kuvveti diyagramı Ģekilde gösterilmiĢtir. Yükleme
durumunu belirleyip eğilme momenti diyagramını çiziniz.
4 m 3 m
40kN/m
A
B
C
36,8°
4 m
80 kN
3 m
xy
y x
ġekildeki çerçevenin mesnet tepkilerini hesaplayıp, Kesme
kuvveti ve moment fonksiyonlarını integrasyon yöntemiyle
bularak diyagramlarını çiziniz.
ÇalıĢma Soruları
A B
x
y
3 m 1 m
C

43. 43
GERĠLME
Mühendislerin yük etkisi altındaki bir elemanın davranıĢını tanımlamakta kullandığı iki kavram;
Gerilme ve Birim ġekil DeğiĢtirme
dir. Gerilme ve bileĢenlerini tanımlamakta kesim metodunu kullanıp, eksenel kuvvetten oluĢan normal gerilme ile
ortalama kayma gerilmesinin bulunuĢu üzerine duracağız. Sonra, öğrendiklerimizin çeĢitli problemlerde nasıl kullanıldığı
açıklanacak eksenel yüklü çubukların ön boyutlandırılması ve emniyet gerilmesi incelenecektir.
TANIM : GERĠLME
Neden normal ayakkabı ile kara gömülen, bata çıka adım atabilen biri hedik
giydiğinde yeni yağmıĢ kar üzerinde bile batmadan rahatça yürüyebilmektedir?
Nedeni birim alana gelen ağırlığın ikinci durumda azalması olarak söylenebilir.
Kuvvet etkisinde dengede olan bir elemanın içindeki herhangi bir noktadaki iç
kuvvetin Ģiddetine yani birim alana düĢen iç kuvvete gerilme adını veriyoruz.
Gerilme birimi Pascal’dır Uygulamada daha çok MegaPascal (MPa) kullanılır.
Hedik
A
O
zF
yF
xF
 xF
 
 
2
2
( ; )
PascalN
Pam
Gerilme
MegaPascalN
MPamm
 


yandaki Ģekilde dengede olan bir cisimden kesilerek alınan bir parçanın
kesim düzlemi üzerinde alınan herhangi bir o noktası ve bu nokta
civarındaki A alanı ile bu alana etkiyen F iç kuvveti gösterilmiĢtir. O
noktasına yapıĢtırılan koordinat takımının x ekseni kesim düzlemine dik
olan doğrultu ile çakıĢtırılmıĢtır.

44. 44
Gerilme;
a) iç kuvvetin (F) noktadan noktaya değiĢmesine bağlı olarak değiĢir.
b) F’nin etkidiği noktadan geçen düzlemin doğrultusuna da bağlı olarak değiĢir.
Bir noktadaki gerilmenin tam olarak tanımlanması için o noktadan geçen bütün
düzlemlerdeki (sayısı sonsuz) gerilmelerin verilmesi gerekir. Örneğin yandaki
Ģekilde gösterilen ve o noktasının bulunduğu yerden çıkartılan dört yüzlünün üç
yüzündeki iç kuvvetler verilmiĢ ise dördüncü yüzdeki iç kuvveti ya da gerilme
durumunu yalnızca denge denklemleri yardımı ile bulmak mümkündür.
P1
P2
P3
P
 321 PPPfP ,,
0
0
0
lim
lim
lim
x x
xx x
A
y y
xy
A
z z
xz
A
F dF
A dA
F dF
A dA
F dF
A dA
 


 
 
 
 
   
 
 
  
 
 
  
 
A
O
zF
yF
xF
 xF
F iç kuvvetinin eksenler doğrultusundaki bileĢenleri sırasıyla Fx , Fy , Fz olarak bilinsin. Bu gerilme
bileĢenlerini A alanına bölerek A sıfıra giderken limiti alınırsa her bir eksen doğrultusundaki gerilme bileĢeni
tanımlanmıĢ olur. Yüzeye dik doğrultudaki gerilmeye normal gerilme adı verilip σ (sigma) harfi ile gösterilirken,
kesim yüzeyi içindeki gerilmelere de kayma gerilmesi denir ve τ (tau) harfi ile gösterilir. Her gerilme bileĢenine
eklenen iki indisden birincisi kesim düzleminin normalinin doğrultusunu, ikinci indis ise gerilme bileĢeninin kendi
doğrultusunu belirtir. Örneğin τxz normali x ekseni olan düzlemde z ekseni doğrultusundaki kayma gerilmesidir.

45. 45
Gerilmenin BileĢenleri
Bir noktadan geçen sonsuz sayıdaki düzlemin her birindeki gerilmenin diğer bir deyiĢle GERĠLME HALĠ’nin
belirtilmesi için o noktadan geçen üç dik düzlemdeki gerilme bileĢenlerinin verilmesi yeterli olur.
x
y
z
Düzlemler o noktadan geçen eksenlere dik olarak seçilirse sonsuz küçük boyutlu bir kübik eleman elde ederiz.
Gerilmelerin elemanın yüzlerine yayılı ve O ve O’ noktasındaki gerilmelerin eĢdeğer olduklarını düĢünüyoruz.
Gerilmeler her düzlemin merkezinde bir vektörle gösterilmiĢtir. Bir noktada üç dik düzlemdeki toplam 9 gerilme
bileĢeni ile verilen gerilme hali gösterimine GERĠLME TANSÖRÜ denir.
y
x
y
z
x
z xy
zy
yz
xz
zy
yz
xzzx
zx
yx
xy
yx
O
O
dy
dz
dx











zzyzx
yzyyx
xzxyx



T
.
Gerilme tansörünün her bir satırında yalnızca belirli bir
düzlemdeki gerilme bileĢenleri sıralanırken her bir
sutunda ise belirli bir koordinat ekseni doğrultusundaki
gerilmeler gösterilmektedir.
Skaler büyüklüklerin tarif edilmesinde bir rakam ve
birimin verilmesi yeterli olurken vektörel büyüklüklerin
anlaĢılmasında bir rakam ve birim yeterli olmamaktadır.
Örneğin bir yer değiĢtirmenin 5 m olduğu söylemek
cismin son konumu hakkında hiçbir bilgi vermez.
Yapılması gereken Ģey cismin baĢlangıç konumuna bir
eksen takımı yapıĢtırmak ve yer değiĢtirmenin 3 m., 4
m., 0 m. gibi bu eksenler doğrultusundaki üç bileĢenini
vermektir. Verilen bu üç parametre ile cismin son
konumu tam olarak tarif edilmiĢ olur. Bir noktadaki
gerilme hali ile daha sonra göreceğimiz bir noktadaki
birim Ģekil değiĢtirme hali hep tansörel büyüklükler
olup dokuz bileĢeni verilmeden tam olarak anlaĢılamayan
büyüklüklerdir.

46. 46
Kayma gerilmesinin özelliklerinin bulunması için denge denklemlerini yazalım.
  0;0;0 zyx FFF
    00  dxdzdydydzdxM xyyxz 
yxxy   DĠK DÜZLEMLERDEKĠ KAYMA GERĠLMELERĠ EġĠTTĠR.
zyyzxM   0 zxxzyM   0
bulunur. ĠĢaret kabulü, düzlemin normali ile gerilmenin yönünün her ikisinin de pozitif veya negatif olması durumunda
gerilme POZĠTĠF kabul edilir. ġimdi gerilme halinin xy düzlemi üzerindeki izdüĢümünü alalım (+z yönünden
bakıldığında).
0,, xyyx  0,, yzxzz 
xx
xx
y
y
xx
y
y
xy
xy
Tek eksenli, (bir boyutlu)
Gerilme Hali
(Yalnızca normal gerilme varsa)
Ġki eksenli Gerilme Hali
(Ġki tane normal
gerilme varsa)
Tam Kayma Hali
(Yalnızca Kayma
gerilme varsa)
Düzlem Gerilme Hali
Otomatik olarak sağlanır











000
000
00x
T












000
00
00
y
x


T











000
00
00
yx
xy


T











000
0
0
yyx
xyx


T

47. 47
Ekseni Doğrultusunda Kuvvetlerle Yüklü Doğru Eksenli Çubukta Eksenel Normal Kuvvetler
ÖRNEK 1
Bu durumda eksenel normal kuvvet ve uzama veya kısalma söz konusudur.
Yük Diyagramı
3P N(x)
A
3P N(x)P
A B
N(x) 2P
D
Serbest Cisim Diyagramları
3P
2P
2P
-
-
+
P
x
Eksenel Kuvvet Diyagramı
ġekilde görülen yükler etkisindeki alüminyum çubuğun eksenel kuvvet diyagramını çiziniz.
L/4 L/2 L/4
3P P 4P 2P
A B C D
AB arası;
BC arası;
CD arası;

48. 48
Çubuk boyuna ekseni doğrultusunda birkaç eksenel kuvvetle yüklü ise eksenel normal kuvvetler kesitten kesite değiĢir. Bu
amaçla öncelikle eksenel normal kuvvet diyagramı çizilmelidir. Bunun için;.
•Öncelikle reaksiyonlar hesaplanır.
•Yüklemede değiĢme olan her bir bölgede (yükte süreksizlik olan her bir bölgede) ayrı bir kesim yapılarak o bölgedeki eksenel
normal kuvvet, denge denklemi yazılarak hesaplanır.
•Eksenel kuvvet diyagramı çizilir.
Diyagramın kapanması hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmek için kullanılabilir.
NORMAL GERĠLME
Cismin herhangi bir kesitindeki gerilme, sabit Ģiddete veya düzgün yayılı ise buna basit gerilme adı verilir.Yük taĢıyan
elemanların çoğunun düĢünülen bir kesitindeki iç kuvvetler ya eksenel kuvvettir ya da kesme kuvvetidir. Örneğin kablolar,
kafes kiriĢ elemanları, eksenel yüklü çubuklarda eksenel normal kuvvet, iki çubuğu birleĢtiren cıvata, pim ve perçinlerde ise
kesme kuvveti söz konusu olduğundan normal gerilme ile kayma gerilmesini hesaplamakta doğrudan gerilmenin tanımını ve
denge denklemlerini kullanmak mümkündür.
Gerçek gerilme yayılıĢını bulmak için Ģekil değiĢtirmeleri dikkate almak gereklidir.
Eksenel kuvvetle yüklü prizmatik bir çubuk düĢünelim.
Çubuk ekseni ile 90o’lik
açı yapan I-I kesitini
düĢünelim. Kesim
yüzeyindeki gerilme
Ģekilde düzgün yayılı
olarak gösterilmiĢtir.
  APFyatay 0
A
P
 Eksenel Çekme
gerilmesi
P P
h
b
P
I
I
P
I
I
I-I kesitinden kesip ayırırsak;
hbA 

Bu enkesitteki üniform gerilmenin değeridir. Bunun için;
 P enkesitin ağırlık merkezinden uygulanmalı
 Çubuk doğru eksenli, yapıldığı malzeme homojen olmalı
 Kesim düzlemi çubuk uçlarından uzak olmalı
Ġle verilen üç kriterin sağlanması gerekir.
1. kriter sağlanmaz ise moment oluĢur gerilme enkesite
düzgün yayılmaz.

49. 49
ÇATAL UÇ ÖRNEĞĠ
Resim: Dr. Ahmet Necati YELGĠN Resim: Dr.EĢref ÜNLÜOĞLU

50. 50
Çatal uçlardan pime kuvvetin aktarılması yarım silindirik bir yüzey üzerinden diğer bir deyiĢle temas yüzeyi aracılığı ile
gerçekleĢmektedir. Eğer bir kuvvet yarım silindirik bir yüzey üzerinden bir elemandan baĢka bir elemana aktarılıyorsa söz
konusu yüzeyde oluĢan gerilmelere ezilme gerilmesi adı verilir. (Makine mühendisliğinde ise bu gerilmeye yatak gerilmesi
denilmektedir.) Gerçekte düzgün yayılı olmayan ezilme gerilmeleri kuvvetin pim çapı x levha kalınlığından oluĢan yarım silindirik
yüzeyin iz düĢüm alanına bölünmesiyle hesaplanır.
Temas yüzeyi ve
ezilme gerilmeleri
Pim
Çatal uçP
P
b
A
c
c
b
b
C
d
P/2 t
A=d*t
P/2
t
A=d*t
Çatal uçlardaki kuvvetin pime aktarılması
P
ÇATAL UÇLU BĠRLEġĠMLER

51. 51
cb
cb
dt
P
1
SSd
cb
cb
td
P
2
dt
P
1
t
Pim
dt
P
l
1

B Çubuğundaki ezilme gerilmesi
td
P
l
2

Çatal uçlardaki ezilme gerilmesi
P
P
t1
t t
b
A
B
c
c
b
b
C
EZĠLME GERĠLMESĠ

52. 52
ORTALAMA KAYMA GERĠLMESĠ
Kayma gerilmeleri, uygulanan kuvvetlerin cismin
bir parçasının komĢu parçalara nazaran kesme
eğiliminde olması halinde ortaya çıkar. Çatal
uçlu birleĢimdeki pim, eksenine dik
doğrultudaki kesme kuvvetinin etkisiyle b-b ve
c-c kesitlerinden ayrılmaya karĢı koymaktadır.
Pimin bütünü dengede olduğuna göre ayrılma
yüzeylerinin her birinde P/2 kesme kuvvetleri
oluĢmaktadır. Kayma gerilmelerinin uygulanan
kuvvete paralel düzlemlerde oluĢması halinde
direkt kesme hali denir.
2
2
4
ort
kesilen
P P
dA


 
Normal gerilmenin tersine kayma gerilmeleri
düzgün yayılmazlar, pimin aktardığı kuvvetin,
kesilen pim alanına bölünmesiyle bulunan değer
ortalama kayma gerilmesini verir.
P/2
c
c
b
b
C
P/2
P
P
P
t1
t t
b
A
B
c
c
b
b
C
P/2
c
c
b
b
C
P/2
P
d
cb
cb Pim

53. 53
PERÇĠNLĠ ve
CĠVATALI
BĠRLEġĠM
Resim : inĢ.Yük müh. Bora KarakurtResim : inĢ.müh. Ertan Gazi Konuk
KĠRĠġ EKĠ
ALIġ-VERĠġ MERKEZĠ BÜKREġ
KOLON EKĠ
PROCTER-GAMBLE GEBZE

54. 54
Resim : inĢ.Yük müh. Bora Karakurt
Resim : inĢ.Yük müh. Bora Karakurt Resim : inĢ.Yük müh. Bora Karakurt

55. 55
Direkt kesme haline örnekler:
1- Perçinli veya bulonlu –civatalı- birleĢim
P
P
d
t
A
B
b
PP
P
S
 
1
2
4
ort
P
dm




P1 = bir perçinin taĢıdığı kuvvet
m = bağlantıdaki eleman sayısı -1
Kayma gerilmesi hesabı
Çelik yapı elemanlarının birleĢtirilmesinde perçin, bulon (cıvata) veya kaynak kullanılır. Perçin, küre takkesi bir baĢ ve
hafif konik gövdeden oluĢan bir birleĢtirme elemanıdır. Kızıl renk alıncaya kadar ısıtılan perçin elemanlara açılan
delikten geçirilir. Diğer uçtan çıkan konik kısım dövülerek küre takkesi biçimi verilir. Konik olan perçin gövdesi
dövülme sırasında silindire dönüĢerek deliği tam olarak kapatır. Eski yapılarda kullanılan perçin, kaynak
teknolojisindeki ilerleme sebebiyle günümüzde kullanılmamaktadır. Perçin yada kaynakla birleĢtirilen yapı elemanlarını,
elemanlara zarar vermeden sökmek mümkün olmadığından bu birleĢim araçları kalıcı yapılarda kullanılır. Bir yapının
ileride sökülerek baĢka bir yere taĢınması söz konusu ise bulon (cıvata) denilen birleĢim aracı kullanılır. Cıvata altıgen
bir baĢ ve üzerine diĢ açılmıĢ silindirik bir gövdeden oluĢur. Elemanlara açılan delikten geçirilen cıvatanın diĢli ucuna
somun adı verilen bir parça anahtar yardımıyla sıkılır. Hafif eğik yüzeylere takılan cıvatalarda somun takılmadan önce
yükün yayılmasını sağlamak amacıyla pul denilen halka Ģeklindeki metal parçalar kullanılır. Çelik yapılardaki titreĢimler
sebebiyle zamanla somunların gevĢemesi söz konusudur. Somunların gevĢemesine engel olmak için ya rondela adı
verilen yaylar ya da çift somun sıkılması yoluna gidilir.

56. 56
d
P
P/2
P/2
t
A
1
min
ezilme
P
t d
 

 min
yırtılma
P
t b k d
 
 
Perçin/cıvata gövdesinde veya levhada delik kenarında oluĢan ezilme gerilmesi
ZayıflamıĢ kesitteki çekme gerilmesi : Yırtılma gerilmesi
Burada; P zayıflamıĢ kesite etkiyen çekme kuvvetini,
b levha geniĢliğini
k zayıflamıĢ kesitte bulunan perçin sayısını,
tmin birleĢim bölgesine gelen yada giden levha
kalınlıkları toplamından küçük olanını göstermektedir.
Resimler: Connections Teaching Toolkit
Perry S. Green, Ph.D. & Thomas Sputo,
Ph.D., P.E. & Patrick Veltri
Burada; P1 bir perçin/civataya düĢen kuvveti,
d perçin / cıvata çapını, tmin birleĢim
bölgesine gelen yada giden levha kalınlıkları
toplamından küçük olanını göstermektedir.

57. 57
Plak
ÖRS
d
P
Delme
Ucu
t
P
S
d
tr
P
ort




2
2- Bir plak üzerinde delik açılması (zımbalama gerilmesi)
Japonya da bulunan bu köprü zımbalama etkisi yüzünden
kullanılamaz halde

58. 58
ġekilde 40 kN’luk düĢey kuvveti taĢıyan kafes sistem
görülmektedir. Bütün pimler 20 mm çapa sahiptir. Çatal
uçlardaki kalınlık 10’ar mm, bağlantı levhasının kalınlığı 15
mm’dir. Elemanlardaki normal gerilmeleri C mafsalındaki
kayma ve ezilme gerilmelerini hesaplayınız.
Örnek 2
y
x
P = 40 kN
BA
C
1.5 m
2 m
A = 0.002 m2
A = 0.004 m2
50 kN
30 kN
40 kN
B
MPaPaAB 5.7105.7
004.0
1030 6
3



MPaPaBC 251025
002.0
1050 6
3



MPaPa
d
C 6.79106.79
4
2
1050 6
2
3





3
650 10
166.7 10 166.7
0.015 0.020
ezilme Pa MPa

   

3
650 10
125 10 125
2 0.010 0.020
ezilme Pa MPa

   
 
Basma
Çekme
Mesnet levhasında
Çatal uçta
B düğüm noktasının dengesinden çubuk
kuvvetleri kolayca hesaplanabilir.
d
t=10 mm
t=10 mm
t1=15 mm Fc

59. 59
Civata keskisine 200 N’luk P kuvveti uygulanmıĢtır.
a) Civataya ve A, B, C noktasındaki pime gelen kuvvetleri hesaplayınız.
b) AD parçasının alanı 2x10-4 m2’dir. Bu elemandaki gerilmeyi belirleyiniz.
Örnek 3 FBy
FBx
FA
Q
B
A
  00 Bxyat FF
  ByAdüş FQFF 0
  AB FQM 751000 QFA
3
4

33
4 Q
QQFBy 
25 mm
C
B
A
480 mm1275 mm25
P = 200 N
D
  00 Cxx FF
ByCyy FFF  2000
124802000 ByC FM 
kNQ 248000ByF N
kNFCy 2.88000200 
kNFQF ByA 32248 
3
4
32 10
160
2 10
AD MPa 

 

NOT : Kesici uç ve sapta eğilme
ve kesme etkisi vardır.
25 mm
12
480 mm P = 200 N
FBy
FBx=0
FCy
FCx
Bir yapı yada makine
içerisinde yalnızca iki pimle
bağlanan bir eleman
bulunuyorsa ve bu elemanın
üzerine hiç bir dıĢ kuvvet
etkimiyorsa bu elemanın
görevi pimleri birleĢtiren
doğrultuda kuvvet aktar-
maktır. Kesme kuvveti ve
moment oluĢmaz. (iki kuv-
vet etkisinde dengede olan
cisim konusunu hatırlayınız)
sap
Kesici uç

60. 60
500 Gallon, 1000 psi Pres. Vessel
ĠNCE CĠDARLI
BASINÇ KAPLARI

61. 61
ĠNCE CĠDARLI BASINÇ KAPLARI
Uygulamada rastladığımız otomobil lastikleri, boru, tank ve LPG tüpleri gibi basınç kapları temelde eksenel kuvvet
taĢıyan araçlardır. Basınç kaplarının et kalınlığı/ iç yarıçap, 1/10 ’dan küçük ise bu tip basınç kaplarını ince cidarlı
olarak sınıflandırmaktayız. Ġnce cidarlı basınç kaplarında normal gerilme kalınlık boyunca sabit kalırken kalın cidarlı
basınç kaplarında değiĢmektedir. Ġnce cidarlı basınç kaplarında ayrıca iç ve dıĢ yarıçap ayrımı yapılmaz (Bu iki
değer birbirine çok yakındır).
Burada, ince cidarlı silindirik ve küresel basınç kaplarını ele alacağız. Basınç kabının cidarları zar gibi –membran-
davrandığından eğilme momenti oluĢmayacaktır. Kap eksenel simetrik yapısı ile taĢıdığı maddeden kaynaklanan
basınç etkisi ile serbestçe Ģekil değiĢtirirken yalnızca membran gerilmeleri adı verilen düzgün yayılı normal
gerilmeler oluĢur. Bu kabul, kabın rahatça Ģekil değiĢtiremediği uç bölgeleri ile mesnetleri dıĢında oldukça
isabetlidir. Silindirik kapların uçlarındaki kapak kısımlarında kesme kuvvetleriyle eğilme momentleri ortaya çıkar.
Kesme kuvveti ile Eğilme momentinden kaynaklanan bu gerilmelere süreksizlik gerilmeleri adı verilir. Süreksizlik
gerilmelerini azaltmak için kapaklara uygun bir eğrilik verilir. Bu bölümde verilen bağıntılar, sıvı veya gazdan oluĢan
p iç basıncı halinde kullanılabilir. Vakum kapları ile denizaltılar gibi dıĢ basınç altında kalan araçların incelenmesinde
p’nin iĢaretinin negatif alınması yeterlidir. DıĢ basınç halinde hesaplanacak gerilmelerin kap cidarlarında burkulma
oluĢturan kritik gerilmelerden küçük olmalıdır.
ġekilde gösterilen iç yarıçapı r, et kalınlığı t, manometre basıncı p olan silindirik hava tankı veya boyleri
düĢünelim. Manometre basıncı; içteki basıncın, dıĢ basıncı ne kadar aĢtığını vermektedir. Kap cidarı üzerinde
gösterilen küçük bir yüzey elemanına etki eden, c ve a gerilmelerini belirlemek istiyoruz. c gerilme bileĢenine,
çevresel gerilme, teğetsel gerilme veya halka gerilmesi; a gerilme bileĢenine ise eksenel veya boyuna gerilme
adları verilir. Çevresel gerilmeyi hesaplamak üzere L boyundaki yarım silindirik bir elemanı içindeki akıĢkanla
birlikte ayıralım. AkıĢkanın kendi ağırlığı ile basınç kabının kendi ağırlığının ihmal edilebilecek kadar küçük
olduğunu düĢünüyoruz. Eksenel doğrultudaki basınç ile gerilmeleri basitlik nedeni ile Ģekil b de gösterilmedi.
ġekildeki kap cidarlarında taĢınan eksenel kuvvet , c (2tL), aynı düzlemdeki akıĢkan basıncından oluĢan kuvvet ise
p(2rL) dir.
SĠLĠNDĠRĠK BASINÇ KAPLARI

62. 62
t
r
L
c
a
2rt t
p
L c
a
p
(a)
(b)
(c)
 rLptLc 22  t
pr
c 
DüĢey doğrultudaki toplam kuvvetin sıfır olması gerektiğinden;
Eksenel gerilme, silindirik basınç kabından alınan ve Ģekil c’de gösterilen serbest cisim diyagramı kullanılarak
hesaplanabilir. Bu diyagramdaki cidarın taĢıdığı eksenel kuvvet a (2rt) ; taĢınan akıĢkanın oluĢturacağı eksenel
kuvvet p(r2) ’dır. Eksenel kuvvetlerin eĢitliğinde,
   2
2 rprta  
t
pr
a
2

bulunur. Elde edilen gerilme bağıntılarından, c=2a olduğu görülmektedir.
PEACHOID

63. 63
KÜRESEL BASINÇ KAPLARI
Küresel basınç kaplarındaki gerilmeler, silindirik kapların incelenmesinde uygulanan iĢlemlere benzer Ģekilde
bulunabilir. Küresel kaptan alınan küçük bir elemana etkiyen gerilmeler simetri nedeniyle birbirine eĢittir. Küresel
kap tam ortasından ayrıldığında;


r
t
p

2r
Yazılacak denge denklemi ,
çevresel gerilme için
  2
2 rprt  
t
pr
2

Uçlarında yarım küre Ģeklinde kapaklar bulunan silindirik tank 1.38 MPa’lık basınçlı hava ile doldurulmuĢtur.
Tankın yarıçapı 250 mm, et kalınlığı 8 mm olduğuna göre silindirik ve küresel kısımlarda oluĢacak gerilmeleri
hesaplayınız.
Küresel kapaklardaki gerilme ile silindirik kısımdaki boyuna gerilme aynıdır.
MPa
t
pr
a 56.21
82
25038.1
2



  MPa
t
pr
c 13.43
8
25038.1


silindirik kısımdaki çevresel gerilme
en büyük radyal gerilme tankın iç yüzünde dır.MPar 38.1
Örnek 4
sonucunu verir. Bu sonuç, kürenin çapını içeren bütün kesimlerde aynı kalır. Radyal doğrultudaki gerilme kabın iç
yüzünde –p; dıĢ yüzünde sıfır olacak Ģekilde değiĢir. Ġnce cidarlı kaplarda bu gerilme c ve a gerilmelerinden çok
küçük olduğundan genellikle ihmal edilir. Ġnce cidarlı basınç kaplarındaki gerilme, iki eksenli gerilme hali olarak
düĢünülebilir.

64. 64
EMNĠYET GERĠLMESĠ: GÜVENLĠK KATSAYISI
Yapıların tasarım ve analizinde karĢılaĢılan çevresel etkiler, kullanım yükleri, malzeme özellikleri gibi çeĢitli
belirsizliklere karĢı uygun bir güvenlik katsayısı seçilmesi önemlidir. Belirsizlik doğuran alanların baĢında gerilme
ve Ģekil değiĢtirme kabulleri gelmektedir. Yapının imalatında ve kullanımı sırasında oluĢacak gerilmeler kesin
olarak bilinmediğinden güvenlik katsayısına bazen cehalet katsayısı adı verilir. Bazı durumlarda malzeme,
üzerindeki yük sabit olduğu halde Ģekil değiĢtirmeye devam eder. Zamanla oluĢan bu Ģekil değiĢimine sünme adı
verilir. Diğer taraftan Ģekil değiĢtirmenin sabit olduğu hallerde gerilmedeki azalmaya ise gevĢeme denir. KurĢun,
lastik ve bazı plastiklerde sünme normal sıcaklıklarda meydana gelmektedir. Pek çok metalde sünme olayına
ergime sıcaklığının yüzde 35-50’si düzeyindeki sıcaklıklarda görülmektedir. Herhangi bir malzemenin sünme hızı
yalnızca sıcaklığa değil aynı zamanda gerilme düzeyi ile yük geçmiĢine de bağlıdır. Sünme kaynaklı deformasyonları
azaltmak amacıyla gerilmelerin küçük tutulması faydalıdır.
Güvenlik katsayısı, yapı elemanına uygulanacak yükün, o elamanın taĢıyabileceği en büyük yükü aĢmamasını garanti
eder. Güvenlik katsayısı, yapı elemanının (göçmeksizin) taĢıyabileceği en büyük yükün kullanım yüküne oranıdır.
Güvenlik Katsayısı =
En Büyük Gerilme
Kullanım Gerilmesi
em
maks
sf



En büyük gerilme, ya akma gerilmesidir yada çekme (basınç) mukavemetidir. Güvenlik katsayısının oldukça küçük
olması, emniyet gerilmesinin oldukça büyük olmasını, bu durumda da yapının kullanımı sırasında problem çıkabileceği
gösterir. Diğer taraftan oldukça düĢük emniyet gerilmesi ve oldukça yüksek güvenlik katsayısı ile yapı ağır ve fazla
maliyetli olur.
Güvenlik katsayısı, genellikle 1.5 veya üstünde seçilir. Seçim de tecrübe ve mühendislik önsezisi önemlidir. Güvenlik
katsayıları pek çok ülkede standart ve yönetmeliklerle belirlenmektedir.

65. 65
Çekme ve Kısa Basma Çubuklarının Tasarımı
Eksenel yüklü prizmatik çubukların mukavemet yönünden boyutlandırılmasında
1.Mümkün göçme modunun belirlenmesi: Çoğunlukla göçmede normal gerilmenin temel bir büyüklük olduğu kabul edilir.
2.Yük ile gerilme arasındaki bağıntının yazılması:
3.En Büyük Çekme mukavemetinin belirlenmesi: Malzemenin σ-ε diyagramındaki en büyük ordinatı σmaks
4.Güvenlik katsayısının seçilmesi: Enmiyet gerilmesinin hesaplanmasında güvenlik katsayısı fs kullanılır.
A
P

s
maks
em
f

 
em
P
A

Gerekli enkesit alanı
Olur. Yukarıda sözü edilen iĢlemler çekme ve kısa basınç çubuklarının boyutlandırılmasında kullanılır. Narin basınç
çubuklarının boyutlandırılması daha sonra incelenecektir. Eğer çubuk en kesitinde ani bir değiĢim varsa yukarıdaki
iĢlemler 2. adımdaki gerilmenin hesabında gerilme yığılması katsayısı kullanılarak tekrarlanır.
Çapı 1.5 m, et kalınlığı 3 mm olan çelik silindirik tankın σenbüyük = 240 MPa, fs = 2 olduğuna göre
taĢıyabileceği p basıncını hesaplayınız.
Örnek 5
240
120 ;
2
maks
em c em
s
pr
MPa
f t

       MPap 48.0
750
3120



2 0.96
2
em
a em
tpr
p MPa
t r

 

    
Çevresel ve Eksenel gerilmeler, emniyet gerilmesini aĢmamalıdır.
Bulunur. Manometre 0.48 MPa’ı aĢmamalıdır.

66. 66
C ve E düğümlerinde 50
ve 20 kN’luk yükleri
taĢıyan kafesin AC, AD,
CD ve CE çubuklarının
alanlarını hesaplayınız.
Emniyet gerilmesi
çekmede 140, basmada
100 MPa’dır.
Örnek 7
RAy
B
D
CA E
50 kN 20 kN
RAx
RBx
2 m 2 m
2 m
a
a
b
b
70 kN
A
90 kN
20 kN
99 kN
45°
CA
50 kN70 kN
90 kN
20 kN
50 kN
99 kN
D
2
3
9.142
140
1020
mmAA CEAC 


2
3
1.707
140
1099
mmAAD 

 2
3
500
100
1050
mmACD 


Çubuk kuvvetlerini, kesim yöntemini kullanarak (statik
bilgilerinizden yararlanarak) kolayca bulabilirsiniz.
70
B
D
CA E
50 kN 20 kN
90
2 m
90 20
99 -50
-90
20
-28.28
ġekilde gösterilen kare kesitli
alüminyum AB çubuğu ile dairesel
kesitli çelik AC çubuğunun enkesit
alanlarını hesaplayınız. Alüminyum ve
çelik çubuklar için en büyük gerilme-
ler sırasıyla 275 ve 480 MPa ve
güvenlik katsayısı 2.5’dir.
Örnek 6
A
4.2 m3 m
3 m
B C
P = 60 kN
Fc
FB
7.2
7.8
3
1
1
2
3
0 * 4.2 60 3 111.4
7.8
B C CM F F kN      
1
0 * 4.2 60 7.2 145.5
2
C B BM F F kN      
0
8.7
2.7
4.111
2
1
5.1450
?
 xF
MPaal 110
5.2
275
 MPaçe 192
5.2
480

mmammAAB 4.367.1322
110
105.145 2
3



mmdmmAAC 18.272.580
192
104.111 2
3




67. 67
ġekilde gösterilen çubuğa uygulanabilecek en
büyük P kuvvetini; çekme gerilmesinin 100
MPa, basma gerilmesinin 140 MPa’ı aĢmaması
koĢuluyla hesaplayınız.
Örnek 8
A
B C
ED
2P4P6P PP
225 mm2
900 mm2 400 mm2
+
-
N
5P
P
2P
-A
B
C D E
P
kNP
P
AB 5.22100
225

kNP
P
BC 2.25140
900
5

kNP
P
CD 56140
400

kNP
P
DE 28140
400
2

  kNPem 5.2228;56;2.25;5.22min 
ġekilde gösterilen sistem dengededir. a) Normal gerilmenin 140
MPa değerini aĢmaması koĢulu ile CD çubuğunun çapını, b) B’deki
8 mm çaplı pimdeki kayma gerilmesini, c) B mesnedindeki yatak
gerilmesini, d) B mesnedine bağlanan çubuktaki yatak gerilmesini
hesaplayınız.
Örnek 9
60o
P
5 kN
200 mm
150 mm
A
B
C
D
10 mm
6 mm
6 mm
8 mm
B
kNPPMB 774.520060sin51500 
mmd
d
CD 25.7140
4
10774.5
2
3





kNBy 33.460sin5 
kNBx 274.860cos5774.5 
kNB 34.9274.833.4 22

MPa95.92
4
8
2
9340
2



MPayatak 3.97
812
9340



MPayatak 75.116
810
9340



b)
a)
c)
d)

68. 68
ġekilde görülen iki plak dört adet 20 mm çaplı perçinle birleĢtirilmiĢtir. em = 100 MPa, em = 80 MPa,
em
ezilme = 140 MPa olduğuna göre bu birleĢimin taĢıyabileceği en büyük P kuvvetini hesaplayınız.
Örnek 10
P
P
15 mm
10 mm
P
P
120mm
100mm80 mm
Bir perçinin kesilmeye ve ezilmeye göre taĢıyabileceği kuvvet
1
1 12
80 25.132 4* 100.53
20
4
P
P kN P P kN

     
1
1 1140 28 4* 112
20 10
ez
P
P kN P P kN      

Üst levhada Yırtılmaya göre tahkik;
 
 
 
100 90
80 20 15
3 / 4
100 120
100 2*20 15
/ 4
100 480
100 20 15
a a
b b
c c
üstlevha
üstlevha
üstlevha
P
P kN
P
P kN
P
P kN






   
 
   
 
   
 
 min 90; 100.53 ....... 90kN
emP kN 
a b c
P
P
15 mm
10 mm
3P/4
3P/4
P/4
P/4
P
P
0
0
Çok sayıda birleĢim elemanının bulunduğu sorularda her perçin
yada civatanın eĢit kuvvet taĢıdığı kabul edilir. AĢağıdaki Ģekilde
üst levhadaki P kuvvetinin a kesitini aĢınca P/4 kadar azalarak
3P/4 değerine düĢtüğü, b kesitinden sonra 2*P/4 kadar daha
azalarak P/4 değerine indiği, c kesitinden sonra üst levhada hiç
kuvvet kalmadığı Ģematik olarak gösterilmiĢtir. Alttaki levhada
baĢlangıçta sıfır olan kuvvet a, b ve c kesitlerinden sonra arta
arta en sonunda P değerine yükselmektedir.
Alt levhada Yırtılmaya göre tahkik;
 
 
 
100 100
120 20 10
3 / 4
100 107
120 2*20 10
/ 4
100 400
120 20 10
c c
b b
altlevha
altlevha
altlevha
a a
P
P kN
P
P kN
P
P kN






   
 
   
 
   
 
Yırtılma bakımından kritik olan kesit ya birinci ya da ikinci kesittir.

69. 69
ġekilde gösterilen pim bağlantılı çerçevede a) 150 mm2 enkesit alanına sahip CE çubuğundaki normal
gerilmeyi, b) D noktasında çift tesirli olarak çalıĢan 10 mm çaplı pimdeki kayma gerilmesini hesaplayınız.
Örnek 11
kNAAMB 66.808830cos100 
kNBF xx 66.30  kNBF yy 66.80 
CE çubuğu, iki ucu mafsallı olduğundan yalnız
eksenel kuvvet taĢır.
066.88645cos0  CEM ACD
D
kNCE 33.16
MPaCE 9.108
150
16330

kND
kND
y
x
55.11
89.2


ACD çubuğunun dengesi
kND 906.1155.1189.2 22

MPAD 8.75
4
10
2
11906
2



30o
10 kN
A
B D E
2 m 6 m
2 m
6 m
C
8.66 kN
11.55 kN
11.55 kN
CE = 16.33 kN
2.89 kN
11.55 kN
D
C
A
Pim bağlantılı çerçevelerde ilk adım mesnet reaksiyonlarının
hesaplanmasıdır. Daha sonra çerçeve elemanları teker teker ele
alınıp her bir elemanda üç adet denge denklemi yazılması yoluyla
istenen kuvvetler kolayca bulunur.

70. 70
0.8 m yarıçaplı küresel bir basınç kabı; iki yarım küre
parçanın eĢit aralıklarla yerleĢtirilen 40 adet cıvata
yardımıyla birleĢtirilmesinden oluĢmaktadır. Ġç basınç 600
kPa olarak verildiğine göre cıvata çapı d ile basınç kabının
et kalınlığı t’yi hesaplayınız. Cıvata ve küresel kabın emniyet
gerilmeleri sırasıyla 100 ve 50 MPa olarak bilinmektedir.
Örnek 14
0.6 800
50
2 2
4.8
em
c
pr
t t
t mm
 

   

N30160
40
8.4800250



Bir civataya
düĢen kuvvet
2
30160
100 19.6
4
d mm
d


   
Bir barajın türbinlerine su ileten cebri boru 120 m’lik su
yükü altındadır. Boru çapı 900mm’dir. Boru malzemesinin en
büyük gerilmesi 100 MPa, güvenlik katsayısı 1.6’dır. Borunun
en küçük et kalınlığı t ne olmalıdır? (gsu= 9.81 kN/m3)
Örnek 13
2
120 9.81 1177 /
1.177
p h kN m
p MPa
g    

mmt
ft s
maks
c 47.8
6.1
100450177.1
min 




0.8 m
t
d
150 mm çaplı makara, 25 mm çaplı
mile 5*5*25 mm boyutlara sahip bir
kama ile bağlanmıĢtır. Kamadaki
kayma gerilmesini hesaplayınız.
Örnek 12
150 mm
25 mm
5*5*25 mm
boyutlu
kama
5 kN
3 kN
   kNFFM kamakama 125.12753500
MPa96
255
12000




71. 71
ġekilde gösterilen birleĢim, levhaların alt ve üst yüzlerine
yerleĢtirilen 5 mm kalınlıklı bağ levhaları ve 4 adet 19 mm
çapındaki perçinle yapılmıĢtır. ç
em = 120 MPa, em =70 MPa,
em
ezilme = 240 MPa olarak bilindiğine göre birleĢimin
emniyetle taĢıyabileceği P kuvvetini bulunuz.
120 mm
ÇalıĢma Soruları
ġekilde gösterilen üç elemanlı
kafes sisteme E noktasından P
kuvveti etkimektedir. C ve D
noktasından mafsalla
birleĢtirilen, eksenel yük taĢıyan
CD elemanı 30x50 mm
dikdörtgen kesitlidir. E
noktasından uygulanan P
kuvvetinin Ģiddeti 210 kN
olduğunda CD çubuğunda oluĢan
normal gerilmeyi hesaplayınız.
ġekilde gösterilen ABC rijit elemanı CD yüksek mukavemetli
teli ve A noktasından uygulanan P kuvveti ile dengededir.
Telin taĢıyabileceği en büyük çekme gerilmesi  = 350 MPa
ve güvenlik katsayısı 3,3; B noktasındaki pimin taĢıyabileceği
en büyük kayma gerilmesi  = 300 MPa ve güvenlik
katsayısının 3,0 olduğu bilindiğine göre telin ve pimin en
küçük çapı ne olmalıdır?

72. 72
BĠRĠM ġEKĠL DEĞĠġTĠRME VE MALZEME (BÜNYE) BAĞINTILARI
Bir önceki bölümde bir yapı yada makine elemanındaki gerilmeler incelendi. ġimdi gerilme kadar önemli bir konu
olan Ģekil değiĢtirme konusunu ele alacağız. ġekil değiĢtirme veya deformasyon analizi, birim Ģekil
değiĢtirmelerin tanımları ile baĢlar. Birim Ģekil değiĢtirmeler deformasyonun Ģiddetinin ölçülmesinde kullanılır.
Ġleriki bölümlerde malzemelerin önemli karakteristik özellikleri tanımlanacaktır. Mühendislikte kullanılan
malzemelerin eksenel çekme deneyi yardımıyla belirlenen mekanik özellikleri üzerinde durulacaktır. Tek eksenli,
çok eksenli ve kesme kuvvetleri etkisinde gerilme ve birim Ģekil değiĢtirme arasındaki bağıntılar ele alınıp Ģekil
değiĢtirme enerjisi kavramı ile tekrarlı yüklemelerin oluĢturacağı kırılma olayına giriĢ yapılacaktır.
DıĢ kuvvetlerin etkisi altında bulunan bir cismin her noktası yer değiĢtirir. Herhangi bir noktanın yer
değiĢtirmesi; Ģekil değiĢtirmeden yada rijit cisim hareketlerinden (ötelenme ve dönme) veya bu iki etkinin
bileĢiminden meydana gelir. Cisim içindeki noktaların birbirlerine göre olan konumlarında bir değiĢme varsa
cisim Ģekil değiĢtirmiĢtir denir. Herhangi iki nokta arasındaki uzaklık yada herhangi üç nokta arasındaki açı
değiĢmiyorsa yer değiĢtirmenin sebebi rijit cisim hareketleri olabilir. Bu bölümde yük etkisindeki mühendislik
yapılarında, Ģekil değiĢtirme ile ortaya çıkan küçük yer değiĢtirmeler incelenecektir.
ġekil değiĢtirme sonucu cismin hacminde yada biçiminde değiĢme olabilir. Bir yapı elemanındaki gerçek gerilme
yayılıĢının belirlenmesinde bu yapı elemanındaki Ģekil değiĢtirmenin dikkate alınması gerekir. DıĢ yükler ve
sıcaklık tesiri etkisindeki hiperstatik yapıların analizinde Ģekil değiĢimi kullanılarak hiperstatik kuvvetlerin
hesaplanması için gereken ilave denklemler sağlanır.
Toplam eksenel Ģekil değiĢtirme d ile gösterilecektir. Cisim içerisindeki herhangi bir noktada x, y ve z
eksenleri yönündeki yer değiĢtirme bileĢenleri u, v ve w ile tanımlanacaktır. Birim Ģekil değiĢtirmeleri 1’in
yanında küçük, çarpımlarıyla karelerini ihmal edilebilecek kadar küçük kabul etmekteyiz.

73. 73
BĠRĠM ġEKĠL DEĞĠġTĠRME TANIMLARI
Normal birim Ģekil değiĢtirme prizmatik bir çubuk üzerinde tanımlanacaktır.
L
A B
x x
A‟ B‟

u u+u
P
Birim boydaki uzunluk değiĢimi: Uzama oranı
e > 0 UZAMA
e < 0 KISALMA
BĠRĠMSĠZ
Kayma Ģekil değiĢtirmesi, baĢlangıçta dik olan iki doğru arasındaki açının Ģekil değiĢtirme sonrası diklikten saptığı
değerin tanjantına denir. Açı küçük olduğundan tanjantı yerine radyan cinsinden kendisi yazılabilir.
g > 0 DĠK AÇI KÜÇÜLÜR
g < 0 DĠK AÇI BÜYÜR
BĠRĠMSĠZ

g 
2
Elastik bölgede Ģekil değiĢtirmeler 0.002 veya 2000 değerlerini pek aĢmaz.
Uzunluk ve açıdaki değiĢimler uniform ise dikdörtgen içine aldığımız iki formül yeterli hassasiyette sonuç verir.
Uniform olmayan bir Ģekil değiĢtirme söz konusu ise bir noktadaki birim Ģekil değiĢtirmelerin tanımlanması gerekir.
L

e 
P yükü uygulandıktan sonra
çubuk boyundaki toplam uzama
Çubuk baĢlangıç boyu

74. 74
Üçgen ABC plağı, ABC’ Ģeklini alacak biçimde üniform Ģekil değiĢtirme yapmıĢtır.
a) OC ekseni doğrultusundaki normal Ģekil değiĢtirmeyi,
b) AC kenarı boyunca normal Ģekil değiĢtirmeyi,
c) AC ve BC kenarları arasındaki kayma Ģekil değiĢimini, hesaplayınız.
Örnek 1
B
A
C‟
0.001b
b
b
bO C
0.001
0.001 1000OC
b
b
e 

      e 502
2
2001.0 2
1
22




b
bbbb
AC
o
b
b
BCA 943.89
001.1
tan2ˆ 1







 


g 995
180
057.0 






Dik açıdaki değiĢim = 90 -89.943 = 0.057o
Radyan cinsinden ACB açısı azaldığı için kayma Ģekil
değiĢimi pozitiftir.
ÖRNEK 2
Küresel bir balonun 200 mm olan
çapı, ĢiĢirildikten sonra 201 mm
olmuĢtur. Ortalama çevresel uzama
oranını hesaplayınız.
3
0
0
0
0
105
200
1 





D
DD
D
DD
c


e
Çevre=  D, D0 : ilk çap
ÖRNEK 3
Ġçi boĢ bir silindir iç basınç etkisinde 200 mm olan iç çapı 0.5 mm, 400 mm
olan dıĢ çapı 0.3 mm artmıĢtır. a) Çevresel doğrultudaki en büyük uzama
oranı b) Radyal doğrultudaki ortalama uzama oranını hesaplayınız.
200.5 200 0.5
0.0025
200 200
iç
c
 
e


  
00075.0
400
3.0
400
4003.400





e diş
c
001.0
100
1009.99





t
t
re
Ġç çevredeki uzama oranı
DıĢ çevredeki uzama oranı
Radyal doğrultudaki uzama oranı

75. 75
ÖRNEK 4 ġekilde görülen dikdörtgen levha, yüklemeden sonra bir paralel kenara dönüĢmüĢtür. Levhanın AB ve CD
kenarları 0.005 mm uzayıp 0.0012 radyan saat dönüĢü yönünde dönerken AD ve BC kenarları ise 0.002
mm kısalarak 0.0004 radyan saat dönüĢ yönüne ters yönde dönmüĢtür. a=40mm, b=20mm olduğuna göre
düzlem birim Ģekil değiĢtirme bileĢenlerini hesaplayınız.
x
y
A
B C
Da=40 mm
b=20 mm
x
y
A
B C
D
20.005
39.998 mm
0.0012
0.0004
00005.0
40
002.0


xe
3
1025.0
20
005.0 
ye
0016.00004.00012.0 xyg
ÖRNEK 5 ġekilde görülen ince dikdörtgen plak iki eksenli çekme gerilmeleri etkisinde
uzama oranlarını yapmaktadır. AC köĢegenindeki boy değiĢimini hesaplayınız.
44
104106 
 yx ee
x
y
A
B C
D
203 mm
152 mm
x
y
A
B
C
D
C‟
0.122
0.061
253.6
253.734
mmAD x 122.0eAD kenarındaki toplam Ģekil değiĢtirme=
mmAB y 061.0eAB kenarındaki toplam Ģekil değiĢtirme=
AC köĢegeninin ilk uzunluğu= mm6.253203152 22

AC köĢegeninin Ģekil değiĢtirdikten
sonraki ilk uzunluğu;
    mm734.253122.203061.152
22

AC köĢegenindeki boy değiĢimi;
mmAC 1343.0

76. 76
ġekil DeğiĢiminin BileĢenleri
Üniform Ģekil değiĢtirme yoksa birim
Ģekil değiĢtirme cismin içinde noktadan
noktaya değiĢir. Daha önce yazdığımız
bağıntıların x uzunluğundaki bir AB
doğru parçası ile ilgili olması gerekir.
Eksenel kuvvet altında doğru
parçasının uçları u ve u + u yer
değiĢtirmelerini yaparak A‟ ve B‟
noktalarına gelir. Yani doğru parçasının
boyunda u kadarlık bir uzama
gerçekleĢir. Tanım gereği normal Ģekil
değiĢtirme
dx
du
x
u
x
x 



 0
lime
dır. Burada limitin anlamı düĢünülürse
Δx, sıfıra giderken yalnızca A
noktasında x doğrultusundaki uzama
oranı ifade edilmektedir.
Düzlem veya iki eksenli Ģekil değiĢtirme
durumunda yükleme öncesi ve sonrası
cisim içindeki her nokta yine aynı
düzlem içinde kalırlar. Bu durumda birim
kalınlıklı dx ve dy boyutlu bir eleman
doğrusal ve açısal Ģekil değiĢtirme
yapabilecektir.
u
dx
x
u
u



dy
y
v
v



v
dx
dy
x
y
Bir düzlem elemanın doğrusal Ģekil değiĢtirmeleri
x
u
dx
dxudx
x
u
udx
x













e
y
v
dy
dyvdy
y
v
vdy
y













e
Bir düzlem elemanın açısal (kayma) Ģekil değiĢimi
u
v
dx
dy
x
y
dy
y
u


dx
x
v


A
B
C
D
D‟
C‟
B‟
A‟
   11
xy
xy
u vdy dx
y x
uv
dx u dx udy v dy v
xy
u vdy dx
u vy x
dx y xdy
g
ee
 
  
   
           
 
     
  
Örneğin u‟nun y ekseni doğrultusundaki değiĢimi (hızı) , u‟daki
artıĢ ise dır. Burada sonsuz küçük elemanın baĢlangıçta
düĢey olan kenarının eğimi olur.
y
u


dy
y
u


y
u



77. 77
x
u
dx dx dx
ux
dx x
e
 
     

y
v
dy dy dy
y v
dy y
e
 
     

   11
xy
xy
u uv vdy dydx dx
u vy yx x
u dx y xv dydx dxdy dy
xy
g
ee
  
        
              
Düzlem elemanın doğrusal Ģekil değiĢtirmeleri
Düzlem elemanın Açısal Ģekil değiĢtirmeleri
u ve v, x ve y’nin fonksiyonu olduklarından kısmi türev
gösterimi (notasyonu) kullanılmaktadır. Benzer Ģekilde
yatay kenar da açısı yapacak Ģekilde yükselir.
x
v


x
u
x


e
y
v
y


e
x
v
y
u
xy





g
A
D
B C
u
v
dx
dy
v
dx
x


u
dx
x


v
dy
y


u
dy
y


Rijit ötelenme
x
y B
C
D
u
dy
y


v
dx
x


Bir noktadaki düzlem Ģekil değiĢtirme halini
anlatabilmek için yukarıda tanımlanan üç birim
Ģekil değiĢtirme bileĢeninin verilmesi gerekir.
Önceki sayfada süperpozisyon kuralı kullanılarak
elde edilen bir noktadaki doğrusal ve açısal
düzlem Ģekil değiĢtirme bileĢenlerini tek bir Ģekil
üzerinde tekrar gösterelim.
Yer değiĢtirme fonksiyonlarındaki değiĢimi
aĢağıdaki biçimde yazmak mümkündür.
u u
du dx dy
x y
v v
dv dx dy
x y
 
 
 
 
 
 
Bu ifadelerdeki her terim, fiziksel anlamından
hareketle yandaki Ģekil üzerinde iĢaretlenmiĢtir.

78. 78
, ,x y z
u v w
x y z
e e e
  
  
  
, ,xy yz xz
u v v w u w
y x z y z x
g g g
     
     
     
x xy xz
yx y yz
zx zy z
e g g
e g e g
g g e
 
 
  
 
 
Eğer bir noktadaki Ģekil değiĢtirme halini anlatan 6 bağımsız Ģekil değiĢtirme bileĢeni biliniyorsa, prizmanın
boyutlarındaki ve Ģeklindeki değiĢimi tam olarak belirleyebiliriz.
6 adet birim Ģekil değiĢtirme bileĢeni, eksenler doğrultusundaki üç adet yerdeğiĢtirme fonksiyonlarına türevlerle
bağlıdır. Demek ki bu büyüklükler birbirlerinden bağımsız olamazlar. ex, ey, ez, gxy, gyz ve gxz‟nin sağlaması gereken 6
adet ifadeye UYGUNLUK denklemleri denir. Ġki boyutlu problemlerde yalnızca 1 adet uygunluk denklemi vardır.
Uygunluk denklemleri Ģekil değiĢtirmenin sürekli ve tek değerli olduğunu ve Ģekil değiĢtirme sırasında cismin içinde
kütle kaybı (boĢluk) olmayacağını ifade ederler.
yxxy
xyyx







 gee
2
2
2
2
2
Düzlem Hali için Uygunluk denklemi
UYGUNLUK DENKLEMLERĠ
Bir noktadaki düzlem Ģekil değiĢtirme hali örneğin xy düzlemi için, x ve y eksenleri doğrultusundaki uzama oranları ile
xy düzlemindeki kayma açısı yardımıyla tanımlanmaktadır.
Bir noktadaki üç boyutlu Ģekil değiĢtirme halinin tanımlanmasında x, y ve z eksenleri doğrultusundaki uzama oranları ile
xy, yz ve xz düzlemlerindeki kayma açılarının verilmesi yeterlidir.
Kenarları dx, dy ve dz olan üç boyutlu bir prizmatik elemanın yapacağı Ģekil değiĢtirmeyi tanımlamakta aĢağıdaki altı
adet Ģekil değiĢtirme bileĢenleri kullanılır. Bu Ģekil değiĢtirme bileĢenleri tıpkı gerilme haline benzer bir simetrik
tansör oluĢturur.

79. 79
ÖRNEK 7
ġekilde gösterilen bisiklet fren lastiği V kesme kuvveti
etkisiyle deforme olup AB’C’D Ģeklini almıĢtır. Kayma
açısının;
a) herhangi bir noktada, b) Yüksekliğin ortasında c)
Orijinde aldığı değerleri hesaplayınız.
x
y
A
B C
D
a
b=200 mm
V
2







b
y
hx
C‟B‟
h=0.5 mm
2
2
, 0
2
xy
y
u h v
b
u v h
y
y x b
g
 
 

 
  
 
yyxy
3
2
10025.0
200
5.02 


ga)
0025.0100
200
5.02
2


xygb)
0xygc)
0.4x0.4 m’lik kare ABCD plağının yüklemeden sonraki
hali Ģekil üzerinde kesikli çizgilerle gösterilmiĢtir. A
köĢesinde, düzlem Ģekil değiĢtirme bileĢenlerinin
ortalama değerlerini hesaplayınız.
Örnek 6
0.1 mm
400 mm
400 mm
x
y
0.7 mm
0.15 mm
0.25 mm
A
D
B
C
0.3 mm
x
uu AD
x


e B A
y
v v
y
e


 x
vv
y
uu ADAB
xy





g
e 1000
400
3.07.0


x e 625
400
25.0


y
g 500
400
01.0
400
3.00




xy
Negatif iĢaret açının arttığını gösterir.

80. 80
ÖRNEK 9
ġekilde gösterilen çubukta oluĢacak en büyük ex
uzama oranını; elemanın uzunluğu
doğrultusundaki yerdeğiĢtirme fonksiyonunu
a)
b)
olması durumları içi ayrı ayrı hesaplayınız.
  32
10
 Lxu
  





 
L
x
Lu
2
sin10 3 
L
x
002.010
2 3



Lx
maks
x
L
x
dx
du
ea)
b)
 
 
3
3
10 cos
2 2
10 0.00157
2
x
maks
du x
L
dx L L
 
e



 
   
 
 
ÖRNEK 8
ġekilde görülen ince üçgen plak, uniform Ģekil
değiĢtirme yaparak A‟B‟C‟ biçimini almıĢtır. ex ve ey
uzama oranları ile AC ve BC kenarları arasındaki kayma
açısını hesaplayınız
0012.0
1000
2.1
xe 0015.0
1000
5.1


ye
x
y
C
C‟
B
B‟
A
A‟
1 m1 m 1.2mm1.2mm
1.5mm
1m

o1
15.90
5.998
2.1001
tan22 





 

  radyanxy 0027.0
180
15.9090 

g

81. 81
Malzemenin yük altındaki davranıĢını tanımlamakta gerilme ve birim Ģekil değiĢtirme kavramlarının kullanılacağı daha
önce GERĠLME konusu anlatılırken söylenmiĢti. Bu bölümün baĢında uzama oranı ve kayma açısı adı verilen iki birim
Ģekil değiĢtirme kavramı açıklandı. Malzemenin yük altındaki davranıĢını belirlemek amacıyla eksenel çekme ve kesme
deneyi gibi basit deneyler yapılır. Eksenel çekme deneyinde genellikle silindirik numuneler kullanılır. Numuneye
uygulanan çekme kuvveti yavaĢ yavaĢ arttırılarak numunenin boyundaki uzamalar ölçülür. DüĢey eksende uygulanan
çekme kuvveti yatay eksende numune boyundaki uzamayı gösteren kuvvet-deplasman diyagramından yalnızca o
numune hakkında bilgi alınabilir. Malzeme davranıĢını betimleyen sabitlerin bulunmasında birim alana gelen kuvvet ile
birim boydaki değiĢimi ifade eden σ-ε diyagramı tercih edilir.
Ġki ve üç eksenli gerilme halinde, bünye bağıntılarının deneysel olarak belirlenmesi pratik bakımdan mümkün değildir.
Hem yapılması gereken deney sayısı çok fazladır, hem de deneylerin yapılmasında teknik zorluk söz konusudur. Bu
sebeple tek eksenli çekme ve kesme deneyi sonuçları çok eksenli gerilme etkisindeki malzeme davranıĢını ifade
etmek üzere genelleĢtirilir. Yük altındaki malzemede oluĢan gerilmeleri, birim Ģekil değiĢtirmelere bağlayan bünye
yada malzeme bağıntılarına genelleĢtirilmiĢ Hooke yasaları adı verilir. ġimdi mühendislikte kullanılan çeĢitli metaller,
plastikler, ahĢap, seramikler cam ve beton gibi malzemelerin önemli özelliklerini tanımlayacağız.
Bünye Bağıntılarının Deneysel Olarak Belirlenmesi
Mühendislikte Kullanılan Malzemeler
Eksenel yüklü çubuk problemini tekrar ele alalım. Yazılabilecek iki denklemde;
A
P
x 
x
u
x


e
Gerilme-DıĢ yük
Birim Ģekil değiĢtirme - yerdeğiĢtirme
uxx ,,e.
Olmak üzere üç bilinmeyen vardır. Gerekli olan bir ilave denklem σ-ε iliĢkisi malzeme kaynaklıdır. Sonuçta eleman
üzerindeki yüklerden oluĢan yerdeğiĢtirmeler ve malzemelerin mekanik özellikleri birleĢtirilebilir.

82. 82
ELASTĠK MALZEME
Elastisite : Yüklerin kaldırılması ile ilk Ģekillerine geri dönme özeliğidir. Yüklemenin büyüklüğüne bağlı bir özelliktir.
Plastisite : Ġlk Ģekle dönüĢ olmayan malzemelere has bir özelliktir.
Süneklik : Kırılmadan önce büyük Ģekil değiĢtirme yapabilme özelliği. Örnek: çelik, çeĢitli alaĢımlar, naylon
Gevreklik : Kırılmadan önce çok az deformasyon yapma özelliğidir. Örnek: Dökme demir, beton
Yükleme Gerilme Sıcaklık
Hızı ġekli
SÜNEK GEVREK
KOMPOZĠT MALZEME Ġki veya daha fazla sayıda malzemeden oluĢan bünyeye denir (Çelik lifli cam, polimerler)
Matris adı verilen bağlayıcı içinde yüksek dayanımlı malzemenin katılmasından oluĢur. Homojen malzemelere göre
daha yüksek dayanım/öz ağırlığa sahiptir. Mukavemet dersinde HOMOJEN ĠZOTROP malzemeler ele alınacaktır.
Ġzotrop malzemenin yük altındaki davranıĢı yönden bağımsızdır. Örneğin izotrop malzemeden yapılmıĢ bir kübe
uygulanan yük, hangi doğrultuda etkirse etkisin aynı Ģekil değiĢimi ölçülecektir. AhĢap ise anizotrop bir malzemedir.
Kuvvet etkisindeki davranıĢı yöne bağlıdır. AhĢabın büyüme doğrultusunda etkiyen yükü taĢıma özelliği iyi iken enine
doğrultuda etkiyen yükleri taĢıma özelliği düĢüktür.
Süneklik önemli bir malzeme özelliği olduğu kadar yapısal davranıĢ açısından da aranan bir özelliktir. Deprem gibi çok
büyük zorlamalar geldiğinde her elemanın taĢıyabildiği kadar kuvveti taĢıması fazlasını ise komĢulara aktarabilmesi
(yüklerin yeniden dağılımı) ancak yapı elemanlarının kırılmadan büyük Ģekil değiĢtirme yapabilmesi ile diğer bir deyiĢle
sünek davranıĢla mümkündür. Sünek davranıĢda büyük deformasyonlar söz konusu olduğundan zorlanmayı haber
verme özelliği bulunmaktadır.
Gevreklik ise sünekliğin tersi bir özellik olarak deformasyon yapma kabiliyetinin olmaması demektir. Gevrek
davranıĢta malzeme yada yapı aniden göçerek büyük mal ve can kaybına sebep olur. Gevrek davranıĢta haber vericilik
yoktur.

83. 83
GERĠLME-BĠRĠM ġEKĠL DEĞĠġTĠRME DĠYAGRAMI
σ-ε diyagramları malzeme özelliklerinin belirlenmesinde kullanılır. Diyagramlar eksenel çekme deneyi yapılarak
çizilir. Genellikle dairesel kesitli bir numune deney aletine taklılır ve oda sıcaklığında yavaĢ yavaĢ arttırılan
eksenel çekme kuvveti uygulanır. Numunedeki uzamaları ölçmek için Ekstansometre adı verilen bir alet kullanılır.
Birim ġekil DeğiĢtirme e Uzama Oranı e
GerilmeMPa
GerilmeMPa
Ölçek N
Ölçek M
Ölçek M
Ölçek M
Gerçek gerilme- gerçek uzama oranı diyagramı malzeme konusundaki araĢtırmalarla plastik davranıĢın
incelenmesinde kullanılır.
DĠYAGRAMIN
OA KISMI : Elastik bölge, A noktasına kadar σ-ε doğrusal A noktasından sonra malzemede gerilme artmaksızın
uzama görülür. Genellikle A ve B akma noktası aynı alınır.
apL  Orantı sınırı Akma sınırı
Solda verilen diyagram, yapı çeliği
için σ-ε diyagramıdır.
OABCDE diyagramının ilk kısmı
ölçek değiĢtirilerek yeniden
çizilmiĢtir.
OABCF gerçek gerilme-gerçek
uzama oranı diyagramı
Diyagramlar: Uğural, 1991

84. 84
Uzama Yüzdesi =   25%100
0
0


L
LLkıırılm
(Yapı çeliğinde)
Alan Azalma Yüzdesi = (Yapı çeliğinde)  50%100
0
0


A
AA kıırılm
Boyun verme
Alüminyum, magnezyum ve bakırda belirgin bir akma noktası görülmez. Akma gerilmesini bulmak üzere 0.002’lik
uzama oranına karĢı gelen noktadan baĢlangıç teğetine paralel çizilir.
Plastik bölgedeki numuneden yük kaldırılırsa baĢlangıç teğetine paralel olarak yük boĢaltma eğrisi (doğrusu)
görülür.
BG//OA, B noktasındaki uzama malzemede kalıcı olur. Yeniden yüklendiğinde GB ve orijinal diyagram üzerindeki
eğri boyunca ilerlenir.
Sünek malzemelerin eksenel çekme ve eksenel basınç altındaki davranıĢları aynıdır. Gevrek malzemelerin
çoğunda eksenel basınç dayanımları, çekme dayanımlarından fazladır.
Malzeme özellikleri direkt kesme ve burulma deneyleriyle de bulunabilir. Bu deneylerde τ-γ diyagramları çizilir.
Akma gerilmesi ve dayanım sınırı çekme deneylerinde bulunanın yarısı mertebesinde elde edilir.
Standart Süneklik Ölçüleri:
AE KISMI :Plastik bölge, CD arasında uzamalar gerilmenin
artmasıyla mümkün, buna pekleĢme adı verilir. C noktasından
sonra ulaĢılan D noktası σçekmedayanımı adı verilir.
σE = Kırılma dayanımı, Kırılmada parçalar çubuk eksenine 45o
açı yapan yüzeyler oluĢturur.
Klasik diyagramlar, gerçek gerilme gerçek Ģekil değiĢtirme
diyagramlarındaki açılmanın sebebi uzamaların tek bir kesitte
birikmesidir. Buna boyun verme denir.

85. 85
HOOKE YASASI VE POISSON ORANI
Yapı malzemelerinin çoğunda σ-ε diyagramları doğrusal elastik bir bölge ile baĢlar.
e  E Ġfadesi HOOKE yasası olarak bilinir.
E : Elastisite modülü (Young Mudülü) Birimi gerilme birimi ile aynı [Pa, MPa] BaĢlangıç teğetinin eğimidir. Çelik için
200-210 GPa dır.
ε : boyutsuz büyüklük
Orantı limiti üstündeki noktalardaki diyagram eğimine teğet modülü Et adı verilir.
Eğim = Es
Eğim = Et
Eğim = E
pL 0

e
Yine orantı limiti üstünde oranına Sekant modülü adı verilir. Bu
üç değer malzemenin çekme ve basınçtaki rijitliğinin ölçüsü olarak kullanılır.
Elastisite özelliği kesme kuvveti taĢıyan bir eleman üzerinde benzer Ģekilde
ölçülebilir.  – g diyagramının doğrusal elastik olduğu kısımdan
sE





e

g  G
Kayma Modülü [Pa, MPa]
Kayma gerilmesi – Kayma Ģekil
değiĢtirme için “Hooke Yasası” denir.
Çekme gerilmeleri uygulandığında elemanın boyu uzarken elemanın en kesit alanı azalır (enine doğrultuda büzülme olur).
Elastik bölgede;
n = -
Enine Uzama Oranı
Boyuna (eksenel) Uzama Oranı
n : Poisson Oranı : 0.3 Çelik için
0.5 kauçuk genellikle 0.25-0.35
0.1 beton arasında değiĢir.