1. 2. Estudiem el creixement i decreixement de la funció f(x)=x 3+3x2+1
(mètode de la segona derivada per els extrems)
Calculem la funció derivada que es
f'(x)=3x2+6x
Per resoldre aquesta equació podem primer simplificar-la i ens queda:
x2+2x=0
Traiem factor comú x i ens queda:
x(x+2)=0
Per tant les solucions son:
x=0 x2=0
x+2=0 x1=-2
Els punts x1=-2 i x2=0 son els punts que compleixen que f’(a)=0 . Si fem la segona derivada i es
compleix que:
f’’(a)<0 en x=a tenim un màxim relatiu
f’’(a)>0 en x=a tenim un mínim relatiu
Així tenim que:
f’’(x)=6x+6
f’’(-2)= 6·(-2)+6=-6 <0 Tenim un màxim relatiu, per tant la funció creix per l’esquerra i decreix per
la dreta
f’’(0)= 6·(0)+6=6 >0 Tenim un mínim relatiu, per tant la funció decreix per l’esquerra i creix per la
dreta
Substituïm aquests punts a la funció per trobar la y d'aquests punts.
f(-2)=(-2)3+3·(-2)2+1=-8+12+1=5 (-2,5)= màxim relatiu
f(0)=03+3·02+1=1 (0,1)= mínim relatiu
Ho podem resumir en el següent quadre:
]-∞,-2[ (-2,5) ]-2,0[ (0,1) ]0,+∞[
creixent Màxim decreixent mínim creixent
relatiu relatiu