More than Just Lines on a Map: Best Practices for U.S Bike Routes
SKRIPTA-PITANJA-TMCS-II-parcijala 2.docx
1. SKRIPTA PITANJA – II PARCIJALA
Transportne mreže u saobraćaju i komunikacijama
1. Kako se može opisati sistemusluživanja?
Sistem usluživanja se može opisati preko sljedećih parametara:
Ponašanja ulaznog toka (vjerovatnoća vremenskog razmaka između dolazaka korisnika i
vjerovatnoća pojave određenog broja korisnika)
Raspodjela dužine ulazaka (rep čekanja)
Vremena trajanja usluživanja ts (s,h)
Intenziteta usluživanja β (s-1, h-1)
Kapaciteta usluživanja C (s-1, h-1)
Raspodjela vremena usluživanja odnosno dužina trajanja usluga.
2. Zašto dolazi do preopterećenja sistema i koje su posljedice istog?
U periodima maksimalnog optećenja, kretanje vozila odvija se otežano sa smanjenom brzinom što
otežava funkcionisanje sistema sve do nivoa preopterećenja koje ima za posljedicu kašnjenja i
stvaranje redova. Kašnjenja mogu biti izazvana:
Sredstvima za kontrolu saobraćaja prekidanjem toka i
Zastojima uzrokovanim saobraćajem sredstava u toku.
3. Definisati red (kolonu) te nabrojati elemente procesa od kojih zavise modeli za
opisivanje ponašanja reda (kolone).
Red (kolona) se definiše kao broj vozila koja čekaju da budu opslužena, bez uključivanja onih koja
su opslužena.
Ponašanje reda (kolone) i potrebni modeli za njihovo opisivanje zavise od eksplicitnog
predstavljanja sljedećih elemenata procesa:
1) Dolasci (opterećenje) ili karakteristike ulaska
Ulasci mogu biti izraženi protokom (voz/h) ili intervalima vremena dolaska (sec/voz).
2) Usluge (kapacitet) ili karakteristike izlazaka
Također mogu biti izražene protokom vozila ili intervalima nailazaka, i njihova distribucija također
može biti determinističkog ili problemskog tipa.
3) Postojanje usluga ili discplina reda
U većini cestovnih sistema usluživanja se vrši po disciplini „prvi ulazi prvi uslužen“.
Karaktekteristike fenomena čekanja obilježene su sa tri alfanumeričke vrijednosti predstavljene na
sljedeći način: (a/b/c)
gdje oznake identificiraju:
a- tip dolazaka (raspodjela vjerovatnoća međudolaznih vremena)
b- tip usluga ili odlazaka (raspodjela vjerovatnoća vremena opsluživanja)
c- broj uslužnih stanica.
2. 4. Definisati determinističku analizu sistema usluživanja u cestovnoj mreži.
Deterministička analiza obuhvata precizno određivanje vrijednosti jedne varijable u funkciji
određenih specifičnih vrijednosti koje uzimaju druge varijable. To znači da će se dogoditi samo
jedna vrijednost stvarne funkcije za zadati skup vrijednosti varijabli ulaska.
5. Šta predstavlja efektivno zeleno vrijeme?
Efektivno zeleno je vrijeme koje efektivno koriste vozila za prelazak raskrsnice uključujući gubitak
vremena pri pokretanju i dodatno vrijeme zbog „čišćenja“ raskrsnice. Intenzitet dolazaka μ ima tri
stajanja:
μ = 0 – kada semafor pokazuje crveno
μ = S – kada semafor pokazuje zeleno, a još postoji red
μ = λ – kada je na semaforu zeleno svjetlo, ne postoji red, tj. vozila odlaze sa raskrsnice u
istom intenzitetu u kojem dolaze.
6. Značenje oznaka u postupku primjene algoritma Dijkstra.
G(N,A): mreža saobraćajnica
l(i,j): dužine grana u mreži su uvijek veće od 0
dai: dužina najkraćeg puta od čvora a do čvora i otkrivena do trenutka u kojem posmatramo
saobraćajnu mrežu
qi: čvor koji se nalazi ispred čvora i na najkraćem putu od čvora a do čvora i koji je otkriven
do trenutka u kojem posmatramo saobraćajnu mrežu
a: čvor za koji se određuje najkraće rastojanje do ostalih čvorova u mreži
c: posljednji čvor u zatvorenom stanju.
7. Koji modeli su za optimalno planiranje kretanja vozila u saobraćajnim mrežama?
To su:
Nalaženje pripadajućeg stabla najmanje dužine u saobraćajnoj mreži,
Metod za iznalaženje najkraćih puteva od jednog čvora do svih ostalih čvorova u
saobraćajnoj mreži,
Metod za iznalaženje najkraćih puteva između svih parova čvorova,
Određivanje najkraćih puteva u slučaju postojanja dva tipa grana u mreži,
Najkraći putevi u stohastičkoj mreži.
8. Koraci algoritma Dijkstra?
Koraci su:
Određivanje polaznih vrijednosti i oznaka
Određivanje stanja čvora
Određivanje prethodnika u čvoru i
3. Provjera da li je kraj.
9. Pomoću kojih metoda se vrši iznalaženje najkraćih puteva između svih parova
čvorova?
Određivanje najkraćih puteva između svih čvorova moguće je izvršiti:
Pomoću algoritma Floyd-a i
Pomoću algoritma Dijkstra za iznalaženje najkraćih puteva između jednog čvora i svih
ostalih čvorova saobraćajne mreže.
10. Koji su koraci u Floyd-ovom algoritmu?
To su:
I. Formiranje matrice dužina grana
II. Određivanje elemenata matrice dužina za svaki korak k = 1,2,... prema izrazu
III. Određivanje prethodnika čvoru
IV. Provjera da li je kraj i predstavljanje rezultata.
11. Opisati razlike između običnih i specijalnih grana.
U saobraćajnim mrežama moguća su dva tipa grana: obične i specijalne (jeftinije).
Pored postojanja običnih grana u takvim mrežama postoje i specijalne jeftinije grane. Duž ovih
grana troškovi transporta mogu da budu jeftiniji, vrijeme putovanja može da bude znatno kraće
nego duž običnih grana iste dužine itd. Jasno je da nas u slučaju ovakvih saobraćajnih mreža
također interesuju najkraći putevi između svih parova čvorova u mreži.
12. Šta je stohastička mreža i opisati njeno rješavanje problema.
Stohastičkom mrežom naziva se mreža kod koje su dužine pojedinih grana slučajne promjenljive
sa određenim zakonima raspodjele vjerovatnoća. Rješavanje problema na stohastičkoj mreži
mnogo je kompleksnije u odnosu na determinističku mrežu. Određivanje dužine puta (npr.
vremena) je složeno budući da mora se odrediti zakon raspodjele i njegovi parametri. Iz tih razloga
pri računanju najkraćih rastojanja u stohastičkoj mreži često se stohastička mreža transformiše u
determinističku, na taj način što se operiše sa matematskim očekivanjima dužina pojedinih grana.
13. Kako se računa dužina puta i kako se vrši transformacija stohastičke mreže?
Aj = ΣLi
Zbog kompleksnosti postupka stohastička mreža se transformiše u determinističku, a u nekim
slučajevima pojedine grane se tretiraju kao diskretne slučajne promjenljive.
4. 14. Definisati „kineski poštanski problem“.
Plan rada jednog ili više prijevoznih sredstava na mreži podrazumijeva određivanje najkraćeg puta
u mreži kojim treba da se kreću vozila ili vozilo prolazeći kroz sve dionice najmanje jedanput i na
kraju vozilo završi rad u određenom mjestu
Primjer ovakvog plana rada je čišćenje ulica u gradskoj mreži u cestovnom saobraćaju.
15. Koji su sve kombinatorni problemi u prijevozu putnika i roba na saobraćajnim
mrežama?
To su:
Problemi nizanja
Problemi raspoređivanja
Problemi izbora i
Kombinacija navedenih problema.
Problem nizanja rješava se na način da se odredi niz od n elemenata pri kojima funkcija cilja dostiže
ekstremnu vrijednost (minimum ili maksimum).
Problem raspoređivanja opisuje se sa potrebom da se izvrši raspoređivanje n elemenata jednog
skupa u n elemenata drugog skupa pri čemu funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost.
Problem izbora znači da treba izabrati n elemenata iz skupa od m elemenata (n < m) pri čemu
funkcija cilja dostiže ekstremnu vrijednost.
16. Šta predstavlja polaritet čvora te kakve čvorove razlikujemo?
Razlika između ulaznog i izlaznog stepena čvora naziva se polaritet čvora. U zavisnosti od
polariteta čvora razlikuju se:
- Čvorovi sa zalihama su čvorovi sa pozitivnim polaritetom
- Čvorovi sa potražnjom su čvorovi kod kojih je polaritet negativan.
17. Sa kojim ograničenja se vrši planiranje prijevoznog sredstva?
Ograničenja u kojima se vrši planiranje putanje prijevoznog sredstva su različita, a najčešće se radi
o:
- Ograničenja vremena stizanja u pojedine čvorove koji se opslužuju
- Ograničenja kapaciteta prijevoznih sredstava
- Ograničenja u pogledu maksimalnog iskorištenja prijevoznog sredstva
- Ograničenja u pogledu dozvoljenog radnog vremena osoblja kkoje vrši usluge
- Druga ograničenja svojstvena vidu prijevoza i konkretnom problemu.
5. 18. Definisati „problem trgovačkog putnika“.
Problem trgovačkog putnika podrazumijeva pronalaženje najkraće putanje koja počinje u
određenom čvoru, prolazi kroz ostale čvorove najmanje jedanput ili tačno jedanput i završava u
početnom čvoru.
19. Koja dva pristupa se koriste pri rješvanju praktičnih problema u radu više prevoznih
sredstava?
To su:
Rješenja se nalaze jednom od metoda planiranja rada jednog prevoznog sredstva u mreži
pri čemu se određeni geografski region dijeli na manje dijelove i u svakom dijelu određuju
se optimalni putevi jednog prevoznog sredstva.
U drugom slučaju optimalno rješenje se nalazi jednom od metoda planiranja rada jednog
prevoznog sredstva za cijelo područuje, a potom se dijeli na dijelove na kojima radi po
jedno prevozno sredstvo.
20. Koja ograničenja mogu sadržavati postupci za određivanje optimalnog puta jednog
prevoznog sredstva?
Ograničenja su: vrijeme završetka usluge, vrijeme početka usluge, vrijeme početka i završetka,
kapacitet prevoznog sredstva.
21. Šta podrazumijeva algoritam rješavanja trgovačkog putnika na orijentisanoj mreži?
Podrazumijeva:
Pronalaženje najkraćeg stabla
Optimalno sparivanje čvorova
Pronalaženje Euler-ove ture
Pronalaženje optimalne ture
Kraj.
22. Navesti grupe osnovnih karakteristika problema određivanja optimalnog puta.
Osnovne karakteristike su:
Vrijeme usluge u određenom čvoru ili na određenoj grani
Broj baza prevoznih sredstava u mreži
Veličine flote prevoznih sredstava
Vrste prevoznih sredstava u floti
Karakter zahtjeva za uslugom u mreži
Mjesta javljanja zahtjeva za uslugom
Tip saobraćajne mreže
6. Ograničenje kapaciteta prevoznih sredstava
Maksimalno dozvoljena dužina vožnje prevoznih sredstava
Troškovi
Operacije koje se obavljaju
Kriterijska funkcija na osnovu koje se vrši optimizacija
Ostala ograničenja.
23. Iz koliko dijelova se sastoji algoritam raspoređivanja pri planiranju rada prevoznih
sredstava u mreži sa jednom bazom?
Algoritam „raspoređivanja“ pri planiranju rada prevoznih sredstava u mreži sa jednom bazom
sastoji se iz dva dijela:
- I dio: Raspoređuju se prevozna sredstava na grupe čvorova koji treba da budu opsluženi,
tako da svako prevozno sredstvo dobije grupu čvorova koju treba da opslužuje.
- II dio: Vrše se optimizacije dužina puteva prevoznih sredstava koja opslužuju pojedine
grupe čvorova. Optimizacija se vrši nekim od algoritama za rješavanje problema
trgovačkog putnika.
24. Napisati obrazac za izračun troškova uključivanja čvora i u put prevoznog sredstva k
koje polazi iz baze.
𝑑𝑖𝑘 = 𝑚𝑖𝑛[𝑐0𝑖 + 𝑐𝑖𝑖𝑘 + 𝑐𝑖𝑘0;𝑐0𝑖𝑘
+ 𝑐𝑖𝑘𝑖 + 𝑐𝑖0] − [𝑐0𝑖𝑘
+ 𝑐𝑖𝑘0]
25. Objasniti metod za pridruživanje pojedinih baza grupama čvorova za planiranje
putanja prevoznih sredstava u mreži sa više baza.
Pridruživanje pojedinih baza grupama čvorova realizuje se pomoću slijedećeg metoda.
Za svaki čvor odredimo odnos:
𝑎𝑖 =
𝑑
(1)
(𝑖)
𝑑
(2)
(𝑖)
, gdje su:
- d(1)(i): rastojanje od tačke i do najbliže baze
- d(2)(i): rastojanje od tačke i do slijedeće najbliže baze.
Uvedena veličina x se proizvoljno bira iz intervala 0 ≤ x ≤ 1i poredi sa veličinama ai.
Ako je ai ≤ x tada se čvor i pridružuje najbližoj bazi. Ukoliko je ai > x tačka i se ostavlja za kasnije
razmatranje. Kada su svi čvorovi za koje je ai ≤ x pridruženi odgovarajućim bazama tada se ponovo
razmatraju čvorovi za koje je ai > x . Čvorovi za koje je ai > x pridružuju se bazama.
7. 26. Objasniti postupak pridruživanja čvora a između čvorova b i c koji su već
pridruženi bazi Bp.
Postupak pridruživanja čvora a između čvorova b i c koji su već pridruženi bazi Bp povećava dužinu
puta koji počinje iz baze Bp za vrijednost koja se određuje izrazom:
dbc(a) = dba + dac - dbc, gdje je:
- dbc(a): povećanje dužine puta zbog pridruživanja čvora a između čvorova b i c,
- dba, dac , dbc: rastojanja između čvorova b-a, a-c i b-c.
Povećanje dužine puta računa se za sve parove čvorova koji pripadaju bazi Bp iz koje kreće put.
Čvor a se pridružuje bazi između dva čvora za koje je najmanje povećanje dužine puta koji polazi
iz posmatrane baze.
dlm(a) = min[djk], gdje su j i k čvorovi koji pripadaju posmatranoj bazi, l i m čvorovi između kojih
se uključuje čvor a u put. Postupak se ponavlja sve dok svi čvorovi ne budu pridruženi pojedinim
bazama.
ZADACI:
1) Saobraćajna traka prilaza raskrsnici sa semaforom ima tok zasićenosti od 1800 (PV)
za sat zelenog svjetla. Srednji intenzitet dolazaka po traci na prilazu je 900 (PV/h),
kojima je dodijeljeno efektivno zeleno svjetlo od 30 (s) u ciklusu dužine 50 (s).
Potrebno je izvršiti analizu reda čekanja posmatranog prilaza raskrsnici, pri režimu
(D/D/1).
Rješenje:
Faktor
korištenja
ρ = 0,5
r = 20 (s)
20 (s)
0,8
0,8
5 (PV)
2,5 (PV)
2 (PV)
20 (s)
D = 100 (s)
d = 8 (s/PV)
Vrijeme za koje se raziđe kolona poslije efektivnog zelenog
Odnos vremena čekanja u redu i vremena trajanja ciklusa
Odnos vremena zaustavljenih vozila i vremena vozila u ciklusu
Maksimalna dužina reda čekanja
Srednja dužina reda kada red postoji
Maksimalno kašnjenje po jednom vozilu
Ukupno kašnjenje saobraćajnog toka po ciklusu
Srednje kašnjenje po ciklusu
Srednja dužina reda čekanja po ciklusu
8. 2) Na jednu naplatnu rampu autoceste stižu vozila sa intenzitetom toka od 480 (voz/h),
koja može prihvatiti maksimalno 520 (voz/h). Potrebno je odrediti odnose koji
karakterišu ovaj fenomen čekanja, ako se nudi maksimalna usluga.
Podaci o ulascima:
Intenzitet dolazaka λ = 480 (voz/h)
Intenzitet usluga μ = 520 (voz/h)
Rješenje:
3) Tok vozila 2300 (voz/h) stiže na jedno naplatno mjesto koje sadrži 4 naplatne rampe,
od kojih svaka može prihvatiti maksimalno 600 (voz/h). Navedeni tok se distribuira
u jednakim dijelovima između 4 rampe. Potrebno je odrediti odnose koji
karakterišu ovaj fenomen čekanja.
Podaci o ulascima:
Broj servisnih stanica k = 4
Intenzitet dolazaka λ = 2300 (voz/h)
Intenzitet usluga μ = 600 (voz/h)
p(12) = 0,029 n = 12
12 voz
11 voz
90 s/voz
83 s/voz
P = 92,3 %
I = 7,7 %
p(90) = 0,004
P(ts≤90s) = 0,632 1
P(tq≤83s) = 0,633 0,923077
Vjerovatnoća da će se čekati 83s ili manje u redu za uslugu:
Vjerovatnoća pojave 12 vozila:
Prosječan broj vozila u sistemu:
Prosječna dužina reda čekanja:
Prosječno vrijeme provedeno u sistemu:
Prosječno vrijeme čekanja u redu:
Procenat korištenja usluge:
Procenat neaktivnog sistema:
Vjerovatnoća provedenog vremena u sistemu:
1) Vjerovatnoća korištenja sistema u trajanju od 90 (s):
2) Vjerovatnoća da se vozilo zadrži 90 (s) ili manje u sistemu:
Vjerovatnoća čekanja vozila u redu:
9. Rješenje:
4) Na slici je data mreža sa 6 čvorova u kojoj su dužine određenih grana sa
vjerovatnoćom po pripadajućem zakonu raspodjele i da njihova dužina međusobno
nije zavisna. Potrebno je odrediti matematsko očekivanje dužine puta između čvorova
1 i 6.
n = 0 1
k = 4 24
1 8,996946
p(0) = 0,0046
Za n < k n = 1 1
p(1) = 0,0177
Za n ≥ k n = 4 24
p(4) = 0,0415 0,041667
23 voz 297978842,6 6 10000
27 voz
36 voz 215,9267 35,98778292 6 0,000772
42 s/voz
P(n≥4) = 0,9954 1
Vjerovatnoća čekanja u redu (koloni)
Vjerovatnoća da se nađe 0 vozila u sistemu:
Vjerovatnoća da se nađe n vozila u sistemu:
Prosječna dužina reda (kolone):
Prosječan broj vozila u sistemu:
Prosječno vrijeme čekanja u redu:
Prosječno vrijeme provedeno u sistemu:
=
=
l1 = 2
l2 = 3
1 5
3/4 1/4
l4 = 3
l5 = 4
l6 = 5
l7 = 4
1 3 6
1/4 5/8 1/8
l9 = 2
m = 6
l3 = L(2,4) =
l8 = L(3,6) =
Dužine grana:
