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P≠npノート
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- 2. 今回のタネ本 ● 今度こそわかるP≠NP予想 ○ 前回があったのか？ ○とても読みやすかったです。 ○ 数式というか論理式は飛ばしました。 ○ 詳細はこの本を読んでください。貸します。 ○ その他関連Wikipediaを参考にしました。
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- 4. NP完全問題の実例 ● ぷよぷよ ● テトリス こういった、現実世界に大きく関わる組み合わせ最適 化問題がNP完全問題です。 ●他には、 ○ 論理式が真になれるか確かめる充足可能性問題(SAT) ○ ナップサック問題など
- 5. 登場人物紹介 ● 問題 ○ ビット列からビット列に変換する関数 ○1か0(yesかno)だけを返す問題は決定問題という。 ● 問題例(入力) ○ 問題の具体的な入力値。サイズは任意。 ● 計算機 ○ アルゴリズムに沿って入力を処理し、結果を出す。
- 6. 「計算の速さ」とは何か ● そもそも時間とは？ ○ アルゴリズムを実行するための計算のステップ数 ○加減算・代入など ● 「速い」アルゴリズムとは？ ○ 入力のサイズが増えても、計算ステップ数がそれほど増えないアルゴリズ ム。
- 7. 計算時間を比べる ● O記法(オーダー記法)で計算時間を表す。 ○ O(1)、O(n)、O(nk )、O(2n )、O(2n^k )... ○それぞれ、入力サイズnによって計算時間がどう増えるかを表している。 ○ O(1)であれば、入力サイズに関係なく決まった時間で計算できる。 ○ O(n)であれば、入力サイズが2倍になると2倍時間が掛かる。
- 8. Pとは ● 多項式時間で計算できるアルゴリズムが見つかっている問 題 ○ 普通の計算機(決定性チューリングマシン)でね！ ●多項式時間とは、つまりO(nk ) ○ これ(nk )が計算機科学の多項式です。定数無視、一番大きい指数の項だけ 注目。 ○ O(1)やO(n)も含まれる。
- 9. NPとは ● Pじゃない問題……ではありませんでした。 ○ 解くのはどうか知らないけど、解答らしきもの(証拠)があれば、それを多項式 時間(O(nk ))で検算できる決定問題。 ●PもNPに含まれます。 ○ Pは多項式時間で解けるし、多項式時間で検算もできる。 ○ 多項式時間で検算できるからNP。
- 10. NP困難とNP完全 ● この2つは違いました。 ○ NP困難とは、NP以上(≦)に難しいこと ○NP完全とは、NP困難でかつNP(証拠があれば多項式時間で決定可能)で あること ● PはNPなのだから、NP完全でかつPのものもあったりするん だろうか……。 ● もしそれがあればP=NP
- 11. P≠NP予想 ● PとNPに差があるという予想。 ○ NPだがPでない(多項式時間では解けない)問題があるだろう、という予想。 ○NPとPは曖昧な関係。 ■ 「あなた、NP完全だって言ってたじゃない！ P君とはどういう関係な の！？」「実は俺、Pと……」 ■ そうこともあり得る。
- 12. NP完全問題の性質 ● いろいろ種類があるけれど、どれも多項式時間で別のNP完 全問題に還元可能 ○ つまり、NP完全問題がどれか1つ多項式時間で解ければまとめて解決。 ●テトリスやぷよぷよでもOK！ ○ この場合、充足可能性問題やハミルトン閉路問題をぷよぷよに還元して解く ことになります。
- 13. P≠NP予想周辺の話題 ● 乱択アルゴリズム ○ 2/3くらい当たる多項式時間アルゴリズムがあれば、多項式時間のオーダー でほぼ答えが出せる。 ○こういったアルゴリズムがある問題を、PやNPと同じようにBPPと呼ぶ。 ○ 現実的に応用範囲が広そう。ただ、多くの研究者はBPP=Pだと思っているら しい……。
- 14. NP以上に難しい方々 ● E ○ O(2n )掛かる ●EXP ○ O(2n^k )掛かる(指数が多項式) ● 決定不能 ○ チューリングマシン停止問題(永遠に掛かる)
- 15. NPのもうひとつの定義 ● 非決定性チューリングマシンで多項式時間に解ける問題 ● 非決定性チューリングマシンとは、状態遷移の時になぜか良 くわからないけど自然と解ける方向に向かうスゴイマシン。 ●そんな状態遷移で大丈夫か？ ○ 大丈夫だ、問題ない。(決定性) ○ いちばん良い状態を頼む。(非決定性)
- 16. NP完全性を感じたい ● 時間があれば部分和問題とか……。 ● マシン停止。発熱。 ●気温や冷却の観点から、本当は冬にやるのがオススメです。 ● D言語で書きました。
- 17. 個人的な疑問ノート ● 岩淵さんがつぶやいていたコラッツ予想が気になる。 ○ 1以上の自然数nについて、nが偶数なら1/ 2、奇数なら3n + 1、を繰り返す と１になる。 ● 逆から考えると、1からある数Nに向かう経路が存在するかを 問う決定問題 ● 部分和問題に近い？ ● 幾何学的にも考えられそう ● こちらは解ければ500ドル