数学カフェ2次会LTでの発表内容です。 D言語くんとネットで拾ってきたモンスター画像（どこかの子供が描いたのかな？）の共演です。

1. 春休み自由研究
コラッツ予想

2. コラッツ予想とは…
任意の正の整数(1以上) n について、
● n が偶数なら n / 2
● n が奇数なら 3n + 1
この操作を繰り返し適用すると、どんなnについてもきっと1になる！
● 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8
→ 4 → 2 → 1

3. 簡単そうに見えるけど……
1937年にローター・コラッツにより提唱されてから、
2016年4月現在、未解決予想
5×260
までは1になることを確かめたとのことです……。

4. プログラマーの視点で遊ぶ
● 数を2進数で見る。
○ 7 = 111(2)
○ 6 = 110(2)
● 先頭ビットが0なら右シフト
○ 110 → 11
● 先頭ビットが1なら
○ 101
1010 左シフト (2n)
1111 元の値と加算 (2n + n)
10000 1を足す
● つまり、単純なビット判定・ビットシフト・加算だけで表現できる！

5. 数をビット配列で見る
プログラミング的都合から、桁の数え方を逆にします。
10 = [0,1,0,1] = 0101 左が低位ビット、上が高位ビット
5 = 101
6 = 011
7 = 111
8 = 0001
1234567890 = 0100101101000000011010011001001
などなど

6. 7が処理される様子
[ 0] 111
[ 1] 01101
[ 2] 1101
[ 3] 010001
[ 4] 10001
[ 5] 001011
[ 6] 01011
[ 7] 1011
[ 8] 000101
[ 9] 00101
[10] 0101
[11] 101
[12] 00001
[13] 0001
[14] 001
[15] 01
[16] 1

7. ビット列で見直すと
0100101101000000011010011001001

8. 1010011001001

10. どうすれば
D言語くんを
助けられるのだろうか？

11. コラッツ予想の反例を探す
1に収束しないということは、
● 無限に発散できないか？
● どこか1より大きい有限の値でループしないか？

12. 3n+1の伸びかた
基本的には3n
なので、1ステップでlog2
3 ≒1.58桁くらい増える
01101000000011010011001001
010110100000001101001100100
1
10101101000000011010011001001

13. n / 2の減り方
0000011001001
0が続くと、増えるチャンスが無いまま喰われてしまう
11001001
1が立っていれば、(3n+1) / 2で、
差し引き0.58桁くらい増える

14. D言語くん救出計画
● 桁が増える方向には上限がある。(約1.58桁)
● 下からの桁の削除は、0が連続していれば何桁でも削られてしまう。
● だが、もし神のようなビット列があって、下に1を多く出現させることができたら？
111111111100000000000000000001
神

15. ビット列でプログラミングする
使えそうなメンバーを紹介するぜ！
● 111000111000……といったビット列は、3n+1の2ステップで1の連続になる
○ 11100011100
○ 011100011101
○ 10101010101
○ 1111111111111
○ ※ +1は遥か下のビットと見なして無視しています。
● 1111……というビット列は、前のビットを高位ビットにワープさせる
○ 1 + 1111…..11
○ 0000000 ... 001

16. アルゴリズム妄想
● 11100011100 … といったビット列を用意する。
● の直前で111111111000000...0001といったビット列に変化させる。
● が111...111を喰っている間に、ワープ先で新たに111000111000...を用意
する。
周期的にこんなビット列が作れるよう
プログラミングできれば、
D言語くん救出成功！

17. 1010011001001

19. 0100101101000000011010011001001

21. 1010011001001

23. これ無理でしょ……
なぜ無理か？→それが証明できてもコラッツ問題解決！
もちろん正確な証明はできていないのですが……。

24. 111111111100000000000000000001
神

25. 100101101110101101110101001011
神
いずれ神も喰われる
前から3n
のビット列が落ちてくる

26. 0101001011
3n
のビット列おいしいです！
ランダムな歯抜けのビット列で、平均 2桁ずつ”喰える”

28. 3n+1で、初期値の情報が保存されない
● 加算(XORと桁上げ)は情報を壊す作用があるみたい……。
● 3nでは、実はビット数が増えるパターンは孤立した”1”のみ。
○ 1 → 11
○ 11 → 1001
○ 111 → 10101
○ 1111 → 101101
○ 11111 → 1011101
○ つまり、n個の1の連続は、10 (1がn-2個) 01になる。1が増えず、歯抜けになっていく。
● 3n
が作るビットパターンはランダムに近い
○ 無理数を計算する過程そのものだから？
○ 実測したところ、3n+1の1ステップで平均2桁ずつ削られる。
○ 伸びるほうは約1.6桁ずつなので、いずれ桁が全て喰われてしまう。

29. メルセンヌ素数2255
-1の収束の様子

30. メルセンヌ素数2255
-1の収束の様子(前半拡大)

31. 参考：1に3n+1を繰り返し適用した場合

32. 参考：単純な3n
の場合(3n + 1と大差ない)

33. 参考：単純な3n
の場合(拡大)

34. 参考：2255
-1×3n
の場合

35. これから
● 3nは自分自身を使ったハッシュ計算に似ていて、暗号理論や情報エントロピーとの
関連がありそう。
○ 2n
-1といった偏った(1通りしかない)ビット列から、徐々に類似パターンの多いビット列に変化してい
く。
● コラッツ予想のような、状態に対して繰り返し同じ計算を適用する漸化式は、物理
法則の簡単なモデルとも考えられそうな気がする。
○ 宇宙は、物理法則の再帰的な適用によって、情報の詰まった初期状態から現在の均一な状態に
なった、とも見なせる。