Pat1 ก.พ. 63

ความถนัดวิชาคณิตศาสตร
สอบวันที่
โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ
อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม
ขอสอบรหัสวิชา 71
ความถนัดวิชาคณิตศาสตร
PAT1
ประจําปการศึกษา 2562
สอบวันที่ 22 กุมภาพันธ 2563
เวลา 13.00 – 16.00 น.
อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก
โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ
อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม
facebook.com/GTRmath

รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร
วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563
ขอสอบ
วันที่ 22
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก
จํานวน 35ขอ (ขอ
1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) ( P Q) (P Q)
  
 
(ข) P (Q Q)
  
(ค) (P Q) Q
 
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ
3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ
5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ
2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ
(ก)
1
x 2
| x 1 |
 
 
 

 
(ข)
1
x | x |
2
 
 
 
 
(ค) 2
x x x 0
 
  
 
 
ความถนัดทางคณิตศาสตร
เวลา 13.00
ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร
กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562
ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด
ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน
เปนประพจนที่ ( P) (P Q)
 
 มีคาความจริงเปนจริง
( P Q) (P Q)
  
  มีคาความจริงเปนเท็จ
P (Q Q)
   มีคาความจริงเปนจริง
(P Q) Q
  มีคาความจริงเปนจริง
ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ
ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ
และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ
แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ
1
x | x 1
2
 
   
 
 

x 2
| x 1 |
 
 
 
 
มีคาความจริงเปนเท็จ
1
2
 
 
 
 
มีคาความจริงเปนจริง
x x x 0
 
  
 
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |1
2562
จริง
ถูก แต ขอ (ข) ผิด
และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
x | x 1
 
   
 
 

3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) ถา B C
  
(ข) A (B C) (A C) B
    
(ค) ถาเซต A มีสมาชิก
และเพาเวอรเซตของเซต
แลวเพาเวอรเซตของเซต
4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
   
ให r
D และ r
R เปนโดเมนและเรนจของ
(ก) 1
r
เปนฟงกชัน
(ข) จํานวนสมาชิกของเซต
(ค) r r r
D R D
 
1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว
3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว
5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต
โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
และ n(C (A B)) 9
  
1. 42
3. 44
5. 46
เวลา 13.00
เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้
B C
   และ A (B C)
  แลว (A B) C A B
   
A (B C) (A C) B
    
มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว
และเพาเวอรเซตของเซต A B
 มีสมาชิก 32 ตัว
แลวเพาเวอรเซตของเซต B A
A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
    และ r {(x,y) A A | y | x | 2}
    
เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ
จํานวนสมาชิกของเซต 1
r r
 เทากับ 3
r r r
D R D
 
ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว
ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ
แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
n(C (A B)) 9
   แลว n(A B)
 เทากับขอใดตอไปนี้
2. 43
4. 45
13.00 – 16.00 น.
หน้า |2
(A B) C A B
   
r {(x, y) A A | y | x | 2}
    
ถูกเพียงขอเดียว
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        

6. กําหนดให 0 A 90
 
 
ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ
แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. – 7
3. 3
5. 7
7. คาของ
3 1
tan 2arctan
4 2
 


 
 
1. – 1
3.
1
7
5. 2
8. กําหนดให x 0
2

   และ
คาของ tan x cot x
 เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
2

3. 0
5.
3
2
9. พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก)
2
3
(0.6) 1


(ข) ถา x y
(0.2) (0.2)

(ค) 5 0.2
log 0.1 log 0.1

เวลา 13.00
0 A 90
 
เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A)
sin(180 A) tan(90 A)
 
 
 

 
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
2. – 5
4. 5
3 1
tan 2arctan
4 2
 
 
 
เทากับขอใดตอไปนี้
2.
1
7

4. 1
x 0
   และ 5
cos x sin x
5
 
tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้
2.
1
2

4.
1
2
(0.6) 1

x y
(0.2) (0.2)
 แลว x y

5 0.2
log 0.1 log 0.1

13.00 – 16.00 น.
หน้า |3
a sin( A) tan(270 A)
3sec 300
 
 
 



10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค
x ay 3
  เมื่อ a
3x y 9
 
และ x 0, y 0
 
คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้
1. 9
3. 11
5. มากกวา 12
11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15
2 4 8 16
   
แลว n
n 2n
S
lim
S

1. 0
3.
1
4
5. 1
12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง
ให f : 
  และ g :
(ก) f( x) f(x)
  
(ข) g( x) g(x)
 
(ค) f(x) g(x) x 2x
  
ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให
แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1250
3. 0
5. – 1250
เวลา 13.00
P 4x y
  และอสมการขอจํากัด ดังนี้
a เปนจํานวนจริงบวก
2. 10
4. 12
1 3 7 15
...
2 4 8 16
    ถา n
S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม
2.
1
8
4.
1
2
แทนเซตของจํานวนจริง
g : 
  เปนฟงกชัน โดยที่
f( x) f(x)
   สําหรับทุกจํานวนจริง x
g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x
2
f(x) g(x) x 2x
เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)
   
2. 800
4. – 800
13.00 – 16.00 น.
หน้า |4
พจนแรกของอนุกรม

13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
a , 5 , 7 , b , 11 , c
ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ
คาของ 2 2 2
a b c
  เทากับขอใดตอไปนี้
1. 234
3. 241
5. 283
14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ
และให x
B {2 | x A}
 
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต
1. 0.25
3. 1.25
5. 2.25
15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ
จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้
1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ
2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ
3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา
4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย
5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก
จํานวนสมาชิกในครัวเรือน
เวลา 13.00
จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก
ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ
2. 237
4. 269
แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1
9 6 2 0

  
B {2 | x A}
 
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้
2. 1
4. 2
จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้
จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด
มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน
ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน
จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ
1 0.2
2 0.3
3 0.7
4 0.9
5 1.0
13.00 – 16.00 น.
หน้า |5
ของขอมูลเทากับ 10.8
ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้

16. กําหนดให 1 x
f(x)
x 2



ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ
แลว 2a 1
 เทากับขอใดตอไปนี้
1. – 2
3. 0
5. 2
17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
และให 2
f(x) ax bx 1
  
ถาเรนจของ f เทากับ [0, )

1. 5
3. 8
5. 11
18. ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ
ถาพาราโบลาผานจุด (3, 5)
1. 2
y 4x 6y 17 0
   
3. 2
y 4x 6y 7 0
   
5. 2
y 6x 4y 27 0
   
19. ถา a และ b เปนจํานวนจริง
a
2
2
2 log b 1
2log b 4 2



แลวคาของ 2 2
a b
1. 25
3. 41
5. 68
เวลา 13.00
1 x
x 2


เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2
 
เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1
f(a f (2)) 1

 
2. – 1
4. 1
เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
f(x) ax bx 1
   สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0
 
[0, )
 แลวคาของ
2
1
f(x)dx

 เทากับขอใดตอไปนี้
2. 7
4. 9
ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3
(3, 5) แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้
y 4x 6y 17 0
    2. 2
y 4x 6y 43 0
   
y 4x 6y 7 0
    4. 2
y 6x 4y 23 0
   
y 6x 4y 27 0
   
นจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ
1
2log b 4 2
และ 2 2
a a
3 log b log b
2 4 2



2. 36
4. 58
13.00 – 16.00 น.
หน้า |6
f( 1) 0
y = 3 เปนแกนสมมาตร
สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้
y 4x 6y 43 0
   
y 6x 4y 23 0
   

20. ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง
ระยะหางระหวางเสนตรง L
1. 2.0 หนวย
3. 1.5 หนวย
5. 0.4 หนวย
21. กําหนดให u 2i j 2k
  
 

เวกเตอรในขอใดตอไปนี้ไมตั้งฉาก
1. 3i j

 
3. 4i 3 j 2k
 

 
5. 5 j 6k
 


22. กําหนดให a, b


และ c

เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่
ถา a i 2j
 
 

และขนาดของเวกเตอร
แลว a b b c c a
    
 
   
1. – 18
3. 8
5. 18
23. ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ
และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ
แลว A B
 เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้
1. ( ,0)

3. (0,5)
5. (6, )

เวลา 13.00
เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)
  และจุด (7,5)
L กับจุด (2,0)เทากับขอใดตอไปนี้
2. 1.8 หนวย
4. 1.4 หนวย
u 2i j 2k
  

 
และ v i 2j 2k
  

 

ไมตั้งฉากกับเวกเตอร u v

 
2. i 3 j 4k
 

 
4. i j k
 

 
c

เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0
  
 
 
และขนาดของเวกเตอร b

และ c

เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ
a b b c c a
    
   
2. – 9
4. 9
เปนเซตคําตอบของอสมการ 1
x 0
x
 
เปนเซตคําตอบของอสมการ 2
2x 3x 7x 12
  
เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้
2. ( 2,2)

4. (3,8)
13.00 – 16.00 น.
หน้า |7
(7,5)เปนระยะทางเทากัน
หนวย ตามลําดับ

24. ถา A เปนเซตคําตอบของ
และ B เปนเซตคําตอบของ
แลวเซต A B
1. { 3,1}

3. [ 4,3]

5. [ 4,1] {2,3}
 
25. ให z แทนสังยุค (Conjugate
ถา z (1 i)
  เปนจํานวนจินตภาพแท และ
แลว z z
 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 2
3. 4
5. 6
26. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20
ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี
ถาสุมพนักงานมา 4 คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน
และพนักงานฝายขายผูหญิง
1.
4
5
3.
8
4845
5.
16
4845
27. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4
เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน
1. 90
3. 360
5. 810
เวลา 13.00
เปนเซตคําตอบของ 2 2
| 3 2x x | x 2x 3
    
เปนเซตคําตอบของ 2
| x x | 12
 
2. [ 3,1]

4. [ 4, 3] [1,3]
  
Conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z และ 2
i 1
 
เปนจํานวนจินตภาพแท และ 2 2
z 2(1 i)
  เปนจํานวนจริง
2. 3
4. 5
20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน
คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน
คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3
และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับขอใดตอไปนี้
2.
8
969
4.
16
969
1 , 2 , 3 , 4 และ 5 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง
เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน
2. 120
4. 600
13.00 – 16.00 น.
หน้า |8
[ 4, 3] [1,3]
เปนจํานวนจริง
คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน
3 คน
ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้

28. คาของ 2
x 1
( x 1)(3x 2)
lim
3x x 2

 
 
1.
1
10

3.
1
10
5. 1
29. ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่
1. c a b d
  
3. b d c a
  
5. d c a b
  
30. หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน
คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ
แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้
1. 0.10
3. 0.14
5. 0.16
เวลา 13.00
( x 1)(3x 2)
3x x 2
 
 
2. 0
4.
1
5
เปนจํานวนจริง โดยที่ 1 1 1 1
a 50 b 51 c 52 d 53
  
   
2. c d a b
  
4. d b a c
  
หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา
คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต
และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ
แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้
2. 0.12
4. 0.15
13.00 – 16.00 น.
หน้า |9
1 1 1 1
a 50 b 51 c 52 d 53
  
   
c d a b
d b a c
คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา
คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต
กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ

31. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , ...,a , ...
และ 1 2 3 n
b , b , b , ...,b , ...
ถา 1
a 1
 และ 1
b 7

1.
3
70
3.
2
77
5.
6
77
32. ให
3 a b
A 0 a 1
1 1 0
 
 
  
 

 
เมื่อ
ถา 21
C (A) 2
 และ detA 2
1. – 3
3. 2
5. 3
33. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่
ถา f(0) 0
 แลว f(2) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1
3. 2
5. 3
เวลา 13.00
1 2 3 n
a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n
n 1
3
a
2




1 2 3 n
b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n
n 1
b 5




b 7
 แลว n
n 1 n
a
b


 เทากับขอใดตอไปนี้
2.
7
70
4.
5
77
 
 
 
 
 
เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง
detA 2
  แลว a b
2.
5
3
4.
7
3
เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่
x ; x 1
f (x)
x 1 ; x 1


  
 


f(2) เทากับขอใดตอไปนี้
2. 1.5
4. 2.5
13.00 – 16.00 น.
หน้า |10
3
2

x ; x 1
x 1 ; x 1

 

34. ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย
เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง
ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว
1. 25
3. 9
5.
1
6
35. โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง
มีขอมูล ดังนี้
เดือน
จํานวนสินคาที่ผลิต (x)
(หนวยเปนชิ้น)
ยอดขายสินคา(y)
(หนวยเปนบาท)
จากการสํารวจพบวา
คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ
คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ
ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง
และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น
ถาจํานวนสินคาผลิต 10,000
1. 600,000 บาท
3. 660,000 บาท
5. 760,000 บาท
เวลา 13.00
เปนฟงกชัน นิยามโดย
2
2
2
x
; x 0
x x
ax (b a)x b
f(x) ; 0 x 1
x 1
(x b) ; x 1






  

  
 

  

เปนจํานวนจริง
ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว f(a b)
2. 16
4. 4
โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง
ม.ค. ก.พ. มี.ค. ...
)
1
x 2
x 3
x ...
1
y 2
y 3
y ...
คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น
คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท
ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง
และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น
10,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้
2. 620,000 บาท
4. 720,000 บาท
13.00 – 16.00 น.
หน้า |11
; x 0
f(x) ; 0 x 1
(x b) ; x 1
  
โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง
พ.ย. ธ.ค.
11
x 12
x
11
y 12
y
ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท
สินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้

ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข
จํานวน 10ขอ (ขอ 3
36. ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ
แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต
37. ให 5
sec A
3
  และ sin A 0
คาของ
5sinA cotA
1 cotAcosecA


38. กําหนดให x , y , z และ
x
2 1 k
  , y x
2 2 2
 
ถา x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แลว
39. ให 2
f(x) 5 x
  สําหรับทุกจํานวนจริง
ถา
f(x 1) ; x R
g(x)
1 ; x R
  

 


คาของ (f g)(6) (g f)(3)

 
40. กําหนดให 1 2 3 n
a , a , a , ..., a , ...
โดยที่ 1 3
a a 7
  และ
คาของ 1 2 3 50
a a a ... a
   
เวลา 13.00
แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข
36 – 45) ขอละ 9 คะแนน
เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ x log x log 8
2
log 2 (2x) 4 ( 2)
 
  
 
 
แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด
sin A 0
 เมื่อ 0 A 2
  
5sinA cotA
1 cotAcosecA
เทากับเทาใด
และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ
y x
2 2 2
  และ z y
2 2 4
 
เปนลําดับเลขคณิต แลว x y z
  เทากับเทาใด
สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f
R เปนเรนจของ f
f
f
f(x 1) ; x R
1 ; x R
 

(f g)(6) (g f)(3)
  เทากับเทาใด
1 2 3 n
a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง
และ 2 4 6 8
a a a a 74
   
1 2 3 50
a a a ... a
    เทากับเทาใด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |12
2
log x
log 2 (2x) 4 ( 2)
 
  
 
 

41. ให c เปนจํานวนจริง และให
ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ
42. กําหนดให 1
F และ 2
F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน
2 2
5x 4y 10x 16y 31
   
ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม
มี 1 2
F F เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ
43. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ
และเมทริกซผูกพันของ A คือ
คาของ  
det x adj(A) เทากับเทาใด
44. กําหนดให {1, 2, 3, ...}


f(1,m) 1
 สําหรับ
f(n,m) 0
 สําหรับ
f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)
     
คาของ f(2,4) เทากับเทาใด
เวลา 13.00
เปนจํานวนจริง และให 3 2
f(x) x 12x 45x c
     สําหรับทุกจํานวนจริง
เทากับ 53 แลวคาของ f(c) เทากับเทาใด
เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน
2 2
5x 4y 10x 16y 31
   
เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม 2 2
x y ax by c 0
    
เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 2 2 2
a b c
  เทากับเทาใด
เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3
 โดยที่ det(A) 7
 
คือ
4 1 x
adj(A) 2 x 2
1 5 1
 
 
 
  
 
 

 
เมื่อ x เปนจํานวนจริงบวก
det x adj(A) เทากับเทาใด
{1, 2, 3, ...}
สําหรับ m  
สําหรับ n,m   โดยที่ n m

f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)
      สําหรับ n,m 
เทากับเทาใด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |13
สําหรับทุกจํานวนจริง x
x y ax by c 0
    
เปนจํานวนจริงบวก
n,m   และ n 2


45. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง
z
พื้นที่ใตเสนโคง
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ
และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ
นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข
คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ
คะแนนสอบของนาย ข. แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เ
เวลา 13.00
กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังตาราง
0.7 1.3 2.42
0.2580 0.4032 0.4922
คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ
และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้
สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. และคะแนนสอบของนาย ก
คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 ถามีนักเรียนรอยละ 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวา
แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับเทาใด

13.00 – 16.00 น.
หน้า |14
2.42
0.4922
เปนนักเรียนในหองนี้
และคะแนนสอบของนาย ก.
ที่สอบไดคะแนนนอยกวา
ทากับเทาใด

1. 3 2. 2
6. 4 7. 3
11. 4 12. 1
16. 5 17. 4
21. 4 22. 2
26. 5 27. 3
31. 5 32. 5
36. 0.5 37. 52
41. 33 42. 36
เวลา 13.00
เฉลยคําตอบ
3. 5 4. 2
8. 5 9. 1
13. 3 14. 2
18. 1 19. 5
23. 3 24. 4
28. 3 29. 1
33. 1 34. 1
38. 6 39. 8
43. 1,323 44. 4
13.00 – 16.00 น.
หน้า |15
5. 2
10. 4
15. 3
20. 1
25. 4
30. 2
35. 2
40. 6,050
45. 54

เฉลยขอสอบ
วันที่ 22
ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก
จํานวน 35ขอ (ขอ
1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่
(ก) ( P Q) (P Q)
  
 
(ข) P (Q Q)
  
(ค) (P Q) Q
 
ขอ 1. ตอบ 3
แนวคิด
กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่
จะได ( P) (P Q)
T
T T
F F T or F

แสดงวา P เปนเท็จ และ
พิจารณาขอความ
ก. กรณีที่ 1 P เปนจริง และ
( P Q) (P Q)
F T F T
T F
T T
  
 
จะพบวาทั้ง 2 กรณี ( P Q) (P Q)
เวลา 13.00
ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร
กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562
ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด
ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน
 
( P Q) (P Q)
  
  มีคาความจริงเปนเท็จ
P (Q Q)
   มีคาความจริงเปนจริง
(P Q) Q
  มีคาความจริงเปนจริง
 
( P) (P Q)
T
T T
F F T or F
 
และ Q เปนจริง หรือ เปนเท็จ
เปนจริง และ Q เปนจริง กรณีที่ 2 P เปนจริง และ
( P Q) (P Q)
F T F T
T F
T T
T
  
  ( P Q) (P Q)
F F F F
T T
F T
  
 
( P Q) (P Q)
  
  เปนจริง แสดงวา ขอความ
13.00 – 16.00 น.
หน้า |16
2562
จริง
จริง
เปนจริง และ Q เปนเท็จ
( P Q) (P Q)
F F F F
T T
F T
T
  
 
แสดงวา ขอความ (ก) ผิด

(ข) เนื่องจาก Q Q F
 

ดังนั้น P (Q Q) P F
   
แสดงวา ขอความ (ข)
(ค) เนื่องจาก (P Q) Q (P Q) Q
    
แสดงวา ขอความ (ค)
หมายเหตุ ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ
ของประพจน เหมือนการตรวจสอบขอความ
จากการตรวจสอบขอความจะไดวา ขอ
เวลา 13.00
Q Q F
 

P (Q Q) P F
F F [ P F]
T
   
  



) ถูก
(P Q) Q (P Q) Q
( P Q) Q
P ( Q Q)
P T
T
    
  
  
 


 
 

) ถูก
ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ (ข) และ (ค) จะใชการแทนคาความจริง
เหมือนการตรวจสอบขอความ (ก) ก็ไดเชนกัน
จะไดวา ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ก) ผิด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |17
จะใชการแทนคาความจริง


2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ
(ก)
1
x 2
| x 1 |
 
 
 

 
(ข)
1
x | x |
2
 
 
 
 
(ค) 2
x x x 0
 
  
 
 
แนวคิด
ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ
(ก) สําหรับ x x | x 1
 
    
 
 

จะได
ทําให
ดังนั้น
แสดงวาไมมีคา x ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให
1
x 2
| x 1 |
 
 
 

 
เวลา 13.00
แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ
1
x | x 1
2
 
   
 
 

x 2
| x 1 |
 
 
 
 
1
2
 
 
 
 
มีคาความจริงเปนจริง
x x x 0
 
  
 
 
แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1
x | x 1
2
 
   
 
 

1
x x | x 1
2
 
    
 
 

1
x 1
2
  
1
1 x 1 1 1
2
     
1
x 1 2
2
  
1
x 1 2
2
  
1 1 1
1/ 2 2
x 1
 

1 1
2
2
x 1
 

ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให
1
2
| x 1 |


1
x 2
| x 1 |
 
 
 

 
มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ (ก)
13.00 – 16.00 น.
หน้า |18
x | x 1
 
   
 
 
x | x 1
 
   
 
 
) ถูก

(ข) จะพบวา 1 1
2 2
    
แต 1 1 1
2 2 2
 
แสดงวามี x 
ดังนั้น x | x |
 
 
 
 
(ค) จะพบวา 1 1
4 2
     
แต 2
1 1 5
( ) ( ) 0
4 4 16
    
แสดงวามี x  
ดังนั้น x x x 0
 
  
 
 
จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ
เวลา 13.00
1 1
x | x 1
2 2
 
    
 
 

1 1 1
2 2 2
 
1
x
2
 ที่ทําใหประพจน 1
| x |
2
 เปนเท็จ
1
x | x |
2
 
 
 
 
มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ (
1 1
x | x 1
4 2
 
     
 
 

2
1 1 5
( ) ( ) 0
4 4 16
    
1
x
4
  ที่ทําใหประพจน 2
x x 0
  เปนเท็จ
2
x x x 0
 
  
 
 
มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ
จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ข) ผิด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |19
(ข) ผิด
แสดงวาขอความ (ค) ถูก


3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) ถา B C
  
(ข) A (B C) (A C) B
    
(ค) ถาเซต A มีสมาชิก
แลวเพาเวอรเซตของเซต
แนวคิด
ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}
ซึ่ง B C
   และ
แต (A B) C {1,2} {1} {2} {2}
     
A B {1,2} {1} {1}
   
แสดงวามีเซต A , B
ดังนั้นขอความ (ก) ผิด
(ข) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}
ซึ่ง A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}
        
(A C) B {1,2} {2} {2} {2}
     
แสดงวามีเซต A , B
ดังนั้นขอความ (ข) ผิด
(ค) สมมติใหเซต A มีสมาชิก
นั่นคือ n(A) = 9 , n(B) = 7
จาก n(A B)
2 32


เวลา 13.00
B C
   และ A (B C)
  แลว (A B) C A B
   
A (B C) (A C) B
    
แลวเพาเวอรเซตของเซต B A
A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}
   และ A (B C)
 
 
(A B) C {1,2} {1} {2} {2}
     
A B {1,2} {1} {1}
   
A , B และ C ที่ทําให (A B) C A B
   
ผิด
A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}
 
A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}
        
 
(A C) B {1,2} {2} {2} {2}
     
A , B และ C ที่ทําให A (B C) (A C) B
    
ผิด
n(A) = 9 , n(B) = 7 และ n(A B)
2 32


2 32
 จะได n(A B) 5
2 2


13.00 – 16.00 น.
หน้า |20
(A B) C A B
   
A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}
A (B C) (A C) B
    

n(A) = 9 ;
ดังนั้น n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3
      
ทําให เพาเวอรเซตของเซต
แสดงวา ขอความ (ค)
จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ
เวลา 13.00
n(A B) 5
 
n(A) n(A B) 5
  
9 n(A B) 5
  
n(A B) 4
 
n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3
      
เพาเวอรเซตของเซต B A
 มีสมาชิก 3
2 8

) ผิด
จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ
13.00 – 16.00 น.
หน้า |21
ผิด ทั้งสามขอ 

4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
   
ให r
D และ r
R เปนโดเมนและเรนจของ
(ก) 1
r
(ข) จํานวนสมาชิกของเซต
(ค) r r r
D R D
 
1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว
3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว
ขอ 4. ตอบ 2.
แนวคิด
ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
   
จาก r {(x, y) A A | y | x | 2}
    
แทน x ดวยสมาชิกในเซต A
ถา x = –3 ; y = |–
x = –2 ; y = |–2|
x = –1 ; y = |–1|
x = 0 ; y = |0|
x = 1 ; y = |1|
x = 2 ; y = |2|
x = 3 ; y = |3|
จะได r = {(–3, 1) , (–
(ก) จาก r = {(–3, 1) , (
จะได 1
r
= {(1,
ซึ่งมี (1, –3) และ (1, 3)
ดังนั้น 1
r
ไมเปนฟงกชัน
แสดงวา ขอความ (ก)
เวลา 13.00
A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
    และ r {(x,y) A A | y | x | 2}
    
เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ
จํานวนสมาชิกของเซต 1
r r
r r r
D R D
 
ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว
ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ
A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}
   
r {(x,y) A A | y | x | 2}
    
A จะได
–3| – 2 = 1 แสดงวา (–3, 1) r

2| – 2 = 0 แสดงวา (–2, 0) r

1| –2 = –1 แสดงวา (–1, –1) r

x = 0 ; y = |0| – 2 = –2 แสดงวา (0, –2) r

x = 1 ; y = |1| – 2 = –1 แสดงวา (1, –1) r

x = 2 ; y = |2| – 2 = 0 แสดงวา (2, 0) r

x = 3 ; y = |3| – 2 = 1 แสดงวา (3, 1) r

–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)}
3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)}
= {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }
(1, 3) เปนสมาชิกของ 1
r
ไมเปนฟงกชัน
) ผิด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |22
r {(x, y) A A | y | x | 2}
    
ถูกเพียงขอเดียว
1) , (2, 0) , (3, 1)}
1) , (2, 0) , (3, 1)}
1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }

(ข) จาก r = {(–3, 1) , (
จะได 1
r
= {(1,
จะได 1
r r
 = {(
จะพบจํานวนสมาชิกของเซต
แสดงวาขอความ (ข)
(ค) จาก r = {(–3, 1) , (
จะได r
D = {–3,
r
R = {–2,
จะพบวา r r
D R

แสดงวาขอความ (ค)
จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ
เวลา 13.00
3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)}
= {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }
= {(–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2)}
จะพบจํานวนสมาชิกของเซต 1
r r
ถูก
3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)}
3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
2, –1, 0, 1 }
r r
D R = {–2, –1, 0, 1} r
D

ผิด
จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว
13.00 – 16.00 น.
หน้า |23
1) , (2, 0) , (3, 1)}
1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }
1) , (2, 0) , (3, 1)}


5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต
        
  
1. 42
3. 44
5. 46
ขอ 5. ตอบ 2.
แนวคิด
ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต
        
  
พิจารณาแผนภาพเวนน–ออยเลอร
จากรูปจะได n(C) 9 56 65
  
n(A B) 35 56 91
   
โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199
  
จากสมบัติ n(A B) n(A) n(B) n(A B)
ดังนั้น n(A B) 43
n((A B) C) 35
  
n(C (A B)) 9
  
n(A B C) n((A B) C) n(C (A B))
100 (35 9)
56
       
  

เวลา 13.00
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
n(C (A B)) 9
   แลว n(A B)
2. 43
4. 45
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
n(C (A B)) 9
  
ออยเลอร
n(C) 9 56 65
  
n(A B) 35 56 91
   
n(A) n(B) n(C) 199
   จะได n(A) n(B) 65 199
  
n(A) n(B) 134
 
n(A B) n(A) n(B) n(A B)
    
91 134 n(A B)
  
n(A B) 43
 
A B
C
U
n((A B) C) 35
  
 
100 (35 9)
56
       
  
13.00 – 16.00 น.
หน้า |24
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35
        
n(A) n(B) 65 199
n(A) n(B) 134



6. กําหนดให 0 A 90
 
 
ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ
แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. – 7
3. 3
5. 7
ขอ 6. ตอบ 4.
แนวคิด
ให a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ
จะได
1 1
sec60 2 ;
cos60 1/ 2
   

เวลา 13.00
0 A 90
 
เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A)
 
 
 

 
2. – 5
4. 5
เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ
3sec 300
 
 
 

 
a( sin A) cotA
3 sec(360 60 )
sin A cotA
 
    

a ( 1) 3sec60
   
1 1
sec60 2 ;
cos60 1/ 2
    a 1 3(2)
 
a 1 6
 
a 5

13.00 – 16.00 น.
หน้า |25
3sec 300
 
 
 


3sec 300
3 sec(360 60 )
    
a ( 1) 3sec60
   


7. คาของ
3 1
tan 2arctan
4 2
 


 
 
1. – 1
3.
1
7
5. 2
ขอ 7. ตอบ 3.
แนวคิด
โดยเอกลักษณ tan(A B)
 
tan2A
และ tan(arctan x) x
จะได 3 1
tan 2arctan
4 2
 


 
 
เวลา 13.00
3 1
tan 2arctan
4 2
 
 
 
2.
1
7

4. 1
tan A tan B
tan(A B)
1 tan A tan B

 

2
2tan A
tan2A
1 tan A


tan(arctan x) x

3 1
tan 2arctan
4 2
 
 
 
3 1
tan tan(2arctan )
4 2
3 1
1 tan tan(2arctan )
4 2





1
1 tan(2arctan )
2
1
1 tan(2arctan )
2
 

 
 
 
 
2
2
1
2 tan(arctan )
2
1
1
1 tan (arctan )
2
1
2 tan(arctan )
2
1
1
1 tan (arctan )
2
 




2
2
1
2( )
2
1
1
1 ( )
2
1
2( )
2
1
1
1 ( )
2
 




13.00 – 16.00 น.
หน้า |26

เวลา 13.00
1
1
1
1
4
1
1
1
1
4
 




4
1
3
4
1
3
 


1
3
7
3

1
7

13.00 – 16.00 น.
หน้า |27


8. กําหนดให x 0
2

   และ
คาของ tan x cot x
 เทากับขอใดตอไปนี้
1.
3
2

3. 0
5.
3
2
ขอ 8. ตอบ 5.
แนวคิด
กําหนดให x 0
2

  
จาก
เนื่องจาก cos x 1 sin x
 
5 คูณตลอด ;
ยกกําลังสองทั้งสองขาง ;
2 หารตลอด ;
2

  
cos x 1 sin x 1 1
       
เวลา 13.00
x 0
   และ 5
cos x sin x
5
 
tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้
2.
1
2

4.
1
2
5
cos x sin x
5
 
2
cos x 1 sin x
  ; 2 5
1 sin x sin x
5
  
2 1
1 sin x sin x
5
  
2
5 1 sin x 5 sin x 1
  
2
5 1 sin x 1 5 sin x
  
 
2 2
5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x
   
2
10 sin x 2 5 sin x 4 0
  
2
5sin x 5 sin x 2 0
  
( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0
  
2 1
sin x ,
5 5
 
x 0
   คา sin x 0
 แสดงวา
1
sin x
5
 
2
2 1 1 2
cos x 1 sin x 1 1
5
5 5
 
       
 
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |28
5
5
5
5
1
5
5 1 sin x 5 sin x 1
5 1 sin x 1 5 sin x
  
2 2
5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x
   
10sin x 2 5 sin x 4 0
5sin x 5 sin x 2 0
( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0
2 1
sin x ,
5 5
 

และ sin x 1
tan x
cos x 2 2

   
ดังนั้น tan x cotx 2
       
แนวคิด 2
2

  
แสดงวา x 0
4

  
ยกกําลังสองทั้งสองขาง ;
เอกลักษณ 2 2
sin A cos A 1 ;
 
เอกลักษณ 2sinAcosA sin2A ;

จาก x 0
4

   จะได
ทําให 2 2
cos2x 1 sin 2x 1 ( )
     
โดยเอกลักษณ 2 2
cos A sin A cos2A
 
เวลา 13.00
1
sin x 1
5
cos x 2 2
5

   
1 1 1 3
tan x cotx 2
2 1 2 2
2
       

x 0
   และ 5
cos x sin x 0
5
  
x 0
2 2
cos x 2 sin x cos x sin x
  
2 2
sin A cos A 1 ;
  1 2 sin x cos x
 
2sinAcosA sin2A ;
 1 sin 2x
 
sin2x  
จะได 2x 0
2

  
2 2
4 3
cos2x 1 sin 2x 1 ( )
5 5
     
sin x cos x
tan x cot x
cos x sinx
  
2 2
sin x cos x
sin x cos x


2 2
2(cos x sin x)
2sin x cos x
 

2 2
cos A sin A cos2A
  และ 2sinAcosA sin2A

2 cos2x
sin 2x


3
2( )
5
4
5



3
2

13.00 – 16.00 น.
หน้า |29

5
cos x 2 sin x cos x sin x
25
  
1
1 2 sin x cos x
5
 
1
1 sin 2x
5
 
4
sin2x
5
 
sin x cos x
cos x sinx
2 2
sin x cos x
sin x cos x
2 2
2(cos x sin x)
2sin x cos x
 
2sinAcosA sin2A ;


9. พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก)
2
3
(0.6) 1


(ข) ถา x y
(0.2) (0.2)

(ค) 5 0.2
log 0.1 log 0.1

ขอ 9. ตอบ 1.
แนวคิด
(ก) เนื่องจาก
2 1 1
3 3 3
(0.6) (0.36) 1 1
  
(0.6)
นั่นคือ (0.6) 1
(ข) โดยสมบัติ สําหรับ 0 < a < 1
จากที่กําหนดให (0.2) (0.2)
แสดงวา
(ค) โดยสมบัติ สําหรับ
สําหรับ
เพราะวา 5 > 1 และ
เพราะวา 0 < 0.2 < 1
จะพบวา 5 0.2
log 0.1 0 log 0.1
จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ
เวลา 13.00
(0.6) 1

x y
(0.2) (0.2)
 แลว x y

5 0.2
log 0.1 log 0.1

2 1 1
3 3 3
(0.6) (0.36) 1 1
  
2
3
(0.6) 1

2
3
1 1
1
(0.6)

2
3
(0.6) 1

 แสดงวาขอความ (ก) ถูก
0 < a < 1 จะไดวา 1 2
x x
a a
 ก็ตอเมื่อ x x
x y
(0.2) (0.2)
 โดยที่ 0 < 0.2 < 1
x y
 แสดงวาขอความ (ข) ถูก
สําหรับ 0 < a < 1 จะไดวา a 1 a 2
log x log x
 ก็ตอเมื่อ
สําหรับ a > 1 จะไดวา a 1 a 2
log x log x
 ก็ตอเมื่อ
และ 0.1 < 1 จะได 5 5
log 0.1 log 1 0
 
0.2 < 1 และ 0.1 < 1 จะได 0.2 0.2
log 0.1 log 1 0
 
5 0.2
log 0.1 0 log 0.1
  แสดงวาขอความ (ค) ผิด
จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ (ค) ผิด
13.00 – 16.00 น.
หน้า |30
ถูก
1 2
x x

ก็ตอเมื่อ 1 2
x x

ก็ตอเมื่อ 1 2
x x

5 5
log 0.1 log 1 0
 
0.2 0.2
log 0.1 log 1 0
 
ผิด
ผิด 

10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค
x ay 3
  เมื่อ a
3x y 9
  และ
คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้
1. 9
3. 11
5. มากกวา 12
ขอ 10. ตอบ 4.
แนวคิด
กําหนดฟงกชันจุดประสงค
และอสมการขอจํากัด ดังนี้
และ
พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้
สมการ
x + ay = 3
3x + y = 9
หาจุดตัดระหวางเสนตรง
และ
(1) 3
 ;
(3) – (2) ;
แสดงวา
ถา 1
a
3
 จะไดสมการ (1)
ถา y = 0 แทนคาใน (1)
ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน
เวลา 13.00
P 4x y
  และอสมการขอจํากัด ดังนี้
a เปนจํานวนจริงบวก
และ x 0, y 0
 
2. 10
4. 12
P 4x y
 
x ay 3
  เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก
3x y 9
 
และ x 0, y 0
 
พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้
จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y
(3, 0) (0,
3
a
)
(3, 0) (0, 9)
x + ay = 3 ...(1)
3x + y = 9 ...(2)
3x + 3ay = 9 ...(3)
(3a – 1)y = 0
a =
1
3
หรือ y = 0
(1) คือ 1
x y 3
3
  3x y 9
   ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ
(1) จะได x + 0 = 3  x = 3 แสดงวาจุดตัด (1)
ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน 3 กรณีดังนี้
13.00 – 16.00 น.
หน้า |31
ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ (2)
(1) และ (2) คือจุด(3, 0)

กรณีที่ 1
1
a
3
 ทําใหเสนตรง
1
a
3
 ทําใหเสนตรง
1
a
3
 ทําใหเสนตรง
จากทั้ง 3 กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ
(0,9)
(3,0)
3x y 9
 


Y
x ay 3

3
(0, )
a
(0,9)
(3,0)


Y
x ay 3
 

3
(0, )
a
(0,9)
(3,0)
3x y 9


Y
x ay 3
 
เวลา 13.00
ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3
  เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป
พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค
จุดมุม P = 4x + y
(0, 0) P = 4 0 0 0
  
(3, 0) P = 4 3 0 12
  
(0, 9) P 4 0 9 9
   
  มีลักษณะดังรูป
(0, 0) P = 4 0 0 0
  
(3, 0) P = 4 3 0 12
  
(0, 9) P 4 0 9 9
   
  มีลักษณะดังรูป
(0, 0) P = 4 0 0 0
  
(3, 0) P = 4 3 0 12
  
(0,
3
a
) P 4 0 9
    
กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ P เทากับ 12
3x y 9
 
X
x ay 3
 
3x y 9
 
X
x ay 3
 
3x y 9
 
X
x ay 3
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |32
เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป
พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y
P = 4x + y
4 0 0 0
  
4 3 0 12
   (สูงสุด)
P 4 0 9 9
   
มีลักษณะดังรูป
4x + y
4 0 0 0
  
4 3 0 12
P 4 0 9 9
   
มีลักษณะดังรูป
P = 4x + y
4 0 0 0
  
4 3 0 12
3 3
P 4 0 9
a a
    


11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15
2 4 8 16
   
ถา n
S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม
1. 0
3.
1
4
5. 1
ขอ 11 ตอบ 4.
แนวคิด
จากอนุกรม 1 3 7 15
2 4 8 16
   
จัดอนุกรมใหมไดเปน
1 2 3 4 n
1 2 3 4 n
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2
    
k
n
n k
k 1
2 1
S
2


 
n
k 1
1
2

 
 
 
 

n n
k 1 k 1
1
 
 
 
1 1
1 ( )
2 2
n
1
 
 
 
 
n 1 ( )
 
  
 
 
n 1 ( )
  
จะได n
1
S n 1 ( )
2
  
จะได 2n
S 2n 1 ( )
  
ดังนั้น n
n n
2n
S
lim lim
S 1
 

เวลา 13.00
1 3 7 15
...
2 4 8 16
   
พจนแรกของอนุกรม แลว n
n 2n
S
lim
S

2.
1
8
4.
1
2
1 3 7 15
...
2 4 8 16
   
1 2 3 4 n
1 2 3 4 n
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... ...
2 2 2 2 2
    
     
k
k
2 1
2

k
1
1
2
 
 
 
 
n n
k
k 1 k 1
1
1
2
 
 
   
 
 
n
1 1
1 ( )
2 2
1
1
2
 

 
 

n
1
n 1
a (1 r )
S , a , r
1 r 2 2
 

 
  

 
 

n
1
n 1 ( )
2
 
  
 
 
n
1
n 1 ( )
2
  
n
1
S n 1 ( )
2
  
2n
1
S 2n 1 ( )
2
  
n
2n
1
n 1 ( )
2
lim lim
S 1
2n 1 ( )
2
 
 
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |33
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
... ...
    
     
n
n 1
a (1 r ) 1 1
S , a , r
1 r 2 2
 
 
  
 
 

n
lim


n
lim


1 0 0
2 0 0
 

 
1
2

12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง
ให f : 
  และ g :
เวลา 13.00
n
n
2n
1 1
n 1
n n2
lim
1 1
n 2
n n2

 
 
 
 
 
 
 
 
n
n
2n
1 1
1
n n2
lim
1 1
2
n n2

 
 
1 0 0
2 0 0
 
 
1
2
แทนเซตของจํานวนจริง
g : 
  เปนฟงกชัน โดยที่
13.00 – 16.00 น.
หน้า |34


(ก) f( x) f(x)
  
(ข) g( x) g(x)
 
(ค) f(x) g(x) x 2x
  
ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให
แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้
1. 1250
3. 0
5. – 1250
ขอ 12 ตอบ 1.
แนวคิด
จาก (ค) ;
แทน x ดวย –x ;
จาก ก และ ค ;
นํา (1) – (2) ;
นํา 2 หารตลอด ;
แทน f(x) = –2x ใน (1) ;
ตอนนี้เราไดแลววา f(x) 2x
 
พิจารณาหา a จากสมหาร
จะได
ดังนั้น f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250
         
13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
a , 5 , 7 , b , 11 , c
เวลา 13.00
f( x) f(x)
g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x
2
f(x) g(x) x 2x
เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)
   
2. 800
4. – 800
2
f(x) g(x) x 2x
  
2
f( x) g( x) ( x) 2( x)
      
2
f(x) g(x) x 2x
   
2f(x) 4x
 
f(x) 2x
 
(1) ; 2
2x g(x) x 2x
   
2
g(x) x
 
2
g(x) x
 
f(x) 2x
  และ 2
g(x) x
 
f(10 a) f(10 a) g(10)
   
  2
2(10 a) 2(10 a) 10
      
( 20 2a) (20 2a) 100
     
4a 100
  
a 25

2
f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250
         
จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
13.00 – 16.00 น.
หน้า |35
...(1)
f( x) g( x) ( x) 2( x)
...(2)
f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250 

ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ
คาของ 2 2 2
a b c
  เทากับขอใดตอไปนี้
1. 234
3. 241
5. 283
ขอ 13 ตอบ 3.
แนวคิด
ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
a , 5 , 7 , b , 11 , c
โดยที่ตําแหนงเดไซนที่ 7 เทากับ
โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได
จากกําหนดใหพิสัยเทากับ 8
และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ
แทน b = 9 ;
เวลา 13.00
ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ
2. 237
4. 269
จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้
เทากับ 7(N 1) 7(6 1)
4.9
10 10
 
  ซึ่งคาเดไซนที่
ตําแหนงที่ คาขอมูล
4 b
4.9 7
D
5 11
โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได 4.9 4 10.8 b
5 4 11 b
 

 
10.8 b
0.9
11 b



0.9(11 b) 10.8 b
  
9.9 0.9b 10.8 b
  
0.1b 0.9

b 9

8 จะได c a 8
 
และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 8 จะได a 5 7 b 11 c
8
6
    

a b c 23 48
   
a b c 25
  
a 9 c 25
  
a c 16
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |36
ของขอมูลเทากับ 10.8
ซึ่งคาเดไซนที่ 7 เทากับ 10.8
c a 8
  ...(1)
8

a b c 23 48
   
a b c 25
  
a 9 c 25
  
a c 16
  ...(2)

(1) + (2) ;
แทน c = 12 ใน (2) ;
ดังนั้น 2 2 2 2 2 2
a b c 4 9 12 241
     
14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ
และให x
B {2 | x A}
 
เวลา 13.00
2c 24

c 12

a 12 16
 
a 4

2 2 2 2 2 2
a b c 4 9 12 241
     
9 6 2 0

  
B {2 | x A}
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |37
2c 24

c 12

a 12 16
 
a 4



ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต
1. 0.25
3. 1.25
5. 2.25
ขอ 14 ตอบ 2.
แนวคิด
ให A แทนเซตคําตอบของสมการ
จัดสมการใหมไดเปน
แตเนื่องจาก x x
3 0 , 2 0
 
นั่นคือ A = {0}
โดยที่ x
B {2 | x A}
 
จะได B = { 0
2 } = {1}
ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต
15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ
เวลา 13.00
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้
2. 1
4. 2
9 6 2 0

  
x 2 x x x 2
(3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0
  
  
x x x x
3 2(2 ) 3 2 0
  
x x
3 0 , 2 0
  ทําให x x
3 2(2 ) 0
  ดังนั้นจากสมการ (*)
x x
3 2 0
 
x x
3 2

x 0

B {2 | x A}
} = {1}
ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต B เทากับ 1
จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ
13.00 – 16.00 น.
หน้า |38
x x 2x 1
9 6 2 0

  
x 2 x x x 2
(3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0
  
x x x x
3 2(2 ) 3 2 0
   ...(*)
(*) จะไดวา
x x
3 2 0
 
x x
3 2

x 0



จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้
1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ
2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ
3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา
4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย
5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมา
ขอ 15 ตอบ 3.
แนวคิด
เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ
จะได ความถี่สะสม
จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ
พิจารณาตัวเลือก
1
2
3
4
5
เวลา 13.00
จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด
มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน
ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน
เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ =
ความถี่สะสม
จํานวนขอมูลทั้งหมด
= ความถี่สะสมสัมพัทธ  จํานวนขอมูลทั้งหมด
1 0.2
2 0.3
3 0.7
4 0.9
5 1.0
จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ ความถี่สะสม
0.2 0.2 30 6
 
0.3 0.3 30 9
 
0.7 0.7 30 21
 
0.9 0.9 30 27
 
1.0 1.0 30 30
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |39
จํานวนขอมูลทั้งหมด
ความถี่สะสม ความถี่
0.2 30 6
  6
0.3 30 9
  3
0.7 30 21
  12
0.9 30 27
  6
1.0 30 30
  3

1. เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ
แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ
ดังนั้นตัวเลือก 1. ถูก
2. เนื่องจากจํานวนมากที่สุด
แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ
3. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา
ดังนั้นตัวเลือก 3. ผิด
4. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย
5. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรื
ดังนั้น ตัวเลือกที่ 3 ผิด
16. กําหนดให 1 x
f(x)
x 2



เวลา 13.00
เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ N 1 30 1
15.5
2 2
 
  ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่
แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน
เนื่องจากจํานวนมากที่สุด 12 ครัวเรือนที่มีสมาชิกในครัวเรือน 3 คน
แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน มี 12 + 3 + 6 = 21
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน มี 6 + 3 = 9
ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน มี 6 + 3 = 9 ครัวเรือน
1 x
x 2


 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |40
ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่ 21
12 + 3 + 6 = 21 ครัวเรือน
6 + 3 = 9 ครัวเรือน
ครัวเรือน


ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ
แลว 2a 1
1. – 2
3. 0
5. 2
ขอ 16 ตอบ 5.
แนวคิด
กําหนดให 1 x
f(x)
x 2



พิจารณาหาคา 1
f (2)

สมมติให 1
f (2) x

 จะได
f (2) 1

 
จากสมการ 1
f(a f (2)) 1

 
1
2a 1 2( ) 1 2
2
   
17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
และให 2
f(x) ax bx 1
  
เวลา 13.00
เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1
f(a f (2)) 1

 
2. – 1
4. 1
1 x
x 2


 
f (2)
ะได f(x) 2

1 x
2
x 2



1 x 2(2 x)
  
1 x 4 2x
  
3x 3
 
x 1
 
f(a f (2)) 1
  จะได f(a 1) 1
 
1 (a 1)
1
(a 1) 2
 

 
2 a
1
a 1



2 a a 1
  
2a 1

1
a
2

2a 1 2( ) 1 2
   
เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย
f(x) ax bx 1
   สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0
 
13.00 – 16.00 น.
หน้า |41

f( 1) 0

Pat1 ก.พ. 63

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Pat1 ก.พ. 63

Similar to Pat1 ก.พ. 63 (20)

More from 9GATPAT1

More from 9GATPAT1 (20)

Pat1 ก.พ. 63