8. Slide_TCC cho Kinh te_Ch8-PT sai phan.pdf

8.1 Khái niệm sai phân và áp dụng 8.2 Khái niệm chung về phương trình sai phân 8.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 8.4
HỌC PHẦN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (3 tín chỉ-45
tiết)
Học phần gồm 8 chương với thời lượng được phân bổ cụ thể
là:
• Chương 1: Ma trận (5 tiết)
• Chương 2: Hệ phương trình (5 tiết)
là:
• Chương 3: Hàm số một biến, dãy số, chuối số (5 tiết)
• Chương 4: Phép tính đạo hàm và vi phân (6 tiết)
• Chương 5: Hàm số nhiều biến (6 tiết)
• Chương 6: Phép tính tích phân (6 tiết)
là:

Chương 8. Phương trình sai phân
1 8.1 Khái niệm sai phân và áp dụng
2 8.2 Khái niệm chung về phương trình sai phân
3 8.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
4 8.4 Ứng dụng của PTSP cấp 1 trong kinh tế
5 8.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Khái niệm sai phân
Khái niệm sai phân cấp 1
• Ở môn toán THPT ta đã biết, dãy số (xn) là một hàm số xác
định trên tập hợp số tự nhiên N:
x : N → R, n 7→ x(n) = xn
• Sai phân cấp 1 của hàm số x(n) là đại lượng:
4xn := xn+1 − xn, n ∈ N
Ví dụ: Xét dãy số (xn = 3n2 − 1), n ∈ N
4x0 = x1 − x0 = 3
4x1 = x2 − x1 = 9
.......
4xn = xn+1 − xn = 6n + 1

Sai phân cấp k
• Sai phân cấp k của hàm số x(n) được xác định là:
4k
xn := 4(4k−1
xn) = 4k−1
xn+1 − 4k−1
xn, k = 0, 1, 2, ...
Ví dụ: Tính một số sai phân cấp cao:
4xn = xn+1 − xn
42
xn = 4xn+1 − 4xn = (xn+2 − xn+1) − (xn+1 − xn)
= xn+2 − 2xn+1 + xn
43
xn = 42
xn+1 − 42
xn
= (xn+3 − 2xn+2 + xn+1) − (xn+2 − 2xn+1 + xn)
= xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn

Định lý về biểu diễn sai phân
Mọi sai phân đều có thể biểu diễn thông qua các số hạng của dãy
số theo công thức sau đây
4k
xn =
k
X
i=0
(−1)i
Ci
nxn+k−i
Ví dụ: Cho dãy số: (xn = n2 + 1). Tính các sai phân cấp 1,2,3 và
6 của dãy số?

Định lý về mỗi quan hệ giữa sai phân và đa thức
Cho đa thức ẩn n và có bậc bằng m như sau:
f (n) = a0 + a1n + a2n2
+ .... + amnm
khi đó ta có:
4k
f (n) =





Đa thức bậc m − k nếu k < m
Hằng số nếu k = m
0 nếu k > m
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:
2, 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, 66, 83, ....

Khái niệm chung về phương trình sai phân
Định nghĩa PTSP
Phương trình sai phân (PTSP) cấp k ở dạng tổng quát có dạng
như sau:
F(n, xn, 4xn, ...., 4k
xn) = 0
Trong đó hệ số của 4kxn khác không.
Chú ý: Theo định lý về biểu diễn của sai phân ta có một dạng
khác của PTSP cấp k như sau:
F(n, xn, xn+1, ...., xn+k) = 0
Trong đó hệ số của xn+k khác 0.

Nghiệm của PTSP
• Nghiệm tổng quát của PTSP cấp k là dãy số có dạng:
xn = f (n, C0, C1, ...., Ck−1)
Các Ci là các hằng số.
• Nghiệm riêng của PTSP thu được từ nghiệm tổng quát bằng các
cho các hằng số Ci , i = 0, 1, ..., k − 1 cụ thể.

PTSP tuyến tính cấp k
PTSP tuyến tính cấp k có dạng:
akxn+k + ak−1xn+k−1 + ... + a0xn = b
Trong đó ai (i = 0, 1, ..., k) và b là các hàm số của n. Và ak 6= 0
- Nếu các ai là hằng số thì ta có PTSP tuyến tính cấp k hệ số hằng
- Nếu b = 0 thì ta có PTSP tuyến tính thuần nhất. Ngược lại
b 6= 0 thì ta có PTSP tuyến tính không thuần nhất.

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
Phương trình sai phân cấp 1 có dạng: xn+1 = pxn + q (1)
trong đó: p, q là các hàm số của n. PTSP (1) còn được gọi là PT
Otonom
- Nếu q 6= 0 thì (1) gọi là PTSP không thuần nhất
- Nếu q = 0 thì (1) gọi là PTSP thuần nhất. Vậy dạng PTSP
thuần nhất tương ứng với (1) là:
xn+1 = pxn (2)

PTSP tuyến tính thuần nhất cấp 1 hệ số hằng
Dạng và cách giải
• PTSP TT thuần nhất cấp 1 hệ số hằng có dạng: xn+1 = pxn, p
là hằng số
• Cách giải: Dùng PP lặp ta có nghiệm tổng quát là:
xn = Cpn
, ở đó C = x0
Ví dụ: Giải các PTSP sau
a. xn+1 = 2xn b. xn+1 = −3xn c. xn+1 − 15xn = 0

PTSP tuyến tính không thuần nhất cấp 1 hệ số hằng
Dạng và cách giải
• PTSP TT không thuần nhất cấp 1 hệ số hằng có dạng:
(1) xn+1 = pxn + q(n), ở đóp là các hằng số
• Định lý: Nghiệm TQ của PTSP (1) bằng tổng của nghiệm TQ
của PTSP thuần nhất tương ứng và 1 nghiệm riêng của nó, tức là:
xn = x̄n + x∗
n
Ở đó: x̄n là nghiệm TQ của PTSP thuần nhất, x∗
n là một nghiệm
riêng của (1).
Như vậy, để giải được PTSP (1) thì điều quan trọng nhất là phải
tìm được 1 nghiệm riêng của nó. Sau đây là PP tìm nghiệm riêng
cho một số trường hợp cụ thể.

Phương pháp hệ số bất định
PTSP TT cấp 1: xn+1 = pxn + q(n)
• Dạng 1: q(n) là đa thức bậc k của n và p 6= 1:
Khi đó nghiệm riêng có dạng:
x∗
n = aknk
+ ak−1nk−1
+ .... + a1n + a0
a. xn+1 = 15xn − 14n + 1 b. xn+1 − 2xn = n

• Dạng 2: q(n) là đa thức bậc k của n và p = 1:
x∗
n = n(aknk
+ ak−1nk−1
+ .... + a1n + a0)
a. xn+1 = xn + 2n2
b. xn+1 − xn = n + 1

• Dạng 3: q(n) = Qk(n)αn và α 6= p
x∗
n = (aknk
+ ak−1nk−1
+ .... + a1n + a0)αn
a. xn+1 = 3xn + 2n
b. xn+1 − 2xn = 3n

• Dạng 4: q(n) = Qk(n)αn và α = p
x∗
n = n(aknk
+ ak−1nk−1
+ .... + a1n + a0)αn
a. xn+1 = 2xn + 2n
b. xn+1 − 7xn = 7.7n

PTSP TT không thuần nhất cấp 1 hệ số hằng
Định lý
Cho PTSP TT không thuần nhất cấp 1 có dạng:
xn+1 = pxn + q1(n) + q2(n) (1)
Giả sử y∗
n , z∗
n lần lượt là nghiệm riêng của các PTSP sau:
xn+1 = pxn + q1(n) và xn+1 = pxn + q2(n)
Khi đó x∗
n = y∗
n + z∗
n là một nghiệm riêng của PTSP (1).
Ví dụ: Giải PTSP sau:
xn+1 − 3xn = n + 1 + 6.3n

Phương pháp biến thiên hằng số
Phương pháp biến thiên hằng số
Giải PTSP TT cấp 1: xn+1 = pxn + q(n) (1)
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của PTSP thuần nhất tương ứng:
xn+1 = pxn là
xn = Cpn
Bước 2: Coi C = C(n) và tìm một nghiệm riêng của PTSP (1) có
dạng: x∗
n = C(n)pn
Bước 3: Kết luận: nghiệm TQ của PTSP (1) là: xn = Cpn + x∗
n
Ví dụ: Giải PTSP sau
a. xn+1 − 3xn = 6.3n
b. xn+1 = 5xn +
1
5
(n2
− 3n + 1)n!

PTSP tuyến tính cấp 2
Dạng tổng quát của PTSP TT cấp 2 là:
xn+2 + pxn+1 + qxn = r (1)
trong đó p, q, r là các hàm số của n. Trong trường hợp r = 0 thì
ta có PTSP TT cấp 2 thuần nhất như sau:
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0 (2)
Sau này ta chỉ tập trung nghiên cứu PTSP TT cấp 2 hệ số hằng
(p, q, r là các hằng số).

PTSP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Trường hợp 1. Nếu PT đặc trưng có 2 nghiệm thực phân biệt là
a1, a2 thì nghiệm tổng quát của (2) là
xn = C1an
1 + C2an
2, C1, C2 : constant
Trường hợp 2. Nếu PT đặc trưng có nghiệm kép là a0 thì nghiệm
tổng quát của (2) là
xn = (C1 + nC2)an
0, C1, C2 : constant

Trường hợp 3. Nếu PT đặc trưng có 2 nghiệm phức có dạng:
A ± Bi = ρ(cos α ± i sin α)
thì nghiệm tổng quát của (2) là
xn = ρn
(C1 cos nα + C2 sin nα)

Ví dụ: Giải các PTSP TT bậc 2 thuần nhất sau
a. xn+2 + 2xn+1 + 2xn = 0
b. xn+2 + 10xn+1 + 25xn = 0
c. xn+2 − 5xn+1 + 6xn = 0

PTSP tuyến tính cấp 2 (không thuần nhất)
Xét TPSP TT cấp 2
xn+2 + pxn+1 + qxn = r (1)
Cách giải:
Bước 1: Giải PTSP TT thuần nhất tương ứng
xn+2 + pxn+1 + qxn = 0 (2)
Giả sử nghiệm tổng quát của (2) là: x∗
Bước 2: Tìm một nghiệm riêng x̄ của (1)
Bước 3: Kết luận: nghiệm tổng quát của PT (1) là:
xn = x∗
+ x̄

Phương pháp tìm nghiệm riêng của PT (1): xn+2 +pxn+1 +qxn = r
• Nếu p + q 6= −1 thì nghiệm riêng của (1) có dạng xn = x̄ là
hằng số. Thay vào (1) ta xác định được là
x̄ =
r
p + q + 1
• Nếu p + q = 1 và p 6= −2 thì nghiệm riêng có dạng xn = αn.
Thay vào (1) ta được
α =
r
p + 2
, x̄ =
rn
p + 2

Phương pháp tìm nghiệm riêng của PT (1): xn+2 +pxn+1 +qxn = r
• Nếu p + q = 1 và p = −2 thì nghiệm riêng có dạng xn = αn2.
Thay vào (1) ta được
α =
r
2
, x̄ =
rn2
2

a. xn+2 + 4xn+1 + 3xn = 16
b. xn+2 − 8xn+1 + 16xn = 39
c. xn+2 − 2xn+1 + 4xn = 15
d. xn+2 + 5xn+1 − 6xn = 4

8. Slide_TCC cho Kinh te_Ch8-PT sai phan.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 8. Slide_TCC cho Kinh te_Ch8-PT sai phan.pdf

Similar to 8. Slide_TCC cho Kinh te_Ch8-PT sai phan.pdf (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (13)

8. Slide_TCC cho Kinh te_Ch8-PT sai phan.pdf