Thivao10 201451

Mục lục
PHẦN I: CÁC ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN 2
Đề thi Amsterdam 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Đề thi Chuyên Toán TP Hồ Chí Minh 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Đề thi Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương (chuyên) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Đề thi Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương (chung) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Đề thi Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Đề thi Chuyên Hà Tĩnh (chuyên) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Đề thi Chuyên Hà Tĩnh (chung) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Đề thi Chuyên Khánh Hòa (chung) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Đề thi Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai (chuyên) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Đề thi Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai (chung) 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Đề thi Chuyên Cần Thơ 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Đề thi Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Đề thi Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PHẦN II: CÁC ĐỀ THI VÀO 10 CÁC TỈNH 17
Đề thi tỉnh Hà Nam 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Đề thi tỉnh Vĩnh Phúc 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Đề thi tỉnh Khánh Hòa 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đề thi tỉnh Nghệ An 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Đề thi tỉnh Ninh Thuận 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Đề thi tỉnh Thừa Thiên Huế 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Đề thi tỉnh Phú Thọ 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Đề thi TP Hồ Chí Minh 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Đề thi tỉnh ĐăkLăk 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Đề thi tỉnh Cấn Thơ 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Đề thi tỉnh Đà Nẵng 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Đề thi tỉnh Bắc Giang 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Đề thi Thành phố Hà Nội 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Đề thi tỉnh Hà Tĩnh 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Đề thi tỉnh Lào Cai 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đề thi tỉnh Quảng Ninh 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Đề thi tỉnh Quảng Ngãi 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Đề thi tỉnh Đồng Tháp 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1

MỤC LỤC Bùi Quỹ - http://toanthpt.org 1
PHẦN III: HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 39
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Hà Nam 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Vĩnh Phúc 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Khánh Hòa 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Nghệ An 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Ninh Thuận 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Hướng dẫn giải đề Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương (chuyên) 2012 . . . . . . . . . . . . . . 56
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Đà Nẵng 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Hướng dẫn giải đề Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Hướng dẫn giải đề thi tỉnh Bắc Giang 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
NguoiDien - http://diendankienthuc.net

PHẦN I
CÁC ĐỀ THI
TRƯỜNG CHUYÊN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT AMSTERDAM
HÀ NỘI NĂM HỌC: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút
.
Câu 1.
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n5
+ 5n3
− 6n chia hết cho 30.
2. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n(n + 1) + 6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n2
+ n + 8
không phải là số chính phương
Câu 2.
1. Giải hệ:



x − 2y −
2
x
+ 1 = 0
x2
− 4xy + 4y2
−
4
x2
+ 1 = 0
2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: x2
+ y2
+ z2
= 2012. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = 2(xy − yz − zx)
Câu 3.
Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Một điểm A di động trên (O, R) sao
cho tam giác ABC là tam giác nhọn.Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
1. Đường thẳng chứa phân giác ngoài BHC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng
tam giác AMN cân.
2. Gọi E và F là hình chiếu của D trên BH và CH. Chứng minh OA vuông góc với EF.
3. Đường tròn ngoiaj tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác trong góc BAC tại K. Chứng minh
rằng HK luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4.
Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: (x + 1)(y + z) = xyz + 2
Câu 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.
Chứng minh rằng trong số 17 điểm A1, A2, . . . , A17 bất kỳ nằm trong tứ giác
ABCD luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơm 1cm
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1. (2,0 điểm) Giải phương trình
√
8x + 1 +
√
46x − 10 = −x3
+ 5x2
+ 4x + 1
Câu 2. (1,5 điểm)
Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3
+ bx2
+ cx + dvới a là một số nguyên dương và f(5) − f(4) = 2012.
Chứng minh f(7) − f(2) là hợp số. Câu 3. (2,0 điểm)
Cho đường tròn (O) có tâm O và đường tròn (I) có tâm I. Chúng cắt nhau tại hai điểm A, B (O
và I nằm khác phía đối với đường thẳng AB). Đường thẳng IB cắt (O) tại điểm thứ hai là E, đường
thẳng OB cắt (I) tại điểm thứ hai là F. Đường thẳng qua B song song với EF cắt (O) tại M và (I)
tại N. Chứng minh:
1. Tứ giác AOEF nội tiếp.
2. MN = AE + AF.
Câu 4. (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Tim min của biểu thức
F = 14(a2
+ b2
+ c2
) +
ab + bc + ca
a2b + b2c + c2a
Câu 5. (2,0 điểm) Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AC và BD vuông góc với nhau tại H. Gọi M là
điểm trên AB sao cho AM =
1
3
AB. N là trung điểm HC. Chứng minh DN vuông góc với MH.
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho 2013 điểm phân biệt sao cho với 3 điểm bất kỳ trong 2013
điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm coa khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại
một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa 1007 điểm trong 2013 điểm đã cho. (Hình tròn kể cả biên)
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NINH THUẬN NĂM HỌC: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (chuyên)
.
Câu 1.(2,0 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a2
(b − 2c) + b2
(c − a) + 2c2
(a − b) + abc
2. Cho x, y thỏa mãn x = 3
y − y2 + 1 + 3
y + y2 + 1. Tính giá trị của biểu thức:
A = x4
+ x3
y + 3x2
+ xy − 2y2
+ 1
1. Giải phương trình (x2
− 4x + 11)(x4
− 8x2
+ 21) = 35.
2. Giải hệ:
x +
√
x2 + 2012 y + y2 + 2012 = 2012
x2
+ z2
− 4(y + z) + 8 = 0
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2
+ n + 1 không chia hết cho 9.
2. Xét phương trình x2
− m2
x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để
phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là
các tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC. BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên CE.
1. Tính BIF.
2. Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp.
3. Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O). P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên
các đường thẳng DE và DF. Xác định vị trí của M để PQ lớn nhất.
Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B = (a + b + c + 3)
1
a + 1
+
1
b + 1
+
1
c + 1
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
HẢI DƯƠNG NĂM HỌC: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (chung)
.
1. Giải phương trình
x − 1
3
= x + 1
2. Giải hệ phương trình
x
√
3 − 3
√
3 = 0
3x + 2y = 11
Câu 2.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
P =
1
2
√
a − a
+
1
2 −
√
a
:
√
a + 1
a − 2
√
a
với a > 0 và a = 4
Một tam giác vuông có chu vi là 30 (cm), độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 (cm). Tính
độ dài các cạnh của tma giác vuông đó.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = 2x − m + 1 và Parabol (P) : y =
1
2
x2
.
1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(−1; 3).
2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) sao cho x1x2(y1+y2)+48 =
0.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC < BC (C = A).
Tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại D. AD cắt đường tròn (O) tại E (E = A).
1. Chứng minh BE2
= AE.DE
2. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB tại H. DO cắt BC tại F. Chứng minh tứ giác
CHOF nội tiếp.
3. Gọi I là giao điểm của AD và CH.Chứng minh I là trung điểm CH
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hai số dương a, b thỏa mãn
1
a
+
1
b
= 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Q =
1
a4 + b2 + 2ab2
+
1
b4 + a2 + 2ba2
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TRẦN PHÚ
HẢI PHÒNG NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.
1. Cho A =
15
√
x − 11
x + 2
√
x − 3
−
3
√
x − 2
√
x − 1
−
2
√
x + 3
√
x + 3
.
Rút gọn và tìm GTLN của A.
2. Cho phương trình x2
+ ax + b = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Biến a, b là hai số thực
thỏa mãn 5a + b = 22. Tìm hai nghiệm đó.
Câu 2.
1. Giải phương trình 4x2
− 6x + 1 = −
√
3
3
√
16x4 + 4x2 + 1.



4x2
− x +
1
y
= 1
y2
+ y − xy2
= 4
Câu 3.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng
a
b + c
+
4b
a + c
+
9c
a + b
> 4
Câu 4.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) đường kính AA′
. AD
là phân giác trong góc BAC (D nằm trên BC). M và I lần lượt là trung điểm của BC và AH.
1. Lấy K là điểm đối xứng với H qua AD. Chứng minh K nằm trên AA′
.
2. Chứng minh IM đi qua hình chiếu vuông góc của H trân AD.
3. Gọi P là giao điểm của AD và HM. Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q và R. Chứng
minh Q và R lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ P xuống AB và AC.
Câu 5.
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4
+ y4
+ z4
= 2012.
2. Cho một hình vuông có kích thước 12 x 12 được chia thành lưới các hình vuông đơn vị. Mỗi đỉnh
của các hình vuông đơn vị này được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Có tất cả 111 đỉnh
màu đỏ. Hai trong những đỉnh màu đỏ này nằm ở đỉnh của hình vuông lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác
nằm trên cạnh của hình vuông lớn (không trùng với đỉnh hình vuông lớn). Các cạnh của các hình

vuông đơn vị được tô màu theo luật sau: Cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ. Cạnh có
hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh.Cạnh có một đầu mút màu xanh và một đầu mút màu
đỏ được tô màu vàng. Giả sử có 66 cạnh vàng. Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN HÀ TĨNH
HÀ TĨNH NĂM HỌC: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chuyên)
.
Câu 1.
1. Giải hệ phương trình:
x2
+ 6x = 6y
y2
+ 9 = 2xy
2. Giải phương trình: 3
√
x + 6 +
√
x − 1 = x2
− 1
Câu 2.
1. Cho các số a, b, c, x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1;
a
x3
=
b
y3
=
c
z3
.
Chứng minh: 3
a
x2
+
b
y2
+
c
z2
= 3
√
a + 3
√
b + 3
√
c.
2. Tìm số nguyên m để phương trình x2
+ m(1 − m)x − 3m − 1 = 0 có nghiệm nguyên dương.
Câu 3.
Tam giác ABC có góc B, C nhọn, góc A nhỏ hơn 45o
nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm. M
là một điểm nằm trên cung nhỏ BC (M không trùng B, C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng với M
qua AB và AC.
1. Chứng minh rằng tứ giác AHCP nội tiếp và ba điểm N, H, P thẳng hàng.
2. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ANP là lớn nhất.
Câu 4.
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 8. Chứng minh:
a + b + c
2
≥
2 + a
2 + b
+
2 + b
2 + c
+
2 + c
2 + a
Câu 5.
Cho 2012 số thực a1, a2,
..., a2012 có tính chất tổng của 1008 số bất kỳ lớn hơn tổng của
1004 số còn lại. Chứng minh trong 2012 số thực đã cho có ít nhất 2009 số thực dương.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chung)
.
Câu 1.
Cho biểu thức
M = 2 +
x +
√
x
√
x + 1
1 − 2
√
x − x +
1
−
x
√
x1 −
√
x
1. Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa.
2. Với giá trị nào của x thì P =
2
M
có giá trị nguyên.
Câu 2.
Cho phương trình x2
− 2ax + 3a − 5 = 0.
1. Giải phương trình khi a = −1.
2. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x1 + x2 = 0.
Câu 3.
1. Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
1
x(x + 2y)
+
1
y(y + 2x)
√
x + 1 + x + 3 =
√
1 − x + 3
√
1 − x2.
Câu 4.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi (O) là đường tròn đi qua hai điểm B, C sao
cho tâm O không thuộc đoạn BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AE, AF tới (O) (E và F là các tiếp điểm).
Các điểm I, N theo thứ tự là trung điểm của BC và EF.
1. Chứng minh năm điểm A, E, F, I, O cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh khi (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI thuộc một đường thẳng
cố định.
Câu 5.
Cho các số a, b, c thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Chứng minh:
a3
+ b2
+ c ≤ 1 + ab + bc + ca
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN KHÁNH HÒA
KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2012-2013
.
Cho biểu thức A =
−x + 27
√
x + 32
x + 2
√
− 15
−
√
x + 5
√
x − 3
+
3
√
x − 1
√
x + 5
1. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. Rút gọn A.
2. Tìm các giá trị x để A < 1.
x2
− x
x2 − 4
=
1
2
1
x − 2
−
1
x + 2



3
x − 2
+
2
y + 1
=
11
3
2x − 2
x − 2
+
y
y + 1
=
14
3
1. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình x2
− 2(m − 3)x + 2m − 12 = 0 có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 thỏa mãn x3
1 + x3
2 = 0.
2. Cho hai số dương x, y sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
1
xy
+
1
x2 + y2
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M bất kỳ trên BC (M = B, C
và MB = MC) kẻ các đường song song với các cạnh bên của tam giác ABC cắt AB, AC lần lượt tại
P và Q. Gọi D là điểm đối xứng với M qua đường thẳng PQ.
1. Chứng minh ACD = QDC.
2. Chứng minh ∆APD = ∆DQA.
3. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
ĐỒNG NAI NĂM HỌC: 2012-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán (Chuyên)
.
− 16x2
+ 32 = 0 (với x ∈ R).
Chứng minh rằng x = 6 − 3 2 +
√
3 − 2 + 2 +
√
3 là một nghiệm của phương trình đã cho.
Giải hệ phương trình
2x(x + 1)(y + 1) + xy = −6
2y(y + 1)(x + 1) + yx = 6
với x, y ∈ R
Cho tam giác đều MNP có cạnh bằng 2(cm). Lấy n điểm thuộc các cạnh hoặc ở phía trong tam
giác đều MNP sao cho khoảng cách giữa hai điểm tùy ý lớn hơn 1(cm) (với n là số nguyên dương).
Tìm n lớn nhất thỏa mãn điều kiện đã cho.
Chứng minh rằng trong 10 số nguyên dương liên tiếp không tồn tại hai số có ước chung lớn hơn 9.
Cho tam giác ABC không là tam giác cân, biết tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi
D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn (I). Gọi M là giao điểm của EF và
BC, biết AD cắt đường tròn (I) tại N (N không trùng với D), gọi K là giao điểm của AI và EF.
1. Chứng minh bốn điểm I, D, N, K cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn (I).
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH
ĐỒNG NAI NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Giải các phương trình:
a) x4
− x2
− 20 = 0.
b)
√
x + 1 = x − 1.
|x| + |y − 3| = 1
y − |x| = 3
Cho Parabol y = x2
(P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số.
1. Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9.
2. Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm này
bằng
√
6.
1. Tính P =
1
2 −
√
3
−
1
2 +
√
3
.
√
3 − 1
3 −
√
3
.
2. Chứng minh a5
+ b5
≥ a3
b2
+ a2
b3
biết rằng a + b ≥ 0.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn
này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E.
1. Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng.
3. Cho biết AB = 3(cm), BC = 5(cm). Tính diện tích tứ giác BDEC.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
THÀNH PHỐ CẦN THƠ NĂM HỌC: 2012-2013
.
Cho biểu thức P =
2a + 4
√
a − 6
√
a + 3
:
2a − 2
√
a
(a > 0, a = 1)
1. Rút gọn P.
2. Chứng minh rằng P2012
< 1
Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh x2
+ y2
+ z2
≥ xy + yz + zx.
Dấu ” = ” xảy ra khi nào?
xy + x + y = 19
x2
y + xy2
= 84
2. Tìm m nguyên để phương trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
x2
+ 2mx + 3m2
− 8m + 6 = 0
Cho x, y, z, t không âm thỏa mãn điều kiện



x + 7y = 50
x + z = 60
y + t = 15
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2x + y + z + t
Cho đường tròn (O), dây cung AB (AB < 2R). Một điểm M chạy trên cung nhỏ AB. Xác định vị
trí của M để chu vi ∆MAB đạt giá trị lớn nhất.
Cho đường tròn (O, R), vẽ dây cung AB < 2R. Các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O) cắt nhau
tại M. Gọi I là trung điểm MA và K là giao điểm của BI với (O).
1. Gọi H là giao điểm của MO và AB, kẻ dây cung KF qua H. Chứng minh MO là phân giác của
KMF.
2. Tia MK cắt đường tròn (O) tại C (C = K). Chứng minh tam giác ABC cân tại A.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
ĐÀ NẴNG NĂM HỌC: 2012-2013
.
Cho biểu thức D =
√
a +
√
b
1 −
√
ab
+
√
a −
√
b
1 − ab
: 1 +
a + b + 2ab
1 − ab
với a, b > 0, ab = 1.
1. Rút gọn biểu thức D.
2. Tính giá trị của D với a =
2
2 −
√
3
.
√
x − 1 +
√
4 + x = 3
x + y + xy = 7
x2
+ y2
= 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y =
1
2
x2
và đường thẳng (d) có
hệ số góc m và đi qua điểm I(0; 2).
1. Viết phương trình đường thẳng (d).
2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
3. Gọi x1, x2 là hoành độ hai giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị của m để x3
1 + x3
2 = 32
Từ điểm A nằm ngoài đường tòn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (B và C là các
tiếp điểm). Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa A và E, dây DE không
đi qua tâm O). Gọi H là trung điểm của DE, AE cắt BC tại K.
1. Chứng minh năm điểm A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh AB2
= AD.AE
3. Chứng minh
2
AK
=
1
AD
+
1
AE
Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn
1
a
+
1
b
+
1
c
= 0.
Chứng minh
ab
c3
+
bc
a3
+
ac
b3
= 3
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN HẠ LONG
QUẢNG NINH NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.(1,5 điểm) Cho biểu thức:
A = 1 −
2
√
a
a + 1
:
1
√
a + 1
−
2
a
√
a +
√
a + a + 1
với a ≥ 0, a = 1
1. Rút gọn A.
2. Tính giá trị biểu thức A khi a = 2013 + 2
√
2012
1. Giải hệ
x(1 + y) = 5 − y
x2
y = 4 − xy2
+ 3x + 3 = 4x
√
x + 3 + 2
√
2x − 1
Câu 3.(1,5 điểm) Tìm m để phương trình x2
− (m + 2)x + m2
+ 1 = 0 có các nghiệm x1, x2 thỏa
mãn hệ thức: x2
1 + 2x2
2 = 3x1x2 Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên cạnh BC, CD
lấy 2 điểm E, F thay đổi sao cho EAF = 45o
( E thuộc BC, F thuộc CD, E khác B và C). Đường
thẳng BD cắt hai đoạn thẳng AE và AF lần lượt tại M và N. Đường thẳng đi qua A và giao điểm của
EN, MF cắt EF tại H.
1. Chứng minh rằng AH vuông góc với EF.
2. Chứng minh rằng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
3. Tìm vị trí của E, F để diện tích tam giác FEC đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn x + y = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
P =
4x + y
xy
+
2x − y
4
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

PHẦN II
CÁC ĐỀ THI VÀO 10
CÁC TỈNH THÀNH

HÀ NAM NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.(1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
1. A = 2
√
5 + 3
√
45 −
√
500
2. B =
8 − 2
√
12
√
3 − 1
−
√
8
1. Giải phương trình: x2
− 5x + 4 = 0.
3x − y = 1
x + 2y = 5
.
Câu 3.(2,0 điểm):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình y = x2
và đường thẳng (d) có phương
trình y = 2mx − 2m + 3 (m là tham số)
1. Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2.
2. Chứng minh rằng: (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Gọi y1 và y2 là tung độ
các giao điểm của (P) và (d). Tìm m để y1 + y2 < 9.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M
(M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc với AB
(H ∈ AB), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác AKNH là tứ giác nội tiếp.
2. AM2
= MK.MB
3. Góc KAC bằng góc OMB.
4. N là trung điểm của CH.
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a ≥ 1; b ≥ 4; c ≥ 9.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
bc
√
a − 1 + ca
√
b − 4 + ab
√
c − 9
abc
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

VĨNH PHÚC NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức P =
x
x − 1
+
3
x + 1
−
6x − 4
x2 − 1
.
1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
2. Rút gọn P.
Câu 2.(2,0 điểm) Cho hệ phương trình:
2x + ay = −4
− 3y = 5
1. Giải hệ phương trình với a = 1.
2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 3.(2,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi
chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho. Câu 4.
(3,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) (Điểm O cố định, giá trị R không đổi) và điểm M nằm ngoài (O).
Kẻ hai tiếp tuyến MB, MC (B, C là các tiếp điểm) của (O) và tia Mx nằm giữa hai tia MB và MC.
Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đường thẳng này cắt (O) tại điểm thứ hai là A. Vẽ đường
kính BB′
của (O). Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BB′
, đường thẳng này cắt MC và B′
C lần
lượt tại K và E. Chắng minh rằng:
1. Bốn điểm M, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
2. Đoạn thẳng ME = R.
3. Khi điểm M di động mà OM = 2R thì điểm K di động trên mọt đường tròn cố định. Chỉ rõ tâm
và bán kính của đường tròn đó.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 4. Chứng minh rằng
4
√
a3 +
4
√
b3 +
4
√
c3 ≥ 2
√
2
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Đơn giản biểu thức A =
√
2 +
√
3 +
√
6 +
√
8 + 4
√
2 +
√
3 +
√
4
.
2. Cho biểu thức: P = a −
1
√
a −
√
a − 1
−
1
√
a +
√
a − 1
(với a ≥ 1).
Rút gọn P và chứng tỏ P ≥ 0
1. Cho phương trình bậc hai x2
+ 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Hãy lập một phương trình bậc
hai có hai nghiệm lần lượt là (x2
1 + 1) và (x2
2 + 1).



2
x
+
3
y − 2
= 4
4
x
−
1
y − 2
= 1
Câu 3.(2,0 điểm) Quãng đường từ A đến B dài 50Km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với
vận tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ. Muốn đến B đúng thời gian
đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 2Km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của
người đi xe đạp.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Vẽ hình bình hành BHCD.
Đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E
1. Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh BAE = DAC.
3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Đường thẳng
AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
4. Giả sử OD = a. Hãy tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC theo a.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

NGHỆ AN NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.(2,5 điểm) Cho biểu thức
A =
1
√
x + 2
+
1
√
x − 2
.
√
x − 2
√
x
1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2. Tìm tất cả các giá trị của x để A >
1
2
.
3. Tìm tất cả các giá trị của x để B =
7
3
A là một số nguyên.
Trên quãng đường AB dài 156km, một người đi xe máy từ A và một người đi xe đạp từ B. Hai
xe xuất phát cùng lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau. Biết rằng vận tốc xe máy lớn hơn vận tốc xe đạp là
28km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Cho phương trình: x2
− 2(m − 1)x + m2
− 6 = 0, m là tham số.
1. Giải phương trình với m = 3.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2
1 + x2
2 = 16.
Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA; MB (A, B là các tiếp điểm) và cát
tuyến MCD không đi qua O (C nằm giữa M và D) với đường tròn (O).Đoạn thẳng AM cắt AB và
đường tròn (O) theo thứ tự tại H và I. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2. MC.MD = MA2
3. OH.OM + MC.MD = MO2
4. CI là phân giác của MCH
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

.
2x + y = 3
x + 3y = 4
2. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
(m + 2)x + (m + 1)y = 3
x + 3y = 4
(m là tham số).
Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số y = x2
và y = x + 2.
1. Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
2. Bằng phép tính hãy xác định tọa độ các giáo điểm A, B của hai đồ thị trên (điểm A có hoành độ
âm).
3. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
Câu 3.(1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức (
√
10− =
√
2) 3 +
√
5.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AC = 2R. Từ một điểm E ở trên đoạn OA (E không trùng với
A và O). Kẻ dây BD vuông góc với AC. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O).
1. Chứng minh rằng: AB = CI.
2. Chứng minh rằng: EA2
+ EB2
+ EC2
+ ED2
= 4R2
.
3. Tính diện tích của đa giác ABICD theo R khi OE =
2R
3
Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng
3
4
(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Cho biểu thức C =
5 + 3
√
5
√
5
+
3 +
√
3
√
3 + 1
− (
√
5 +
√
3). Chứng tỏ rằng C =
√
3.
2. Giải phương trình: 3
√
x − 2 −
√
x2 − 4 = 0
Câu 2.(2,0 điểm) Cho hàm số y = x2
có đồ thị (P) và đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) có hệ số góc
k = 0.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị k = 0, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A
và B.
2. Gọi xA và xB là hoành độ hai điểm A và B. Chứng minh rằng xA + xB − xAxB − 2 = 0
1. Một xe lửa đi từ ga A đến ga B. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ ga B đến ga A với
vận tốc lớn hơn vận tốc xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe lửa gặp nhau tại một ga cách B 300km.
Tìm vận tốc của mỗi xe biết rằng quãng đường sắt từ ga A đến ga B dài 645km.



2(x + y) = 5(x − y)
20
x + y
+
20
x − y
= 7
Cho một nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến
AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O)
tại D (Tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao
điểm của BF với DO. K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).
1. Chứng minh: AO.AB = AF.AD
2. Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp.
3. Kẻ OM⊥BC (M thuộc đoạn thẳng AD). Chứng minh
BD
DM
−
DM
AM
= 1
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật OABC. Gọi CH là đường cao của tam giác COB. CH = 20cm.
Khi hình chữ nhật OABC quay một vòng quanh cạnh OC cố định ta được một hình trụ. Khi đó tam giác
OHC tạo thành hình (H). Tính thể tích của phần hình trụ nằm bên ngoài hình (H) (cho π ≈ 3, 1416).
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

PHÚ THỌ NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Giải phương trình: 2x − 5 = 1.
2. Giải bất phương trình 3x − 1 > 5.
3x + y = 3
2x − y = 7
2. Chứng minh rằng
1
3 +
√
2
+
1
3 −
√
2
=
6
7
− 2(m − 3)x − 1 = 0.
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 mà biểu thức A = x2
1 − x1x2 + x2
2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm, vẽ đường tròn tâm B bán kính AB. Lấy C làm tâm
vẽ đường tròn tâm C bán kính AC. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là D. Vẽ AM, AN
lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M
và N.
1. Chứng minh rằng ∆ABC = ∆ABC
2. Chứng minh rằng ABDC là tứ giác nội tiếp.
3. Chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng.
4. Xác định vị trí các dây AM; AN trên đường tròn (B) và C sao cho MN có độ dài lớn nhất.
Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
x2
− 5y2
− 8y = 3
(2x + 4y − 1)
√
2x − y − 1 = (4x − 2y − 3)
√
x + 2y
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

.
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1. 2x2
− x − 3 = 0.
2.
2x − 3y = 7
3x + 2y = 4
3. x4
+ x2
− 12 = 0.
4. x2
− 2
√
2x − 7 = 0
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
1
4
x2
và đường thẳng (d) : y = −
x
2
+ 2 trên cùng một hệ trục tọa
độ.
2. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu 3.(1,5 điểm) Thu gọn các biểu thức sau:
1. A =
1
x +
√
x
+
2
√
x
x − 1
−
1
x −
√
x
với x > 0; x = 1.
2. B = (2 −
√
3) 26 + 15
√
3 − (2 +
√
3) 26 − 15
√
3
− 2mx + m − 2 = 0
1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức M =
−24
x2
1 + x2
2 − 6x1x2
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Cho đường tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn. Đường thẳng OM cắt (O) tại E
và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC (C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B, A và
C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).
1. Chứng minh MA.MB = ME.MF

2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng MO. Chứng minh rằng tứ giác AHOB
nội tiếp.
3. Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF, nửa đường
tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) tại K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF.
Chứng minh rằng đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.
4. Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS. T là trung điểm
của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

ĐĂKLĂK NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Giải các phương trình sau:
a) 2x2
− 7x + 3 = 0 b) 9x4
+ 5x2
− 4 = 0
2. Tìm hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua hai điểm A(2; 5) và B(−2; −3)
1. Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai 10km/h
nên đến B sớm hơn 1 giờ so với xe thứ hai. Tính vận tốc mỗi xe.
2. Rút gọn biểu thức: A = 1 −
1
√
x + 1
(x +
√
x) (x ≥ 0).
− 2(m + 2)x + m2
+ 4m + 3 = 0
1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
2. Tìm giá trị của m để biểu thức A = x2
1 + x2
2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và
C cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. E là trung điểm AD, EC cắt đường
tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác OEBM nội tiếp.
2. MB2
= MA.MD.
3. BFC = MOC.
4. BF // AM.
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + 2y = 3. Chứng minh rằng
1
x
+
2
y
≥ 3.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

TP CẦN THƠ NĂM HỌC: 2012-2013
.
Câu 1.(2,0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau:
1.
x + y = 43
3x − 2y = 19
2. |x + 5| = 2x − 18
3. x2
− 12x + 36 = 0
4.
√
x − 2011 +
√
4x − 8044 = 3
Câu 2.(1,5 điểm) Cho biểu thức
K = 2
1
√
a − 1
−
1
√
a
:
√
a + 1
a2 − a
( với a > 0, a = 1)
1. Rút gọn biểu thức K.
2. Tìm a để K =
√
2012.
Cho phương trình (x là ẩn số): x2
− 4x − m2
+ 3 = 0 (∗)
1. Chứng minh rằng phương trình (∗) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 = −5x1.
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được
1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm
6km/h. Tính vận tốc ban đầu của ô tô.
Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B và C là tiếp
điểm). OA cắt BC tại E.
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2. Chứng minh BC vuông góc với OA và BA.BE = AE.BO
3. Gọi I là trung điểm của BE, đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt các tia AB, AC theo
thứ tự tại D và F. Chứng minh IDO = BCO và ∆DOF cân tại O.
4. Chứng minh F là trung điểm của AC.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

ĐÀ NẴNG NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 0
2x + y = −1
x − 2y = 7
Câu 2.(1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
A = (
√
10 −
√
2) 3 +
√
5
Câu 3.(1,5 điểm) Biết rằng đường cong tronh hình vẽ là một Parabol y = ax2
Hình vẽ xO
y
2
2
y = ax2
1. Tìm hệ số a.
2. Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với Parabol. Tìm các tọa độ của M, N
− 2x − 3m2
= 0, với m là tham số.
1. Giải phương trình khi m = 1.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa mãn điều kiện
x1
x2
−
x2
x1
=
8
3
Cho hai đường tròn (O) và (O′
) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O) và
C ∈ (O′
). Đường thẳng BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D.
1. Chứng minh rằng tứ giác CO′
OB là một hình thang vuông.
2. Chứng minh ba điểm A, C, D thẳng hàng.
3. Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O′
) (E là tiếp điểm). Chứng minh rằng DB = DE.
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

BẮC GIANG NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Tính
1
√
2 − 1
−
√
2
2. Xác định giá trị của a biết đồ thị hàm số y = ax − 1 đi qua điểm M(1; 5)
Câu 2.(3,0 điểm) Cho hai hàm số y = x2
và y = x + 2.
1. Rút gọn biểu thức: A =
1
√
a − 2
−
2
a − 2
√
a
a − 3
√
a + 2
√
a − 2
+ 1 với a > 0, a = 4
2x − 5y = 9
3x + y = 5
3. Chứng minh rằng phương trình x2
+ mx + m − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
x2
1 + x2
2 − 4(x1 + x2)
Câu 3.(1,5 điểm) Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ô tô taxi
cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe ô tô tải. Tính độ dài quãng
đường AB. Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ hai
tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O), với P và Q là hai tiếp điểm. Lấy M thuộc đường tròn (O)
sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O).
Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
1. Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh KA2
= KN.KP
3. Kẻ đường kính QS của đường tròn (O). Chứng minh tia NS là tia phân giác của góc PNM.
4. Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính
R.
Câu 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác không và thỏa mãn:
a2
(b + c) + b2
(c + a) + c2
(a + b) + 2abc = 0
a2013
+ b2013
+ c2013
= 1
Hãy tính giá trị của biểu thức Q =
1
a2013
+
1
b2013
+
1
c2013
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Cho biểu thức A =
√
x + 4
√
x + 2
. Tính giá trị biểu thức A khi x = 36.
2. Rút gọn biểu thức B =
√
x
√
x + 4
+
4
√
x − 4
:
x + 16
√
x + 2
với x ≥ 0, x = 16.
3. Với biểu thức A và B ở trên. Hãy tìm giá trị của x để biểu thức B(A − 1) là một số nguyên.
Câu 2.(2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Hai người cùng làm chung công việc hết
12
5
giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người
thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải
làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?



2
x
+
1
y
= 2
6
x
−
2
y
= 1
− (4m − 1)x + 3m2
− 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 và x2
1 + x2
2 = 7.
Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O, R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh ACM = ACK.
3. Trên đoạn BM lấy E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại
C.
4. Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm
P và C nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB và
AP.MB
MA
= R. Chứng minh PB đi qua trung
điểm của HK.
Câu 5. (0,6 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức M =
x2
+ y2
xy
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

.
1. Trục căn thức ở mẫu của biểu thức:
5
√
6 − 1
.
2x − y = 7
x + 2y = 1
Câu 2.(2,0 điểm) Cho biểu thức P =
4a
√
a − 1
−
√
a
a −
√
a
.
√
a − 1
a2
với a > 0 và a = 1.
1. Rút gọn biểu thức P.
2. Với gí trị nào của a thì P = 3
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(−1; 2) và song song
với đường thẳng y = 2x + 1. Tìm a và b.
2. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2
+ 4x − m2
− 5m = 0. Tìm các giá trị của m sao cho
|x1 − x2| = 4.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AD
và BE cắt nhau tại H (D ∈ BC và E ∈ AC).
1. Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn.
2. Tia AO cắt đường tròn (O) tại K (K = A). Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.
3. Gọi F là giao điểm của tia CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
AD
HD
+
BE
HE
+
CF
HF
.
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm.
x2
− 4x − 2m|x − 2| − m + 6 = 0
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

LÀO CAI NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Thực hiện phép tính:
a) 3
√
2 − 10 +
√
36 + 64
b) (
√
2 − 3)2 + 3
(
√
2 − 5)3
2. Cho biểu thức P =
2a2
+ 4
1 − a3
−
1
1 +
√
a
−
1
1 −
√
a
.
a) Tìm điều kiện của a để P xác định.
b) Rút gọn biểu thức P.
1. Cho hai hàm số bậc nhất y = −x + 2 và y = (m + 3)x + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị của
hàm số đã cho là:
a) Hai đường thẳng cắt nhau.
b) Hai đường thẳng song song.
2. Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2
(a = 0) đi qua điểm M(−1; 2).
1. Giải phương trình x2
− 7x − 8 = 0.
− 2x + m − 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình
có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x3
1x2 + x1x3
2 = −6
3x − 2y = 1
−x + 3y = 2
2. Tìm m để hệ phương trình
2x − y = m − 1
3x + y = 4m + 1
có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1
Câu 5. (3,0 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng phía với
nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là
tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).

1. Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
3. Chứng minh ADE = ACO
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

QUẢNG NINH NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Rút gọn biểu thức:
a) A = 2
1
2
+
√
18
b) B =
1
√
x − 1
+
1
√
x + 1
−
1
x − 1
với x ≥ 0, x = 1.
2x + y = 5
x + 2y = 4
Câu 2.(3,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2
− ax − 2 = 0 (∗)
1. Giải phương trình (∗) với a = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (∗). Tìm giá trị của a để biểu thức:
N = x2
1 + (x1 + 2)(x2 + 2) + x2
2 có giá trị nhỏ nhất.
Câu 3.(2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Quãng đường sông AB dài 78 km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B. Sau đó 1 giờ, một chiếc
ca nô đi từ B về phía A. Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B một khoảng 36km. Tính thời gian
của thuyền, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận tốc của ca nô lớn
hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h.
Câu 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D (D = A; D = C). Đường
tròn (O) Đường kính DC cắt BC tại E (E = C).
1. Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp.
2. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Chứng minh ED là tia phân giác của
góc AEI.
3. Giả sử tan ABC =
√
2. Tìm vị trí của D trên AC để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường
kính DC.
Câu 5. (1,0 điểm) Giải phương trình
7 + 2
√
x − x = (2 +
√
x)
√
7 − x
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

QUẢNG NGÃI NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Thực hiện phép tính: (
√
2 − 1)(
√
2 + 1)
x − y = 1
2x + 3y = 7
+ 8x − 1 = 0
Câu 2.(2,0 điểm) Cho Parabol (P) : y = x2
và đường thẳng (d) : y = 2x + m2
+ 1 (m là tham số).
1. Xác định tất cả các giá trị của m để (d) song song với (d′
) : y = 2m2
x + m2
+ m.
2. Chứng minh với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.
3. Ký hiệu xA, xB là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho: x2
A + x2
B = 14.
Câu 3.(2,0 điểm) Hai xe ô tô cùng đi từ cảng Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh, xe thứ hai đến
sớm hơn xe thứ nhất là 1 giờ. Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km mỗi giờ, xe thứ hai vẫn
giữ nguyên vận tốc nhưng dừng lại nghỉ ở một điểm trên đường hết 40 phút, sau đó về đến cảng Dung
Quất cùng lúc với xe thứ nhất. Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết chiều dài quãng đường từ cảng
Dung Quất đến khu du lịch Sa Huỳnh là 120 km và khi đi hay về hai xe đều xuất phát cùng một lúc.
Câu 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường
tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại I cắt tia BC
tại M và cắt đoạn AC tại P. AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K.
1. Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng.
3. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn (O) cắt nhau tại Q. Tính diện tích tứ giác QAIM theo
R khi BC = R.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x2
+ y2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
−2xy
1 + xy
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

ĐỒNG THÁP NĂM HỌC: 2012-2013
.
1. Tìm các số là căn bậc hai của 36.
2. Cho A = 3 − 2
√
5 và B = 3 + 2
√
5. Tính A + B.
3. Rút gọn biểu thức sau: C =
√
x + 1
√
x − 3
−
4
x − 9
:
1
√
x + 3
với x ≥ 0, x = 9.
2x + y = 5
x − y = 1
2. Xác định hệ số b của hàm số y = 2x + b biết khi x = 2 thì y = 3.
1. Cho hàm số y = ax2
(a = 0). Tìm hệ số a của hàm số biết khi x = −1 thì y = 1.
2. Cho hàm số y = x2
có đồ thị hàm (P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là (d). Hãy xác định tọa độ
giao điểm của (d) và (P) bằng phương pháp đại số.
+ 5x + 3 = 0 (1)
a) Tính biệt thức ∆ (denlta) và cho biết số nghiệm của phương trình (1).
b) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1). Dùng hệ thức Vi-et để tính: x1 + x2; x1x2.
2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Hai ô tô khởi hành cùng lúc đi từ A đến B dài 100 km. Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô
tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn 30 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
1. Cho tam giác MNP cân tại M đường cao MH (H ∈ NP). Từ H kẻ HE⊥MN (E ∈ MN).
a) Biết MN = 25cm, HN = 15cm. Tính MH, ME.
b) Đường thẳng đi qua E song song với NP cắt MP tại F. Tứ giác NPFE là hình gì? tại sao?

2. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ AH vuông góc
với BC (H ∈ BC). Trên cung nhỏ AC lấy điểm D bất kỳ (D khác A và C), dây BC cắt AH tại
E.
a) Chứng minh DEHC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AB2
= BE.BD
- - - - - - - - - - - - - - - - HẾT- - - - - - - - - - - - - - - -

PHẦN III
HƯỚNG DẪN
GIẢI ĐỀ

HƯỚNG DẪN ĐỀ HÀ NAM 2012
.
Câu 1. Rút gọn:
1. A = 2
√
5 + 2
√
45 −
√
500 = 2
√
5 + 3.
√
9
√
5 −
√
100
√
5
= 2
√
5 + 9
√
5 − 10
√
5 =
√
5.
2. B =
8 − 2
√
12
√
3 − 1
−
√
8 =
2(3 − 2
√
3 + 1)
√
3 − 1
− 2
√
2
=
√
2(
√
3 − 1)
√
3 − 1
− 2
√
2 =
√
2 − 2
√
2 = −
√
2
Câu 2.
1. Giải phương trình: x2
− 5x + 4 = 0
Do 1 + (−5) + 4 = 0. Áp dụng hệ quả định lý Vi-et ta có phương trình có một nghiệm x1 = 1 và
nghiệm còn lại x2 =
4
1
= 4.
3x − y = 1 (1)
x + 2x = 5 (2)
Nhân phương trình (1) với 2 ta được hệ:
6x − 2y = 2 (1′
)
x + 2y = 5 (2)
Lấy phương trình (1′
) cộng với phương trình (2) ta được 7x = 7 ⇒ x = 1.
Thế x = 1 vào phương trình (1) ta có 3 − y = 1 ⇒ y = 2.
Vậy hệ có nghiệm
x = 1
y = 2
Câu 3.
1. Ta có: Mọi điểm thuộc (P) đều có tọa độ dạng (xo; x2
o). Các điểm trên (P) có tung độ bằng 2 thì
x2
o = 2 ⇔ xo = ±
√
2.
Vậy trên (P) có hai điểm A(
√
2; 2) và B(−
√
2; 2) là các điểm có tung độ bằng 2.
2. Ta có: Hoành độ giao điểm (nếu có) của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2
= 2mx −
2m + 3 (1)
Xét phương trình (1):
(1) ⇔ x2
− 2mx + 2m − 3 = 0.
Ta có ∆
′
= m2
− 2m + 3 = (m2
− 2m + 1) + 2 = (m − 1)2
+ 2 > 0 ∀m. Do đó phương trình (1)
luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m hay (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt ∀m.

Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (P) và (d). Khi đó các tung độ tương ứng là y1 và y2
thỏa mãn y1 = x12
và y2 = x2
2.
Khi đó y1 + y2 = x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2
− 2x1x2.
Mặt khác, x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý V i − et ta có:



x1 + x2 = −
b
a
= 2m
x1x2 =
c
a
= 2m − 3
Suy ra y1 + y2 = (x1 + x2)2
− 2x1x2 = (2m)2
− 2(2m − 3) = 4m2
− 4m + 6
y1 + y2 < 9 ⇔ 4m2
− 4m + 6 < 9.
⇔ 4m2
− 4m − 3 < 0.
⇔ (2m − 3)(2m + 1) < 0 ⇔ −
1
2
< m <
3
2
Câu 4.
Hình vẽ:
A B
CK
I
N
M
O H
1. Do AKN = 90o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Và AHN = 90o
(do CH⊥AB)
Từ đó suy ra tứ giác AKNH có hai điểm K và H cùng nhìn AN dưới một góc vuông. Vậy tứ
giác AKNH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.
2. Xét hai tam giác vuông MKA và MAB có AMB chính là KMA suy ra hai tam giác này đồng
dạng.
⇒
AM
MB
=
MK
AM
⇒ MA2
= MK.MB
3. Ta có: OM⊥AC (đường nối tâm và cung chắn bởi hai tiếp điểm)
và AK⊥MB (do AKB = 90o
)
KAC = OMB (góc có cạnh tương ứng vuông góc).

4. Gọi giao điểm của AC và MO là I. Từ trên ta suy ra tứ giác AIKM nội tiếp suy ra IKN = IAM
Do CH//MA nên NCI = IMA (so le trong).
Từ đó suy ra: IKN = NCI ⇒ tứ giác CKIN là tứ giác nội tiếp.
⇒ CKN = CKB ⇒ CIN = CAB ⇒ NI//AB.
Do I là trung điểm AC nên N là trung điểm CH.
Câu 5. Biến đổi:
P =
bc
√
a − 1 + ca
√
b − 4 + ab
√
c − 9
abc
=
√
a − 1
a
+
√
b − 4
b
+
√
c − 9
c
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
√
a − 1 = 1.
√
a − 1 ≤
1 + a − 1
2
=
a
2
. Đẳng thức xảy ra khi
√
a − 1 = 1 ⇒ a = 2.
.
√
b − 4 =
1
2
.2.
√
b − 4 ≤
1
2
.
4 + b − 4
2
=
b
4
√
b − 4 = 2 ⇒ b = 8.
.
√
c − 9 =
1
3
.3.
√
c − 9 ≤
1
3
.
9 + c − 9
2
=
c
6
√
c − 9 = 3 ⇒ c = 18.
.
Suy ra:
.
P =
√
a − 1
a
+
√
b − 4
b
+
√
c − 9
c
≤
a
2
1
a
+
b
4
.
1
b
+
c
6
.
1
c
=
1
2
+
1
4
+
1
6
=
11
12
.
.
Vậy Pmax =
11
12
khi a = 2; b = 8; c = 18.

HƯỚNG DẪN ĐỀ VĨNH PHÚC 2012
.
Câu 1.
1. Điều kiện:



x − 1 = 0
x + 1 = 0
x2
− 1 = 0
⇔
x = 1
x = −1
2. P =
x
x − 1
+
3
x + 1
−
6x − 4
x2 − 1
=
x
x − 1
+
3
x − 1
+
6x − 4
(x − 1)(x + 1)
=
x(x + 1) + 3(x − 1) − (6x − 4)
(x − 1)(x + 1)
=
x2
+ x + 3x − 3 − 6x + 4
(x − 1)(x + 1)
=
x2
− 2x + 1
(x − 1)(x + 1)
=
(x − 1)2
(x − 1)(x + 1)
=
x − 1
x + 1
với mọi x = ±1.
Câu 2.
1. Với a = 1 ta có hệ
2x + y = −4
x − 3y = 5
⇔
6x + 3y = −12
x − 3y = 5
⇔
7x = −7
x − 3y = 5
⇔
x = −1
y = −2
2. * Với a = 0 ta có hệ:
2x = −4
−3y = 5
⇒ hệ có nghiệm duy nhất.
* Với a = 0 thì hệ có nghiệm duy nhất ⇔
2
a
=
a
−3
⇔ a2
= −6. Biểu thức này luôn đúng với mọi a. Do đó với trường hợp a = 0 thì hệ luôn có nghiệm
duy nhất.
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất ∀a.
Câu 3.Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x(m) với điều kiện x > 4.
Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên ta có chiều rộng là
x
2
(m).
Khi đó diện tích hình chữ nhật ban đầu là x.
x
2
=
x2
2
(m2
) .
Nếu giảm mỗi chiều đi 2(m) thì chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật mới lần lượt là: x − 2 và
x
2
− 2.

Khi đó diện tích hình chữ nhật mới là (x − 2)
x
2
− 2 =
x2
2
− 3x + 4.
Theo dữ kiện bài toán ta có phương trình
x2
2
− 3x + 4 =
x2
4
⇔ x2
− 12x + 16 = 0. Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm:

x1 = 6 + 2
√
5
x2 = 6 − 2
√
5
Đối chiếu với điều kiện x > 4 ta được chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là x = 6 + 2
√
5.
Câu 4.
Hình vẽ:
M
C
B
B′
E
K
O11
2
1
1. Chứng minh M, B, O, C cùng thuộc một đường tròn:
Do MB và MC là các tiếp tuyến nên MBO = MCO = 90o
.
Suy ra MBO + MCO = 180o
⇒ MBOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.
2. Chứng minh ME = R.
Vì MB⊥BB′
và OE⊥BB′
nên suy ra MB//OE. Do đó O1 = M1.
Mặt khác M1 = M2 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M2 = O1 (1).
Ta lại có MO⊥BC và B′
C⊥BC do đó ME//MO. Suy ra E1 = O1 (2) (So le trong).
Từ (1) và (2) suy ra M2 = E1 suy ra tứ giác MOCE là tứ giác nội tiếp.
Do đó MEO = MCO = 90o
. Vậy ME⊥EO ⇒ MBOE là hình chữ nhật. Suy ra ME = OB = R.
3. Chứng minh Khi OM = 2R thì K chạy trên một đường tròn cố định.
Từ trên ta có thể suy ra MBC là tam giác đều. Khi đó BMC = 60o
⇒ BOC = 120o
.
Suy ra MOC = 60o
.
Mặt khác KOC = MOC − O1 = 60o
− O1 = 60o
− M1 = 60o
− 30o
= 30o
.
Tam giác KOC vông tại C và có một góc KOC cố định, cạnh góc vuông OC cố định. Khi đó
KO =
OC
cos KOC
=
R
√
3
2
=
2
√
3R
3
. Do O và R là không thay đổi nên K chạy trên đường tròn tâm

O, bán kính
2
√
3R
3
Câu 5.
Ta có:
4
√
4a3 +
4
√
4b3 +
4
√
4c3 = 4
(a + b + c)a3 + 4
(a + b + c)b3 + 4
(a + b + c)c3
>
4
√
a4 +
4
√
b4 +
4
√
c4 = a + b + c = 4
Do đó
4
√
a3 +
4
√
b3 +
4
√
c3 >
4
4
√
4
= 2
√
2.

HƯỚNG DẪN ĐỀ KHÁNH HÒA 2012
.
Câu 1.
1. Đơn giản biểu thức:
A =
√
2 +
√
3 +
√
6 +
√
8 + 4
√
2 +
√
3 +
√
4
=
(
√
2 +
√
3 +
√
4) + (
√
4 +
√
6 +
√
8)
√
2 +
√
3 +
√
4
=
(
√
2 +
√
3 +
√
4) +
√
2(
√
2 +
√
3 +
√
4)
√
2 +
√
3 +
√
4
=
(
√
2 +
√
3 +
√
4)(
√
2 + 1)
√
2 +
√
3 +
√
4
=
√
2 + 1.
2. Xét P = a −
1
√
a −
√
a − 1
+
1
√
a +
√
a − 1
= a −
√
a +
√
a − 1 −
√
a +
√
a − 1
(
√
a −
√
a − 1)(
√
a +
√
a − 1)
= a −
2
√
a − 1
a − (a − 1)
= a − 2
√
a − 1 = a − 1 − 2
√
a − 1 + 1 = (
√
a − 1 − 1)2
≥ 0 ∀a ≥ 1.
Câu 2.
1. Xét phương trình: x2
+ 5x + 3 = 0 có ∆ = 13 > 0 nên phương trình này có hai nghiệm x1, x2.
Áp dụng định lý Vi-et ta có:
x1 + x2 = −5
x1x2 = 3
.
Xét hai số
u = x2
1 + 1
v = x2
2 + 1
ta có:
u + v = x2
1 + 1 + x2
2 + 1 = (x1 + x2)2
− 2x1x2 + 2 = 25 − 6 + 2 = 21
uv = (x2
1 + 1)(x2
2 + 1) = (x1x2)2
+ (x1 + x2)2
− 2x1x2 + 1 = 9 + 25 − 6 + 1 = 29.
Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc hai x2
− 21x + 29 = 0 (∗). Nói cách khác, phương
trình (∗) nhận x2
1 + 1 và x2
2 + 1 làm hai nghiệm.
2. Điều kiện:
x = 0
y = 2
Để dễ dàng ta có thể đặt u =
1
x
và v =
1
y − 2
. Khi đó hệ trở thành:
2u + 3v = 4
4u − v = 1
⇔
4u + 6v = 8
4u − v = 1
⇔
7v = 7
4u − v = 1
⇔



v = 1
u =
1
2
Trở về biến x, y ta có:



1
x
=
1
2
1
y − 2
= 1
⇔
x = 2
y = 3

Câu 3.
Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của xe đạp (x > 0).
Thời gian dự định đi hết quãng đường từ A đến B là
50
x
giờ.
Quãng đường đi được sau 2 giờ là: 2x (km) Suy ra quãng đường còn lại là 50 − 2x (km).
Trên quãng đường còn lại xe đạp đi với vận tốc x + 2 (km/h). Suy ra thời gian để đi hết quãng
đường còn lại là
50 − 2x
x + 2
.
Theo bài ra ta có:
50
x
= 2 +
1
2
+
50 − 2x
x + 2
(2 giờ đi và
1
2
giờ nghỉ).
Phương trình tương đương: x2
+ 10x − 200 = 0. Giải phương trình này ta được hai nghiệm x = 10
hoặc x = −20. Kết hợp với điều kiện x > 0 ta được nghiệm x = 10.
Vậy vận tốc dự định của xe đạp là 10 (km/h).
Câu 4.
Hình vẽ
B
A
O
C
DE
M
H
G
1. Do BC song song với DE nên DE⊥AH hay AED = 90o
Mặt khác, DC song song với BH nên DC⊥AC hay DCA = 90o
.
Ta lại có CH⊥AB mà BD song song với CH nên BD⊥AB hay ABD = 90o
.
Suy ra A, B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AD.
2. Ta có: BAE + ABC = 90o
(Do AH⊥BC).
Mặt khác DAC + ADC = 90o
(Tam giác ACD vuông tại C). Mà ABC = ADC (Góc nội tiếp
cùng chắn một cung) nên suy ra BAE = DAC.
3. Do M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD (Do BHCD là hình bình hành).
Xét tam giác AHD có O và M lần lượt là trung điểm của AD và HD. Do đó AM và HO
là các trung tuyến của tam giác AHD suy ra G là trọng tâm tam giác AHD. Từ đó ta có
AG =
2
3
AG (1)

Mặt khác, xét tam giác ABC có AM là trung tuyến, G nằm trên AM và có (1) suy ra G là trọng
tâm tam giác ABC.
4. Do BHCD là hình bình hành nên ∆BHC = ∆CDB. Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác
BHC và đường tròn ngoại tiếp tam giác CDB có bán kinh bằng nhau suy ra chúng có độ dài
đường tròn bằng nhau.
Tam giác CDB có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn (O) có bán kính R = OD = a. Khi đó độ
dài đường tròn là: 2πa (đvđd).

HƯỚNG DẪN ĐỀ NGHỆ AN 2012
.
Câu 1.
1. Điều kiện:
x > 0
x = 4
A =
1
√
x + 2
+
1
√
x − 2
.
√
x − 2
√
x
=
√
x − 2 +
√
x + 2
(
√
x + 2)(
√
x − 2)
.
√
x − 2
√
x
=
2
√
x(
√
x − 2)
(
√
x + 2)(
√
x − 2)
√
x
=
2
√
x + 2
2. A =
2
√
x + 2
>
1
2
⇔
√
x + 2 < 4 ⇔
√
x < 2 ⇔ 0 < x < 4.
3. B =
7
3
A =
7
3
.
2
√
x + 2
=
14
3(
√
x + 2)
là một số nguyên khi và chỉ khi 3(
√
x + 2) là ước số của 14 là
±1; ±7; ±14.
Do
√
x + 2 ≥ 2 với mọi x > 0 nên chỉ có thể xảy ra:
√
x + 2 =
7
3
⇒ x =
1
9
√
x + 2 =
14
3
⇒ x =
64
9
Câu 2.
Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h) với điều kiện x > 0. Khi đó vận tốc xe máy sẽ là x+ 28 (km/h).
Trong 3 giờ xe đạp đi được quãng đường 3x (km).
Trong 3 giờ xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km).
Theo bài ra ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156
⇔ 6x + 84 = 156 ⇔ 6x = 72 ⇔ x = 12.
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h) và vận tốc xe máy là 40 (km/h).
Câu 3.
1. Với m = 3 ta có phương trình: x2
− 4x + 3 = 0.
Dễ dàng nhận thấy 1 + (−4) + 3 = 0 nên phương trình trên có nghiệm x1 = 1 và x2 =
3
1
= 3.
2. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. theo định lý Vi-et ta có:



x1 + x2 = −
b
a
= 2(m − 1)
x1.x2 =
c
a
= m2
− 6
Để x2
1 + x2
2 = (x1 + x2)2
− 2x1x2 = 16 ta có:
4(m − 1)2
− 2(m2
− 6) = 16 ⇔ 2m2
− 8m + 16 = 16 ⇔ m = 0 hoặc m = 4.

Câu 4.
Hình vẽ
O
A
B
I H
D
C
M
1. Dễ thấy MA và MB là các tiếp tuyến nên MAO = MBO = 90o
Suy ra MAO + MBO = 180o
. Suy ra tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.
2. Xét tam giác MCA và tam giác MAD ta có:
AMC chung (1).
CAM = MDA (2) (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung đó).
Từ (1) và (2) suy ra ∆MCA ∽ ∆MAD. Suy ra
MA
MC
=
MD
MA
.
Hay MC.MD = MA2
3. Do tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp nên AMO = HAO (Góc nội tiếp cùng chắn cung OB). Do
đó ∆MAO ∽ ∆AHO. Suy ra OH.OM = OA2
.
Áp dụng Pi-ta-go trong tam giác vuông MAO ta có OA2
+ MA2
= MO2
Thay OA2
= OH.OM và MA2
= MC.MD vào đẳng thức trên ta có: MO2
= MC.MD+OH.OM
4. Tương tự như trên ta cũng dễ dàng suy ra được MA2
= MH.OM. Khi đó kết hợp với MA2
=
MC.MD suy ra:
MH.OM = MC.MD hay
MH
MD
=
MC
MO
(1)
Xét ∆MHC và ∆MDO có (1) và MDO chung nên hai tam giác này đồng dạng. Khi đó:
MC
HC
=
MO
MD
=
MO
OA
⇒
MC
HC
=
MO
OA
(2)
Mặt khác MAI = IAH (cùng chắn hai cung bằng nhau) nên AI là phân giác của MAH.
Theo tính chất đường phân giác ta có:
MI
IH
=
MA
AH
(3)
Xét tam giác MHA và tam giác MAO có OMA chung và MHA = MAO = 90o
nên hai tam giác
này đồng dạng. Từ đó suy ra:

MO
OA
=
MA
AH
(4)
Từ (2), (3) và (4) suy ra
MC
CH
=
MI
IH
⇒ CI là phân giác của MCH.

HƯỚNG DẪN ĐỀ NINH THUẬN 2012
.
Câu 1.
2x + y = 3
x + 3y = 4
⇔
2x + y = 3
2x + 6y = 8
⇔
2x + y = 3
5y = 5
⇔
x = 1
y = 1
2. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm ⇔
m + 2
1
=
m + 1
3
=
3
4
⇔



m + 2
=
m + 1
3
m + 1
3
=
3
4
.
⇒
3m + 6 = m + 1
4m + 4 = 9
⇒ m = −
5
2
.
Câu 2.
1. Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ:
Ta có các bảng giá trị:
x −2 −1 0 1 2
(P) : y = x2
4 1 0 1 4
x −2 0
(d) : y = x + 2 0 2
x
y
A
B
2−1−2
4
2
1
O

2. Tìm tọa độ các giao điểm.
Tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ:
y = x2
y = x + 2
.
Hệ ⇔
x2
= x + 2
y = x + 2
⇔
x2
− x − 2 = 0 (1)
y = x + 2 (2)
Giải (1) ta được hai nghiệm là x1 = −1 và x2 = 2. Thay vào (2) ta được tương ứng y1 = 1 và
y2 = 4.
Vậy giao điểm của (P) và (d) là A(−1; 1) và B(2; 4).
3. Xét tam giác OAB, dễ thấy OA⊥AB nên S∆OAB =
1
2
.OA.AB
Ta có: OA = 12 + (−1)2 =
√
2.
AB = (2 + 1)2 + (4 − 1)2 = 3
√
2.
Suy ra S∆OAB =
1
2
.
√
2.3
√
2 = 3 (đvdt)
Câu 3.
Ta có: H = (
√
10 −
√
2) 3 +
√
5 = (
√
5 − 1)
√
2 3 +
√
5
= (
√
5 − 1) 6 + 2
√
5 = (
√
5 − 1) 5 + 2
√
5 + 1
= (
√
5 − 1) (
√
5 + 1)2 = (
√
5 − 1)(
√
5 + 1) = 5 − 1 = 4.
Câu 4.
Hình vẽ
A
B
C
I
O
E
D
1. Chứng minh AB = CI
Ta có: BD⊥AC. Mặt khác DBI = 90o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra BD⊥BI.
⇒ AC và BI song song. Do đó cung AB bằng cung CI nên AB = CI.
2. Chứng minh EA2
+ EB2
+ EC2
+ ED2
= 4R2
Do BD⊥AC suy ra cung AB bằng cung AD nên AB = AD.
Mặt khác EA2
+ EB2
+ EC2
+ ED2
= AB2
+ CD2
= AD2
+ CD2
= AC2
= (2R)2
= 4R2
.

3. Tính diện tích đa giác ABICD theo R khi OE =
2R
3
Ta có: SABICD = SABIC + SCDA.
Xét tam giác BEO ta có: BE =
√
OB2 − OE2 =
R
√
5
3
. Khi đó BD = 2BE =
2R
√
5
3
.
Xét tam giác BDI ta có: BI =
√
DI2 − BD2 =
4R
3
.
SABIC =
(BI + AC)BE
2
=
2R +
4R
3
R
√
5
3
2
=
5R2
√
5
9
.
SACD =
1
2
.AC.DE =
1
2
.2R.
R
√
5
3
=
R2
√
5
3
.
⇒ SABICD =
5R2
√
5
9
+
R2
√
5
3
=
8R2
√
5
9
.
Câu 5.
Hình vẽ
A
B
CM
N
P
G
.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: GM =
AM
3
; GN =
BN
3
và GP =
CP
3
.
Mặt khác, AM, BN, CP là các trung tuyến của tam giác ABC nên MN, NP, PM là các đường
trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MN =
AB
2
; NP =
BC
2
và PM =
AC
2
.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
AM < MN + AN ⇒ AM <
AB
2
+
AC
2
(1).
Tương tự ta cũng có: BN <
AB
2
+
BC
2
(2).
CP <
BC
2
+
AC
2
(3).
Từ (1), (2) và (3) ta có AM + BN + CP < AB + BC + CA (∗).
Ta lại có: GN + GM > MN ⇒
BN
3
+
AM
3
>
AB
2
(4).
Tương tự như trên, ta cũng có:
BN
3
+
CP
3
>
BC
2
(5).
CP
3
+
MN
3
>
CA
2
(6).
Từ (4), (5) và (6) ta cũng có:
2
3
(AM + BN + CP) >
1
2
(AB + BC + CA).
⇒
3
2
(AB + BC + CA) < AM + BN + CP (∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) ta có:
3
4
(AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA

HƯỚNG DẪN ĐỀ CHUYÊN NGUYỄN TRÃI (Chuyên) 2012
Câu 1.
1. Ta có: a2
(b − 2c) + b2
(c − a) + 2c2
(a − b) = 2c2
(a − b) + ab(a − b) − c(a2
− b2
) − ac(a − b)
= (a − b)[2c2
− 2ac + ab − bc]
= (a − b)[2c(c − a) + b(a − c)]
= (a − b)(a − c)(b − 2c)
2. Ta có: x = 3
√
y − y2 + 1 + 3
y − y2 + 1
⇒ x3
= 2y + 3 3
√
y − y2 + 1. 3
y + y2 + 1( 3
y − y2 + 1 + 3
y + y2 + 1)
⇒ x3
= 2y + 3 3
y2 − (y2 + 1)x ⇒ x3
+ 3x − 2y = 0
Khi đó A = x4
+ x3
y + 3x2
− 2y2
+ 1 = x4
+ x3
y + 3x2
− 2xy + 3xy − 2y2
+ 1
= (x4
+ 3x2
− 2xy) + (x3
y + 3xy − 2y2
) + 1
= x(x3
+ 3x − 2y) + y(x3
+ 3x − 2y) + 1 = 1
Câu 2.
1. Biến đổi: (x2
− 4x + 11)(x4
− 8x2
+ 12) = 35
⇔ [(x − 2)2
+ 7].[(x2
− 4)2
+ 5] = 35.
Do
(x − 2)2
+ 7 ≥ 7
(x2
− 4)2
+ 5 ≥ 5
∀x nên :
[(x − 2)2
+ 7].[(x2
− 4)2
+ 5] ≥ 35 ∀x
Vậy phương trình đã cho nghiệm đúng khi và chỉ khi:
(x − 2)2
+ 7 = 7
(x2
− 4)2
+ 5 = 5
⇔
x = 2
x2
= 4
⇔ x = 2.
2. Ta có:
(x +
√
x2 + 2012)(y + y2 + 2012) = 2012 (1)
x2
+ z2
− 4(y + z) + 8 = 0 (2)
(1) ⇔ (x +
√
x2 + 2012)(y + y2 + 2012)( y2 + 2012 − y) = 2012( y2 + 2012 − y) (do
y2 + 2012 − y = 0 ∀y).
⇔ 2012(x +
√
x2 + 2012) = 2012( y2 + 2012 − y)
⇔ x +
√
x2 + 2012 = y2 + 2012 − y ⇔ x + y = y2 + 2012 −
√
x2 + 2012
⇔ x + y =
( y2 + 2012 −
√
x2 + 2012)( y2 + 2012 +
√
x2 + 2012)
y2 + 2012 +
√
x2 + 2012
⇔ x + y =
y2
− x2
y2 + 2012 +
√
x2 + 2012

⇔ (x + y) 1 −
y − x
y2 + 2012 +
√
x2 + 2012
= 0
⇔ (x + y)
y2 + 2012 − y +
√
x2 + 2012 + x
y2 + 2012 +
√
x2 + 2012
= 0 (∗)
Do
y2 + 2012 − y ≥ 0 ∀y
√
x2 + 2012 + x ≥ 0 ∀x
nên
y2 + 2012 − y +
√
x2 + 2012 + x > 0 ∀x, y. Từ đây ⇒ (∗) ⇔ x + y = 0 hay y = −x.
Thay y = −x vào (2) ta được: x2
+ z2
+ 4x − 4z + 8 = 0
⇔ (x + 2)2
+ (z − 2)2
= 0
⇔
x + 2 = 0
z − 2 = 0
⇒



x = −2
y = 2
z = 2
.
Câu 3.
1. Đặt A = n2
+ n + 1. Do n ∈ N nên ta có thể đặt n = 3k; n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 với k ∈ Z
* Với n = 3k ⇒ A = 9k2
+ 3k + 1. Vì A không chia hết cho 3 ⇒ A không chia hết cho 9.
* Với n = 3k + 1 ⇒ A = (3k + 1)2
+ (3k + 1) + 1 = 9k2
+ 9k + 3 = 9k(k + 1) + 3 nên A không
chia hết cho 9.
* Với n = 3k + 2 ⇒ A = (3k + 2)2
+ (3k + 2) + 1 = 9k(k + 1) + 7 nên A không chia hết cho 9.
2. Giả sử đã tồn tại m ∈ N sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. Theo đinh lí Vi-et ta
có:
x1 + x2 = m2
x1x2 = 2m + 2
⇒ (x1 − 1)(x2 − 1) = x1x2 − (x1 + x2) + 1
= −m2
+ 2m + 3.
Với m nguyên dương thì x1x2 ≥ 4 và x1 + x2 ≥ 1. Mặt khác, x1 hoặc x2 phải là số nguyên nên
x1 + x2 ≥ 0 và x1x2 ≥ 0 ⇒ x1 và x2 là số không âm. Suy ra (x1 − 1)(x2 − 1) ≥ 0
⇔ −m2
+ 2m + 2 ≥ 0 ⇔ (m + 1)(m − 3) ≤ 0 ⇔ m ≤ 3. Vậy m chỉ có thể nhận các giá trị 1, 2
hoặc 3.
Kiểm tra với từng giá trị của m ta thấy m = 3 thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
Câu 4.

1. Hình vẽ:
A
B
C
F
E M
H
I
O
K
D
.
Gọi K là giao điểm của BO và DF. Khi đó ∆IKF vuông tại K.
Mặt khác DFE −
1
2
DOE = 45o
⇒ BIF = 45o
2. Khi AM = AB thì tam giác ABM vuông cân tại A. Khi đó DBH = 45o
. Mặt khác do DFH =
DFI = 45o
nên tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp.
Do đó năm điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn.
Do BFO = BHO = 90o
⇒ OH⊥BM
Do tam giác BAM vuông cân tại A nên AO⊥BM. Do đó A, O, H thẳng hàng.
Tam giác IKF vuông tại K và có KFI = 45o
⇒ KIF = 45o
hay BIH = 45o
.
Mặt khác BAH = 45o
. vậy tứ giác ABHI là tứ giác nội tiếp.
3. Hình vẽ A
B
C
F
E
Q M
N
P
D
.
Ta có: Tứ giác PNQD là tứ giác nội tiếp suy ra QPN = QDN = EFN.
Tương tự ta có: NQP = NDP = FEN. Từ đây suy ra ∆NEF ∽ ∆NQP.
⇒
PQ
EF
=
NQ
NE
⇒ PQ ≤ EF.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P trùng với F và Q trùng với E. Khi đó DN là đường kính của
(O). Suy ra PQ lớn nhất là bằng EF.
Để xác định điểm M khi đó ta làm như sau: Kẻ đường kính DN của đường tròn (O). BN kéo
dài cắt AC tại M.

Câu 5.
Đặt x = 1 + c; y = 1 + b; z = 1 + a.
Do 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 nên 1 ≤ z ≤ y ≤ x ≤ 2.
Khi đó A = (x + y + z)
1
x
+
1
y
+
1
z
= 3 + 3 +
x
y
+
x
z
+
y
x
+
y
z
+
z
x
+
z
y
.
Ta lại có:
1 −
x
y
1 −
y
z
≥ 0 ⇔ 1 −
x
y
−
y
z
+
xy
yz
≥ 0 ⇔
x
y
+
y
z
≤
x
z
+ 1.
Tương tự ta cũng có thể suy ra
z
y
+
y
x
≤
z
x
+ 1
Suy ra:
x
y
+
y
z
+
z
y
+
y
x
≤
x
z
+
z
x
+ 2
⇒
x
y
+
x
z
+
y
x
+
y
z
+
z
x
+
z
y
≤ 2
x
z
+
z
x
+ 2.
Đặt
x
z
= t ⇒ 1 ≤ t ≤ 2.
x
z
+
z
x
= t +
1
t
=
t2
+ 1
t
=
2t2
− 5t + 2
2t
+
5
2
=
(2t − 1)(t − 2)
2t
+
5
2
.
Do 1 ≤ t ≤ 2 nên
(2t − 1)(t − 2)
2t
≤ 0 ⇒
x
z
+
z
x
≤
5
2
.
⇒ A ≤ 3 + 2.
5
2
+ 2 = 10.
Vậy giá trị lớn nhất của A là A = 10 khi a = b = 0 và c = 1.

HƯỚNG DẪN ĐỀ ĐÀ NẴNG 2012
Câu 1.
1. Ta có:
(x + 1)(x + 2) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = −2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm


x = −1
x = −2
2. Ta có:
2x + y = −1 (1)
x − 2y = 7 (2)
⇔
4x + 2y = −2
x − 2y = 7
⇔
5x = 5
x − 2y = 7
⇔
x = 1
y = −3
Câu 2. Rút gọn:
A = (
√
10 −
√
2) 3 +
√
5 =
√
2(
√
5 − 1)
6 − 2
√
5
2
=
√
2(
√
5 − 1)
1
√
2
5 + 2
√
5 + 1
= (
√
5 − 1) (
√
5 + 1)2 = (
√
5 − 1)(
√
5 + 1) = 5 − 1 = 4.
Câu 3.
1. Hình vẽ:
xO
y
2
2
y = ax2
Dựa vào đồ thị ta có:
y(2) = a.22
= 2 ⇒ 4a = 2 ⇒ a =
1
2
2. Phương trình hoành độ giao điểm của y =
x2
2
và y = x + 4 là:
x2
2
= x + 4 ⇔ x2
− 2x − 8 = 0
∆′
= 1 + 8 = 9 ⇒ phương trình có hai nghiệm


x = −2
x = 4
Khi đó y(−2) = −2 + 4 = 2 và y(4) = 4 + 4 = 8.
Vậy tọa độ hai giao điểm cần tìm là (−2; 2) và (4; 8)/

Câu 4.
1. Khi m = 1 phương trình trở thành: x2
− 2x − 3 = 0.
Dễ thấy 1 − (−2) + (−3) = 0 nên phương trình có một nghiệm là x = −1 và nghiệm thứ hai là
x = −
−3
1
= 3.
2. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiêm x1, x2. Với x1, x2 = 0 ta có:
x1
x2
−
x2
x1
=
x2
1 − x2
2
x1x2
=
(x1 + x2)(x1 − x2)
x1x2
.
Mặt khác theo Vi-et thì x1 + x2 = 2 và x1x2 = −3m2
⇒
x1
x2
−
x2
x1
=
8
3
⇔
2(x1 − x2)
−3m2
=
8
3
⇔ 2(x1 − x2) = −8m2
.
Mặt khác ∆′
= 1 + 3m2
> 0 ∀m nên phương trình có hai nghiệm là x1 = 1 −
√
1 + 3m2 và
x2 = 1 +
√
1 + 3m2 (vì 2(x1 − x2) = −8m2
< 0 ⇒ x1 < x2). Do đó x1 − x2 = −2
√
1 + 3m2
⇒ 2.(−2
√
1 + 3m2 = −8m2
) ⇔
√
1 + 3m2 = 2m2
⇔ 4m4
− 3m2
− 1 = 0. Giải phương trình này ta được m2
= 1 hay m = ±1.
Câu 5.
Hình vẽ
B
C
O′
O
A
D
E
1. Theo tính chất của tiếp tuyến ta có: OB và O′
C cùng vuông góc với BC. từ đó suy ra tứ giác
CO′
OB là hình thang vuông.
2. Ta có ABC = BDC ⇒ ABC + BCA = 90o
⇒ BAC = 90o
.
Mặt khác BAD = 90o
nên ba điểm D, A, C thẳng hàng.
3. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC ta có: DB2
= DA.DC
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có DE2
= DA.DC (dựa vào các tam giác đồng
dạng).
Suy ra DB = DE.

HƯỚNG DẪN ĐỀ CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG 2012
Câu 1.
1. Với a, b > 0 và ab = 1 ta có:
D =
√
a +
√
b
1 −
√
ab
+
√
a −
√
b
1 − ab
: 1 +
a + b + 2ab
1 − ab
=
(
√
a +
√
b)(1 +
√
ab) + (
√
a −
√
b)(1 −
√
ab)
1 − ab
:
1 − ab + a + b + 2ab
1 − ab
=
2
√
a + 2b
√
a
1 − ab
.
1 − ab
a + b + ab + 1
=
2
√
a(b + 1)
(a + 1)(b + 1)
=
2
√
a
a + 1
.
2. Với a =
2
2 −
√
3
ta có:
a =
2
2 −
√
3
=
2(2 +
√
3)
(2 −
√
3)(2 +
√
3)
=
4 + 2
√
3
1
= 3 + 2
√
3 + 1 = (
√
3 + 1)2
⇒
√
a =
√
3 + 1
a + 1 = (
√
3 + 1)2
+ 1 = 5 + 2
√
3
Suy ra: D =
2
√
a
a + 1
=
2(
√
3 + 1)
5 + 2
√
3
=
2(
√
3 + 1)(5 − 2
√
3)
25 − 12
=
6
√
3 − 2
13
Câu 2.
1. Giải phương trình:
Điều kiện x ≥ 1.
√
x − 1 +
√
x + 4 = 3 ⇔ x − 1 + x + 4 + 2 (x − 1)(x + 4) = 9
⇔ (x − 1)(x + 4) = 3 − x
⇒ (x − 1)(x + 4) = (3 − x)2
⇔ x2
+ 3x − 4 = x2
− 6x + 9
⇔ x =
13
9
. Kiểm tra lại với x =
13
9
thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy nghiệm của phương trình
là x =
13
9
2. Giải hệ:
x + y + xy = 7
x2
+ y2
= 10
⇔
x + y + xy = 7
(x + y)2
− 2xy = 10
.
Đặt a = x + y; b = xy. Khi đó hệ trở thành:

a + b = 7 (1)
a2
− 2b = 10 (2)
(I)
Từ (1) suy ra b = 7 − a. Thế vào (2) ta được:
(2) ⇔ a2
− 2(7 − a) = 10 ⇔ a2
+ 14a − 24 = 0
Phương trình bậc hai có ∆′
= 1 + 24 = 25 ⇒ có hai nghiệm
a1 = 4
a2 = −6
Suy ra hệ (I) có hai nghiệm
a = 4
b = 3
và
a = −6
b = 13
* Với
a = 4
b = 3
ta có
x + y = 4
xy = 3
⇒ x và y là nghiệm phương trình bậc hai:
X2
− 4X + 3 = 0 ⇒








x = 1
y = 3
x = 3
y = 1
* Với
a = −6
b = 13
⇒
x + y = −6
xy = 13
.
Suy ra x và y là nghiệm của phương trình bậc hai:
X2
+ 6X + 13 = 0. Do phương trình này có ∆′
= 9 − 13 = −4 < 0 nên trường hợp này hệ vô
nghiệm.
Câu 3.
1. Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = ax + b có hệ số góc m và đi qua điểm I(1; 2) nên:
2 = m.0 + b ⇒ b = 2. Do đó phương trình (d) có dạng: y = mx + 2.
2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2
2
= mx + 2 ⇔ x2
− 2mx − 4 = 0.
∆′
= (−m)2
− 1.(−4) = m2
+ 4 ≥ 4 > 0 ∀m. Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

HƯỚNG DẪN ĐỀ BẮC GIANG 2012
Câu 1.
1. Ta có:
1
√
2 − 1
−
√
2 =
√
2 + 1
(
√
2 − 1)(
√
2 + 1)
−
√
2
=
√
2 + 1
(
√
2)2 − 12
−
√
2 =
√
2 + 1
2 − 1
−
√
2
=
√
2 + 1 −
√
2 = 1.
2. Đồ thị hàm số y = ax − 1 đi qua điểm M(1; 5) ⇔ 5 = a.1 − 1 ⇔ a = 6.
Câu 2.
1. Ta có A =
√
a
√
a(
√
a − 2)
−
2
√
a(
√
a − 2
)
(
√
a − 1)(
√
a − 2)
√
a + 1
+ 1
=
√
a − 2
√
a(
√
a − 2)
(
√
a − 1 + 1)
=
1
√
a
.
√
a = 1
2. Ta có:
2x − 5y = 9
3x + y = 5
⇔
2x − 5y = 9
15x + 5y = 25
⇔
2x − 5y = 9
17x = 34
⇔
x = 2
y = −1
3. Xét phương trình x2
+ mx + m − 1 = 0
∆ = m2
− 4m + 4 = (m − 2)2
≥ 0 ∀m.
vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm ∀m.
Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó, theo định lý Vi-et ta có:
x1 + x2 = −m
x1x2 = m − 1
Mặt khác B = x2
1 + x2
2 − 4(x1 + x2) = (x1 + x2)2
− 4(x1 + x2) − 2x1x2
= (−m)2
− 4(−m) − 2(m − 1) = m2
+ 2m + 2 = (m + 1)2
+ 1 ≥ 1
Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất khi B = 1 ⇔ m + 1 = 0 ⇔ m = −1.
Câu 3
Gọi độ dài quãng đường AB là x(km), x > 0.
Thời gian xa tải đi từ A đến B là
x
40
(giờ).
Thời gian xe taxi đi từ A đến B là
x
60
(giờ).

Thời gian xe tải đi nhiều hơn xe taxi là 2 giờ 30 phút =
5
2
giờ.
Theo bài ra ta có:
x
60
+
5
2
=
x
40
⇔ 2(3x − 2x) = 5.60 ⇔ x = 300. Đối chiếu với điều kiện suy ra quãng đường từ A đến B là 300km.
Câu 4.
Hình vẽ
A O
P
Q
M
N
K
S
G
1. Xét tứ giác APOQ có:
APO = AQO = 90o
(Tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm).
Suy ra APO + AQO = 180o
. Vậy tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp.
2. Xét tam giác AKN và tam giác PAK có:
AKP chung.
APN = AMP (góc nội tiếp cùng chắn cung NP).
Mặt khác NAK = AMP (so le trong) nên ∆AKN ∽ ∆PAK
⇒
AK
PK
=
NK
AK
⇒ AK2
= NK.KP
3. Ta có: AQ⊥QS. Mặt khác PM song song với AQ nên PM⊥QS.
Do đó QS đi qua trung điểm dây PM. Từ đó suy ra S là điểm chính giữa cung PM. Do đó
PNS = SNM (góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau).
4. Gọi I là giao điểm của AO và PQ ⇒ PQ⊥AO tại I. Khi đó ta có:
OQ2
= OI.AI (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒ OI =
OQ2
OA
=
R2
3R
=
R
3
.
⇒ AI = OA − OI = 3R −
R
3
=
8R
3
Mặt khác ∆KNQ ∽ ∆KQP nên KQ2
= KN.KP = AK2
⇒ AK = KQ.
Suy ra G là trọng tâm tam giác APQ ⇒ AG =
2AI
3
=
2.8R
3.3
=
16R
9

Câu 5.
Ta có:
a2
(b + c) + b2
(c + a) + c2
(a + b) + 2abc = 0
⇔ a2
b + a2
c + b2
a + b2
c + c2
a + c2
b + 2abc = 0
⇔ (a2
b + b2
a) + (c2
a + c2
b) + (b2
c + a2
c + 2abc) = 0
⇔ ab(a + b) + c2
(a + b) + c(a + b)2
= 0
⇔ (a + b)[ab + c2
+ c(a + b)] = 0
⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a+b = 0 thì a = −b. Khi đó do a2013
+b2013
+c2013
= 1 ⇒ c = 1.
Suy ra Q =
1
a2013
+
1
b2013
+
1
c2013
= 1
Vậy Q =
1
a2013
+
1
b2013
+
1
c2013
= 1.
- - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - -

Thivao10 201451

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to Thivao10 201451

Similar to Thivao10 201451 (20)

Thivao10 201451