1. Рассмотрим математический вывод закона сохранения импульса.
 
Пусть два шара массами m1 и m2 , движутся вдоль оси ОХ со скоростями v1 , и v2 , причём
 
v2 > v1 (рис. 1).
Рис. 1.
 
До столкновения импульс правого шара m1 v1 , левого — m2 v2 . Через некоторое время
левый шар нагонит правый и произойдёт их столкновение. При столкновении на правый

шар подействовала некоторая сила F , на левый — равная ей по модулю, но
 
противоположная по направлению сила, то есть сила — F . Время действия силы F такое

же, как время действия силы — F . В результате действия сил скорости обоих шаров
 
 
изменились. Пусть скорость правого шара стала равной v1 , левого — v 2 . Изменились,
конечно, и импульсы шаров.
Запишем для каждого шара формулу второго закона Ньютона в импульсной форме.
  
Для правого шара: 
F  t = m1 v1 — m1 v1 ,
  

для левого шара: — F  t = m2 v 2 — m2 v2 .
   
Сложим эти равенства:  
0 = m1 v1 — m1 v1 + m2 v 2 — m2 v2 , преобразовав это выражение
получим
закон сохранения импульса в векторной форме:
   
 
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v 2 .
В левой части равенства стоит сумма импульсов обоих шаров до столкновения, а в правой
— сумма импульсов тех же шаров после взаимодействия.
Если взаимодействуют не два, как в наших примерах, а много тел, то можно, применив к
каждому из них формулу второго закона Ньютона в импульсной форме, доказать, что и в
этих случаях сумма импульсов замкнутой системы взаимодействующих тел не изменяется
(сохраняется).
С системами тел, которые можно считать замкнутыми, мы постоянно встречаемся, в
природе и технике. Такими системами являются ружьё и пуля в его стволе, пушка и
снаряд, оболочка ракеты и топливо в ней, Солнце и планеты, Земля и её спутник. И всякий
раз, когда под действием сил взаимодействия изменяется импульс одного из тел системы,
непременно изменяются и импульсы других тел, но всегда так, что общий импульс всех
тел остаётся неизменным.

2. Границы применимости закона сохранения импульса значительно шире, чем законов
Ньютона, из которых он следует в механике. Это объясняется тем, что закон сохранения
импульса следует из фундаментального свойства пространства — его однородности.
Закон сохранения импульса используется во всем интервале скоростей движения тел,
вплоть до скорости света c  3 108 м / с . Он выполняется и при взаимодействии
космических объектов, и при взаимодействии элементарных частиц. Закон сохранения
импульса выполняется только в инерциальных системах отсчёта.
Пример решения задачи
Если в задаче требуется найти изменение импульса тела, необходимо сделать чертёж, на
котором геометрическим построением нужно определить направление вектора изменения
импульса.
При абсолютно неупругом ударе тела после взаимодействия движутся как одно целое;
часть механической энергии превращается во внутреннюю. При абсолютно упругом ударе
тела после взаимодействия полностью восстанавливают свою форму; полная
механическая энергия тел сохраняется.
Задача 1.
Два неупругих тела, массы которых 2 и 6 кг, движутся навстречу друг другу со
скоростями 2 м/с каждое. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться эти
тела после удара?
Дано:
m1 = 2 кг
m2 = 6 кг
v1 = —2 м/с
v2 = 2 м/с

v — ?
Решение
Сделаем чертёж:
Рис. 2. До взаимодействия

3. Рис. 3. После взаимодействия
Формула закона сохранения импульса в скалярной форме:
m v  m1v1
m2 v2 + m1 v1 = ( m1 + m2 ) v  , отсюда v  = 2 2 .
m1  m2
6кг  2 м / с  2кг  (2 м / с)
Вычислим: v  =  1м / с .
2кг  6кг
Ответ: v  =1м/с, направлена вдоль оси ОХ вправо.