Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________                                   ID: A


awerg...
Name: ________________________                                                                           ID: A


       8....
Name: ________________________                                                                        ID: A


            ...
Name: ________________________                                                                                   ID: A


_...
Name: ________________________                                                                        ID: A


           S...
Name: ________________________                                                      ID: A


____ 30. Se rezolva sistemul c...
Name: ________________________                                                           ID: A


           Se rezolva sis...
Name: ________________________                                                                       ID: A


____ 34. Care...
Name: ________________________                                                                         ID: A


           ...
Name: ________________________                                                                            ID: A


        ...
Name: ________________________                                                                                            ...
Name: ________________________                                                       ID: A


           Polinomul lui Lagr...
Name: ________________________                                                                                ID: A


    ...
Name: ________________________                                                                                      ID: A
...
Name: ________________________                                                                                  ID: A


  ...
Name: ________________________                                                             ID: A


           Aproximam in...
Name: ________________________                                                          ID: A


____ 57. Formula de cuadra...
Name: ________________________                                                                            ID: A


        ...
Name: ________________________                                                                           ID: A


____ 63. ...
Name: ________________________                                                                                           I...
Name: ________________________                                                                                  ID: A


__...
Name: ________________________                                                                                      ID: A
...
Name: ________________________                                                                                        ID: ...
Name: ________________________                                                           ID: A


           Se considera u...
Name: ________________________                                                                        ID: A


           S...
Name: ________________________                                                                                    ID: A


...
Name: ________________________                                                                         ID: A


____ 78. Se...
Name: ________________________                                                                            ID: A


        ...
Name: ________________________                                                                                  ID: A


  ...
Name: ________________________                                                                          ID: A


____ 83. S...
Name: ________________________                                                                               ID: A


     ...
Name: ________________________                                                                                    ID: A


...
Name: ________________________                                                                               ID: A




Num...
Name: ________________________                                                                     ID: A



              ...
Name: ________________________                                                                          ID: A



1.0    10...
Name: ________________________                                                                            ID: A



2.0    ...
Name: ________________________                                                                 ID: A



0.0           Se d...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

an num old

799
-1

Published on

an num old

Published in: Technology
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
799
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
8
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

an num old

  1. 1. Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________ ID: A awerg True/False Indicate whether the sentence or statement is true or false. 1. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0 ____ Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. f(x) = x 3 − x − 2 2. Se considera ecuatia ____ Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. Se considera ecuatia ____ 3. x f(x) = [x] − 2 Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei. Se considera ecuatia f(x)=0 ____ 4. cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge catre una din solutiile ecuatiei de mai sus. Se considera ecuatia f(x)=0 ____ 5. cu f continua pe intervalul [a,b]si f(a)f(b)<0 . Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient de aproape de o solutie din [a,b] a ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea solutie cu ordin de convergenta patratic. 6. Se considera ecuatia f(x)=0 ____ 2 cu f ∈ C [a,b] pe intervalul [a,b] si f' (x *) ≠ 0 unde x * ∈ [a, b] este solutia exacta a ecuatiei. Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient de aproape de o solutie din [a,b] a ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea solutie cu ordin de convergenta patratic. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton. ____ 7. 1
  2. 2. Name: ________________________ ID: A 8. Metoda bisectiei converge liniar. ____ 9. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia ____ ii aplicam metoda. ____ 10. Se considera ecuatia f(x)=0 cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0 . Utilizam metoda bisectiei pentru aproximarea unei solutii a ecuatiei de mai sus. Notam cu solutia catre care converge sirul de aproximari produse de metoda bisectiei. Este adevarat atunci ca putem determina cu exactitate numarul n de iteratii necesare pentru ca | x n − x * | < 10 −5 . aici x n denota a n-a iteratie. Se rezolva un sistemul compatibil determinat cu matrice A si termen liber b utilizand o metoda ____ 11. numerica iterativa. La pasul n se calculeaza un vector X n . Calculam AX n − b si gasim ca fiecare componenta a lui AX n − b este foarte mica. Atunci X n este foarte aproape de solutia exacta a sistemului liniar AX = b In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu ____ 12. diferente divizate. ____ 13. Metoda rotatiilor a lui Jacobi calculeaza in mod exact valorile proprii ale oricarei matrici. Metoda rotatiilor a lui Jacobi pentru determinarea valorilor proprii ale unei matrici de un anumit tip ____ 14. A este o metoda iterativa in care la fiecare pas se construieste o matrice R de un anumit tip si se T inmulteste A la stanga cu R iar la dreapta cu R. In acest fel la fiecare pas se anuleaza una cate una componentele din matricea A ce nu sunt pe diagonala si intr-un numar finit de pasi metoda rotatiilor produce o matrice diagonala ale carei elemente pe diagonala sunt exact valorile proprii ale matricii A. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe ____ 15. [a,b] va calcula in mod exact integrala b ∫a f(x)dx 2
  3. 3. Name: ________________________ ID: A Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b] ____ 16. va calcula in mod exact integrala b ∫a f(x)dx Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de ____ 17. lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor obtinute. In practica se folosesc formulele Newton-Cotes nu formulele Newton-Cotes sumate pentru ca ____ 18. acestea ultimele necesita prea multe calcule. Polinomul lui Legendre P 3 de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre P 4 de grad 4 adica ____ 19. 1 ∫−1 P 3 (x)P 4(x)dx = 0 ____ 20. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe 1 (x 2 + 1) P 4(x)dx = 0 adica ∫ −1 ____ 21. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile ____ 22. se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata. Metoda lui Euler produce intotdeauna o solutie aproximativa care pe masura ce pasul h se ____ 23. micsoreaza va converge catre solutia exacta a problemei. 3
  4. 4. Name: ________________________ ID: A ____ 24. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala y' = f(x,y),y(0) = 1 cu metoda lui Euler cu pas h. Notam x 0 = 0,y 0 = 1.La efectuarea primului pas eroarea comisa este h2 | y 1 − y(x 1 )| = | y' ' (ψ)| 2 unde ψ este un numar din intervalul [x 0, x 1 ] Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. ____ 25. Se considera ecuatia f(x) = 4x 5 − 3x 3 − 1 = 0 (4x 5 − 3x 3 − 1) n n Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − . (20x 4 − 9x 2 ) n n Aceasta este metoda bisectiei metoda lui Newton a. c. metoda secantei metoda pozitiei false b. d. ____ 26. Se considera ecuatia f(x) = 3x 5 − 2x 3 − 1 = 0 (3x 5 − 2x 3 − 1) n n Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − ,n (15x 4 − 6x 2 ) n n numar natural. Aceasta este metoda bisectiei metoda lui Newton a. c. metoda secantei metoda pozitiei false b. d. 4
  5. 5. Name: ________________________ ID: A Se considera ecuatia f(x) = 3x 3 − x − 1 = 0 ____ 27. Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda a. bisectiei c. lui Newton b. secantei d. lui Gauss Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate? ____ 28. Metoda lui Newton necesita Si metoda bisectiei si metoda a. c. calcularea exacta a derivatei la lui Newton se pot utiliza fiecare pas, in timp ce metoda intotdeauna bisectiei nu necesita acest lucru. Metoda bisectiei are un ordin b. de convergenta mai mare decat metoda lui Newton. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa ____ 29. Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica Metoda lui Cholesky(sau Metoda lui Newton a. c. metoda radacinii patrate) Metoda lui Gauss Metoda lui Lagrange b. d. 5
  6. 6. Name: ________________________ ID: A ____ 30. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica Metoda lui Cholesky(sau Metoda lui Gauss a. c. metoda radacinii patrate) Metoda lui Gauss-Legendre Metoda lui Lagrange b. d. ____ 31. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica Metoda lui Gauss a. Metoda lu Choleski(sau metoda radacinii c. patrate) metoda lui Simpson Metoda lui Lagrange b. d. 6
  7. 7. Name: ________________________ ID: A Se rezolva sistemul cu matricea ____ 32. Ê2 1ˆ Á ˜ 1 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á1 0˜ Á ˜ 5 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á1 1˜ Á ˜ 0 Á ˜ Ë ¯ Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica Metoda lui Cholesky(sau metoda c. Metoda bisectiei a. radacinii patrate) Metoda lui Newton Metoda lui Lagrange b. d. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa ____ 33. Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica Metoda lui Cholesky(deasemenea c. Metoda lui Newton a. numita si metoda radacinii patrate) Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Legendre b. d. 7
  8. 8. Name: ________________________ ID: A ____ 34. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar? Matricea sistemului este Matricea sistemului e superior a. c. simetrica triunghiulara Matricea sistemului e diagonal Matricea sistemului e pozitiv b. d. dominanta pe linii definita ____ 35. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Gauss-Seidel pentru rezolvarea de sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar? Matricea sistemului este Matricea sistemului e superior a. c. simetrica triunghiulara Matricea sistemului e diagonal d. Matricea sistemului e pozitiv b. dominanta pe linii definita Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt ____ 36. metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)? Metoda lui Gauss pentru Metoda lui Gauss-Seidel a. c. rezolvarea de sisteme algebrice liniare Metoda lui Jacobi pentru b. rezolvarea de sisteme algebrice liniare 8
  9. 9. Name: ________________________ ID: A Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt ____ 37. metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar e se doreste a fi rezolvat)? Metoda lui Jacobi(pentru sisteme c. a. Metoda radacinii patrate(sau metoda Cholesky) liniare) . Metoda lui Gauss (pentru b. sisteme liniare) Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Care ____ 38. din urmatoarele metode de rezolvare poate fi utilizata pentru rezolvarea lui? Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Legendre a. c. Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Newton b. d. radacinii patrate) 9
  10. 10. Name: ________________________ ID: A Se rezolva sistemul cu matricea A data de ____ 39. Ê4 1ˆ Á ˜ 0 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á2 2˜ Á ˜ 5 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á3 7˜ Á ˜ 1 Ë ¯ Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala X 0 = (0,0,0) De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga? Pentru ca metoda lui Pentru ca predictia initiala este a. c. X 0 = (0,0,0) Gauss-Seidel converge intotdeauna. Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este b. diagonal dominanta pe linii. inversabila. ____ 40. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de Ê4 1ˆ Á ˜ 0 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á2 2˜ Á ˜ 5 Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á3 7˜ Á ˜ 1 Ë ¯ Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala X 0 = (0,0,0). De ce este metoda lui Jacobi garantata sa convearga? Pentru ca metoda lui Jacobi Pentru ca predictia initiala este a. c. X 0 = (0,0,0) converge intotdeauna. Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este b. diagonal dominanta pe linii. inversabila. 10
  11. 11. Name: ________________________ ID: A ____ 41. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele ∏ n (x − x j ) j = 1,j ≠ i l (x) = ∏ i n (x i − x j ) j = 1,j ≠ i metoda de interpolare cu metoda de interpolare cu a. c. polinoame Lagrange diferente divizate metoda lui Gauss metoda de interpolare cu functii b. d. spline ____ 42. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ? ∏ n (x i − x j ) j = 1,j ≠ i l (x) = a. ∏ i n (x − x j ) j = 1,j ≠ i ∏ n (x − x i ) j = 1,j ≠ i l (x) = b. ∏ i n (x j − x i ) j = 1,j ≠ i ∏ n (x − x j ) j = 1,j ≠ i l (x) = c. ∏ i n (x i − x j ) j = 1,j ≠ i ∏ ∏ n n l i (x) = (x − x j ) − (x i − x j ) d. j = 1,j ≠ i j = 1,j ≠ i 11
  12. 12. Name: ________________________ ID: A Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul ____ 43. este (x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2 a. c. x2 + 1 x2 b. d. ____ 44. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul este (x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2 a. c. x2 − x x2 − 2 b. d. ____ 45. Se da tabelul Cat este l 2 (x) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) (x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2 a. c. 1 − x2 (x − 1) 2 + 1 b. d. 12
  13. 13. Name: ________________________ ID: A Se da tabelul ____ 46. Notam cu l i polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica l i are grad n si l i (x j ) = 0 daca j ≠ i si l i (x i ) = 1 . Atunci polinomul lui Lagrange P(x) de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus este dat de formula: yi ∑ P(x) = ∑i = 0 n n P(x) = y i l i (x) a. c. i=0 l i (x) ∑ ∑ n n P(x) = y i − l i (x) P(x) = y i + l i (x) b. d. i=0 i=0 Ê πx ˆ Á˜ Á˜ Se considera functia f(x) = sin Á ˜ si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe Á ˜ ____ 47. Á ˜ Á2˜ Á ˘ ¯ nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)? a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 ____ 48. Care din urmatoarele este o metoda de calcul a valorilor proprii ale unui anumit tip de matrici? Metoda bisectiei Metoda rotatiilor a lui Jacobi a. c. Metoda Newton-Cotes Metoda trapezului b. d. 13
  14. 14. Name: ________________________ ID: A Carui tip de matrici i se poate aplica metoda rotatiilor? ____ 49. Matrici reale simetrice Matrici superior triunghiulare a. c. Matrici inversabile Matrici diagonal dominante pe b. d. linii 1 Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin ____ 50. −1 utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes 1 ∫ x 3 dx −1 1 ∫ este aproximata de P 2 (x) dx −1 unde P 2 este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este P 2 ? x2 2x a. c. 2x − 4 x b. d. 1 ∫ x 3 dx prin ____ 51. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula −1 utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda trapezului metoda lui Lagrange a. c. metoda lui Simpson metoda lui Jacobi b. d. 14
  15. 15. Name: ________________________ ID: A 1 ∫ x 3 dx prin Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ____ 52. −1 utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este metoda trapezului metoda lui Lagrange a. c. metoda lui Simpson metoda lui Jacobi b. d. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula ____ 53. (b + a)(f(b) + f(a)) (b − a)(f(b) − f(a)) a. c. 2 2 (b − a)(f(b) + f(a)) (b + a)(f(b) − f(a)) b. d. 2 2 ____ 54. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula Êa+bˆ Á ˜ Á ˜ (b + a)(f(b) + 4f Á ˜ + f(a)) Á ˜ Á ˜ Á Á2˜ ˜ Ë ¯ a. 6 Êa+bˆ Á ˜ Á ˜ (b − a)(f(b) − 4f Á ˜ Á 2 ˜ + f(a)) Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ b. 6 Êa+bˆ Á ˜ Á ˜ (b + a)(f(b) − 4f Á ˜ Á 2 ˜ + f(a)) Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ c. 6 Êa+bˆ Á ˜ Á ˜ (b − a)(f(b) + 4f Á ˜ Á 2 ˜ + f(a)) Á ˜ Á ˜ Á ˜ Ë ¯ d. 6 15
  16. 16. Name: ________________________ ID: A Aproximam integrala ____ 55. 3 ∫ f(x) dx 0 cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Obtinem (f(0) + 2f(1) − 2f(2) − f(3)) / 2 a. (f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) / 2 b. (f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)) / 2 c. (f(0) + 4f(1) + 4f(2) + f(3)) / 2 d. ____ 56. 6 ∫ Aproximam integrala f(x) dx 0 cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Obtinem a. b. c. d. 16
  17. 17. Name: ________________________ ID: A ____ 57. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de rezolvare a sistemelor algebrice integrare numerica a. c. liniare gasire a valorilor proprii ale unei interpolare b. d. matrici ____ 58. Metoda Newton-Cotes este o metoda de rezolvarea a sistemelor interpolare a. c. algebrice liniare gasire a valorilor proprii ale integrare numerica b. d. unei matrici Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip ____ 59. Newton-Cotes a. b. Gauss-Legendre c. nici una nici alta 17
  18. 18. Name: ________________________ ID: A Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri (x i ) i = 1. . n pentru ____ 60. aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. La primul pas se determina nodurile cu se integreaza polinomul lui a. c. 2i Legendre pe [-1,1] valoarea formula x i = −1 + obtinuta fiind o aproximare n−1 buna a integralei. (nodurile ar fi in cazul acesta echidistante) se afla valoarea polinomului se afla radacinile polinomului lui b. d. lui Legendre la capetele Legendre de ordin n intervalului Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea ____ 61. integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci x 1 ,x 2 in mod necesar sunt -1 respectiv 1 radacinile polinomului de a. c. interpolare al lui Lagrange pentru functia f pe nodurile -1 si 1 se calculeaza valorile radacinile polinomului lui b. d. polinomului lui Legendre la Legendre de ordin 2 capetele intervalului. acele valori sunt x 1 si x 2 y Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = x + ,y(1) = 1 ____ 62. x cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(2), unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus? a. 3 c. 4 b. 3.5 d. 4.5 18
  19. 19. Name: ________________________ ID: A ____ 63. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = x + sin(y),y(1) = 1 cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam x 0 = 1,y 0 = 1Formula iterativa din metoda lui Euler este y i + 1 = y i + 0.5(x i − sin(y i )) y i + 1 = y i + 0.5(x i + sin(y i )) a. c. y i + 1 = y i − 0.5(x i + sin(y i )) y i + 1 = y i − 0.5(x i − sin(y i )) b. d. ____ 64. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = f(x,y),y(0) = 1 Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa y i + 1 = y i + hf(x i ,y i ) Aceasta este Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de a. c. ordin 2 Metoda lui Taylor pentru n=2 nicuna din cele de mai sus b. d. 19
  20. 20. Name: ________________________ ID: A ____ 65. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = f(x,y),y(0) = 1 Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa y i + 1 = y i + 0.5h(f(x i ,y i ) + f(x i + 1 ,y i + hf(x i ,y i ))) Aceasta este Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de a. c. ordin 3 Metoda lui Taylor pentru n=2 Metoda Cauchy-Euler b. d. ____ 66. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y y' = x + ,y(1) = 1 x Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam y 0 = 1. Care este prima iteratie y 1 ? a. 3 c. 3.75 b. 3.5 d. 4 20
  21. 21. Name: ________________________ ID: A ____ 67. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = f(x,y),y(0) = 1 Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) yi + 1 = 6 k 4 = hf(x i + h,y i + k 3 ) unde Aceasta este Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de ordin a. c. 4 Metoda lui Taylor pentru n=2 Metoda Cauchy-Euler b. d. Se considera ecuatia f(x) = 5x 3 − x − 1 = 0 ____ 68. Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda a. bisectiei c. lui Newton b. secantei d. lui Gauss 21
  22. 22. Name: ________________________ ID: A A = (a ij ) i, j = 1. . n Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen ____ 69. liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul (x1 , x2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa m X= formula ----------------------- pentru i de la 1 la n y i = (b i − ∑k = 1,k ≠ i a ik x k ) / a ii n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva? 1. Metoda lui Lagrange 1. Metoda lui Gauss a. c. 1. Metoda lui Cholesky(metoda 1. Metoda lui Jacobi(pentru b. d. radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare) 22
  23. 23. Name: ________________________ ID: A A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata ____ 70. liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul (x 1 , x 2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa m X= formula ----------------------- pentru i de la 1 la n i−1 y i = (b i − ∑k = 1 a ik y k − ∑k = i + 1 a ik x k ) / a ii n ----------------------- Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa? Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Seidel a. c. Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Jacobi(pentru b. d. radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare) A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata ____ 71. liber (b i ) i = 1. . n . Consideram metoda substitutiei inapoi ----------------------- pentru i de la 1 la n y i = (b i − ∑k = i + 1 a ik xk ) / a ii n ----------------------- Numim o operatie elementara o inmultire plus o adunare. Care este cu aproximatie numarul de operatii in algoritmul de mai sus? n3 / 2 n3 / 3 a. c. n2 / 2 3n 3 / 2 b. d. 23
  24. 24. Name: ________________________ ID: A Se considera un tabel ____ 72. si asociat lui algoritmul d=y; pentru k de la 1 la n pentru j descrascand de la n la k d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1}); sfarsit bucla j sfarsit bucla k Cu ce metoda numerica asociati acest algoritm? Metoda de interpolare a lui Metoda lui Cholesky(metoda a. c. Lagrange radacinii patrate) Metoda de interpolare cu Metoda lui Gauss-Seidel b. d. diferente divizate 24
  25. 25. Name: ________________________ ID: A Se considera un tabel ____ 73. si asociat lui algoritmul d=y; pentru k de la 1 la n pentru j descrascand de la n la k d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1}); sfarsit bucla j sfarsit bucla k Ce va stoca dupa iesirea din bucla k? coeficientii polinomului de valoarea polinomului de a. c. interpolare al lui Lagrange interpolare al lui Lagrange d 1 , d 2 , d 3 , . . . vor stoca coeficientii interpolantului b. d. spline corespunzator nodurilor diferentele divizate corespunzatoare perechilor de noduri x 1, (x 1,x 2), (x 1,x 2, x 3), .. . ____ 74. Consideram un prim pas: ----------------------- ----------------------- intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda numerica incepe cu acest pas? Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Seidel a. c. Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Jacobi(pentru b. d. radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare) 25
  26. 26. Name: ________________________ ID: A Se considera sistemul neliniar ____ 75. x 2 − x − 2y = 0,x + x 2 + 3y = 0 ce admite solutia (0,0). Sa se selecteze mai jos o conditie care impreuna cu alte doua conditii (care nu sunt prezentate aici) garanteaza convergenta metodei lui Newton pentru sisteme neliniare. Functiile x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y Matricea Jacobiana a functiei a. c. F(x,y) = (x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y) admit derivate partiale de ordin 3 are determinantul diferit de 0 la (0,0) (0,0)este unica solutie a sistemului Predictia initiala e mai mica b. d. considerat decat 1 Se da tabelul ____ 76. Cat este l 2 (2) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2) a. -1 c. -3 b. -2 d. 0 Se da tabelul ____ 77. Cat este l 2 (0.5) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5) a. 1.25 c. 0.75 b. 1.75 d. 0.25 26
  27. 27. Name: ________________________ ID: A ____ 78. Se da tabelul Fie P n polinomul de ordin n interpolant al valorilor din tabel, adica calculat cu metoda lui Lagrange. Care e numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii P n (2) presupunand ca 2 nu este printre valorilex i ,i = 0..n. n2 4n 2 a. c. 4n 2 /3 4n 3 b. d. 27
  28. 28. Name: ________________________ ID: A Se da tabelul ____ 79. Notam cu P(x) = a 0 + a 1x +. . .+ a n x polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de n mai sus adica P(x i ) = y i . Atunci coeficientii a 0 , a 1 ,. .., a n pot fi determinati prin rezolvarea sistemului Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á x0 ˜ Á y0 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ a1 ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á x1 ˜ Á y1 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ a1 ... Á ˜Á ˜ = Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ a. Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ... ˜Á . ˜ Á . ˜ Á ... ˜Á ˜ Á ˜ ... ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á xn ˜ Á yn ˜ Á0 a1 ˜Á ˜ Á ˜ ... Ë ¯Ë ¯ Ë ¯ Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á y0 ˜ Á x0 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ a1 ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á y1 ˜ Á x1 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ a1 ... Á ˜Á ˜ = Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ ˜Á ˜ Á ˜ b. Á Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ ... ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áa an ˜ Á yn ˜ Á xn ˜ Á0 a1 ˜Á ˜ Á ˜ ... Ë ¯Ë ¯ Ë ¯ Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áx xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ x1 ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áx xn ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ x1 ... Á ˜Á ˜ = Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ c. Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ ... ... Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Áx xn ˜ Á an ˜ Á yn ˜ Á0 ˜Á ˜ Á ˜ x1 ... Ë ¯Ë ¯ Ë ¯ Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜ Á1 Á ˜Á ˜ Á ˜ x0 ... 0 ˜Á Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á˜ Á ˜ n ˜Á ˜Á˜ Á x1 ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜ Á1 ˜Á ˜ Á ˜ Á x1 ... ˜Á ˜ = Á ˜ Á Á˜Á˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ d. Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ ˜Á ˜ Á ˜ ... ... Á Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Á ˜ Á ˜ Á n ˜Á a ˜ ˜Ë ¯ Á ˜ Á1 xn ˜ Á n ˜ Á yn ˜ Á xn ... Á ˜ ˯ Ë ¯ 28
  29. 29. Name: ________________________ ID: A 2 ∫ Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x)dx prin ____ 80. 0 utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes 2 ∫ f(x)dx = A 0 f(0) + A 1 f(2) 0 Cat este A 1 ? a. 1 c. 3 b. 2 d. 0 1 Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin ____ 81. −1 utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu a. 0 c. 2 b. 1 d. 3 1 Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin ____ 82. −1 utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat a. 0 c. 2 b. 1 d. 3 29
  30. 30. Name: ________________________ ID: A ____ 83. Se considera algoritmul pentru integrarea functiei f pe intervalul [a,b] utilizand n subintervale. --------------------------------- impartim [a,b] in n subintervale de lungime egala cu (b-a)/n. obtinem nodurile x_0,x_1,...,x_n. Calculam F=[f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)] calculam q=A*sum(F)-(h/2)*(F(1)+F(n)); --------------------------------- In aceasta rutina, sum(F) reprezinta suma componentelor vectorului F iar F(1),F(n) reprezinta prima respectiv ultima componenta a vectorului F. Cat trebuie sa fie variabila A de pe ultima linie din algoritm pentru ca acest algoritm sa implementeze formula sumata a trapezului? A = (f(b) − f(a)) / n A = (b − a) / n a. c. A = (b + a) / n A = (f(b) + f(a)) / n b. d. ____ 84. Se aproximeaza integrala unei functii f ∈ C 2 [−1,1] cu metoda trapezului sumata cu n subintervale si se obtine o eroare e. Atunci cand numarul de subintervale se dubleaza eroarea devine aproximativ egala cu e/2 e/4 a. c. e/3 e/5 b. d. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta ____ 85. metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu a. 2n+1 c. n+1 b. 2n-1 d. n-1 Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea ____ 86. integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal ca a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 30
  31. 31. Name: ________________________ ID: A Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt x 1 = −1 / 3,x 2 = 1 / 3 . Se considera ____ 87. 1 urmatoarea metoda de integrare numerica: ∫ f(x)dx = W 1 f(x 1 ) + W 2 f(x 2 ) −1 Cum alegeti W 1 ,W 2 pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3? alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Lagrange corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si a. apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]. Aceste integrale vor fi W 1 ,W 2 . alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Legendre corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si b. apoi integram aceste polinoame pe [-1,1] Se stie ca W 1 = f(−1) si W 2 = f(1) c. Niciunul din raspunsurile de mai sus, intotdeauna W 1 ,W 2 se determina d. depinzand de acea functie f ce urmeaza a fi integrata Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala ____ 88. y’=f(x,y), y(0)=1 cu metoda lui Euler. Presupunem ca solutia exacta y a ecuatiei de mai sus este liniara. Afirmatie: indiferent de pasul h folosit solutia numerica obtinuta cu metoda lui Euler este solutia exacta a ecuatiei de mai sus. Afirmatia nu e corecta, validitatea ei depinde de pasul h ales a. Afirmatia este corecta. b. Afirmatia nu este niciodata corecta, solutia numerica este doar o c. aproximatie a solutiei exacte, nu e chiar egala cu ea 31
  32. 32. Name: ________________________ ID: A Se rezolva numeric ecuatia diferentiala ____ 89. y y' = x + , y(1)=1 x 1 . Notam y 0 = 1. Efectuam zece iteratii in metoda Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= 10 Euler-Cauchy. Obtinem iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,. . . ,y 10 , . Atunci y 10 este aproximatia produsa de metoda numerica pentru a. y(1), y solutia exacta a ecuatiei c. y(3), y solutia exacta a ecuatiei b. y(2), y solutia exacta a ecuatiei d. y(4), y solutia exacta a ecuatiei Se rezolva numeric ecuatia diferentiala ____ 90. y y' = x + , y(1)=1 x Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam y 0 = 1. Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,. . . ,y 20 . Atunci y 20 este aproximatia produsa de metoda numerica pentru a. y(1) c. y(3) b. y(2) d. y(4) Yes/No Indicate whether you agree with the sentence or statement. ____ 91. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 + x 2 Este garantata convergenta metodei lui Newton catre solutia exacta 0 daca pornim cu predictie initiala foarte aproape de 0? 32
  33. 33. Name: ________________________ ID: A Numeric Response 1.0 Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0 92. x 0 = 1 . Cat este Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala urmatoare iteratie x 1 ? 0.0 Se considera ecuatia f(x) =x 3 − 2x − 1 = 0 2 93. Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este prima iteratie in metoda lui Newton? 9.0 94. Se da tabelul Fie P 2 polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica P 2 (−1) = 1,P 2 (0) = 0,P 2 (1) = 1 . Cat este P 2 (3)? arctg(x) 0.0 Se considera functia f(x) = si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe 95. π nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)? 3.0 Se da tabelul 96. Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2]. 33
  34. 34. Name: ________________________ ID: A 2 ∫ 0.3 Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x) prin 97. dx 0 utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes 2 ∫ f(x) dx = A 0 f(0) + A 1 f(1) + A 2 f(2) 0 Cat este A 0 ? 0.5 Aproximati integrala 98. 1 ∫ x 2 dx 0 cu metoda trapezului. 0.0 Aproximati integrala 99. 1 ∫ sin(πx) dx 0 cu metoda trapezului. 1.5 100. Aproximati integrala 1 ∫ 2 x dx 0 cu metoda trapezului. 20.0 Aproximati integrala 101. 2 4 ∫0 3x dx cu metoda lui Simpson. 4.0 Aproximati integrala 102. 2 ∫ x 3 dx 0 cu metoda lui Simpson. 34
  35. 35. Name: ________________________ ID: A 1.0 103. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y y' = x + ,y(1) = 1 x cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(3)? 5.0 Se da tabelul 104. Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3]. 7.0 Se da tabelul 105. Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4]. 2.0 106. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y, y(0)=1 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 metoda pentru y(1)? 2.0 107. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y+x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? 2.0 108. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y-x, y(0)=1 cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus? 35
  36. 36. Name: ________________________ ID: A 2.0 109. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y-6x, y(0)=1 = 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 metoda lui Euler? 2.0 110. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y+5x, y(0)=1 = 0,y 0 = 1.Cat este prima iteratie y 1 produsa de cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 metoda lui Euler? 2.0 111. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y’=y-10x, y(0)=1 = 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 metoda lui Euler? 0.0 112. Se considera sistemul neliniar x 2 − x + 2y = 0, x2 + 3y = 0 2 Se aplica metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = (1,1) . Sa se calculeze prima iteratie x 1 (care va fi un vector) si sa se puna in casuta de mai jos prima componenta a lui x 1 . 1.0 113. Se considera functia f(x) =x − 1) 4 si P(x) polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe ( nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este P(0)? 0.0 Se da tabelul 114. Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] . 36
  37. 37. Name: ________________________ ID: A 0.0 Se da tabelul 115. Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] . 1.0 Se da tabelul 116. Sa se calculeze P 3 (0) unde P 3 este polinomul interpolant al valorilor din tabel. 37

×