an num old

1. Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________ ID: A
awerg
True/False
Indicate whether the sentence or statement is true or false.
1. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0
____
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda
bisectiei.
f(x) = x 3 − x − 2
2. Se considera ecuatia
____
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica
metoda bisectiei.
Se considera ecuatia
____ 3.
x
f(x) = [x] −
2
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a
numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.
Se considera ecuatia f(x)=0
____ 4.
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge
catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.
Se considera ecuatia f(x)=0
____ 5.
cu f continua pe intervalul [a,b]si f(a)f(b)<0 . Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient
de aproape de o solutie din [a,b] a ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea
solutie cu ordin de convergenta patratic.
6. Se considera ecuatia f(x)=0
____
2
cu f ∈ C [a,b] pe intervalul [a,b] si f' (x *) ≠ 0 unde x * ∈ [a, b] este solutia exacta a
ecuatiei. Atunci daca se porneste cu predictie initiala suficient de aproape de o solutie din [a,b] a
ecuatiei de mai sus metoda lui Newton va converge catre acea solutie cu ordin de convergenta
patratic.
Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.
____ 7.
1

2. Name: ________________________ ID: A
8. Metoda bisectiei converge liniar.
____
9. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia
____
ii aplicam metoda.
____ 10. Se considera ecuatia f(x)=0
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0 . Utilizam metoda bisectiei pentru aproximarea unei
solutii a ecuatiei de mai sus. Notam cu solutia catre care converge sirul de aproximari produse de
metoda bisectiei. Este adevarat atunci ca putem determina cu exactitate numarul n de iteratii necesare
pentru ca | x n − x * | < 10 −5 . aici x n denota a n-a iteratie.
Se rezolva un sistemul compatibil determinat cu matrice A si termen liber b utilizand o metoda
____ 11.
numerica iterativa. La pasul n se calculeaza un vector X n . Calculam AX n − b si gasim ca fiecare
componenta a lui AX n − b este foarte mica. Atunci X n este foarte aproape de solutia exacta a
sistemului liniar AX = b
In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu
____ 12.
diferente divizate.
____ 13. Metoda rotatiilor a lui Jacobi calculeaza in mod exact valorile proprii ale oricarei matrici.
Metoda rotatiilor a lui Jacobi pentru determinarea valorilor proprii ale unei matrici de un anumit tip
____ 14.
A este o metoda iterativa in care la fiecare pas se construieste o matrice R de un anumit tip si se
T
inmulteste A la stanga cu R iar la dreapta cu R. In acest fel la fiecare pas se anuleaza una cate una
componentele din matricea A ce nu sunt pe diagonala si intr-un numar finit de pasi metoda rotatiilor
produce o matrice diagonala ale carei elemente pe diagonala sunt exact valorile proprii ale matricii
A.
Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe
____ 15.
[a,b] va calcula in mod exact integrala
b
∫a f(x)dx
2

3. Name: ________________________ ID: A
Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]
____ 16.
va calcula in mod exact integrala
b
∫a f(x)dx
Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale de
____ 17.
lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor
obtinute.
In practica se folosesc formulele Newton-Cotes nu formulele Newton-Cotes sumate pentru ca
____ 18.
acestea ultimele necesita prea multe calcule.
Polinomul lui Legendre P 3 de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre P 4 de grad 4 adica
____ 19.
1
∫−1 P 3 (x)P 4(x)dx = 0
____ 20. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe
1
(x 2 + 1) P 4(x)dx = 0
adica ∫
−1
____ 21. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se
aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile
____ 22.
se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
Metoda lui Euler produce intotdeauna o solutie aproximativa care pe masura ce pasul h se
____ 23.
micsoreaza va converge catre solutia exacta a problemei.
3

4. Name: ________________________ ID: A
____ 24. Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
cu metoda lui Euler cu pas h. Notam x 0 = 0,y 0 = 1.La efectuarea primului pas eroarea comisa este
h2
| y 1 − y(x 1 )| = | y' ' (ψ)|
2
unde ψ este un numar din intervalul [x 0, x 1 ]
Multiple Choice
Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
____ 25. Se considera ecuatia f(x) = 4x 5 − 3x 3 − 1 = 0
(4x 5 − 3x 3 − 1)
n n
Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − .
(20x 4 − 9x 2 )
n n
Aceasta este
metoda bisectiei metoda lui Newton
a. c.
metoda secantei metoda pozitiei false
b. d.
____ 26. Se considera ecuatia f(x) = 3x 5 − 2x 3 − 1 = 0
(3x 5 − 2x 3 − 1)
n n
Pentru rezolvarea ei vom alege x 0 = 1.2 si apoi vom defini recursiv x n + 1 = x n − ,n
(15x 4 − 6x 2 )
n n
numar natural. Aceasta este
metoda bisectiei metoda lui Newton
a. c.
metoda secantei metoda pozitiei false
b. d.
4

5. Name: ________________________ ID: A
Se considera ecuatia f(x) = 3x 3 − x − 1 = 0
____ 27.
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda
a. bisectiei c. lui Newton
b. secantei d. lui Gauss
Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate?
____ 28.
Metoda lui Newton necesita Si metoda bisectiei si metoda
a. c.
calcularea exacta a derivatei la lui Newton se pot utiliza
fiecare pas, in timp ce metoda intotdeauna
bisectiei nu necesita acest
lucru.
Metoda bisectiei are un ordin
b.
de convergenta mai mare decat
metoda lui Newton.
Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
____ 29.
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
Metoda lui Cholesky(sau Metoda lui Newton
a. c.
metoda radacinii patrate)
Metoda lui Gauss Metoda lui Lagrange
b. d.
5

6. Name: ________________________ ID: A
____ 30. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
Metoda lui Cholesky(sau Metoda lui Gauss
a. c.
metoda radacinii patrate)
Metoda lui Gauss-Legendre Metoda lui Lagrange
b. d.
____ 31. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
Metoda lui Gauss
a. Metoda lu Choleski(sau metoda radacinii c.
patrate)
metoda lui Simpson Metoda lui Lagrange
b. d.
6

7. Name: ________________________ ID: A
Se rezolva sistemul cu matricea
____ 32.
Ê2 1ˆ
Á ˜
1
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á1 0˜
Á ˜
5
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á1 1˜
Á ˜
0
Á ˜
Ë ¯
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
Metoda lui Cholesky(sau metoda c. Metoda bisectiei
a.
radacinii patrate)
Metoda lui Newton Metoda lui Lagrange
b. d.
Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
____ 33.
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica
Metoda lui Cholesky(deasemenea c. Metoda lui Newton
a.
numita si metoda radacinii
patrate)
Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Legendre
b. d.
7

8. Name: ________________________ ID: A
____ 34. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de
sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
Matricea sistemului este Matricea sistemului e superior
a. c.
simetrica triunghiulara
Matricea sistemului e diagonal Matricea sistemului e pozitiv
b. d.
dominanta pe linii definita
____ 35. Care din urmatoarele conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Gauss-Seidel pentru rezolvarea de
sisteme liniare sa produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
Matricea sistemului este Matricea sistemului e superior
a. c.
simetrica triunghiulara
Matricea sistemului e diagonal d. Matricea sistemului e pozitiv
b.
dominanta pe linii definita
Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt
____ 36.
metode ce teoretic produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?
Metoda lui Gauss pentru Metoda lui Gauss-Seidel
a. c.
rezolvarea de sisteme
algebrice liniare
Metoda lui Jacobi pentru
b.
rezolvarea de sisteme
algebrice liniare
8

9. Name: ________________________ ID: A
Care din urmatoarele metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt
____ 37.
metode ce teoretic produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului
liniar e se doreste a fi rezolvat)?
Metoda lui Jacobi(pentru sisteme c.
a. Metoda radacinii patrate(sau metoda
Cholesky)
liniare)
.
Metoda lui Gauss (pentru
b.
sisteme liniare)
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Care
____ 38.
din urmatoarele metode de rezolvare poate fi utilizata pentru rezolvarea lui?
Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Legendre
a. c.
Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Newton
b. d.
radacinii patrate)
9

10. Name: ________________________ ID: A
Se rezolva sistemul cu matricea A data de
____ 39.
Ê4 1ˆ
Á ˜
0
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á2 2˜
Á ˜
5
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á3 7˜
Á ˜
1
Ë ¯
Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala X 0 = (0,0,0)
De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?
Pentru ca metoda lui Pentru ca predictia initiala este
a. c.
X 0 = (0,0,0)
Gauss-Seidel converge
intotdeauna.
Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este
b.
diagonal dominanta pe linii. inversabila.
____ 40. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de
Ê4 1ˆ
Á ˜
0
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á2 2˜
Á ˜
5
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Á3 7˜
Á ˜
1
Ë ¯
Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala X 0 = (0,0,0). De ce este metoda lui
Jacobi garantata sa convearga?
Pentru ca metoda lui Jacobi Pentru ca predictia initiala este
a. c.
X 0 = (0,0,0)
converge intotdeauna.
Pentru ca matricea sistemului este d. Pentru ca matricea A este
b.
diagonal dominanta pe linii. inversabila.
10

11. Name: ________________________ ID: A
____ 41. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele
∏ n
(x − x j )
j = 1,j ≠ i
l (x) =
∏
i n
(x i − x j )
j = 1,j ≠ i
metoda de interpolare cu metoda de interpolare cu
a. c.
polinoame Lagrange diferente divizate
metoda lui Gauss metoda de interpolare cu functii
b. d.
spline
____ 42. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?
∏ n
(x i − x j )
j = 1,j ≠ i
l (x) =
a.
∏
i n
(x − x j )
j = 1,j ≠ i
∏ n
(x − x i )
j = 1,j ≠ i
l (x) =
b.
∏
i n
(x j − x i )
j = 1,j ≠ i
∏ n
(x − x j )
j = 1,j ≠ i
l (x) =
c.
∏
i n
(x i − x j )
j = 1,j ≠ i
∏ ∏
n n
l i (x) = (x − x j ) − (x i − x j )
d. j = 1,j ≠ i j = 1,j ≠ i
11

12. Name: ________________________ ID: A
Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
____ 43.
este
(x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2
a. c.
x2 + 1 x2
b. d.
____ 44. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
este
(x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2
a. c.
x2 − x x2 − 2
b. d.
____ 45. Se da tabelul
Cat este l 2 (x) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0)
(x − 1) 2 − 1 (x − 1) 2
a. c.
1 − x2 (x − 1) 2 + 1
b. d.
12

13. Name: ________________________ ID: A
Se da tabelul
____ 46.
Notam cu l i polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica l i are grad n si l i (x j ) = 0 daca
j ≠ i si l i (x i ) = 1 . Atunci polinomul lui Lagrange P(x) de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul
de mai sus este dat de formula:
yi
∑ P(x) = ∑i = 0
n n
P(x) = y i l i (x)
a. c.
i=0
l i (x)
∑ ∑
n n
P(x) = y i − l i (x) P(x) = y i + l i (x)
b. d.
i=0 i=0
Ê πx ˆ
Á˜
Á˜
Se considera functia f(x) = sin Á ˜ si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
Á ˜
____ 47. Á ˜
Á2˜
Á
˘ ¯
nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
____ 48. Care din urmatoarele este o metoda de calcul a valorilor proprii ale unui anumit tip de matrici?
Metoda bisectiei Metoda rotatiilor a lui Jacobi
a. c.
Metoda Newton-Cotes Metoda trapezului
b. d.
13

14. Name: ________________________ ID: A
Carui tip de matrici i se poate aplica metoda rotatiilor?
____ 49.
Matrici reale simetrice Matrici superior triunghiulare
a. c.
Matrici inversabile Matrici diagonal dominante pe
b. d.
linii
1
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
____ 50.
−1
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes
1
∫ x 3 dx
−1
1
∫
este aproximata de P 2 (x) dx
−1
unde P 2 este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este P 2 ?
x2 2x
a. c.
2x − 4
x
b. d.
1
∫ x 3 dx prin
____ 51. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula
−1
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste
metoda trapezului metoda lui Lagrange
a. c.
metoda lui Simpson metoda lui Jacobi
b. d.
14

15. Name: ________________________ ID: A
1
∫ x 3 dx prin
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula
____ 52.
−1
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este
metoda trapezului metoda lui Lagrange
a. c.
metoda lui Simpson metoda lui Jacobi
b. d.
Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula
____ 53.
(b + a)(f(b) + f(a)) (b − a)(f(b) − f(a))
a. c.
2 2
(b − a)(f(b) + f(a)) (b + a)(f(b) − f(a))
b. d.
2 2
____ 54. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b + a)(f(b) + 4f Á ˜ + f(a))
Á ˜
Á ˜
Á
Á2˜ ˜
Ë ¯
a.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b − a)(f(b) − 4f Á ˜
Á 2 ˜ + f(a))
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Ë ¯
b.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b + a)(f(b) − 4f Á ˜
Á 2 ˜ + f(a))
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Ë ¯
c.
6
Êa+bˆ
Á ˜
Á ˜
(b − a)(f(b) + 4f Á ˜
Á 2 ˜ + f(a))
Á ˜
Á ˜
Á ˜
Ë ¯
d.
6
15

16. Name: ________________________ ID: A
Aproximam integrala
____ 55.
3
∫ f(x) dx
0
cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Obtinem
(f(0) + 2f(1) − 2f(2) − f(3)) / 2
a.
(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) / 2
b.
(f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)) / 2
c.
(f(0) + 4f(1) + 4f(2) + f(3)) / 2
d.
____ 56.
6
∫
Aproximam integrala f(x) dx
0
cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Obtinem
a.
b.
c.
d.
16

17. Name: ________________________ ID: A
____ 57. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de
rezolvare a sistemelor algebrice integrare numerica
a. c.
liniare
gasire a valorilor proprii ale unei interpolare
b. d.
matrici
____ 58. Metoda Newton-Cotes este o metoda de
rezolvarea a sistemelor interpolare
a. c.
algebrice liniare
gasire a valorilor proprii ale integrare numerica
b. d.
unei matrici
Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip
____ 59.
Newton-Cotes
a.
b. Gauss-Legendre
c. nici una nici alta
17

18. Name: ________________________ ID: A
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri (x i ) i = 1. . n pentru
____ 60.
aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. La primul pas
se determina nodurile cu se integreaza polinomul lui
a. c.
2i Legendre pe [-1,1] valoarea
formula x i = −1 + obtinuta fiind o aproximare
n−1
buna a integralei.
(nodurile ar fi in cazul acesta
echidistante)
se afla valoarea polinomului se afla radacinile polinomului lui
b. d.
lui Legendre la capetele Legendre de ordin n
intervalului
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea
____ 61.
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci x 1 ,x 2 in mod necesar sunt
-1 respectiv 1 radacinile polinomului de
a. c.
interpolare al lui Lagrange
pentru functia f pe nodurile -1
si 1
se calculeaza valorile radacinile polinomului lui
b. d.
polinomului lui Legendre la Legendre de ordin 2
capetele intervalului. acele
valori sunt x 1 si x 2
y
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala y' = x + ,y(1) = 1
____ 62.
x
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(2), unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?
a. 3 c. 4
b. 3.5 d. 4.5
18

19. Name: ________________________ ID: A
____ 63. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = x + sin(y),y(1) = 1
cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam x 0 = 1,y 0 = 1Formula iterativa din metoda lui Euler este
y i + 1 = y i + 0.5(x i − sin(y i )) y i + 1 = y i + 0.5(x i + sin(y i ))
a. c.
y i + 1 = y i − 0.5(x i + sin(y i )) y i + 1 = y i − 0.5(x i − sin(y i ))
b. d.
____ 64. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa
y i + 1 = y i + hf(x i ,y i )
Aceasta este
Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de
a. c.
ordin 2
Metoda lui Taylor pentru n=2 nicuna din cele de mai sus
b. d.
19

20. Name: ________________________ ID: A
____ 65. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Fixam pasul h si consideram formula iterativa
y i + 1 = y i + 0.5h(f(x i ,y i ) + f(x i + 1 ,y i + hf(x i ,y i )))
Aceasta este
Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de
a. c.
ordin 3
Metoda lui Taylor pentru n=2 Metoda Cauchy-Euler
b. d.
____ 66. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + ,y(1) = 1
x
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam y 0 = 1. Care este prima iteratie y 1 ?
a. 3 c. 3.75
b. 3.5 d. 4
20

21. Name: ________________________ ID: A
____ 67. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y' = f(x,y),y(0) = 1
Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i
(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
yi + 1 =
6
k 4 = hf(x i + h,y i + k 3 )
unde
Aceasta este
Metoda lui Euler Metoda lui Runge-Kutta de ordin
a. c.
4
Metoda lui Taylor pentru n=2 Metoda Cauchy-Euler
b. d.
Se considera ecuatia f(x) = 5x 3 − x − 1 = 0
____ 68.
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda
a. bisectiei c. lui Newton
b. secantei d. lui Gauss
21

22. Name: ________________________ ID: A
A = (a ij ) i, j = 1. . n
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen
____ 69.
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
(x1 , x2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa
m
X=
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
y i = (b i − ∑k = 1,k ≠ i a ik x k ) / a ii
n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?
1. Metoda lui Lagrange 1. Metoda lui Gauss
a. c.
1. Metoda lui Cholesky(metoda 1. Metoda lui Jacobi(pentru
b. d.
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
22

23. Name: ________________________ ID: A
A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata
____ 70.
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) si calculam urmatoarea iteratie X m + 1 = (y 1 , y 2 , . . . , y n ) dupa
m
X=
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
i−1
y i = (b i − ∑k = 1 a ik y k − ∑k = i + 1 a ik x k ) / a ii
n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?
Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Seidel
a. c.
Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Jacobi(pentru
b. d.
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
A = (a ij ) i, j = 1. . n si termen
Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata
____ 71.
liber (b i ) i = 1. . n . Consideram metoda substitutiei inapoi
-----------------------
pentru i de la 1 la n
y i = (b i − ∑k = i + 1 a ik xk ) / a ii
n
-----------------------
Numim o operatie elementara o inmultire plus o adunare. Care este cu aproximatie numarul de
operatii in algoritmul de mai sus?
n3 / 2 n3 / 3
a. c.
n2 / 2 3n 3 / 2
b. d.
23

24. Name: ________________________ ID: A
Se considera un tabel
____ 72.
si asociat lui algoritmul
d=y;
pentru k de la 1 la n
pentru j descrascand de la n la k
d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1});
sfarsit bucla j
sfarsit bucla k
Cu ce metoda numerica asociati acest algoritm?
Metoda de interpolare a lui Metoda lui Cholesky(metoda
a. c.
Lagrange radacinii patrate)
Metoda de interpolare cu Metoda lui Gauss-Seidel
b. d.
diferente divizate
24

25. Name: ________________________ ID: A
Se considera un tabel
____ 73.
si asociat lui algoritmul
d=y;
pentru k de la 1 la n
pentru j descrascand de la n la k
d_{j+1}=(d_{j+1}-d_j)/(x_{j+1}-x_{j-k+1});
sfarsit bucla j
sfarsit bucla k
Ce va stoca dupa iesirea din bucla k?
coeficientii polinomului de valoarea polinomului de
a. c.
interpolare al lui Lagrange interpolare al lui Lagrange
d 1 , d 2 , d 3 , . . . vor stoca coeficientii interpolantului
b. d.
spline corespunzator nodurilor
diferentele divizate
corespunzatoare perechilor de
noduri
x 1, (x 1,x 2), (x 1,x 2, x 3), .. .
____ 74. Consideram un prim pas:
-----------------------
-----------------------
intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda
numerica incepe cu acest pas?
Metoda lui Lagrange Metoda lui Gauss-Seidel
a. c.
Metoda lui Cholesky(metoda Metoda lui Jacobi(pentru
b. d.
radacinii patrate) rezolvarea de sisteme liniare)
25

26. Name: ________________________ ID: A
Se considera sistemul neliniar
____ 75.
x 2 − x − 2y = 0,x + x 2 + 3y = 0
ce admite solutia (0,0). Sa se selecteze mai jos o conditie care impreuna cu alte doua conditii (care
nu sunt prezentate aici) garanteaza convergenta metodei lui Newton pentru sisteme neliniare.
Functiile x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y
Matricea Jacobiana a functiei
a. c.
F(x,y) = (x 2 − x − 2y,x + x 2 + 3y) admit derivate partiale de
ordin 3
are determinantul diferit de 0
la (0,0)
(0,0)este unica solutie a sistemului Predictia initiala e mai mica
b. d.
considerat decat 1
Se da tabelul
____ 76.
Cat este l 2 (2) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)
a. -1 c. -3
b. -2 d. 0
Se da tabelul
____ 77.
Cat este l 2 (0.5) (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)
a. 1.25 c. 0.75
b. 1.75 d. 0.25
26

27. Name: ________________________ ID: A
____ 78. Se da tabelul
Fie P n polinomul de ordin n interpolant al valorilor din tabel, adica
calculat cu metoda lui Lagrange. Care e numarul de operatii efectuate pentru calcularea valorii P n (2)
presupunand ca 2 nu este printre valorilex i ,i = 0..n.
n2 4n 2
a. c.
4n 2 /3 4n 3
b. d.
27

28. Name: ________________________ ID: A
Se da tabelul
____ 79.
Notam cu P(x) = a 0 + a 1x +. . .+ a n x polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de
n
mai sus adica P(x i ) = y i . Atunci coeficientii a 0 , a 1 ,. .., a n pot fi determinati prin rezolvarea
sistemului
Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á x0 ˜ Á y0 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
a1 ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á x1 ˜ Á y1 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
a1 ...
Á ˜Á ˜ = Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
a. Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ... ˜Á . ˜ Á . ˜
Á ... ˜Á ˜ Á ˜
... ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á xn ˜ Á yn ˜
Á0 a1 ˜Á ˜ Á ˜
...
Ë ¯Ë ¯ Ë ¯
Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á y0 ˜ Á x0 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
a1 ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á y1 ˜ Á x1 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
a1 ...
Á ˜Á ˜ = Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
b. Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
... ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áa an ˜ Á yn ˜ Á xn ˜
Á0 a1 ˜Á ˜ Á ˜
...
Ë ¯Ë ¯ Ë ¯
Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áx xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
x1 ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áx xn ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
x1 ...
Á ˜Á ˜ = Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
c. Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
... ...
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Áx xn ˜ Á an ˜ Á yn ˜
Á0 ˜Á ˜ Á ˜
x1 ...
Ë ¯Ë ¯ Ë ¯
Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ
Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
xn ˜ Á a0 ˜ Á y0 ˜
Á1
Á ˜Á ˜ Á ˜
x0 ... 0 ˜Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á
˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á˜
Á ˜
n ˜Á ˜Á˜
Á
x1 ˜ Á a1 ˜ Á y1 ˜
Á1 ˜Á ˜ Á ˜
Á x1 ... ˜Á ˜ = Á ˜
Á Á˜Á˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
d. Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ... ... ˜Á . ˜ Á . ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
˜Á ˜ Á ˜
... ...
Á
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á ˜Á ˜ Á ˜
Á n ˜Á a ˜
˜Ë ¯ Á ˜
Á1 xn ˜ Á n ˜ Á yn ˜
Á xn ...
Á ˜ ˯
Ë ¯
28

29. Name: ________________________ ID: A
2
∫
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x)dx prin
____ 80.
0
utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes
2
∫ f(x)dx = A 0 f(0) + A 1 f(2)
0
Cat este A 1 ?
a. 1 c. 3
b. 2 d. 0
1
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
____ 81.
−1
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult
egal cu
a. 0 c. 2
b. 1 d. 3
1
Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula ∫ x 3 dx prin
____ 82.
−1
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui x 3 pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat
a. 0 c. 2
b. 1 d. 3
29

30. Name: ________________________ ID: A
____ 83. Se considera algoritmul pentru integrarea functiei f pe intervalul [a,b] utilizand n subintervale.
---------------------------------
impartim [a,b] in n subintervale de lungime egala cu (b-a)/n.
obtinem nodurile x_0,x_1,...,x_n. Calculam
F=[f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)]
calculam
q=A*sum(F)-(h/2)*(F(1)+F(n));
---------------------------------
In aceasta rutina, sum(F) reprezinta suma componentelor vectorului F iar F(1),F(n) reprezinta prima
respectiv ultima componenta a vectorului F. Cat trebuie sa fie variabila A de pe ultima linie din
algoritm pentru ca acest algoritm sa implementeze formula sumata a trapezului?
A = (f(b) − f(a)) / n A = (b − a) / n
a. c.
A = (b + a) / n A = (f(b) + f(a)) / n
b. d.
____ 84. Se aproximeaza integrala unei functii f ∈ C 2 [−1,1] cu metoda trapezului sumata cu n subintervale si
se obtine o eroare e. Atunci cand numarul de subintervale se dubleaza eroarea devine aproximativ
egala cu
e/2 e/4
a. c.
e/3 e/5
b. d.
Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta
____ 85.
metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu
a. 2n+1 c. n+1
b. 2n-1 d. n-1
Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri x 1 ,x 2 pentru aproximarea
____ 86.
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame de grad mai
mic sau egal ca
a. 1 c. 3
b. 2 d. 4
30

31. Name: ________________________ ID: A
Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt x 1 = −1 / 3,x 2 = 1 / 3 . Se considera
____ 87.
1
urmatoarea metoda de integrare numerica: ∫ f(x)dx = W 1 f(x 1 ) + W 2 f(x 2 )
−1
Cum alegeti W 1 ,W 2 pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?
alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Lagrange corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si
a.
apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]. Aceste integrale vor fi W 1 ,W 2 .
alegem l 1 ,l 2 polinoamele lui Legendre corespunzatoare nodurilor x 1 ,x 2 si
b.
apoi integram aceste polinoame pe [-1,1]
Se stie ca W 1 = f(−1) si W 2 = f(1)
c.
Niciunul din raspunsurile de mai sus, intotdeauna W 1 ,W 2 se determina
d.
depinzand de acea functie f ce urmeaza a fi integrata
Se rezolva numeric o ecuatie diferentiala
____ 88.
y’=f(x,y), y(0)=1
cu metoda lui Euler. Presupunem ca solutia exacta y a ecuatiei de mai sus este liniara. Afirmatie:
indiferent de pasul h folosit solutia numerica obtinuta cu metoda lui Euler este solutia exacta a
ecuatiei de mai sus.
Afirmatia nu e corecta, validitatea ei depinde de pasul h ales
a.
Afirmatia este corecta.
b.
Afirmatia nu este niciodata corecta, solutia numerica este doar o
c.
aproximatie a solutiei exacte, nu e chiar egala cu ea
31

32. Name: ________________________ ID: A
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____ 89.
y
y' = x + , y(1)=1
x
1
. Notam y 0 = 1. Efectuam zece iteratii in metoda
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h=
10
Euler-Cauchy. Obtinem iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,. . . ,y 10 , . Atunci y 10 este aproximatia produsa de
metoda numerica pentru
a. y(1), y solutia exacta a ecuatiei c. y(3), y solutia exacta a ecuatiei
b. y(2), y solutia exacta a ecuatiei d. y(4), y solutia exacta a ecuatiei
Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
____ 90.
y
y' = x + , y(1)=1
x
Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam y 0 = 1. Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem
iteratiile succesive y 1 ,y 2 ,y 3 ,y 4 ,. . . ,y 20 . Atunci y 20 este aproximatia produsa de metoda numerica
pentru
a. y(1) c. y(3)
b. y(2) d. y(4)
Yes/No
Indicate whether you agree with the sentence or statement.
____ 91. Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 + x 2
Este garantata convergenta metodei lui Newton catre solutia exacta 0 daca pornim cu predictie
initiala foarte aproape de 0?
32

33. Name: ________________________ ID: A
Numeric Response
1.0 Se considera ecuatia f(x) = 2x 3 − x − 1 = 0
92.
x 0 = 1 . Cat este
Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala
urmatoare iteratie x 1 ?
0.0 Se considera ecuatia f(x) =x 3 − 2x − 1 = 0
2
93.
Dorim sa aflam o solutie a ei utilizand metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este
prima iteratie in metoda lui Newton?
9.0 94. Se da tabelul
Fie P 2 polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica P 2 (−1) = 1,P 2 (0) = 0,P 2 (1) = 1 .
Cat este P 2 (3)?
arctg(x)
0.0 Se considera functia f(x) = si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
95.
π
nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?
3.0 Se da tabelul
96.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].
33

34. Name: ________________________ ID: A
2
∫
0.3 Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula f(x) prin
97. dx
0
utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes
2
∫ f(x) dx = A 0 f(0) + A 1 f(1) + A 2 f(2)
0
Cat este A 0 ?
0.5 Aproximati integrala
98.
1
∫ x 2 dx
0
cu metoda trapezului.
0.0 Aproximati integrala
99.
1
∫ sin(πx) dx
0
cu metoda trapezului.
1.5 100. Aproximati integrala
1
∫ 2 x dx
0
cu metoda trapezului.
20.0 Aproximati integrala
101.
2
4
∫0 3x dx
cu metoda lui Simpson.
4.0 Aproximati integrala
102.
2
∫ x 3 dx
0
cu metoda lui Simpson.
34

35. Name: ________________________ ID: A
1.0 103. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y
y' = x + ,y(1) = 1
x
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este y(x) = x 2 . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru y(3)?
5.0 Se da tabelul
104.
Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].
7.0 Se da tabelul
105.
Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].
2.0 106. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y, y(0)=1
= 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0
metoda pentru y(1)?
2.0 107. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
2.0 108. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0 = 0,y 0 = 1. Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
35

36. Name: ________________________ ID: A
2.0 109. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-6x, y(0)=1
= 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0
metoda lui Euler?
2.0 110. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+5x, y(0)=1
= 0,y 0 = 1.Cat este prima iteratie y 1 produsa de
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0
metoda lui Euler?
2.0 111. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-10x, y(0)=1
= 0,y 0 = 1. Cat este prima iteratie y 1 produsa de
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam x 0
metoda lui Euler?
0.0 112. Se considera sistemul neliniar
x 2 − x + 2y = 0,
x2
+ 3y = 0
2
Se aplica metoda lui Newton cu predictie initiala x 0 = (1,1) . Sa se calculeze prima iteratie x 1 (care va
fi un vector) si sa se puna in casuta de mai jos prima componenta a lui x 1 .
1.0 113. Se considera functia f(x) =x − 1) 4 si P(x) polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe
(
nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este P(0)?
0.0 Se da tabelul
114.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
36

37. Name: ________________________ ID: A
0.0 Se da tabelul
115.
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
1.0 Se da tabelul
116.
Sa se calculeze P 3 (0) unde P 3 este polinomul interpolant al valorilor din tabel.
37