1. Universitatea Spiru Haret
Facultatea de Matematica-Informatica
Disciplina obligatorie; Anul 3, Sem. 1,Matematica si Informatica
CONTINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI
• Metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii liniare:
metoda lui Gauss, metoda rădăcinii pătrate, metoda lui Iacobi, metoda Gauss
Seidel, metode de relaxare, pseudoinversa unei matrici.
• Metode de aproximare a spectrului: metoda rotaŃiilor, metoda puterilor.
• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor neliniare: principiul
contracŃiei, metoda lui Newton, metoda bisectiei.
• Interpolare cu polinoame: formula lui Hermite, interpolare cu noduri
simple, diferenŃe divizate, interpolare cu funcŃii spline cubice.
• Formule de cuadratură: formulele Newton-Côtes, formula
trapezului, formula lui Simpson, polinoamele lui Legendre şi formulele lui
Gauss, formula lui Hermite, formula lui Romberg.
• Metode numerice de rezolvare a ecuaŃiilor diferenŃiale: metoda lui
Taylor, metoda lui Euler, metoda Euler-Cauchy, metoda lui Runge-Kutta,
consistenŃă, stabilitate, convergenŃă.
BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE
1. Gh. Grigore, LecŃii de analiză numerică. Editura Universitară Bucureşti, 1990
2. Gh Grigore, Sinteze, Biblioteca virtuala, www.spiruharet.ro
3. Berbente, S. Mitran, S. Zancu, Metode Numerice (Numerical Methods), Editura Tehnica, 1997. 304 pages (in Romanian),
http://www.amath.unc.edu/Faculty/mitran/papers/metodenumerice.pdf
Subiecte propuse analiza numerica
____ 1. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) nodurile se
aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
____ 2. Metoda bisectiei converge liniar.
____ 3. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda
bisectiei.
____ 4. Daca f este un polinom de grad 4 atunci metoda lui Newton-Cotes cu 3 noduri echidistante pe [a,b]
va calcula in mod exact integrala

2. ____ 5. Polinomul lui Legendre de grad 3 este ortogonal pe polinomul lui Legendre de grad 4 adica
____ 6. In general metoda de interpolare a lui Lagrange e mai rapida decat metoda de interpolare cu
diferente divizate.
____ 7. Metoda bisectiei e intotdeauna mai rapida decat metoda lui Newton.
____ 8. Polinoamul lui Legendre de grad 4 este ortogonal pe
adica
____ 9. In formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre(spre deosebire de metoda Newton-Cotes) ponderile
se aleg depinzand de functia ce urmeaza a fi integrata.
____ 10. Intotdeauna metoda lui Newton produce un sir de numere care converge catre solutia ecuatiei careia
ii aplicam metoda.
____ 11. Se considera ecuatia f(x)=0
cu f continua pe intervalul [a,b] si f(a)f(b)<0. Atunci metoda bisectiei produce un sir ce converge
catre una din solutiile ecuatiei de mai sus.
____ 12. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica
metoda bisectiei.
____ 13. Formulele Newton-Cotes sumate se obtin prin impartirea intervalului de integrare in subintervale
de lungime egala, aplicarea formulelor Newton-Cotes pe fiecare subinterval si sumarea rezultatelor
obtinute.
____ 14. Daca f este un polinom de grad n atunci metoda lui Newton-Cotes cu n+1 noduri echidistante pe
[a,b] va calcula in mod exact integrala

3. ____ 15. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [-1,2]. In formula de mai sus [x] este partea intreaga a
numarului x . Pentru a afla o astfel de solutie putem aplica metoda bisectiei.
____ 16. Pentru A= sa se calculeze .
____ 17. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……
____ 18. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2].
____ 19. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
Fixam pasul h si consideram formula iterativa: la pasul i
unde

4. Aceasta este metoda ……
____ 20. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 21. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 22. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
Care este a doua iteratie?
____ 23. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……..
____ 24. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara …….
____ 25. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 26. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 2 noduri echidistante 0,2. Conform metodei Newton-Cotes
Cat este ?

5. ____ 27. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa
Aceasta este metoda ………
____ 28. Pentru A= sa se calculeze .
____ 29. Pentru A= sa se calculeze .
____ 30. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……
____ 31. Se da tabelul
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0) ?
____ 32. Metoda trapezului aproximeaza integrala lui f pe [a,b] dupa formula ……
____ 33. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa

6. . Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……
____ 34. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 3 noduri echidistante 0,1,2. Conform metodei Newton-Cotes
Cat este A0 ?
____ 35. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata simetrica si pozitiv definita. Ce
metode numerice pot fi utilizata pentru rezolvarea lui?
____ 36. Aproximati integrala
cu metoda trapezului.
____ 37. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare se numeste metoda ……
____ 38. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
este ………
____ 39. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1. Care este a doua iteratie?
____ 40. Aproximati integrala

7. cu metoda lui Simpson.
____ 41. Metoda lui Simpson aproximeaza integrala lui f pe [a,b] cu formula ……..
____ 42.
Aproximam integrala
cu metoda sumata a lui Simpson cu 3 subintervale. Formula de calcul este
………..
____ 43. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia
exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform
teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.
____ 44. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru , unde y este solutia exacta a ecuatiei de mai sus?
____ 45. Pentru A= sa se calculeze .
____ 46. Care metode de rezolvare de sisteme liniare sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic
produc un sir ce in anumite conditii converge catre solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi
rezolvat)?
____ 47. Se da tabelul
x 0 1 2
y 1 1 3
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1] functia
spline este data de
. Cat este m?

8. ____ 48. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Observati ca solutia exacta a ecuatiei este . Care este
aproximatia produsa de aceasta metoda pentru ?
____ 49. Care metode de rezolvare de sisteme liniare nu sunt metode iterative(adica sunt metode ce teoretic
produc solutia exacta a sistemului liniar ce se doreste a fi rezolvat)?
____ 50. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 51. Se da tabelul
Fie polinomul de grad 2 interpolant al valorilor din tabel, adica .
Cat este ?
____ 52. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
____ 53. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 54. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
____ 55. Polinomul lui Lagrange de ordin 2 ce interpoleaza valorile din tabelul
este ……..

9. ____ 56. Aproximati integrala
cu metoda trapezului.
____ 57. Pentru A= sa se calculeze .
____ 58. Se considera functia si P(x) polinomul de grad 1 care interpoleaza valorile lui f pe
nodurile 0,1. Cat este atunci P(2)?
____ 59. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau cel mult
egal cu …….
____ 60. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
Notam . Fixam pasul h si consideram formula iterativa
Aceasta este metoda ……
____ 61. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda ……

10. ____ 62. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
se calculeaza matricea
____ 63. Se da tabelul
Fie polinomul lui Lagrange interpolant al valorilor din tabel, adica ,
grad P , calculat cu metoda lui Lagrange. Care e cu aproximatie numarul de operatii efectuate
pentru calcularea valorii presupunand ca 2 nu este printre valorile .
____ 64. Se rezolva sistemul cu matricea A data de
Se doreste a se aplica metoda lui Gauss-Seidel cu predictie initiala
De ce este metoda lui Gauss-Seidel garantata sa convearga?
____ 65. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 66. Pentru A= sa se calculeze .
____ 67. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 2 noduri echidistante -1,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,1. Aceasta metoda de integrare este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal decat
……….

11. ____ 68. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu h=1 . Notam . Care este prima iteratie ?
____ 69. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .
____ 70. Se da tabelul
x 0 1 2
y 0 2 3
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Calculati valoarea lui m.
____ 71. Se da tabelul
x 0 1 2
y 1 1 4
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
____ 72. Pentru A= sa se calculeze .
____ 73. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[1,2,3,4,5] .

12. ____ 74. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y-6x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Cat este prima iteratie produsa de
metoda lui Euler?
____ 75. Se da tabelul
Sa se calculeze diferenta divizata f[2,3].
____ 76. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 77. Care este forma polinoamelor Lagrange de interpolare pe nodurile ?
____ 78. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
____ 79. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y+x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1), unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
____ 80. Se considera functia si P(x) polinomul lui Lagrange de grad 1 care interpoleaza
valorile lui f pe nodurile 0,1 . Cat este atunci P(2)?
____ 81. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1. Conform metodei Newton-Cotes

13. este aproximata de
unde este un anumit polinom de grad cel mult 2. Cat este ?
____ 82. Urmarim a aplica metoda de integrare numerica a lui Newton-Cotes pentru a calcula prin
utilizarea a 3 noduri echidistante -1,0,1, si integrarea pe [-1,1] a polinomului interpolant al lui pe
nodurile -1,0,1. Aceasta metoda de integrare cu trei noduri se numeste metoda ……
____ 83. Se rezolva sistemul compatibil determinat cu matricea extinsa A data de
Se doreste a se aplica metoda lui Jacobi cu predictie initiala . De ce este metoda lui
Jacobi garantata sa convearga?
____ 84. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1. Care este a doua iteratie?
____ 85. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
se calculeaza matricea
____ 86. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
, y(1)=1
Utilizam metoda Euler-Cauchy cu pas h= . Notam . Efectuam zece iteratii in metoda Euler-
Cauchy. Obtinem iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de
metoda numerica pentru ……

14. ____ 87. Se considera ecuatia
Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv .
Aceasta este metoda …….
____ 88.
Aproximam integrala
cu metoda sumata a trapezului cu 3 subintervale. Formula utilizata este …..
____ 89. Se considera functia si polinomul de grad 4 care interpoleaza valorile lui f pe
nodurile 1,2,3,4,5 . Cat este ?
____ 90. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara
____ 91. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 92. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 93. Se da tabelul

15. Notam cu polinomul lui Lagrange corespunzator nodului i adica are grad n si daca
si . Atunci polinomul lui Lagrange ce interpoleaza valorile din tabelul de mai sus
este dat de formula:
____ 94. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
si calculam urmatoarea iteratie dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula recursiva?
____ 95. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 96. Ce metoda de interpolare utilizeaza polinoamele
____ 97. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala si notam cu urmatoarea iteratie si cu z solutia
exacta a ecuatiei considerate. Observam ca pe intervalul [0,1]. Estimati eroarea conform
teoremei de estimare a erorii in metoda aproximatiilor succesive.
____ 98. Se da tabelul

16. Sa se calculeze diferenta divizata f[3,4].
____ 99. Se aplica metoda iterativa a lui Gauss-Seidel sistemului cu predictie initiala
. Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Gauss-Seidel.
____ 100. Se da tabelul
x 0 1 2
y 0 1 3
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
____ 101. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 102. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 103. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 104. Se da tabelul
Notam cu polinomul de grad n ce interpoleaza valorile din tabelul de
mai sus adica . Atunci coeficientii pot fi determinati prin rezolvarea
sistemului
____ 105. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala

17. y’=y-x, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Care este aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y este solutia exacta a ecuatiei diferentiale de mai sus?
____ 106. Se da tabelul
Sa se calculeze unde este polinomul interpolant al valorilor din tabel.
____ 107. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
____ 108. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
____ 109. Se da tabelul
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 0.5)
____ 110. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu n noduri pentru
aproximarea unei integrale pe intervalul [-1,1]. Care sunt pasii efectuati in aceasta metoda de
cuadratura ?
____ 111. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. Dupa eliminari succesive se ajunge la sistemul cu matrice superior triunghiulara ……
____ 112. Aproximati integrala

18. cu metoda trapezului.
____ 113. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB , unde
B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle elementul
de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 114. Se rezolva ecuatia = pe intervalul [0,1] cu metoda aproximatiilor succesive corespunzatoare
functiei . Alegem predictie initiala . Cat este urmatoarea iteratie conform metodei
aproximatiilor succesive?
____ 115. Se rezolva ecuatia =0 pe intervalul [0,2] cu metoda bisectiei. Prima iteratie este
1 iar a doua este notata . Notam cu solutia exacta a ecuatiei ce este aproximata de metoda bisectiei.
Estimati eroarea | - | cu teorema de estimare a erorii corespunzatoare metodei bisectiei.
____ 116. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru aproximarea
integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Atunci in mod necesar sunt ……
____ 117. Formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre este o metoda de ……..
____ 118. Consideram formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre pe intervalul [-1,1] cu n noduri. Aceasta
metoda este exacta pe polinoame de grad mai mic sau egal cu …..
____ 119. Se rezolva ecuatia cu metoda lui Newton cu predictie initiala . Cat este urmatoarea
iteratie ?
____ 120. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
cu metoda lui Euler cu pas h=0.5 . Notam . Formula iterativa din metoda lui Euler in
acest caz este ….
____ 121. Aproximati integrala

19. cu metoda lui Simpson.
____ 122. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector
si se calculeaza matricea
____ 123. Se considera ecuatia
Dorim sa aflam o solutie a ei pe intervalul [0,3]. Punem a=0, b=3 apoi verificam ca f(a)f(b)<0. La
primul pas punem c=(a+b)/2 dupa care calculam f(a)f(c). Daca f(a)f(c)<0 punem b=c. Alftel
punem a=c . Acest pas este primul pas in metoda ……
____ 124. Se rezolva cu metoda lui Gauss cu pivotare sistemul cu matricea extinsa
. La primul pas in aplicarea metodei lui Gauss se permuta liniile ….
____ 125. Se rezolva sistemul cu matricea
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
____ 126. Ce conditii sunt suficiente pentru ca metoda lui Jacobi pentru rezolvarea de sisteme liniare sa
produca un sir ce converge catre solutia exacta a sistemului liniar?
____ 127. Consideram un prim pas:
-----------------------
-----------------------

20. intr-o metoda numerica utilizata pentru rezolvarea unui anumit tip de sisteme liniare. Ce metoda
numerica incepe cu acest pas?
____ 128. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 129. Pentru A= sa se calculeze .
____ 130. Metoda lui Simpson se incadreaza in metodele mai generale de tip …..
____ 131. Se da tabelul
x 0 1 2
y 1 1 2
si functia spline cubica naturala care interpoleaza datele din acest tabel.
Se specifica faptul ca pe [1,2] functia spline e data de iar pe [0,1]
functia spline este data de
. Cat este m?
____ 132. Se da tabelul
Cat este (adica polinomul lui Lagrange corespunzator nodului 0 din tabel evaluat la 2)
____ 133. Pentru A= sa se calculeze .
____ 134. Se aplica metoda iterativa a lui Jacobi sistemului cu predictie initiala

21. . Sa se calculeze urmatoarea iteratie in metoda lui Jacobi.
____ 135. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector
si se calculeaza matricea
____ 136. Metoda Newton-Cotes este o metoda de …..
____ 137. Se considera ecuatia
Pentru rezolvarea ei vom alege si apoi vom defini recursiv , n
numar natural. Aceasta este metoda ….
____ 138. Radacinile polinomului lui Legendre de grad 2 sunt . Se considera
urmatoarea metoda de integrare numerica:
Cum alegeti pentru ca aceast metoda numerica sa fie exacta pe polinoame de grad cel mult 3?
____ 139. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
y’=y, y(0)=1
cu metoda lui Euler cu pas h=1. Notam . Calculati aproximatia produsa de aceasta
metoda pentru y(1) unde y(x) e solutia exacta a ecuatiei de mai sus.
____ 140. Se aplica metoda radacinii patrate matricii A= pentru calculul descompunerii Cholesky A=BB ,
unde B este inferior triunghiulara(toate elementele deasupra diagonalei principale sunt nule). Sa se afle
elementul de pe a doua linie si prima coloana din matricea B.
____ 141. Se rezolva numeric ecuatia diferentiala
, y(1)=1

22. Utilizam metoda Euler cu h=1/20. Notam . Efectuam 20 de iteratii in metoda Euler. Obtinem
iteratiile succesive . Atunci este aproximatia produsa de metoda numerica
pentru ……
____ 142. Se aplica metoda lui Ritz pentru calculul inversei matricii . La primul pas se alege vector si
se calculeaza matricea
____ 143. Consideram un sistem compatibil determinat cu matrice asociata si termen
liber . Consideram urmatoarea formula recursiva: la pasul m avem vectorul
si calculam urmatoarea iteratie dupa
formula
-----------------------
pentru i de la 1 la n
-----------------------
Ce metoda numerica este caracterizata de aceasta formula iterativa?
____ 144. Se rezolva sistemul cu matricea extinsa
Pentru rezolvarea acestui sistem putem aplica metoda …..
____ 145. Vrem sa aplicam formula de cuadratura a lui Gauss-Legendre cu 2 noduri pentru
aproximarea integralei unei functii f pe intervalul [-1,1]. Aceasta metoda este exacta pe polinoame
de grad mai mic sau egal ca ….

23. ____ 146. Pentru A= sa se calculeze .