Thay hoa bài 1

1. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ôn thi Cao h c năm 2010 Môn Gi i tích cơ b n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm TP HCM http://math.hcmup.edu.vn Ngày 16 tháng 12 năm 2009 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

2. VÍ DỤ ÁP DỤNG Bài1: Giới hạn của dãy số 1. Định nghĩa 2.Định lý cơ bản 3.Các giới hạn cơ bản 4.Ví dụ PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

8. VÍ DỤ ÁP DỤNG 1. Các định nghĩa Cho (xn )n là dãy số thực. Ta có Dãy (xn )n hội tụ về x (x hữu hạn) khi n → ∞, kí hiệu lim xn = x hay lim xn = xnếu với mọi �� > 0, tồn tại số tự n→∞ nhiên n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì |xn − x| < ��. lim xn = x ⇐⇒ ∀�� > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 =⇒ |xn −x| < �� ⇐⇒ lim|xn − x| = 0 Dãy (xn )n tiến ra +∞ (theo thứ tự −∞) nếu với mọi A ∈ R, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn > A (theo thứ tự xn < A). Dãy (xn )n phân kỳ không có lim xn hoặc lim xn = +∞ hoặc lim xn = −∞. Như vây với một dãy (xn )n chỉ có hai trường hợp : hoặc (xn )n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

13. VÍ DỤ ÁP DỤNG 2. Các định lý cơ bản 1 Nếu(xn )n là dãy tăng, bị chặn trên và a = sup{xn } thì lim xn = a. Nếu (xn )n là dãy giảm bị chặn dưới và b = inf{xn } thì lim xn = b. 2 Giới hạn kẹp :Giả sử : an ≤ xn ≤ bn , ∀n ≥ n0 và lim an = lim bn = a. Khi đó lim xn = a. 3 Tiêu chuẩn Cauchy : (xn )n hội tụ ⇐⇒ ∀�� > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N =⇒ |xn+p − xn | < �� PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

17. VÍ DỤ ÁP DỤNG 3. Các giới hạn cơ bản 1 1 lim = 0, ∀�� > 0 n�� 2 lim q n = 0, ∀q, |q| < 1 3 √ n lim a = 1, ∀a > 0 4 √ n lim np = 1, ∀p ≥ 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

23. VÍ DỤ ÁP DỤNG 3. Các giới hạn cơ bản 5 np lim = 0, ∀a > 0, ∀p (1 + a)n 6 np lim = 0, ∀p en 7 1 lim(1 + )n = e n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

28. VÍ DỤ ÁP DỤNG 3. Các giới hạn cơ bản 8 1 lim(1 − )n = e −1 n 9 lnp n lim = 0, ∀�� > 0, ∀p n�� 10 n lim √ = e n n PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

32. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 a a Với a>0 cho (xn )n = (1 + n )n , (yn )n = (1 + n )n+1 n ∈ N 1 Chứng minh (xn )n là dãy tăng, (yn )n là dãy giảm 2 Chứng minh: (xn )n , (yn )n hội tụ và lim xn = lim yn . Đặt lim xn = lim yn =e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

33. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 Giải : 1. Trước tiên ta chứng minh: Với �� ≥ −1, (1 + ��)n ≥ 1 + n��, ∀n ∈ N Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đúng đến n. Khi đó, do 1 + �� ≥ 0 : (1 + ��)n+1 = (1 + ��)n (1 + ��) ≥ (1 + n��)(1 + ��) = 1 + (n + 1)�� + ��2 ≥ 1 + (n + 1)�� Ta có , với mọi n ∈ N : a a xn+1 (1+ n+1 )n+1 a 1+ n+1 xn = a (1+ n )n = (1 + n+1 )( 1+ a )n n = (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ]n a a 2 ≥ (1 + n+1 )[1 − (n+1)(n+a) ] = 1+ (n+1)a2 (n+a) a na >1 Vậy (xn )n là dãy tăng PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

36. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 Tuơng tự : a (1+ n )n+1 yn yn+1 = a (1+ n+4 )n+2 = (1 + n+1 )−1 [1 + (1+a+n)n ]n+1 a a a (n+1)a (n+1)a ≥ (1 − a+n+1 )[1 + n(n+a+1) ] ≥ 1 + n(n+1+a)2 > 1 Vậy (yn )n là dãy giảm. 2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn )n là dãy giảm và bị a chặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + n )n = e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

37. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1 Tuơng tự : a (1+ n )n+1 yn yn+1 = a (1+ n+4 )n+2 = (1 + n+1 )−1 [1 + (1+a+n)n ]n+1 a a a (n+1)a (n+1)a ≥ (1 − a+n+1 )[1 + n(n+a+1) ] ≥ 1 + n(n+1+a)2 > 1 Vậy (yn )n là dãy giảm. 2. Ta có : (1 + a) = x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤ yn ≤ ... ≤ y1 = (1 + a)2 Vậy (xn )n là dãy tăng và bị chăn trên ; (yn )n là dãy giảm và bị a chặn dưới, chúng hội tụ.Đặt lim xn = lim yn = lim(1 + n )n = e a PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

38. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 2 √ √ Cho (xn )n xác định bởi: x1 = 2, xn+1 = 2 + xn , ∀n ∈ N. Chứng minh (xn )n là dãy tăng, bị chặn trên. Tính lim xn PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

39. VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 2 Giải : Ta có (xn )n ≥ 0, ∀n ∈ N và √ 2+x −x 2 xn+1 − xn = 2 + xn − xn = √ n n 2+xn +xn 2 2 + xn − xn ≥ 0 ⇔ −2 ≤ xn √ 2, ∀n ∈ N ≤ Bằng quy nạp, ta có (xn ) = 2 < 2. Giả sử xn ≤ 2. Khi đó √ xn+1 = 2 + xn ≤ 2 Vậy(xn )n là dãy tăng , bị chặn trên nên (xn )n hội tụ. Đặt x = lim xn . √ Từ đẳng thức x( n + 1) = 2 + xn , ∀n ∈ N , cho n → ∞ta √ có:x = 2 + x hay x 2 − x − 2 = 0. Vậy x=2 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

43. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 3 Tính 3n+1 + 2n lim 3n + 2n Giải : 2 3n+1 + 2n 3n+1 [1 + ( 3 )n+1 ] lim = lim =3 3n + 2n 3n [1 + ( 2 )n ] 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

44. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 3 Tính 3n+1 + 2n lim 3n + 2n Giải : 2 3n+1 + 2n 3n+1 [1 + ( 3 )n+1 ] lim = lim =3 3n + 2n 3n [1 + ( 2 )n ] 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

45. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 4 √ Tính lim n an + bn + c n , a, b, c > 0. Giải : Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có : √︂ √ n b c √ a ≤ a + bn + c n = a 1 + ( )n + ( )n ≤ a 3 n n n a a √ Vậy lim n an + bn + c n = max{a, b, c} PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

46. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 4 √ Tính lim n an + bn + c n , a, b, c > 0. Giải : Giả sử a = max{a, b, c}. Ta có : √︂ √ n b c √ a ≤ a + bn + c n = a 1 + ( )n + ( )n ≤ a 3 n n n a a √ Vậy lim n an + bn + c n = max{a, b, c} PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

47. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 5 √ Tính lim n n2 .2n + 3n Giải : 2 n2 Do lim ( n )n = 0 nên có n0 sao cho 3 ( 3 )n < 1, ∀n ≥ n0 2 2 Với n ≥ n0 , ta có √︃ √︀ n n2 √ n 3 ≤ n2 2n + 3n = 3 n 1 + 3 n ≤ 3 2 (2) Do √ lý giới hạn kẹp định lim n n2 .2n + 3n = 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

48. VÍ DỤ ÁP DỤNG ví dụ 5 √ Tính lim n n2 .2n + 3n Giải : 2 n2 Do lim ( n )n = 0 nên có n0 sao cho 3 ( 3 )n < 1, ∀n ≥ n0 2 2 Với n ≥ n0 , ta có √︃ √︀ n n2 √ n 3 ≤ n2 2n + 3n = 3 n 1 + 3 n ≤ 3 2 (2) Do √ lý giới hạn kẹp định lim n n2 .2n + 3n = 3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

51. VÍ DỤ ÁP DỤNG BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: √ √ 1 lim n2 + 5 − n2 + 3 2 lim n 2 +1 n sin n n n 3 lim an −bn , ∀a, b > 0 a +b 4 lim nq n , |q| < 1 2n 2.2...2.2 4 5 lim frac2n n!( HD: n! = 1.2....(n−1).n ≤ n) 2 6 lim n n! n(n+1)(2n+1) 7 Chứng minh : 12 + 22 + ... + n2 = 6 2 2 +...+n2 Tính 1 +2 n3 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

52. VÍ DỤ ÁP DỤNG BÀI TẬP Tính các giới hạn sau: √ 1 Tính lim n( n e − 1) HD : Dùng thí dụ (1) có bất đẳng thức : 1 1 (1 + n )n < e < (1 − n−1 )n , ∀n √ √ 2 Cho (x ) định bởi : x = n n 1 a, xn+1 = a + xn , ∀n(a > 0) Xét tính đơn điệu của (xn )n và tính lim xn .(nếu có) √ 3 Tính lim fracn2 n HD: n √ √ = exp[− 2 n n ln 2(1 − √lnln 2 )] n n lnn √ Do lim √n ln 2 = 0 nên lim ln n − n ln 2 = −∞. Suy ra với n mọi A > 0, có n0 ∈ N sao cho với n ≥ n0 thì 2 √ n ≤ e −A . Vậy n lim 2√n = 0 PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ôn thi Cao học

Thay hoa bài 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Thay hoa bài 1

Similar to Thay hoa bài 1 (16)

Thay hoa bài 1