1. Chương 1
Chuỗi số
1.1 Chuỗi số, chuỗi số hội tụ
Cho dãy số a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . Khi đó tổng (vô hạn)
∞
a1 + a2 + ··· + an + ... = an (1.1)
n =1
n
gọi là một chuỗi số.Đặt S n = a 1 + a 2 + · · · + a n = a i . Ta gọi S n là tổng riêng thứ n .
i =1
∞
• Nếu lim S n = S thì ta nói chuỗi (1.1) hội tụ và ta viết: a n = S.
n →∞
n =1
• Nếu lim S n = ±∞ hoặc không tồn tại giới hạn thì ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ.
n →∞
Nhận xét: nếu chuỗi (1.1) hội tụ thì lim a n = 0. Thật vậy, chuỗi (1.1) hội tụ nên
n →+∞
dãy (S n ) hội tụ. Do đó:
∀ > 0, ∃ N : ∀n > N , ∀p ∈ =⇒ |S n+p − S n | <
Khi đó
∀ > 0, ∃ N : ∀n > N + 1, với p = 1 =⇒ |a n | <
nghĩa là lim a n = 0.
n →+∞
Từ đó ta suy ra, nếu chuỗi (1.1) có lim a n = 0 thì chuỗi phân kỳ.
n→∞
∞
n n 1
Ví dụ 1: Chuỗi phân kỳ vì lim = = 0.
n =1
2n + 1 n →∞ 2n + 1 2
∞
Ví dụ 2: Chuỗi an hội tụ nếu |a | < 1 và phân kỳ nếu |a | 1.
n =1
∞
1
Ví dụ 3: Chuỗi hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ nếu 0 < p 1.
n =1
np
1

2. 2 CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ
1.2 Chuỗi dương
I. Định nghĩa:
∞
Chuỗi số a n gọi là chuỗi dương nếu a n 0 với mọi n .
n =1
Chuỗi dương hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng riêng của nó bị chặn.
II. Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương.
Dấu hiệu so sánh 1: Cho hai chuỗi dương: (a ) an và (b ) bn .
n →∞ n →∞
Nếu tồn tại c > 0 và N ∈ sao cho với mọi n N ta đều có a n cb n thì
• Chuỗi (b ) hội tụ suy ra chuỗi (a ) hội tụ.
• Chuỗi (a ) phân kỳ suy ra chuỗi (b ) phân kỳ.
Dấu hiệu so sánh 2: Cho hai chuỗi dương: (a ) an và (b ) bn .
n →∞ n →∞
an
Giả sử lim = k.
n →∞ b n
• Nếu k > 0 thì chuỗi (b ) và chuỗi (a ) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
• Nếu k = 0 thì chuỗi (b ) hội tụ kéo theo chuỗi (a ) hội tụ.
Dấu hiệu Cauchy: Cho chuỗi dương: (a ) an.
n →∞
Giả sử tồn tại lim n
a n = C . Khi đó:
n →∞
Nếu C < 1 chuỗi (a ) hội tụ và nếu C > 1 chuỗi (a ) phân kỳ.
Dấu hiệu D’Alembert: Cho chuỗi dương: (a ) an.
n →∞
a n +1
Giả sử tồn tại lim = D . Khi đó:
n →∞ an
Nếu D < 1 chuỗi (a ) hội tụ và nếu D > 1 chuỗi (a ) phân kỳ.
Dấu hiệu tích phân: Cho f (x ) là một hàm dương, giảm trên [1; +∞). Đặt a n = f (n).
+∞
Khi đó chuỗi a n và tích phân suy rộng f (x )d x cùng hội tụ hoặc cùng
n →∞ 1
phân kỳ.

3. 1.3. CHUỖI ĐAN DẤU 3
1.3 Chuỗi đan dấu
I. Định nghĩa:
∞
Chuỗi có dạng: a1 −a2 +a3 −a4 + · · · + (−1)n +1 a n + ··· = (−1)n +1 a n
n =1
trong đó a n > 0 hoặc a n < 0 với mọi n gọi là chuỗi đan dấu.
II. Dấu hiệu Leibnitz:
∞
Cho chuỗi đan dấu a 1 −a 2 +a 3 −a 4 +· · ·+(−1)n+1 a n +· · · = (−1)n +1 a n với a n > 0. Nếu
n =1
dãy (a n ) nghiêm ngặt giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi hội tụ.
1.4 Chuỗi hội tụ tuyệt đối:
∞ ∞
Chuỗi a n gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi |a n | hội tụ.
n=1 n =1
∞ ∞ ∞
Nếu chuỗi a n hội tụ mà chuỗi |a n | phân kỳ thì ta nói chuỗi a n hội tụ
n=1 n=1 n =1
không tuyệt đối.
Mệnh đề: Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
BÀI TẬP
1. Sử dụng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của chuỗi:
∞ ∞
n +1 π
a) d) sin
n =1
n(n + 2) n=1
2n
∞ ∞
1 1
b) e) n +1− n −1
n =1
(n + 1) n n =1
n
∞ ∞
1 1
c) f)
n =1
ln(n + 1) n =1 n 2 + 2n
2. Sử dụng dấu hiệu D’Alembert, xét sự hội tụ của chuỗi
∞ ∞
n 2.3. . . . (3n − 1)
a) c)
n =1
(2n + 1)! n=1
1.3. . . . (4n − 3)
∞ ∞
(n!)2 n!
b) d)
n =1
(2n)! n=1
n 2e n

4. 4 CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ
3. Sử dụng dấu hiệu Cauchy, xét sự hội tụ của chuỗi
∞ ∞
(n + 1)n
2
1
a) n c)
n =1
ln (n + 1) n=1
2
n n .3n
∞ n ∞ n(n −1)
2n n −1
b) d)
n =1
3n + 1 n=1
n +1
4. Sử dụng dấu hiệu tích phân, xét sự hội tụ của chuỗi
∞ ∞
1 1
a) b)
n =2
n(ln n)α n=3
n ln n ln(ln n)
5. Xét sự hội tụ của các chuỗi:
∞ ∞ n
2n + n 2n 2 − 1
a) d)
n =1
3n + n 3 + 3 n=1
3n 2 + 3
∞ ∞
n2 − 1 3n n!
b) arctan e)
n =1
n3 + 2 n =1
nn
∞ ∞
2n n! 100n
c) f)
n =1
nn n =1
n!
6. Xét sự hội tụ tuyệt đối của các chuỗi:
∞ ∞
(−1)n sin(n!)
a) d)
n =1 n(n + 1) n=1
n n
∞ ∞
(−1)n (−1)n
b) e)
n =1
ln(n + 1) n =1
ln(n!)
∞ ∞
(−1)n (−1)n .n 3
c) f)
n =1
n
n n =1
32n