Un lavoro ipermediale sul Metodo di Archimede per il calcolo di π realizzato con eXeLearning e Geogebra (Rosa Marincola)

1. Un lavoro ipermediale sul Metodo di Archimede per il calcolo di π
realizzato con eXeLearning e Geogebra
Rosa Marincola
Docente presso I.I.S.S. “A. Guarasci” di Rogliano
Cosenza / Italia
rosamarincola@virgilio.it
SHORT PAPER
Abstract
In questo contributo vengono descritte delle attività didattiche laboratoriali, sperimentate con studenti
della seconda classe del Liceo Scientifico “G.B. Scorza” di Cosenza nell’a.s. 2009/2010. L’obiettivo è
stato quello di recuperare, approfondire e applicare le conoscenze in matematica, nonché di
raccogliere i materiali prodotti in un sito realizzato con eXeLearning, da utilizzare come repository per
usi futuri in ambiente Moodle.
Keywords - Software di geometria dinamica, attività laboratoriali, immagine interattiva,
eXeLearning.
1 IL CONTESTO
Nel corso del progetto PON “Il gioco della matematica 2” ho realizzato un modulo di 20 ore a cui
hanno partecipato 20 studenti provenienti dalle diverse classi seconde del Liceo Scientifico “G.B.
Scorza”. I ragazzi hanno lavorato in gruppi di 2-3 elementi ciascuno con strumenti da disegno, col
software libero di geometria dinamica GeoGebra [1] e col foglio elettronico Microsoft Excel. Alcuni
studenti presentavano carenze di base, altri, pur avendo una certa manualità nei calcoli,
evidenziavano difficoltà di ordine logico-deduttivo e discontinuità nell’attenzione. Con le attività
realizzate, oltre ad esercitazioni di recupero su equazioni e radicali, ho tentato di potenziare la
motivazione e di mostrare l’importanza del saper utilizzare tecniche e procedure di calcolo in modo
consapevole. Ho cercato di far superare la visione settoriale tra le diverse branche della matematica
(in particolare quella tra algebra e geometria) e, di proporre sviluppi interdisciplinari utilizzando le
risorse in rete e i software gratuiti per l’archiviazione e la distribuzione dei materiali con la piattaforma
Moodle.
2 LE ATTIVITÀ PER GLI STUDENTI
Dopo un’attenta riflessione sul teorema di Pitagora, già noto agli studenti, ho proposto alcune delle
numerose attività presenti ne “Il teorema di Pitagora tra leggenda e storia”, del piano nazionale
m@t.abel, facente parte del volume Matematica 2003. La matematica per il cittadino ([2], [3]). Per
collegare le attività in ambito geometrico con l’algebra e in particolare con i radicali aritmetici, ho
riproposto una rivisitazione del problema posto in uno dei dialoghi di Platone: il “Menone”: dato un
quadrato di lato l, costruirne uno di area doppia. Riconoscere che il quadrato cercato dovrà avere il
lato pari alla misura della diagonale d del quadrato di partenza, con d= l√2, è sempre un momento di
scoperta per gli studenti, abituati ad applicare in modo meccanico e poco consapevole le tecniche e
procedure di calcolo. La discussione sulle grandezze incommensurabili, in particolare su √2 e sulla
scuola pitagorica hanno suscitato l’interesse degli allievi. Abbiamo realizzato una serie di file con
GeoGebra sia per dimostrare il teorema di Pitagora che per il problema della duplicazione del
quadrato. Le costruzioni dei file con “riga e compasso” sono state condotte attraverso discussioni
collettive in cui ponevo domande e richiamavo le proprietà degli enti geometrici; anche gli studenti più
deboli sono riusciti a realizzarle, personalizzarle e ad automatizzare alcune procedure attraverso le
macro-costruzioni. Successivamente, per proseguire lo studio sui numeri irrazionali, ho guidato i
ragazzi alla scoperta del metodo di esaustione di Archimede per il calcolo approssimato di π. Per
ricavare le formule iterative, infatti, occorre applicare sia il teorema di Pitagora che quelli di Euclide, di

2. conseguenza tale studio utilizza le operazioni con i radicali che spesso gli studenti considerano inutili
e noiose. Dopo aver determinato le formule per calcolare i perimetri dei poligoni regolari di n lati,
inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio unitario, ho fatto realizzare sia una costruzione
geometrica con GeoGebra (figura 1) che un foglio Excel.
Figura 1
A conclusione dell’attività ho fatto eseguire delle ricerche in rete su Pitagora e la sua scuola, su
Archimede ed Euclide e ho spiegato loro come costruire un’immagine interattiva col software gratuito
Reader 2D (liberamente scaricabile dal link [4]). Abbiamo utilizzato un’immagine virtuale del
capolavoro di Raffaello Sanzio “La scuola di Atene”, in cui sono presenti i maggiori matematici, filosofi
e scienziati dell’antica Grecia. Su questa immagine i ragazzi hanno imparato facilmente (si veda il
tutorial [5]) a creare dei link con rimandi ad un video You Tube di storia dell’arte, ad una pagina web
sull’artista, a una pagina web sui personaggi presenti nell’opera e altre dedicate a Pitagora e a
Archimede. La selezione delle risorse è stata guidata dall’insegnante, in modo da reperire fonti
significative dal punto di vista dei contenuti, sulla cui lettura ci si è soffermati per creare un raccordo
tra matematica, storia dell’arte, filosofia e storia. Col software gratuito eXeLearning [4], ho quindi
creato un learning object in cui ho raccolto gli elementi più significativi di tale attività e li ho esportati in
una cartella zippata in modo da poterli conservare per usi futuri e distribuire agli studenti come
dispensa, senza necessità di dover stampare i contenuti o di far prendere appunti. Ho inserito come
primo iDevice il “Testo libero” con l’immagine interattiva, poi un “Sito web esterno” sulla lunga storia di
π, quindi un’immagine del file realizzato con GeoGebra e due “Casi di studio” con i suggerimenti per
dimostrare dei seguenti teoremi, come in figura 2.
Figura 2

3. Nella seconda pagina ho inserito i dati del foglio elettronico con il calcolo delle stime per eccesso e
per difetto di π, di cui sono state calcolate 14 cifre decimali (figura 3).
Figura 3
3 CONCLUSIONI E POSSIBILI SVILUPPI FUTURI
In questo lavoro sono state presentate delle attività didattiche di tipo laboratoriale che attraverso
l’osservazione, la costruzione e la manipolazione di una serie di file con diversi software, ha condotto
gli studenti ad uno studio approfondito e attento su diverse tematiche. Tali strumenti hanno aiutato gli
studenti a meglio comprendere le proprietà degli enti geometrici e ad utilizzare procedure di calcolo in
modo più consapevole. L’uso delle tecnologie si rivela più motivante e consono ai mezzi espressivi dei
nostri studenti e riduce notevolmente i tempi di assimilazione. La realizzazione dell’immagine
interattiva ha permesso loro di completare in pochi passaggi un prodotto ipermediale, affinché
opportunamente guidati acquisissero conoscenze interdisciplinari da ampliare nel prosieguo degli
studi. I materiali raccolti, in un unico learning object, realizzato con eXeLearning potranno essere
facilmente fruibili e condivisibili mediante la piattaforma Moodle sia con i colleghi che con gli studenti,
in modo che il lavoro realizzato possa essere ampliato e ottimizzato in seguito.
4 SITOGRAFIA
[1] GeoGebra è liberamente scaricabile dal sito ufficiale: http://www.geogebra.org/cms/
[2] L’attività per studenti della scuola secondaria di secondo grado “Il Teorema di Pitagora tra
leggenda e storia”, tratta da Matematica 2003 è reperibile al link:
http://didatticait.altervista.org/Didattica/matematica/formulario/triangolo/Il%20teorema%20di%20Pitago
ra%20tra%20leggenda%20e%20storia.pdf
[3] Matematica 2003. La matematica per il cittadino. Attività didattiche e prove di verifica per un nuovo
curriculo di matematica. Ciclo secondario.
http://umi.dm.unibo.it/italiano/Matematica2003/matematica2003.html
[4] Il sito italiano di eXeLearning:
http://www.exelearning.it/
[5] Un tutorial del software Reader 2D:
http://www.exelearning.it/creare-learning-object/realizza-contenuti-didattici-interattivi/guida-a-
reader2d.html